幂函数及指对运算课件-四川省高三数学一轮复习

幂函数及指、对数式运算幂函数的定义函数_________叫做幂函数，其中x是自变量，α是常数．

回归教材y＝xα

(2)幂函数f(x)＝(m2－3m＋3)xm的图象关于y轴对称，则实数m＝________．2【解析】由幂函数定义，知m2－3m＋3＝1，解得m＝1或m＝2，当m＝1时，f(x)＝x的图象不关于y轴对称，舍去，当m＝2时，f(x)＝x2的图象关于y轴对称，因此m＝2.

常见的5种幂函数的图象xyO幂函数的性质(1)所有的幂函数在(0，＋∞)上都有定义，并且图象都经过点______．(2)如果α>0，那么幂函数的图象过原点，并且在区间[0，＋∞)上_____________．(3)如果α<0，那么幂函数在区间(0，＋∞)上_________．在第一象限内，当x从右边趋向于原点时，图象在y轴右侧无限地逼近y轴，当x趋向于正无穷时，图象在x轴上方无限地逼近x轴．(4)当α为奇数时，幂函数为____________，当α为偶数时，幂函数为__________．(1，1)单调递增单调递减奇函数偶函数题型一

幂函数的图象与性质(1)若幂函数y＝x－1，y＝xm与y＝xn在第一象限内的图象如图所示，则m与n的取值情况为(

)

A．－1<m<0<n<1

B．－1<n<0<mC．－1<m<0<n D．－1<n<0<m<1√【解析】对于幂函数y＝xα，当α>0时，y＝xα在(0，＋∞)上单调递增，且当0<α<1时，图象在第一象限上凸，所以0<m<1；当α<0时，y＝xα在(0，＋∞)上单调递减，不妨令x＝2，根据图象可得2－1<2n，所以－1<n<0.综上所述，选D.A．b<a<c B．a<b<cC．b<c<a D．c<a<b√状元笔记(1)幂函数的形式是y＝xα(α∈R)，其中只有一个参数α，因此只需一个条件即可确定其解析式．(2)在区间(0，1)上，幂函数的指数越大，函数图象越靠近x轴(简记为“指大图低”)；在区间(1，＋∞)上，幂函数的指数越大，函数图象越远离x轴(简记为“指大图高”)．(3)在比较幂函数值的大小时，必须结合幂函数的特点，选择适当的函数，借助其单调性进行比较，准确掌握各个幂函数的图象和性质是解题的关键．√思考题1

(1)幂函数y＝xm2－2m－3(m∈Z)的图象如图所示，则实数m的值为(

)

A．3

B．0C．1 D．2【解析】∵函数在(0，＋∞)上单调递减，∴m2－2m－3<0，解得－1<m<3.∵m∈Z，∴m＝0，1，2.而当m＝0或2时，y＝x－3为奇函数，不符合题意，舍去，当m＝1时，y＝x－4为偶函数，符合题意．∴m＝1.根

式的运算性质(2)负数的偶次方根_______．(3)零的任何次方根___________．a|a|无意义都等于零(3)0的正分数指数幂等于_________，0的负分数指数幂没有意义．0

指数幂的运算性质(1)aras＝______(a>0，r，s∈R)．(2)(ar)s＝______(a>0，r，s∈R)．(3)(ab)r＝______(a>0，b>0，r∈R)．ar＋sarsarbr题型二

指数幂的计算【答案】(2)6

45状元笔记指数幂的运算技巧(1)首先将根式、分数指数幂统一化为分数指数幂，以便利用法则计算，但应注意：①必须同底指数幂相乘，指数才能相加；②运算的先后顺序．(2)当底数是负数时，先确定符号，再把底数化为正数．(3)运算结果不能同时含有根号和分数指数幂，也不能既有分母又含有负指数．1001234567891011121314151617181920作业评讲1对数的概念一般地，如果ax＝N(a>0，且a≠1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作_________，其中_____叫做对数的底数，_____叫做真数．x＝logaNaN(4)logaM＝logaN的充要条件是M＝N.对数的性质与运算性质(1)对数的性质：loga1＝_____，logaa＝_____，alogaN＝_____(a>0，且a≠1，N>0)．01N(2)对数的运算性质如果a>0，且a≠1，M>0，N>0，那么：①loga(MN)＝_______________．logaM－logaNlogaM＋logaNnlogaM

换底公式的推论(1)logab·logba＝____．(2)logab·logbc＝____．(3)loganbn＝____．(4)logambn＝____________．1logaclogablogba题型三

对数式的运算

(1)计算：lg25＋lg50＋lg2×lg500＋(lg2)2.【答案】4【解析】原式＝2lg5＋(lg5＋1)＋lg2(2＋lg5)＋(lg2)2＝1＋3lg5＋2lg2＋lg2(lg5＋lg2)＝1＋3lg5＋3lg2＝1＋3(lg5＋lg2)＝4.(2)(log32＋log92)×(log43＋log83)＝________．(4)若log147＝a，14b＝5，则用a，b表示log3528＝________．状元笔记在对数运算中要注意的几个问题(1)在化简与运算中，一般先用幂的运算将底数或真数进行变形，化成分数指数幂的形式，使幂的底数最简，然后再运用对数运算法则化简合并．(2)充分利用公式ab＝N⇔b＝logaN(a>0，且a≠1，N>0)是解决有关指数、对数问题的有效方法．思考题3

(1)(log2125＋log425＋log85)×(log52＋log254＋log1258)的值为________．13(2)(2022·浙江)已知2a＝5，log83＝b，则4a－3b＝(

)A．25 B．5√√√15则lgx＝lg51＋lg3＋lg3lg2＝(1＋lg3)×lg5＋lg2×lg3＝lg5＋lg3×lg5＋lg2×lg3＝lg5＋(lg5＋lg2)×lg3＝lg5＋lg3＝lg15.∴x＝15.题型四

实际应用

(2025·邢台市模拟八)深度学习是人工智能的一种具有代表性的实现方法，它是以神经网络为出发点的．在神经网络优化中，指数衰减的学习率模型为

，其中L表示每一轮优化时使用的学习率，L0表示初始学习率，D表示衰减系数，G表示训练迭代轮数，G0表示衰减速度．已知某个指数衰减的学习率模型的初始学习率为0.5，衰减速度为18，且当训练迭代轮数为18时，学习率为0.4，则学习率衰减到0.2以下(不含0.2)所需的训练迭代轮数至少为(参考数据：lg2≈0.3)(

)A．72 B．73C．74 D．75√所以学习率衰减到0.2以下(不含0.2)所需的训练迭代轮数至少为73.故选B.状元笔记

解决指数、对数运算实际应用问题的步骤(1)理解题意，弄清楚条件和所求之间的关系；(2)运用指数或对数的运算公式、性质等进行运算，把题目条件转化为所求．思考题4

(2025·皖南八校联考)如今海洋渔业发展迅猛，我国自主研发的大型海洋养殖船纷纷下海．网箱养殖需要人工创造适合鱼类生长的环境，研究人员发现在一段时间内，某网箱内氧的含量H(单位：mg/L)与时间t(单位：h)之间的关系为H＝H0e－mt(H0为网箱内氧的初始含26.67本课总结1．幂函数的图象一定会出现