人教版八年级下册数学平行四边形期末压轴题（含答案）

试卷第=page11页，共=sectionpages33页人教版八年级下册数学平行四边形期末压轴题1．如图，已知O是坐标原点，点A的坐标是（5，0），点B是y轴正半轴上一动点，以OB，OA为边作矩形OBCA，点E，H分别在边BC和边OA上，将△BOE沿着OE对折，使点B落在OC上的F点处，将△ACH沿着CH对折，使点A落在OC上的G点处．(1)求证：四边形OECH是平行四边形；(2)当点B运动到使得点F，G重合时，求点B的坐标，并判断四边形OECH是什么四边形？说明理由；(3)当点B运动到使得点F，G将对角线OC三等分时，直接写出点B的坐标．2．如图，正方形ABCD和正方形CEFG（其中），BG的延长线与直线DE交于点H．(1)如图1，当点G在CD上时，BG和DE的关系为：；(2)将正方形CEFG绕点C旋转一周．①如图2，当点E在直线CD右侧时，求证：；②当时，若，，请直接写出线段DH的长．3．如图，在矩形中，，，点P从点A出发，每秒个单位长度的速度沿方向运动，点Q从点C出发，以每秒2个单位长度的速度沿对角线方向运动．已知两点同时出发，当点Q到达点A时，两点同时停止运动，连接，设运动时间为t秒．(1)_______，_______．(2)当t为何值时，的面积为．(3)在运动过程中，是否存在一个时刻t，使所得沿它的一边翻折，翻折前后两个三角形组成的四边形为菱形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．(4)当点P关于点Q的对称点落在的内部（不包括边上）时，请求出t的取值范围．（直接写出答案）4．在菱形ABCD中，∠ABC=60°，P是对角线BD上一点，E是BC边的延长线上一点，PE=PA．(1)如图1，求∠APE的度数；(2)如图2，BE的垂直平分线交BD于F，交BE于G，求证；AB=PF(3)如图3，PE交CD于M，当∠CME=45°时，直接写出=．5．（1）如图1，等边△ABC中，点D为AC的中点，若∠EDF＝120°，点E与点B重合，DF与BC的延长线交于F点，则DE与DF的数量关系是；CF与BC的数量关系是；（写出结论即可，不必证明）（2）将（1）中的点E移动一定距离（如图2），DE交AB于E点，DF交BC的延长线于F点，其中“等边△ABC中，D为AC的中点，若∠EDF＝120°”这一条件不变，则DE与DF有怎样的数量关系？BE+BF与BC之间有怎样的数量关系？写出你的结论并加以证明；（3）如图3，等边△ABC中，D在AC上，点M为BD中点，∠MAE=60°，点E为AE与BC延长线的交点，求证：BD=DE．6．如图1，正方形边长为4，点P是直线上的一动点，连接，以为边在直线右侧作等边三角形．(1)请直接写出正方形的面积；(2)当为何值时，点C落在的边上；(3)如图2，若点P在线段上从B向C运动，当为何值时，线段的长度最小？请求出的最小值，并直接写出点E所经过的路径的长度．7．在正方形ABCD中，点E是CD边上任意一点．连接AE，过点B作BF⊥AE于F．交AD于H．(1)如图1，过点D作DG⊥AE于G，求证：△AFB≌△DGA；(2)如图2，点E为CD的中点，连接DF，求证：FH+FE＝DF；(3)如图3，AB＝1，连接EH，点P为EH的中点，在点E从点D运动到点C的过程中，点P随之运动，请直接写出点P运动的路径长．8．在数学活动课上，老师出示了以下两个问题，请你解答老师提出的问题：(1)如图①，在中，，垂足为E，F是CD边上一点，连接EF，BF，若，试判断DF与CF的数量关系，并加以证明．(2)如图②，若F是边CD上一点，连接BF，将沿着边BF所在的直线折叠，点C的对应点为，连接并延长交AB于点G，若，试判断DF与CF的数量关系，并加以证明．9．在长方形ABCD中，AB＝4，BC＝8，点P、Q为BC边上的两个动点（点P位于点Q的左侧，P、Q均不与顶点重合），PQ＝2(1)如图①，若点E为CD边上的中点，当Q移动到BC边上的中点时，求证：AP＝QE；(2)如图②，若点E为CD边上的中点，在PQ的移动过程中，若四边形APQE的周长最小时，求BP的长；(3)如图③，若M、N分别为AD边和CD边上的两个动点（M、N均不与顶点重合），当BP＝3，且四边形PQNM的周长最小时，求此时四边形PQNM的面积．10．如图，在矩形ABCD中，AB＝8，BC＝16，点P从点D出发向点A运动，运动到点A停止，同时，点Q从点B出发向点C运动，运动到点C即停止，点P、Q的速度都是每秒1个单位，连接PQ、AQ、CP，设点P、Q运动的时间为t秒．（1）当t＝时，四边形ABQP是矩形；（2）当t＝6时，判断四边形AQCP的形状，并说明理由；（3）直接写出以PQ为对角线的正方形面积为96时t的值；（4）整个运动当中，线段PQ扫过的面积是．11．【问题情境】如图1，四边形ABCD是正方形，M是BC边上的一点，E是CD边的中点，AE平分∠DAM．【探究展示】（1）请你判断AM，AD，MC三条线段的数量关系，并说明理由；（2）AM=DE+BM是否成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由．【拓展延伸】（3）若四边形ABCD是长与宽不相等的矩形，其他条件不变，如图2，探究展示（1）、（2）中的结论是否仍然成立？请分别作出判断，不需要证明．12．已知正方形和等腰，，，连接．（1）如图1，点在边上，若，，求的长；（2）如图2，点在边上，点为的中点，求证：；（3）如图3，点在边上，点为的中点，若，，则的长为_____．（直接写出结果）．13．如图正方形，点、、分别在、、上，与相交于点．（1）如图1，当，①求证：；②平移图1中线段，使点与重合，点在延长线上，连接，取中点，连接，如图2，求证：；（2）如图3，当，边长，，则的长为_________（直接写出结果）．14．已知四边形是菱形，，，的两边分别与射线，相交于点，，且．（1）如图1，当点是线段的中点时，直接写出线段，，之间的数量关系；（2）如图2，当点是线段上任意一点时（点不与，重合），求证：；（3）如图3，当点在线段的延长线上，且时，求点到的距离．15．如图，点E在正方形外，，且．连接，过点D作于点F，交于点G．（1）求的度数；（2）求证：；（3）连接，并延长交于点N，交于点M，求证：四边形为平行四边形．16．如图，在边长为8的正方形ABCD中，点E在边AB上移动（不与端点重合）．连接CE，以CE为一边在其右侧作△CEF，其中∠CEF＝90°，CE＝EF，点G为FC的中点，过点F作FH⊥AD，垂足为点H，连接GD，GH，FA．（1）求证：∠EAF＝135°；（2）请判断线段GD和GH之间有何关系？写出你的结论并证明；（3）在点E移动过程中，△EAF的面积有最大值吗？如果有，求出△EAF面积的最大值及此时BE的长；如果没有，说明理由．17．如图所示，的边在轴上，点在轴上．已知，，，从点出发的点，以每秒1个单位的速度向点移动．是的中点，的延长线交于点．（1）求点，的坐标．（2）当四边形是平行四边形时，求点的移动时间（秒）．（3）当为等腰三角形时，求的长．18．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠B＝90°，∠C＝60°，AD＝24cm，CD＝8cm．点P从点D出发，以1cm/s的速度向点A运动；点Q从点B同时出发，以3cm/s的速度向点C运动．规定其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动．设点Q的运动时间为x（s）．（1）BC＝cm，AB＝cm；（2）当PQ＝CD时，x＝；（3）当四边形ABQP为矩形时，求x的值．19．如图，在中，的平分线交于点，交的延长线于点，以、为邻边作，如图①所示．（1）求证：是菱形；（2）若，连接、、，如图②所示，求证：；（3）若，，，是的中点，如图③所示，求的长．20．已知AM是△ABC的中线，D是线段AM上一点（不与点A重合）．过点D作AB的平行线，过点C作AM的平行线，两线交于点E，连结AE．（1）【模型研究】如图1，当点D与M重合时，求证：四边形ABDE是平行四边形；（2）【模型推广】如图2，当点D不与M重合时，四边形ABDE还是平行四边形吗？如果是，请证明；如果不是，请说明理由；（3）【模型应用】若△ABC是边长为4的等边三角形，点D是AM的中点（如图3），请直接写出CE的长．答案第=page11页，共=sectionpages22页参考答案：1．(1)证明：如图1，∵四边形OBCA为矩形，∴OB//CA，BC//OA，∴∠BOC=∠OCA，又∵△BOE沿着OE对折，使点B落在OC上的F点处；△ACH沿着CH对折，使点A落在OC上的G点处，∴∠BOC=2∠EOC，∠OCA=2∠OCH，∴∠EOC=∠OCH，∴OE//CH，又∵BC//OA，∴四边形OECH是平行四边形；(2)解：四边形OECH是菱形．理由如下：如图2，∵△BOE沿着OE对折，使点B落在OC上的F点处；△ACH沿着CH对折，使点A落在OC上的G点处，∴∠EFO=∠EBO=90°，∠CFH=∠CAF=90°，∵点F，G重合，∴EH⊥OC，又∵四边形OECH是平行四边形，∴平行四边形OECH是菱形，∴EO=EC，∴∠EOC=∠ECO，又∵∠EOC=∠BOE，∴∠EOB=∠EOC=∠ECO=30°，∴OB=OC（这里可以由折叠得到）又∵点A的坐标是（5，0），∴OA=5，∴BC=5，在Rt△OBC中，可得OB=∴点B的坐标是（0，）；(3)解：当点F在点O，G之间时，如图3，∵△BOE沿着OE对折，使点B落在OC上的F点处；△ACH沿着CH对折，使点A落在OC上的G点处，∴OF=OB，CG=CA，而OB=CA，∴OF=CG，∵点F，G将对角线OC三等分，∴AC=OF=FG=GC，设AC=m，则OC=3m，在Rt△OAC中，OA=5，∵AC2+OA2=OC2，∴m2+52=（3m）2，解得m=，∴OB=AC=，∴点B的坐标是（0，）；当点G在O，F之间时，如图4，同理可得OF=CG=AC，设OG=n，则AC=GC=2n，在Rt△OAC中，OA=5，∵AC2+OA2=OC2，∴（2n）2+52=（3n）2，解得n=，∴AC=OB=2，∴点B的坐标是（0，2）．故B的坐标是（0，）或（0，2）．2．(1)解：∵四边形ABCD和四边形CEFG都为正方形，∴BC＝CD，∠BCG＝∠DCE＝90°，CG＝CE，∴△BCG≌△DCE(SAS)，∴BG＝DE，∠CBG＝∠CDE．∵∠CDE+∠DEC＝90°，∴∠HBE+∠BEH＝90°，∴∠BHD＝90°，即．综上可知BG和DE的关系为BG＝DE且．故答案为：BG＝DE且；(2)①证明：如图，在线段BG上截取BK＝DH，连接CK．由（1）可知，∠CBK＝∠CDH，∵BK＝DH，BC＝DC，∴△BCK≌△DCH(SAS)，∴CK＝CH，∠BCK＝∠DCH，∴∠BCK+∠KCD＝∠DCH+∠KCD，即∠KCH＝∠BCD＝90°，∴△KCH是等腰直角三角形，∴，∴；②如图，当D，G，E三点共线时∠DEC＝45°，连接BD．由（1）可知，BH＝DE，∵四边形CEFG为正方形∴CE＝CH＝2，∴．∵AB＝5，∴，设DH＝x，则，在Rt△BDH中，，即，解得：（舍）故此时；如图，当H，E重合时，∠DEC＝45°，连接BD．设DH＝x，∵BG＝DH，∴，在Rt△BDH中，，即解得：（舍）故此时；综上所述，满足条件的DH的值为或．3．(1)∵矩形ABCD，∴，∴，∵，，∴，∴，解得：，．故答案为：3；6；(2)过点Q作QH⊥AB，垂足为H，由题意得，，，在中，，∴，∴，解得：，；(3)①当沿翻折时，则，如图，则，所以；②当沿翻折时，则如图：过点Q作，垂足为M，则，在直角三角形中，，所以，所以，即，解得：；③当沿翻折时，则如图，过点P作，垂足为M，则，在直角三角形中，，所以，所以，即，解得：；(4)由题意知，，，∴在中，满足，解得：．4．(1)如答图1，连接PC，由菱形的对称性知，∠BAP=∠BCP，PA=PC=PE，∴∠PCE=∠PEC，∵∠BCP+∠PCE=180°，∴∠BAP+∠PEC=180°，∴∠ABC+∠APE=180°，∵∠ABC=60°，∴∠APE=120°．(2)（2）如答图2，连接PC，作PN⊥BE于N，延长BE至Q，使BN=QN，连接PQ，有CN=NE，BC=EQ．设PN=1，AB=BC=x，则PB=2，BN=，BQ=2，BE=2-x，∴BG=BE=-x，∴BF=BG=2-x，∴PF=x，∴AB=PF．(3)（3）如答图3，连接PC，AC，AC、BD交于点O，∵∠E=∠BCD-∠CME=75°，∴∠CPE=180°-∠E-∠PCE=30°，∴∠APC=∠APE-∠CPE=90°，∴∠BPE=180°-∠PBE-∠E=75°，∴BP=BE，设OC=1，则BO=，BP=BE=+1，BC=2，∴CE=+1-2=-1，∴=．5．解：（1）∵△ABC是等边三角形，∴，，∵点D为AC的中点，∴BD是中线，也是角平分线，∴，∵∠EDF＝120°，∴，∴，∴DE＝DF；∵，∴，∴，∴BC＝2CF；（2）DE＝DF；BE+BF＝BC．过D作DM∥BC交AB于M点，则∠AMD＝∠ABC＝60°，∠ADM＝∠ACB＝60°，∴△AMD是等边三角形，则MD＝DC＝AD＝BC，∠MDC＝∠EDF＝120°，则∠MDC﹣∠EDC＝∠EDF﹣∠EDC，即：∠MDE＝∠CDF，在△MED和△CDF中，，∴△MED≌△CDF（AAS），∴DE＝DF，ME＝CF，∴BE+BF＝BM﹣ME+BC+CF＝BC+BC＝BC；（3）延长AM至F，使AF＝AE，连接DF交BE于G，∵∠BAC=∠MAE=60°，∴∠BAF+∠FAC=∠FAC+∠CAE，∴∠BAF=∠CAE，∵AB=AC，AF=AE，∴△ABF≌△ACE，∴∠AFB=∠AEC，∵∠AEC+∠CAE=60°=∠CAE+∠DAM，∴∠AEC=∠DAM=∠AFB，∵点M是BD的中点，∴BM=DM，∵∠BMF=∠DMA∴△AMD≌△FMB；∴AM=FM，∠BFM=∠DAM，AD=FB，∴△AMB≌△FMD，∴∠BAM=∠DFM，AB=FD，∴∠BAM+∠DAM=∠DFM+∠BFM=60°，∴∠BFG=60°，∵AD=FB，AB=FD，∴四边形ABFD是平行四边形，∴AB∥DF，∴∠CDG=∠BFG=60°，∴△DGC为等边三角形；同理△BFG是等边三角形，∴CE=BF=BG，DG=DC，∠BGD=∠ECD=120°，∴△DGB≌△DCE，∴BD＝DE．6．(1)解：∵正方形ABCD边长为4，∴正方形ABCD的面积＝42＝16；(2)解：若点C在边上，如图所示：∴；若点C在边上，如图所示：，，∴；若点C在边上，如图所示：；综上分析可知：为，或或4．(3)解：将绕着点D逆时针旋转得到，连接，如图所示：则，，，，即点E在经过点F且垂直于直线的线上运动，当时，最小，是等边三角形，，∴，，，∴，E所经过的路线的长度是4．7．(1)证明：∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝AD，∠BAD＝90°∵DG⊥AE，BF⊥AE∴∠AFB＝∠DGA＝90°∵∠FAB+∠DAG＝90°，∠DAG+∠ADG＝90°∴∠BAF＝∠ADG在△AFB和△DGA中∵∴△AFB≌△DGA（AAS）．(2)证明：如图2，过点D作DK⊥AE于K，DJ⊥BF交BF的延长线于J由题意知∠BAH＝∠ADE＝90°，AB＝AD＝CD∵BF⊥AE∴∠AFB＝90°∵∠DAE+∠EAB＝90°，∠EAB+∠ABH＝90°∴∠DAE＝∠ABH在△ABH和△DAE中∵∴△ABH≌△DAE（ASA）∴AH＝DE∵点E为CD的中点∴DE＝EC＝CD∴AH＝DH

∴DE＝DH∵DJ⊥BJ，DK⊥AE∴∠J＝∠DKE＝∠KFJ＝90°∴四边形DKFJ是矩形∴∠JDK＝∠ADC＝90°∴∠JDH＝∠KDE在△DJH和△DKE中∵∴△DJH≌△DKE（AAS）∴DJ＝DK，JH＝EK∴四边形DKFJ是正方形∴FK＝FJ＝DK＝DJ∴DF＝FJ∴∴FH+FE＝FJ﹣HJ+FK+KE＝2FJ＝DF．(3)解：如图3，取AD的中点Q，连接PQ，延长QP交CD于R，过点P作PT⊥CD于T，PK⊥AD于K，设PT＝b由（2）得△ABH≌△DAE（ASA）∴AH＝DE∵∠EDH＝90°，点P为EH的中点∴PD＝EH＝PH＝PE∵PK⊥DH，PT⊥DE∴∠PKD＝∠KDT＝∠PTD＝90°∴四边形PTDK是矩形∴PT＝DK＝b，PK＝DT

∵PH＝PD＝PE，PK⊥DH，PT⊥DE∴PT是△DEH的中位线∴DH＝2DK＝2b，DE＝2DT∴AH＝DE＝1﹣2b∴PK＝DE＝﹣b，QK＝DQ﹣DK＝﹣b∴PK＝QK∵∠PKQ＝90°∴△PKQ是等腰直角三角形

∴∠KQP＝45°∴点P在线段QR上运动，△DQR是等腰直角三角形∴QR＝DQ＝∴点P的运动轨迹的长为．8．(1)，证明如下：如图，延长AD，BF相交于点M，∵，∴，∵，∴，∴，，∴，∴，∴，∵四边形ABCD是平行四边形，∴，∴，在和中，，∴，∴；(2)，证明如下：如图所示：延长DG，CB相交于点N，∵四边形ABCD是平行四边形，∴，，∴在和中，，∴，∴，∴，∵折叠到，∴，∴，，，∴，∴，∵，，∴，∴，∴．9．(1)解：证明：∵四边形ABCD是矩形，∴CD=AB=4，BC=AD=8，∵点E是CD的中点，点Q是BC的中点，∴BQ=CQ=4，CE=2，∴AB=CQ，∵PQ=2，∴BP=2，∴BP=CE，又∵∠B=∠C=90°，∴△ABP≌△QCE（SAS），∴AP=QE；(2)如图②，在AD上截取线段AF=PQ=2，作F点关于BC的对称点G，连接EG与BC交于一点即为Q点，过A点作FQ的平行线交BC于一点，即为P点，过G点作BC的平行线交DC的延长线于H点．∵GH=DF=6，EH=2+4=6，∠H=90°，∴∠GEH=45°，∴∠CEQ=45°，设BP=x，则CQ=BC-BP-PQ=8-x-2=6-x，在△CQE中，∵∠QCE=90°，∠CEQ=45°，∴CQ=EC，∴6-x=2，解得x=4，∴BP=4；(3)如图③，作点P关于AD的对称点F，作点Q关于CD的对称点H，连接FH，交AD于M，交CD于N，连接PM，QN，此时四边形PQNM的周长最小，连接FP交AD于T，∴PT=FT=4，QC=BC-BP-PQ=8-3-2=3=CH，∴PF=8，PH=8，∴PF=PH，又∵∠FPH=90°，∴∠F=∠H=45°，∵PF⊥AD，CD⊥QH，∴∠F=∠TMF=45°，∠H=∠CNH=45°，∴FT=TM=4，CN=CH=3，∴四边形PQNM的面积=×PF×PH-×PF×TM-×QH×CN=×8×8-×8×4-×6×3=7．10．解：（1）∵在矩形ABCD中，AB＝8，BC＝16，∴BC＝AD＝16，AB＝CD＝8，由已知可得，BQ＝DP＝t，AP＝CQ＝16﹣t，在矩形ABCD中，∠B＝90°，AD∥BC，当BQ＝AP时，四边形ABQP为矩形，∴t＝16﹣t，解得：t＝8，∴当t＝8s时，四边形ABQP为矩形；故答案为：8（2）四边形AQCP为菱形；理由如下：∵t＝6，∴BQ＝6，DP＝6，∴CQ＝16﹣6＝10，AP＝16﹣6＝10，∴AP＝CQ，AP∥CQ，∴四边形AQCP为平行四边形，在Rt△ABQ中，AQ＝＝＝10，∴AQ＝CQ，∴平行四边形AQCP为菱形，∴当t＝6时，四边形AQCP为菱形；（3）∵正方形面积为96，,∴正方形的边长为：4，∴PQ＝×4＝8；分两种情况：①如图1所示：作PM⊥BC于M，则PM＝AB＝8，DP＝BQ＝t，AP＝BM＝16﹣t，由勾股定理得：QM＝＝8，BM＝BQ+QM，∴t+8＝16﹣t，解得：t＝8﹣4；②如图2所示：DP＝BQ＝t，AP＝BM＝16﹣t，∵BQ＝BM+QM，∴16﹣t+8＝t，解得：t＝8+4；综上所述，以PQ为对角线的正方形面积为96时t的值为：8﹣4或8+4；（4）连接AC、BD，AC、BC相交于点E，则整个运动当中，线段PQ扫过的面积是：△AED的面积+△BEC的面积，如图3所示：∵△AED的面积+△BEC的面积＝矩形ABCD的面积，∴整个运动当中，线段PQ扫过的面积＝矩形ABCD的面积＝×AB×BC＝×8×16＝64．故答案为：64．11．解：（1）AM=AD+MC．理由如下：如图1（1）所示，分别延长AE，BC交于点N，∵四边形ABCD是正方形，∴ADBC，∴∠DAE=∠ENC，∵AE平分∠DAM，∴∠DAE=∠MAE，∴∠ENC=∠MAE，∴MA=MN，∵E是CD的中点，∴DE=CE，在ADE与NCE中，∴ADE≌NCE（AAS），∴AD=NC，∵MN=NC+MC，∴AM=AD+MC；（2）AM=DE+BM成立．理由如下：如图1（2）所示，将ADE绕点A顺时针旋转90°，得到ABF，∵四边形ABCD是正方形，∴ABDC，∠D=∠ABM=90°，∴∠AED=∠BAE，∵旋转，∴∠F=∠AED，∠FAB=∠EAD，BF=ED，∠D=∠ABF=90°，∴∠ABM＋∠ABF=180°，∴点F、B、M在同一直线上，∵AE平分∠DAM，∴∠DAE=∠MAE，∴∠BAF=∠MAE，∵∠BAE=∠BAM+∠MAE，∴∠AED=∠BAM+∠BAF=∠FAM，∴∠F=∠FAM，∴AM=FM，∵FM=BF+BM∴AM=DE+BM；（3）①结论AM=AD+MC仍然成立，理由如下：①如图2（1），延长、交于点，四边形是矩形，．．平分，．．．在ADE与PCE中，∴ADE≌PCE（AAS），．∵MP=PC+MC，∴AM=AD+MC；②结论不成立，理由如下：假设成立．过点作，交的延长线于点，如图2（2）所示．四边形是矩形，，．，．．．，．，，．．．，．，与条件““矛盾，故假设不成立．不成立．12．解：（1）如图1：过点F作FM⊥AD，交AD的延长线于点M．∵正方形ABCD和等腰Rt△CEF，∠CEF＝90°，CE＝EF．∴AD＝CD＝6，∠ADC＝90°＝∠CEF，CE＝CF＝2∴DE＝CD−CE＝6−2＝4∵∠CDM＝∠FED＝90°，FM⊥AD∴四边形DMFE是矩形∴DM＝EF＝2，DE＝MF＝4在Rt△AMF中，AF＝＝4；（2）如图2：过点F作FM⊥BC，交BC的延长线于M，取BM的中点N，连接GN．∵FM⊥BC，∠FEC＝∠ECM＝90°，∴四边形FECM是矩形∵EF＝EC，∴四边形FECM是正方形∴EF＝CE＝CM＝FM，∵点N是BM的中点，∴BN＝（BC＋CM）＝（AD＋EF），∵点G是AF的中点，点N是BM的中点，∴GN∥AB∥CD，GN＝（AB＋FM）＝（AD＋EF）∴∠BNG＝∠BCD＝90°在Rt△BGN中，BG＝＝＝（AD＋EF）∴AD＋EF＝BG；（3）若点F在正方形ABCD内，如图3：取BE中点M，连接GM．∵BE＝4，CE＝2，∴EF＝2，AB＝BC＝6∵点G是AF的中点，点M是BE的中点∴BM＝EM＝2，GM＝（AB＋EF）＝4，GM∥AB∥CD∴∠GMB＝∠DCB＝90°在Rt△GBM中，BG＝＝2若点F在正方形ABCD外，如图4：过点F作FM⊥AB，交AB延长线于M，取AM的中点N，连接NG∵∠MBC＝∠FEB＝90°，FM⊥AB∴四边形BMFE是矩形∴BM＝EF＝2，BE＝MF＝4，∠M＝90°．∴AM＝8，∵点N是AM中点，点G是AF的中点∴NG＝MF＝2，AN＝4，NG∥MF∴NB＝2，∠GNB＝90°在Rt△NGB中，BG＝＝2，故答案为2或2．13．解：（1）①过点D作DM//GH交BC的延长线于点M，如图1，∵四边形ABCD是正方形，∴AD∥BC，∠ADC=90°，又∵DM∥GH，∴四边形DGHM是平行四边形，∴GH=DM，GD=MH，∴∠GOD=∠MDE=90°，∴∠MDC+∠EDC=90°，∵∠ADE+∠EDC=90°，∴∠MDC=∠ADE，在△ADE和△CDM中，∴△ADE≌△CDM（AAS），∴DE=DM，∴DE=GH；②在BC上截取BN=BE，如图2，则△BEN是等腰直角三角形，EN=BE，由（1）知，△ADE≌△CDH，∴AE=CH，∵BA=BC，BE=BN，∴CN=AE=CH，∵PH=PE，∴PC=EN，∴PC=BE，∴BE=PC；（2）如图3，过点D作DN//GH交BC于点N，则四边形GHND是平行四边形，∴DN=HG，GD=HN，∵∠C=90°，CD=AB=3，HG=DN=，∴，∴BN=BC-CN=3-1=2，作∠ADM=∠CDN，DM交BA延长线于M，在△ADM和△CDN中，∴△ADM≌△CDN（AAS），∴AM=NC，∠ADM=∠CDN，DM=DN，∵∠GOD=45°，∴∠EDN=45°，∴∠ADE+∠CDN=45°，∴∠ADE+∠ADM=45°=∠MDE，在△MDE和△NDE中，∴EM=EN，即AE+CN=EN，设AE=x，则BE=3-x，在Rt△BEN中，22+（3-x）2=（x+1）2，解得：x=，∴14．（1）解：结论AE＝EF＝AF．理由：如图1中，连接AC，∵四边形ABCD是菱形，∠B＝60°，∴AB＝BC＝CD＝AD，∠B＝∠D＝60°，∴△ABC，△ADC是等边三角形，∴∠BAC＝∠DAC＝60°∵BE＝EC，∴∠BAE＝∠CAE＝30°，AE⊥BC，∵∠EAF＝60°，∴∠CAF＝∠DAF＝30°，∴AF⊥CD，∴AE＝AF（菱形的高相等），∴△AEF是等边三角形，∴AE＝EF＝AF．（2）证明：连接AC，如图2中，∵∠BAC＝∠EAF＝60°，∴∠BAE＝∠CAE，在△BAE和△CAF中，，∴△BAE≌△CAF，∴BE＝CF．（3）解：过点A作AG⊥BC于点G，过点F作FH⊥EC于点H，∵∠EAB＝15°，∠ABC＝60°，∴∠AEB＝45°，在Rt△AGB中，∵∠ABC＝60°，AB＝4，∴BG＝AB＝2，AG＝BG＝2，在Rt△AEG中，∵∠AEG＝∠EAG＝45°，∴AG＝GE＝2，∴EB＝EG−BG＝2−2，∵∠BAC＝∠EAF＝60°，∴∠BAE＝∠CAF，∵∠ABC＝∠ACD＝60°，∴∠ABE＝∠ACF＝120°在△AEB和△AFC中，，∴△AEB≌△AFC，∴AE＝AF，EB＝CF＝2−2，在Rt△CHF中，∵∠HCF＝180°−∠BCD＝60°，CF＝2−2，∴∠HFC=30°，∴HC=CF=，∴FH＝＝3−．∴点F到BC的距离为3−．15．（1）四边形是正方形，，，，，，，，，，（2）连接，如图，四边形是正方形，,，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，,，，（3）连接，如图，,，，，即，，，，，，，，，四边形为平行四边形．16．（1）证明：过点F作FN⊥BA于点N，∴∠FNE=90°，即：∠EFN+∠FEN=90°，∵∠CEF＝90°，∴∠CEB+∠FEN=90°，∴∠EFN=∠CEB，在和中，∵，∴∴EN=BC=AB，BE=FN，∴AB-AE=EN-AE，即：BE=AN=FN，∴是等腰直角三角形，即：∠FAN=45°，∴∠EAF＝180°-∠FAN=135°；（2）DG⊥GH，DG=GH，理由如下：延长HG交CD于点M，∵FH⊥AD，∴∠FHD=∠CDA=90°，∴CD∥FH，∴∠GCM=∠GFH，∠GMC=∠GHF，∵G为CF的中点，∴FG=CG，∴，∴CM=FH，GM=GH，∵∠FHA=∠HAN=∠ANF=90°，AN=FN，∴四边形ANFH是正方形，∴AH=FH=CM，∴AD-AH=CD-CM，即：DH=DM，∴是等腰直角三角形，∵MG=HG，∴DG⊥GH，DG=GH；（3）设EA=x，则BE=8-x，由（1）可知：BE=FN，∴FN=8-x，∵FN⊥EA，∴，∴当x=4时，△EAF面积的最大值=8，此时，BE=8-4=4．17．（1）∵OA＝3，AD＝6∴∠ADO=30°，OD＝=3∴∠DAB＝60°∵BD⊥AD∴∠DBA=90°-∠DAB＝30°∴△ADB是含30°角的直角三角形∴AB＝2AD＝12∵四边形ABCD是平行四边形∴AB＝DC＝12∴B坐标为（9，0），C坐标为（12，3）；（2）∵四边形EFBC是平行四边形∴EFBC∴EMBC∵M是BD的中点∴EM是△BCD的中位线∴点E是CD的中点∴CE＝=6∴t＝6；（3）∵DO=3，BO=9∴BD=∵∠DBA＝30°，ABCD∴∠BDC＝∠DBA＝30°当△DEM为等腰三角形时①当MD＝ME∵是的中点∴DM=作MH⊥CD于点H，如图∴△DMH是直角三角形∵∠BDC＝30°∴MH=∴DH=∵MD＝ME∴DE=2DH=9∴CE＝CD−DE＝12−9＝3②当DM＝DE＝BD＝3时∴DE＝3∴CE＝CD−DE＝12−3③当ED＝EM时，DM＝BD＝3作EH⊥DM于点H