2025年山东省聊城市东昌府实验中学等多所学校中考数学一调试卷

2025年山东省聊城市东昌府实验中学等多所学校中考数学一调试卷一.选择题（每题3分，共10小题，共30分）1．（3分）（2022•日照）在实数2，x0（x≠0），cos30°，38A．1个 B．2个 C．3个 D．4个2．（3分）（2025•聊城模拟）2022年5月，神舟十三号搭载的1.2万粒作物种子顺利出舱，其中1.2万用科学记数法表示为（）A．1.2×103 B．12×103 C．1.2×104 D．1.2×1053．（3分）（2025•聊城模拟）如图，这是由两块完全相同的长方体木块组成的几何体，其主视图为（）A． B． C． D．4．（3分）（2024•泰安）如图，直线l∥m，等边三角形ABC的两个顶点B，C分别落在直线l，m上，若∠ABE＝21°，则∠ACD的度数是（）A．45° B．39° C．29° D．21°5．（3分）（2025•港北区一模）下列运算正确的是（）A．a4+a3＝a7 B．（a﹣1）2＝a2﹣1 C．（2a3b）2＝2a6b2 D．a（2a+1）＝2a2+a6．（3分）（2023•赤峰）用配方法解方程x2﹣4x﹣1＝0时，配方后正确的是（）A．（x+2）2＝3 B．（x+2）2＝17 C．（x﹣2）2＝5 D．（x﹣2）2＝177．（3分）（2024•武汉）经过某十字路口的汽车，可能直行，也可能向左转或向右转，这三种可能性大小相同．若两辆汽车经过这个十字路口，则至少一辆车向右转的概率是（）A．19 B．13 C．498．（3分）（2025•聊城模拟）如图，△ABC的中位线DE＝5cm，把△ABC沿DE折叠，使点A落在边BC上的点F处，若A、F两点间的距离是8cm，则△DEF的面积为（）A．5cm2 B．10cm2 C．20cm2 D．40cm29．（3分）（2025•聊城模拟）《孙子算经》是中国传统数学的重要著作，其中有一道题，原文是：“今有木，不知长短．引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺，木长几何？”意思是：用一根绳子去量一根木头的长，绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再量木头，则木头还剩余1尺，问木头长多少尺？可设木头长为x尺，绳子长为y尺，则所列方程组正确的是（）A．y−x=4.50.5y=x−1 B．y=x+4.5C．y−x=4.50.5y=x+1 D．10．（3分）（2024•眉山）如图，图1是北京国际数学家大会的会标，它取材于我国古代数学家赵爽的“弦图”，是由四个全等的直角三角形拼成．若图1中大正方形的面积为24，小正方形的面积为4，现将这四个直角三角形拼成图2，则图2中大正方形的面积为（）A．24 B．36 C．40 D．44二.填空题（每题3分，共6小题，共18分）11．（3分）分解因式：2abx2﹣8ab＝．12．（3分）（2025•聊城模拟）已知关于x的不等式组3x−a＞2xx+3≤2a无解，则a的取值范围为13．（3分）（2025•聊城模拟）若α，β是一元二次方程x2﹣3x﹣8＝0的两个根，则α2﹣4α﹣β的值为．14．（3分）（2006•株洲）我国南方一些地区的农民戴的斗笠是圆锥形．已知圆锥的母线长为30cm，底面圆的半径为24cm，则圆锥的侧面积为cm2．（结果用π表示）15．（3分）（2025•聊城模拟）如图，AB是⊙O的直径，OD垂直于弦AC于点D，DO的延长线交⊙O于点E．若AC=42，DE＝4，则BC的长是16．（3分）（2025•聊城模拟）如图，已知OA1＝1，以OA1为直角边作Rt△OA1A2，并使∠A1OA2＝60°，再以OA2为直角边作Rt△OA2A3，并使∠A2OA3＝60°，再以OA3为直角边作Rt△OA3A4，并使∠A3OA4＝60°，…按此规律进行下去，则Rt△OA2022A2023的直角边A2022A2023的长为．三.解答题（共7小题，共72分）17．（8分）（2025•聊城模拟）先化简，再求值：(1x2−9+18．（10分）（2025•聊城模拟）随着新能源汽车使用的日益普及，各个小区都纷纷完善新能源汽车的配套设施，其中新能源充电桩的建设成为重点工作，某小区也不例外，计划购置单枪、双枪两款新能源充电桩，来满足小区内新能源汽车车主日益增长的充电需求，然而，在购置过程中，面临着不同的价格、数量以及预算限制等问题，就像下面所描述的情况一样．某小区计划购置如图所示的单枪、双枪两款新能源充电桩，购置充电桩的相关信息如表：单枪充电桩双枪充电桩花费：50000元花费：45000元单价：x元/个单价：1.5x元/个（1）若本次购买单枪充电桩的数量比双枪充电桩的数量多20个，求单枪、双枪两款新能源充电桩的单价；（2）在（1）的条件下，根据居民需求，小区决定再次购进单枪、双枪两款新能源充电桩共20个，已知单枪新能源充电桩的单价比上次购买时提高了10%，双枪新能源充电桩的单价比上次购买时降低了10%，如果此次加购小区预备支出不超过25000元，求小区最少需要购买单枪新能源充电桩的数量．19．（8分）（2023•烟台）“基础学科拔尖学生培养试验计划”简称“珠峰计划”，是国家为回应“钱学森之问”而推出的一项人才培养计划，旨在培养中国自己的杰出人才．已知A，B，C，D，E五所大学设有数学学科拔尖学生培养基地，并开设了暑期夏令营活动，参加活动的每名中学生只能选择其中一所大学．某市为了解中学生的参与情况，随机抽取部分学生进行调查，并将统计数据整理后，绘制了不完整的条形统计图和扇形统计图．（1）请将条形统计图补充完整；（2）在扇形统计图中，D所在的扇形的圆心角的度数为；若该市有1000名中学生参加本次活动，则选择A大学的大约有人；（3）甲、乙两位同学计划从A，B，C三所大学中任选一所学校参加夏令营活动，请利用树状图或表格求两人恰好选取同一所大学的概率．20．（10分）（2025•聊城模拟）如图，在△ABC中，D为BC上一点，E为AD上一点，如果∠DAC＝∠B，CD＝CE．（1）求证：△ACE∽△BAD．（2）若CE＝3，BD＝4，AE＝2，求ED的长．21．（12分）（2025•聊城模拟）火灾是最常见、最多发的威胁公众安全和社会发展的主要灾害之一，消防车是消防救援的主要装备．图1是某种消防车云梯，图2是其侧面示意图，点D，B，O在同一直线上，DO可绕着点O旋转，AB为云梯的液压杆，点O，A，C在同一水平线上，其中BD可伸缩，套管OB的长度不变，在某种工作状态下测得液压杆AB＝3m，∠BAC＝53°，∠DOC＝37°．（1）求BO的长；（2）消防人员在云梯末端点D高空作业时，将BD伸长到最大长度6m，云梯DO绕着点O顺时针旋转一定的角度，消防人员发现铅直高度升高了3m，求云梯OD旋转了多少度．（参考数据：sin37°≈35，tan37°≈34，22．（12分）（2024•宁夏）如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB为直径，点D是△ABC的内心，连接AD并延长交⊙O于点E，过点E作⊙O的切线交AB的延长线于点F．（1）求证：BC∥EF；（2）连接CE，若⊙O的半径为2，sin∠AEC=12，求阴影部分的面积（结果用含23．（12分）（2021•湘潭）德国著名的天文学家开普勒说过：“几何学里有两件宝，一个是勾股定理，另一个是黄金分割．如果把勾股定理比作黄金矿的话，那么可以把黄金分割比作钻石矿”．如图①，点C把线段AB分成两部分，如果CBAC=5−12（1）特例感知：在图①中，若AB＝100，求AC的长；（2）知识探究：如图②，作⊙O的内接正五边形；①作两条相互垂直的直径MN、AI；②作ON的中点P，以P为圆心，PA为半径画弧交OM于点Q；③以点A为圆心，AQ为半径，在⊙O上连续截取等弧，使弦AB＝BC＝CD＝DE＝AQ，连接AE；则五边形ABCDE为正五边形．在该正五边形作法中，点Q是否为线段OM的黄金分割点？请说明理由；（3）拓展应用：国旗和国徽上的五角星是革命和光明的象征，是一个非常优美的几何图形，与黄金分割有着密切的联系．延长题（2）中的正五边形ABCDE的每条边，相交可得到五角星，摆正后如图③，点E是线段PD的黄金分割点，请利用题中的条件，求cos72°的值．

2025年山东省聊城市东昌府实验中学等多所学校中考数学一调试卷参考答案与试题解析一．选择题（共10小题）题号12345678910答案BCBBDCDBAD一.选择题（每题3分，共10小题，共30分）1．（3分）（2022•日照）在实数2，x0（x≠0），cos30°，38A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【考点】实数；零指数幂；特殊角的三角函数值．【答案】B【分析】根据零指数幂，特殊角的三角函数值，实数的意义，即可解答．【解答】解：在实数2，x0（x≠0）＝1，cos30°=32，38=2中，有理数是38，所以，有理数的个数是2，故选：B．2．（3分）（2025•聊城模拟）2022年5月，神舟十三号搭载的1.2万粒作物种子顺利出舱，其中1.2万用科学记数法表示为（）A．1.2×103 B．12×103 C．1.2×104 D．1.2×105【考点】科学记数法—表示较大的数．【答案】C【分析】用科学记数法表示较大的数时，一般形式为a×10n，其中1≤|a|＜10，n为整数．【解答】解：1.2万＝12000＝1.2×104．故选：C．3．（3分）（2025•聊城模拟）如图，这是由两块完全相同的长方体木块组成的几何体，其主视图为（）A． B． C． D．【考点】简单组合体的三视图．【答案】B【分析】根据从正面看得到的图形是主视图，可得答案．【解答】解：根据题意，从正面看得到的图形为：．故选：B．4．（3分）（2024•泰安）如图，直线l∥m，等边三角形ABC的两个顶点B，C分别落在直线l，m上，若∠ABE＝21°，则∠ACD的度数是（）A．45° B．39° C．29° D．21°【考点】等边三角形的性质；平行线的性质．【答案】B【分析】过点A作AF∥l，由平行公理的推论得出AF∥m，根据平行线的性质得出∠BAF＝∠ABE，∠ACD＝∠CAF，根据等边三角形的性质得出∠BAC＝60°，即可求出∠ACD的度数．【解答】解：如图，过点A作AF∥l，∵直线l∥m，∴AF∥m，∵△ABC是等边三角形，∴∠BAC＝60°，∵AF∥l，∴∠BAF＝∠ABE，∵∠ABE＝21°，∴∠BAF＝21°，∴∠CAF＝∠BAC﹣∠BAF＝60°﹣21°＝39°，∵AF∥m，∴∠ACD＝∠CAF＝39°，故选：B．5．（3分）（2025•港北区一模）下列运算正确的是（）A．a4+a3＝a7 B．（a﹣1）2＝a2﹣1 C．（2a3b）2＝2a6b2 D．a（2a+1）＝2a2+a【考点】完全平方公式；合并同类项；幂的乘方与积的乘方；单项式乘多项式．【答案】D【分析】根据合并同类项对A选项进行判断；根据完全平方公式对B选项进行判断；根据幂的乘方与积的乘方对C选项进行判断；根据单项式乘多项式法则对D选项进行判断．【解答】解：A．a4与a3不能合并，所以A选项不符合题意；B．（a﹣1）2＝a2﹣2a+1，所以B选项不符合题意；C．（2a3b）2＝4a6b2，所以C选项不符合题意；D．a（2a+1）＝2a2+a，所以D选项符合题意．故选：D．6．（3分）（2023•赤峰）用配方法解方程x2﹣4x﹣1＝0时，配方后正确的是（）A．（x+2）2＝3 B．（x+2）2＝17 C．（x﹣2）2＝5 D．（x﹣2）2＝17【考点】解一元二次方程﹣配方法．【答案】C【分析】先把﹣1移到方程的右边，然后方程两边都加4，再把左边根据完全平方公式写成完全平方的形式即可．【解答】解：∵x2﹣4x﹣1＝0，∴x2﹣4x＝1，∴x2﹣4x+4＝1+4，∴（x﹣2）2＝5．故选：C．7．（3分）（2024•武汉）经过某十字路口的汽车，可能直行，也可能向左转或向右转，这三种可能性大小相同．若两辆汽车经过这个十字路口，则至少一辆车向右转的概率是（）A．19 B．13 C．49【考点】列表法与树状图法．【答案】D【分析】根据题意列表，由表格可得出所有等可能的结果数以及至少有一辆车向左转的结果数，再利用概率公式可得出答案．【解答】解：列表如下：直行左转右转直行（直行，直行）（直行，左转）（直行，右转）左转（左转，直行）（左转，左转）（左转，右转）右转（右转，直行）（右转，左转）（右转，右转）由表格可知，共有9种等可能的结果，由表格可知，至少有一辆车向右转的结果有共5种，∴至少有一辆车向右转的概率为59故选：D．8．（3分）（2025•聊城模拟）如图，△ABC的中位线DE＝5cm，把△ABC沿DE折叠，使点A落在边BC上的点F处，若A、F两点间的距离是8cm，则△DEF的面积为（）A．5cm2 B．10cm2 C．20cm2 D．40cm2【考点】相似三角形的判定与性质；三角形的面积；三角形中位线定理；翻折变换（折叠问题）．【答案】B【分析】根据对称轴垂直平分对应点连线，可得AF即是△ABC的高，再由中位线的性质求出BC，继而可得△ABC的面积，然后根据相似三角形的判定和性质定理即可得到结论．【解答】解：∵DE是△ABC的中位线，∴DE∥BC，BC＝2DE＝10（cm）；由折叠的性质可得：AF⊥DE，△DEF≌△DEA，∴AF⊥BC，∴S△ABC=12BC×AF=12∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∴S△ADES△ABC=(DEBC∴S△DEF＝S△ADE=14S△ABC＝10（cm故选：B．9．（3分）（2025•聊城模拟）《孙子算经》是中国传统数学的重要著作，其中有一道题，原文是：“今有木，不知长短．引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺，木长几何？”意思是：用一根绳子去量一根木头的长，绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再量木头，则木头还剩余1尺，问木头长多少尺？可设木头长为x尺，绳子长为y尺，则所列方程组正确的是（）A．y−x=4.50.5y=x−1 B．y=x+4.5C．y−x=4.50.5y=x+1 D．【考点】由实际问题抽象出二元一次方程组．【答案】A【分析】设木头长为x尺，绳子长为y尺，根据“用一根绳子去量一根木头的长，绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再量木头，则木头还剩余1尺”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，此题得解．【解答】解：设木头长为x尺，绳子长为y尺，由题意可得y−x=4.50.5y=x−1故选：A．10．（3分）（2024•眉山）如图，图1是北京国际数学家大会的会标，它取材于我国古代数学家赵爽的“弦图”，是由四个全等的直角三角形拼成．若图1中大正方形的面积为24，小正方形的面积为4，现将这四个直角三角形拼成图2，则图2中大正方形的面积为（）A．24 B．36 C．40 D．44【考点】勾股定理的证明．【答案】D【分析】根据正方形和三角形的面积公式即可得到结论．【解答】解：如图，直角三角形的两直角边为a，b，斜边为c，∵图1中大正方形的面积是24，∴a2+b2＝c2＝24，∵小正方形的面积是4，∴（a﹣b）2＝a2+b2﹣2ab＝4，∴ab＝10，∴图2中最大的正方形的面积为＝c2+4×12故选：D．二.填空题（每题3分，共6小题，共18分）11．（3分）分解因式：2abx2﹣8ab＝2ab（x+2）（x﹣2）．【考点】提公因式法与公式法的综合运用．【答案】见试题解答内容【分析】先提公因式，再利用平方差公式分解因式即可．【解答】解：2abx2﹣8ab＝2ab（x2﹣4）＝2ab（x+2）（x﹣2），故答案为：2ab（x+2）（x﹣2）．12．（3分）（2025•聊城模拟）已知关于x的不等式组3x−a＞2xx+3≤2a无解，则a的取值范围为a≤3【考点】解一元一次不等式组．【答案】a≤3．【分析】分别求出每一个不等式的解集，再根据原不等式组无解可得a＞2a﹣3，求解即可．【解答】解：3x−a＞2x①x+3≤2a②解不等式①可得：x＞a，解不等式②得：x≤2a﹣3，∵关于x的不等式组无解，∴a≥2a﹣3，解得：a≤3，故答案为：a≤3．13．（3分）（2025•聊城模拟）若α，β是一元二次方程x2﹣3x﹣8＝0的两个根，则α2﹣4α﹣β的值为5．【考点】根与系数的关系；一元二次方程的解．【答案】5．【分析】将α2﹣4α﹣β化为α2﹣3α﹣（α+β）分别求出α2﹣3α＝8、α+β＝3即可求得答案．【解答】解：∵α、β是一元二次方程x2﹣3x﹣8的两个根，∴α2﹣3α﹣8＝0，∴α2﹣3α＝8，∵α+β＝3，∴α2﹣4α﹣β＝α2﹣3α﹣α﹣β＝α2﹣3α﹣（α+β）＝8﹣3＝5．故答案为：5．14．（3分）（2006•株洲）我国南方一些地区的农民戴的斗笠是圆锥形．已知圆锥的母线长为30cm，底面圆的半径为24cm，则圆锥的侧面积为720πcm2．（结果用π表示）【考点】圆锥的计算．【答案】见试题解答内容【分析】圆锥的侧面积＝底面周长×母线长÷2．【解答】解：底面圆的半径为24cm，则底面周长＝48πcm，侧面面积=12×48π×30＝720π15．（3分）（2025•聊城模拟）如图，AB是⊙O的直径，OD垂直于弦AC于点D，DO的延长线交⊙O于点E．若AC=42，DE＝4，则BC的长是2【考点】圆周角定理；勾股定理；垂径定理．【答案】2．【分析】由垂径定理得到AD=12AC=22，设OA＝OE＝r，则OD＝DE﹣OE＝4﹣r，在Rt△AOD中，由勾股定理得(4−r)2+(22)2=r2，解得r＝3，由【解答】解：∵OD⊥AC，AC=42∴AD=1设OA＝OE＝r，则OD＝DE﹣OE＝4﹣r，在Rt△AOD中，由勾股定理得OD2+AD2＝OA2，∴(4−r)2解得r＝3，∵AB是⊙O的直径，∴AB＝2r＝6，∠ACB＝90°，∴BC=A故答案为：2．16．（3分）（2025•聊城模拟）如图，已知OA1＝1，以OA1为直角边作Rt△OA1A2，并使∠A1OA2＝60°，再以OA2为直角边作Rt△OA2A3，并使∠A2OA3＝60°，再以OA3为直角边作Rt△OA3A4，并使∠A3OA4＝60°，…按此规律进行下去，则Rt△OA2022A2023的直角边A2022A2023的长为220213【考点】勾股定理；规律型：图形的变化类．【答案】22021【分析】通过锐角三角函数和勾股定理，依次求得每个三角形的两条直角边，再从其中找出规律，即可得出结论．【解答】解：由题意得：在Rt△OA1A2中，OA1＝1，A1在Rt△OA2A3中，OA2=在Rt△OA3A4中，OA3=在Rt△OA4A5中，OA4=……∴在Rt△OAnAn+1中，OAn=2n−1，AnA故答案为：22021三.解答题（共7小题，共72分）17．（8分）（2025•聊城模拟）先化简，再求值：(1x2−9+【考点】分式的化简求值；一元一次不等式组的整数解．【答案】2x−3，原式=−【分析】先利用异分母分式加减法法则计算括号里，再算括号外，然后把x的值代入化简后的式子进行计算，即可解答．【解答】解：(=1+x−3(x+3)(x−3)•=x−2(x+3)(x−3)•=2∵4(x+2)＜3x+7x∴−227∴该不等式组的整数解为：﹣3，﹣2，∵x2﹣9≠0，x﹣2≠0，∴x≠±3，x≠2，∴当x＝﹣2时，原式=218．（10分）（2025•聊城模拟）随着新能源汽车使用的日益普及，各个小区都纷纷完善新能源汽车的配套设施，其中新能源充电桩的建设成为重点工作，某小区也不例外，计划购置单枪、双枪两款新能源充电桩，来满足小区内新能源汽车车主日益增长的充电需求，然而，在购置过程中，面临着不同的价格、数量以及预算限制等问题，就像下面所描述的情况一样．某小区计划购置如图所示的单枪、双枪两款新能源充电桩，购置充电桩的相关信息如表：单枪充电桩双枪充电桩花费：50000元花费：45000元单价：x元/个单价：1.5x元/个（1）若本次购买单枪充电桩的数量比双枪充电桩的数量多20个，求单枪、双枪两款新能源充电桩的单价；（2）在（1）的条件下，根据居民需求，小区决定再次购进单枪、双枪两款新能源充电桩共20个，已知单枪新能源充电桩的单价比上次购买时提高了10%，双枪新能源充电桩的单价比上次购买时降低了10%，如果此次加购小区预备支出不超过25000元，求小区最少需要购买单枪新能源充电桩的数量．【考点】分式方程的应用；一元一次不等式的应用．【答案】见试题解答内容【分析】（1）根据表格信息以及本次购买单枪充电桩的数量比双枪充电桩的数量多20个列出分式方程，解方程，即可求解；（2）先计算总花费为[1100a+1350（20﹣a）]元，根据此次加购小区预备支出不超过25000元，列出不等式，解不等式，求最小整数解，即可求解．【解答】解：（1）根据题意可得5000x解得x＝1000，经检验，x＝1000是原方程的解，且符合题意，1.5x＝1.5×1000＝1500（元/个），所以单枪新能源充电桩的价格为1000元/个，双枪新能源充电桩的价格为1500元/个，答：单枪新能源充电桩的价格为1000元/个，双枪新能源充电桩的价格为1500元/个；（2）单枪新能源充电桩的单价比上次购买时提高了10%，则现在单枪新能源充电桩的单价为1000×（1+10%）＝1100（元/个），双枪新能源充电桩的单价比上次购买时降低了10%，则现在双枪新能源充电桩的单价为1500×（1﹣10%）＝1350（元/个），设再次购进单枪新能源允电社a个，则购进双枪新能源允电社（20﹣a）个，总花费为[1100a+1350（20﹣a）]元，∵此次加购小区预备支出不超过25000元，∴1100a+1350（20﹣a）≤25000，解得a≥8，∴a的最小值为8，即小区最少需要购买单枪新能源充电桩8个，答：小区最少需要购买单枪新能源充电桩8个．19．（8分）（2023•烟台）“基础学科拔尖学生培养试验计划”简称“珠峰计划”，是国家为回应“钱学森之问”而推出的一项人才培养计划，旨在培养中国自己的杰出人才．已知A，B，C，D，E五所大学设有数学学科拔尖学生培养基地，并开设了暑期夏令营活动，参加活动的每名中学生只能选择其中一所大学．某市为了解中学生的参与情况，随机抽取部分学生进行调查，并将统计数据整理后，绘制了不完整的条形统计图和扇形统计图．（1）请将条形统计图补充完整；（2）在扇形统计图中，D所在的扇形的圆心角的度数为14.4°；若该市有1000名中学生参加本次活动，则选择A大学的大约有200人；（3）甲、乙两位同学计划从A，B，C三所大学中任选一所学校参加夏令营活动，请利用树状图或表格求两人恰好选取同一所大学的概率．【考点】列表法与树状图法；用样本估计总体；扇形统计图；条形统计图．【答案】见试题解答内容【分析】（1）根据C组的人数和所占的百分比，可以计算出本次抽取的学生人数，然后即可计算出选择B的人数，从而可以将条形统计图补充完整；（2）根据条形统计图中的数据，可以计算出在扇形统计图中，D所在的扇形的圆心角的度数和该市有1000名中学生参加本次活动，选择A大学的学生人数；（3）根据题意，可以画出相应的树状图，然后即可求得相应的概率．【解答】解：（1）本次抽取的学生有：14÷28%＝50（人），其中选择B的学生有：50﹣10﹣14﹣2﹣8＝16（人），补全的条形统计图如图所示；（2）在扇形统计图中，D所在的扇形的圆心角的度数为：360°×2该市有1000名中学生参加本次活动，则选择A大学的大约有：1000×10故答案为：14.4°，200；（3）树状图如下所示：由上可得，一共有9种等可能性，其中两人恰好选取同一所大学的可能性有3种，∴两人恰好选取同一所大学的概率为3920．（10分）（2025•聊城模拟）如图，在△ABC中，D为BC上一点，E为AD上一点，如果∠DAC＝∠B，CD＝CE．（1）求证：△ACE∽△BAD．（2）若CE＝3，BD＝4，AE＝2，求ED的长．【考点】相似三角形的判定与性质．【答案】见试题解答内容【分析】（1）根据CD＝CE，可得∠CDE＝∠CED，即有∠ADB＝∠AEC，结合∠DAC＝∠B，可得△ACE∽△BAD；（2）根据△ACE∽△BAD，可得AECE=BD【解答】（1）证明：∵CD＝CE，∴∠CDE＝∠CED，∵∠ADB＝180°﹣∠CDE，∠AEC＝180°﹣∠CED，∴∠ADB＝∠AEC，∵∠DAC＝∠B，∴△ACE∽△BAD，（2）解：∵在（1）中已证明△ACE∽△BAD，∴AECE=BD∵CE＝3，BD＝4，AE＝2，∴AD=BD×CE∴ED＝AD﹣AE＝6﹣2＝4．21．（12分）（2025•聊城模拟）火灾是最常见、最多发的威胁公众安全和社会发展的主要灾害之一，消防车是消防救援的主要装备．图1是某种消防车云梯，图2是其侧面示意图，点D，B，O在同一直线上，DO可绕着点O旋转，AB为云梯的液压杆，点O，A，C在同一水平线上，其中BD可伸缩，套管OB的长度不变，在某种工作状态下测得液压杆AB＝3m，∠BAC＝53°，∠DOC＝37°．（1）求BO的长；（2）消防人员在云梯末端点D高空作业时，将BD伸长到最大长度6m，云梯DO绕着点O顺时针旋转一定的角度，消防人员发现铅直高度升高了3m，求云梯OD旋转了多少度．（参考数据：sin37°≈35，tan37°≈34，【考点】解直角三角形的应用．【答案】见试题解答内容【分析】（1）构造直角三角形，利用直角三角形的边角关系进行计算即可；（2）求出旋转前点D的高度DF，进而求出旋转后点D′的高度D′G，再根据锐角三角函数的定义求出∠D′OG的大小，进而求出答案．【解答】解：（1）如图，过点B作BE⊥OC于点E，在Rt△ABE中，∠BAC＝53°，AB＝3m，∴BE＝AB•sin∠BAE＝3×sin53°≈3×=12在Rt△BOE中，∠BOE＝37°，BE=12∵sin∠BOE=BE∴OB==12＝4（m），答：OB＝4m；（2）如图，过点D作DF⊥OC于点F，旋转后点D的对应点为D′，过点D′作D′G⊥OC于点G，过点D作DH⊥D′G于点H，在Rt△FOD中，OD＝OB+BD＝4+6＝10，∠DOF＝37°，∴DF＝OD•sin37°≈10×＝6（m），∴D′G＝D′H+HG＝3+6＝9（m），在Rt△D′OG中，OD′＝10m，D′G＝9m，∴sin∠D′OG=D′G∴∠D′OG≈64°，∴∠D′OD＝64°﹣37°＝27°，即云梯OD大约旋转了27°．22．（12分）（2024•宁夏）如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB为直径，点D是△ABC的内心，连接AD并延长交⊙O于点E，过点E作⊙O的切线交AB的延长线于点F．（1）求证：BC∥EF；（2）连接CE，若⊙O的半径为2，sin∠AEC=12，求阴影部分的面积（结果用含【考点】三角形的内切圆与内心；扇形面积的计算；解直角三角形；圆周角定理；三角形的外接圆与外心；切线的性质．【答案】见试题解答内容【分析】（1）连接OE，交BC于点G，根据等腰三角形的性质得到∠OAE＝∠OEA，由D为△ABC的内心，得到∠OAE＝∠CAE，求得OE