变化率问题课件-高二数学人教A版选择性

变化率问题人教A版（2019）选择性必修二导数概念及其意义导数的运算导数在研究函数中的应用平均变化率瞬时速度导数的几何意义平均速度曲线的割线斜率、切线斜率基本初等函数的导数公式导数的四则运算法则简单复合函数的导数函数的单调性函数的极值与最大（小）值本章导读学习目标1.会求函数在某一点附近的平均变化率，理解函数的平均变化率，瞬时变化率及瞬时速度的概念.2.会求抛物线的切线斜率，体会数学的极限思想.在必修第一册中，我们研究了函数的单调性，并利用函数单调性等知识定性地研究了一次函数、指数函数、对数函数增长速度的差异，知道“对数增长”是越来越慢的，“指数爆炸”比“直线上升”快得多.进一步地，能否精确定量地刻画变化速度的快慢呢？下面我们就来研究这个问题.变化率：一个变量相对于另一个变量的变化而变化的快慢程度叫做变化率.新课导入物理学中平均速度与瞬时速度情景1：高台跳水运动员的速度课堂探究问题1：在一次高台跳水运动中,某运动员在运动过程中的重心相对于水面的高度h(单位:m)与起跳后的时间t(单位:s)存在函数关系：如何描述运动员从起跳到入水的过程中运动的快慢程度呢？

课堂探究请计算对应时间段的平均速度：课堂探究再计算：追问1：

（1）运动员在这段时间里是静止的吗?

（2）平均速度能准确反映运动员的运动状态吗?(1)在这段时间内，运动员并不处于静止状态.(2)用平均速度不能准确反映运动员在这段时间内里的运动状态.要精确地描述非匀速直线运动,就要知道物体在每一时刻运动的快慢程度．课堂探究追问2：瞬时速度与平均速度有什么关系?你能利用这种关系求运动员在t

=1s时的瞬时速度吗?

为了精确刻画运动员的运动状态，需要引入瞬时速度的概念.我们把物体在某一时刻的速度称为瞬时速度(instantaneousvelocity).

瞬时速度问题2：运动员在t=1s时的瞬时速度是多少？Δt是时间改变量，可以是正值，也可以是负值，但不为0.课堂探究Δt<0Δt>0-0.010.01-0.0010.001-0.00010.0001-0.000010.00001-0.0000010.000001为了提高近似表示的精确度，我们不断缩短时间间隔，得到如下表格.-6.951-6.9951-6.99951-6.999951-6.9999951-7.049-7.0049-7.00049-7.000049-7.0000049

通过观察可得，当∆t无限趋近于0，即无论t从小于1的一边，还是从大于1的一边无限趋近于1时，平均速度都无限趋近于

-7.课堂探究

课堂探究思考：(1)求运动员在t

=0.5

s时的瞬时速度；

(2)如何求运动员从起跳到入水过程中在某一时刻t0的瞬时速度?课堂探究解：因此运动员在某一时刻

t0

的瞬时速度为课堂探究思考：(1)求运动员在t

=0.5

s时的瞬时速度；

(2)如何求运动员从起跳到入水过程中在某一时刻t0的瞬时速度?1.平均速度：运动员在时间段[t0,t0＋Δt]内的平均速度为当Δt无限趋近于0时，平均速度的极限为瞬时速度，记为2.瞬时速度：两者都刻画物体的运动状态，瞬时速度是平均速度的极限值．平均速度与瞬时速度的关系1.求问题1中高台跳水运动员在t=1.5s时的瞬时速度.课后练习2.火箭发射ts后，其高度(单位:m)为h(t)=0.9t2.求：(1)在1≤t≤2这段时间里，火箭爬高的平均速度；(2)发射后第10s时，火箭爬高的瞬时速度.课后练习3.一个小球从5m的高处自由下落，其位移y

(单位:m)与时间t(单位:s)之间的关系为y(t)=－4.9t2.求t=1s时小球的瞬时速度.课后练习情景2：抛物线的切线的斜率下面我们以抛物线

f(x)=x2为例进行研究.问题2：如何定义抛物线

f(x)=x2在点P0(1,1)处的切线？xyOf(x)＝x2112234P0①与研究瞬时速度类似②在点P0(1,1)的附近任取一点P(x，x2)③考察抛物线f(x)＝x2的割线P0P的变化情况课堂探究

我们发现，当点P__________________，割线P0P_______________________位置.这个确定位置的直线P0T称为抛物线f(x)＝x2在点P0(1,1)处的切线．观察：如图，当点P(x,x2)沿着抛物线f(x)=x2趋近于点P0(1,1)时，割线P0P有什么变化趋势?T无限趋近于一个确定的无限趋近于点P0时课堂探究

切线位置割线位置无限逼近切线斜率割线斜率无限逼近

取极限

记点P的横坐标x＝1＋Δx，则点P的坐标即为(1＋Δx，(1＋Δx)2).于是割线P0P的斜率Δx→0时，斜率kPoP→2.课堂探究

我们可以用割线P0P的斜率k近似地表示切线P0T的斜率k0，并且可以通过不断缩短横坐标间隔|∆x|来提高近似表示的精确度，得到如下表格：∆x<0∆x>0∆x∆x

通过观察可得，当∆x无限趋近于0，即无论x从小于1的一边，还是从大于1的一边无限趋近于1时，割线P0P的斜率k近都无限趋近于2.课堂探究事实上，由可以发现，当∆x在无限趋近于0时，

无限趋近于2，我们把2叫做“当△x无限趋近于0时，的极限”，记为

从几何图形上看，当横坐标间隔|Δx|无限变小时，当点P无限趋近于点P0时，割线P0P无限趋近于点P0处的切线P0T

.割线P0P的斜率k无限趋近于点P0处的切线的斜率k0.因此，切线P0T的斜率k0=2.xyO121234PP0T课堂探究2.切线的斜率：

函数图象在点P0(x0,f(x0))处的斜率xyO121234PP0T1.割线的斜率：割线的斜率与切线的斜率思考：观察问题1中的函数的图象，平均速度

的几何意义是什么?瞬时速度v(1)呢?th1O•(1,h(1))•(1+∆t,h(1+∆t))课堂探究问题4：你能用上述方法，求抛物线f(x)=x2在点P0(2,4)处的切线P0T的斜率吗？xyO121234P0P记点P的横坐标x＝2＋Δx，则点P的坐标即为(2＋Δx，(2＋Δx)2).于是割线P0P的斜率故抛物线在点P0(2，4)处的切线斜率为4.课堂探究例1：求抛物线f(x)=x2+2x在点P

(1,3)处切线的斜率.变式：求抛物线f(x)=x2+2x在点P

(1,3)处的切线方程.典例分析1.你认为应该怎样定义抛物线f(x)=x2在点(x0,x02)处的切线?试求抛物线f(x)=x2在点(－1,1)处切线的斜率.课后练习2.求抛物线f(x)=x2+1在点(0,1)处的切线方程.课后练习

题型一：平均速度求物体运动的平均速度的主要步骤

题型二：瞬时速度

计算瞬