第22讲圆的基本性质

第二篇图形与几何第六章圆与图形投影第22讲圆的基本性质

1.

了解圆的定义及有关概念（弦、弧、弦心距、圆心角、圆周角）.2.

掌握垂径定理.3.

掌握圆心角定理、圆周角定理及推论.4.

会判断点与圆的位置关系.

类型一

点与圆的位置关系

CA.

点P在☉O上B.

点P在☉O内C.

点P在☉O外D.

无法确定【解后感悟】点与圆的位置关系要厘清d与r.

1.

如图，在△ABC中，AB＝AC，BC＝4，tan

B＝2.D是AB的中点.以点D为圆心，R为半径作☉D.

如果点B在☉D内，点C在☉D外，试求R的取值范围.

类型二

圆心角、圆周角与弧之间的关系例2

如图，点A，B，C，D，E均在☉O上.∠BAC＝15°，∠CED＝30°，则∠BOD的度数为（

D

）DA.45°B.60°C.75°D.90°【解后感悟】1°圆心角所对的弧叫作1°的弧，圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数的一半.

2.

如图，圆内接四边形ABCD中，∠BCD＝105°，连结OB，OC，OD，BD，∠BOC＝2∠COD，则∠CBD的度数是（

A

）A.25°B.30°C.35°D.40°A类型三

垂径定理例3

如图，△ABC内接于☉O，AB为☉O的直径，AB＝10，AC＝6，连结OC，弦AD分别交OC，BC于点E，F，其中E是AD的中点.（1）求证：∠CAD＝∠CBA.

（2）求OE的长.

【解后感悟】1.

垂径定理四要素：垂直弦，过圆心，平分弦，平分弧，只要满足两个即可推得另两个.2.

有关垂径定理的计算常用勾股定理求相似，如第（2）题中可设OE＝x，有25－x2＝36－（5－x）2得解.

A.50

cmB.35

cmC.25

cmD.20

cmC类型四

圆心角定理与圆周角定理例4

如图，已知等腰直角三角形ABC，P是斜边BC上一点（不与点B，C重合），PE是△ABP的外接圆☉O的直径.（1）求证：△APE是等腰直角三角形.【答案】（1）∵AB＝AC，∠BAC＝90°，∴∠C＝∠ABC＝45°，∴∠AEP＝∠ABP＝45°，∵PE是直径，∴∠PAE＝90°，∴∠APE＝∠AEP＝45°，∴AP＝AE，∴△APE是等腰直角三角形.

（2）若☉O的直径为2，求PC2＋PB2的值.

【解后感悟】1.

圆心角定理有四个要素：在同圆或等圆中，等弧、等弦、等弦心距、等圆心角，只要一对量相等，那么其余各对量都相等.2.

圆周角定理：同弧所对的圆周角是圆心角度数的一半.圆周角定理推论：（1）直径所对的圆周角是直角.（2）在同圆或等圆中，等圆周角⇔等弧.

4.

如图，AB，AC是☉O的弦，OB，OC是☉O的半径，P为OB上任意一点（点P不与点B重合），连结CP.

若∠BAC＝70°，则∠BPC的度数可能是（

D

）A.70°B.105°C.125°D.155°D

【探索研究题】如图，已知△ABC内接于☉O，点C在劣弧AB上（不与点A，B重合），D为弦BC的中点，DE⊥BC，DE与AC的延长线交于点E，射线AO与射线EB交于点F，与☉O交于点G，设∠GAB＝α，∠ACB＝β，∠EAG＋∠EBA＝γ，（1）点点通过画图和测量得到下表的近似数据：α30°40°50°60°β120°130°140°150°γ150°140°130°120°猜想：β关于α的函数表达式，γ关于α的函数表达式，并给出证明.【答案】（1）猜想：β＝α＋90°，γ＝－α＋180°.如图1，连结OB，则由圆周角定理可知2∠ACB＝360°－∠BOA，∵OB＝OA，∴∠OBA＝∠OAB＝α，∴∠BOA＝180°－2α，∴2β＝360°－（180°－2α），∴β＝α＋90°，∵D是BC的中点，DE⊥BC，∴OE是线段BC的垂直平分线，∴BE＝CE，∠BED＝∠CED，∠EDC＝90°，∵∠BCA＝∠EDC＋∠CED，∴β＝90°＋∠CED，∴∠CED＝α，∠BED＝∠CED＝α，在△EBA中，∠AEB＋∠EBA＋∠EAB＝180°，即2α＋∠EBA＋∠EAG－α＝180°，∴2α＋γ－α＝180°，即γ＋α＝180°.∴γ＝－α＋180°.

图1（2）若γ＝135°，CD＝3，△ABE的面积为△