2026年高考数学终极冲刺专项03 空间向量与立体几何6大题型（大题专练）（解析版）

专项03空间向量与立体几何

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【命题解码·定方向】命题趋势+2026年预测

【解题建模·通技法】析典例，建模型，技法贯通破类题/变式

【实战刷题·冲高分】精选高考大题+名校模拟题，强化实战能力，得高分

根据近五年全国卷考情，空间位置关系、空间角或空间距离以及空间向量是必考主干，分值约15-27分．

命题趋势：

解答题：稳定考查空间位置关系的证明、空间向量法求解空间角或空间距离（常为第16至18题），核

心是利用空间向量解决空间角与空间距离问题以及空间位置关系的证明等综合问题．

2026年预测：解答题极可能仍为立体几何常规题，考查两平面夹角（二面角）或线面角的可能性较大．

备考核心：熟记空间角与空间距离公式，解答题注意强化空间向量法及空间位置有关系的几何证明的综

合训练，提升运算的准确率，小题注意几何法的灵活应用．

题型01空间几何中的线面角

析典例·建模型

1．（2026·四川成都·二模）如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，A1CAA12AB2AC2BC4，BAA160.

(1)证明：直线A1B平面ABC．

(2)设P是棱CC1的中点，求AC与平面PA1B1所成角的正弦值．

△2

【思路分析】（1）在ABA1中，由余弦定理可得A1B12，从而可得A1BAB，A1BBC，即可得

证；

（2）建立空间坐标系，求直线AC的方向向量和平面PA1B1的法向量，结合空间向量夹角公式求解即可.

【规范答题】（1）由题意可知ABC是边长为2的正三角形，

△222

在ABA1中，由余弦定理可得A1BAA1AB2AA1ABcosA1AB

1222

16424212，所以ABAB16AA，

211

所以△A1AB为直角三角形，且ABA190，

所以A1BAB，

同理可得A1BBC，

因为BC,AB平面ABC，BCABB，

所以直线A1B平面ABC；

（2）取AB中点D，连接CD，则CDAB，

又ABACBC2，所以CD3，

由（1）可知直线A1B平面ABC，ABA1B，

以B为原点，分别以射线BA，BA1为x，y轴的正半轴，建立空间坐标系，如图所示：

则，，

A(2,0,0),A1(0,23,0),C(1,0,3),B1(2,23,0)C11,23,3,P0,3,3

所以A1B1(2,0,0),A1P(0,3,3)，

设平面PA1B1的法向量为n(x,y,z)，

nA1B12x0

则有，

nA1P3y3z0

令y1，可得n(0,1,1)，

又因为AC(1,0,3)，

ACn36

所以cosAC,n，

|ACn|224

6

所以AC与平面PA1B1所成角的正弦值为.

4

2．（2026·福建福州·模拟预测）如图，在四棱锥PABCD中，CD平面PAD，PAAD．

(1)证明：PA平面ABCD；

(2)若底面ABCD是正方形，APAB2，E为PB中点，点F在棱PD上，且异面直线AF与PB所成

的角为60°．

（ⅰ）求PF的长度；

（ⅱ）平面AEF交PC于点G，点M在线段PB上，求EG与平面MAD所成角的正弦值的取值范围．

【思路分析】（1）依据CD平面PAD得CDPA，结合PAAD，利用线面垂直判定定理，证得结

果；

（2）（ⅰ）建立空间直角坐标系，设PFPD，依据异面直线所成角公式求解后结合PD长度得PF；

（ⅱ）设PMtPB求出平面MAD法向量，计算线面角正弦值表达式，结合参数范围求取值范围．

【规范答题】（1）因为CD平面PAD，PA平面PAD，

所以CDPA，

又因为PAAD,AD平面ABCD，CD平面ABCD，ADCDD，

所以PA平面ABCD．

（2）（i）由（1）可知PA平面ABCD，所以AB，AD，AP两两垂直，

故以A为原点，以AB，AD，AP所在直线分别为x轴，y轴，z轴，

建立如图所示的空间直角坐标系，

依题意可得A0,0,0,D0,2,0,P0,0,2,E1,0,1，

所以AE1,0,1,PD0,2,2,PB2,0,2，

设PFPD0,2,2,01，

则AFAPPF0,2,22，

因为异面直线AF与PB所成角为60°，

AFPB441

所以cos60cosAF,PB，

2

AFPB4241222

11

解得，所以PFPD2．

22

（ⅱ）设PGPC01，

则AGAPPGAPPC0,0,22,2,22,2,22，

AE1,0,1,AF0,1,1，

nAE0xz0

设平面AEF的法向量为nx,y,z，则，即，

nAF0yz0

取x1,y1,z1，得n1,1,1，

1

因为nAG，所以nAG0，即22220，解得，

3

224121

所似G,,所以EG,,

333333

因为M在线段PB上，所以PMtPB2t,0,2t,0t1，

则M2t,0,22t,AD0,2,0,AM2t,0,22t，

mAD0y10

设平面MAD的法向量mx,y,z，则即

111

mAM0tx11tz10

取x1t1,y10,z1t，得mt1,0,t，

设EG与平面MAD所成角为，

11

t1t

EGm3311

则sincosEG,m，

22

62

EGm262t2t111

t1t23t

324

263

由于，所以1111，所以

t0,1t,sin,

244263

63

即EG与平面MAD所成角的正弦值的取值范围为,

63

研考点·通技法

1．垂线法求线面角（也称直接法）：先确定斜线与平面，找到线面的交点B为斜足；找线在面外的一点A，

过点A向平面做垂线，确定垂足O；连结斜足与垂足为斜线AB在面上的投影；投影BO与斜线AB

之间的夹角为线面角；把投影BO与斜线AB归到一个三角形中进行求解（可能利用余弦定理或者直角三角

形）．

2．公式法求线面角（也称等体积法）：用等体积法，求出斜线PA在面外的一点P到面的距离，利用三角

形的正弦公式进行求解．公式为：，其中是斜线与平面所成的角，是垂线段的长，是斜线段的

ℎ

长．𝑠𝑖=��ℎ�

．向量法求线面角：设是直线的方向向量，是平面的法向量，直线与平面的夹角为则

3n1ln2.

nn

12．

sincosn1,n2

n1n2

破类题·提能力

16

1．（25-26高三下·重庆渝中·月考）已知圆锥的顶点为P，底面圆O的半径为2，体积为π．

3

(1)求圆锥的表面积；

(2)如图，设OA、OB是底面圆的半径且AOB是等腰直角三角形，M为线段AB的中点，求直线PM与

平面POB所成的角的正弦值．

2

【答案】(1)415π；(2)

6

【分析】（1）由圆锥的体积求出圆锥的高和母线长，根据圆锥的表面积公式计算即可；

（2）建立空间直角坐标系，确定平面POB的法向量，由空间角的向量求法计算即可.

16

【详解】（1）由题意可知圆锥的底面半径为2，体积为π，高为PO，

3

1612

则ππ2PO，解得PO4，则母线长为l224225，

33

故圆锥的表面积为π22π225415π；

（2）由于PO为圆锥的高，所以POOA,POOB,

且AOB90，所以分别以OA,OB,OP的方向为x轴，y轴，z轴的正方向，建立如图所示的空间直

角坐标系.

A2,0,0，B0,2,0，P0,0,4，M1,1,0，所以PM1,1,4，

设平面POB的法向量为m1,0,0，

mPM12

所以cosm,PM，

mPM186

2

所以直线PM与平面POB所成的角的正弦值为.

6

2．（25-26高三上·安徽淮北·期末）如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是菱形，PAB，PAC是

分别以PB,PC为斜边的等腰直角三角形，E是棱PD上的动点.

(1)证明：BDPC；

PE

(2)若PA与平面ACE所成角的大小为60，求的值.

ED

【答案】(1)证明见解析

(2)2

【分析】（1）要证明线线垂直，转化为先证明线面垂直，即先证明BD平面PAC；

PE

（2）根据几何关系，建立坐标系，代入线面角的向量公式，求得的值.

ED

【详解】（1）证明：因为PAB，PAC是分别以PB，PC为斜边的等腰直角三角形，

所以PAAB，PAAC，且AB平面ABCD，AC平面ABCD，ABACA，

所以PA平面ABCD，所以PABD.

因为四边形ABCD是菱形，所以BDAC.

因为PA,AC平面PAC，PAACA，所以BD平面PAC，所以BDPC.

（2）由（1）可知PA平面ABCD，且PAABACBC，所以ABC和ACD是等边三角形，

取棱CD的中点F，连接AF，易证AB,AF,AP两两垂直，

故以A为原点，AB，AF，AP的方向分别为x轴，y轴，z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐

标系.

设AB2，PEPD，0,1，则A0,0,0，C1,3,0，D1,3,0，P0,0,2，

则AC1,3,0，PD1,3,2，AP0,0,2，

所以AEAPPEAPPD,3,22.

n·ACx3y0，

设平面ACE的法向量为nx,y,z，则

n·AEλx3λy22λz0，

3

令x=3，得n3,1,.

1

3λ

2

nAP

13

所以sin60cosn,AP==，

nAP322

24

2-2λ+1

2PE

整理得32840，解得或2(舍去)，所以=2.

3ED

题型02空间几何中两平面的夹角

析典例·建模型

1．（2026·山东菏泽·一模）如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，M、P分别为AA1，B1M的中点，点Q在AC1

上，且

AQ3QC1.

(1)求证：PQ//平面A1B1C1；

(2)若AA1A1B1B1C13，A1C12，求平面B1QM与平面A1B1C1夹角的余弦值.

【思路分析】（1）构造平面，证明面面平行，利用面面平行的性质定理即可证明结论.

（2）取A1C1的中点O，以O为坐标原点，建立空间直角坐标系，分别求出平面B1QM与平面A1B1C1的

法向量即可求解.

【规范答题】（1）取MA1的中点R，连接PR、RQ，

由P为MB1的中点知PR//A1B1，

因为PR平面A1B1C1，A1B1平面A1B1C1，所以PR//平面A1B1C1，

ARAQ3

由M为AA1的中点且AQ3QC1，知，所以RQ//A1C1，

AA1AC14

因为RQ平面A1B1C1，A1C1平面A1B1C1，所以RQ//平面A1B1C1.

因为PRRQR，PR,RQ平面PRQ，所以平面PRQ//平面A1B1C1.

又因PQ平面PRQ，所以PQ//平面A1B1C1.

（2）取A1C1的中点O，由A1B1B1C1知B1OA1C1，

以O为坐标原点，B1O、A1C1所在的直线分别为x轴、y轴，建立如图所示的空间直角坐标系.

因为AA1A1B1B1C13，A1C12，所以B1O2，

3213

则，，，，，，

B12,0,0C10,1,0A10,1,0M0,1,P,,A0,1,3

2224

3

所以，

B1M2,1,

2

1333

由得Q0,,，所以MQ0,,

AQ3QC1.

2424

3

2xyz0

mBM0

设平面的法向量为，则1，即2，

B1QMmx,y,z

mMQ033

yz0

24

取y1，则x2，z23，

所以平面B1QM的一个法向量为m2,1,23.

因为平面A1B1C1的一个法向量为n0,0,1，

mn2325

设平面B1QM与平面A1B1C1的夹角为，则cos，

mn155

25

即平面B1QM与平面A1B1C1夹角的余弦值为.

5

研考点·通技法

向量法求两平面夹角：若分别为平面的法向量，为平面的夹角，则

n1,n2,,

nn

12，注意两平面夹角的范围是到

coscosn1,n2090.

n1n2

破类题·提能力

1．（2026·河北承德·一模）已知三棱锥P-ABC中，ABC90，ABBC2，D为AC中点，M为BD

中点，平面PBD平面ABC，点P到平面ABC的距离为2．

(1)证明：ACPM；

(2)若PM2，求平面APB与平面CPB夹角的余弦值．

【答案】(1)证明见解析

1

(2)．

17

【分析】（1）利用等腰三角形三线合一得到中线和底边垂直，利用面面垂直的性质定理得到线面垂直，

利用线面垂直的定义得到线线垂直.

（2）由点P到平面ABC的距离为2和PM2得到PM平面ABC，利用空间向量法求解，求出平面

APB的法向量和平面CPB的法向量，设平面APB与平面CPB的夹角为，利用向量的数量积求出

coscosm,n，从而得到平面APB与平面CPB夹角的余弦值．

【详解】（1）因为ABBC，D为AC中点，所以BDAC，

又因为平面PBD平面ABC，平面PBD平面ABCBD，AC平面ABC，

所以AC平面PBD，又PM平面PBD，所以ACPM．

BD2

（2）M为BD中点，在等腰Rt△ABC中，BM，

22

因为点P到平面ABC的距离为2，PM2，所以PM平面ABC，

建立如图所示的空间直角坐标系，

1111

则B0,0,0，A0,2,0，C2,0,0，M,,0，P,,2，

2222

11

BA0,2,0，BP,,2，BC2,0,0，

22

mBA0

设平面的法向量为，则，

APBmx1,y1,z1

mBP0

2y0

1

即11，令z11，则m4,0,1，

x1y12z10

22

nBC0

设平面的法向量为，则，

CPBnx2,y2,z2

nBP0

2x0

2

即11，令z21，则n0,4,1，

x2y22z20

22

mn1

设平面APB与平面CPB的夹角为，则coscosm,n，

mn17

1

故平面APB与平面CPB夹角的余弦值为．

17

2．（2026·四川宜宾·一模）在四棱锥PABCD中，四边形ABCD为矩形，PAB为锐角三角形，PAAB2，

PBBC4，PBC90，E为棱PC的中点，平面PAD与平面PBC的交线为l，直线BE与l相交于

点Q．

(1)求线段BQ长度的最小值；

(2)若异面直线PB与QD所成角为60．

（ⅰ）求平面PCD与平面QCD夹角的余弦值；

（ⅱ）求三棱锥PADE的外接球的表面积．

【答案】(1)22

2128π

(2)；

73

π

【分析】（1）可证l//BC，BC平面PAB，建系并标点，PAB0,，根据题意结合向量共

2

线可得Q4221cos,22cos,2sin，进而分析线段BQ长度的最小值；

π

（2）利用空间向量结合向量夹角可得.（ⅰ）分别求平面PCD与平面QCD的法向量，利用空间

3

向量求面面夹角；（ⅱ）设三棱锥PADE的外接球的球心为Ox0,y0,z0，根据外接球的定义结合空

间中两点间距离可得球心坐标，进而可得半径和表面积.

【详解】（1）因为AD//BC，AD平面PAD，BC平面PAD，则BC//平面PAD，

且BC平面PBC，平面PAD平面PBCl，所以l//BC，

又因为PBBC，ABBC，PBABB，PB,AB平面PAB，可得BC平面PAB，

以B为坐标原点，BC,BA分别为x,y轴，过点B垂直于平面ABCD的直线为z轴，建立空间直角坐标系，

π

设PAB0,，则A0,2,0，B0,0,0，P0,22cos,2sin，

2

2

可得PB22cos4sin2221cos，则BC4221cos，

可得C4221cos,0,0，E221cos,1cos,sin，D4221cos,2,0，

则BP0,22cos,2sin，BE221cos,1cos,sin，

由题意可知：直线BC的一个方向向量为a1,0,0，且l//BC，

设PQa,0,0，则BQBPPQ,22cos,2sin，

22cos2sin

因为BQ//BE，则，可得4221cos，

221cos1cossin

则BQ4221cos,22cos,2sin，即Q4221cos,22cos,2sin，

222

则BQ4221cos22cos4sin2161cos1621cos16，

2

2

令，则22，

t1cos0,1BQ16t162t1616t88

2

2

当且仅当t时，等号成立，

2

所以线段BQ长度的最小值为22.

（2）由（1）可知：BP0,22cos,2sin，DQ0,2cos,2sin，

BPDQ44cos1cos1

由题意可得：cosBP,DQ，

BPDQ221cos222

1π13

解得cos，即，则P0,1,3，C2,0,0，D2,2,0，E1,,，Q2,1,3.

2322

（ⅰ）因为CD0,2,0，CP2,1,3，CQ0,1,3，

mCD2y0

设平面的法向量为，则1，

PCDmx1,y1,z1

mCP2x1y13z10

设，则，可得；

x13y10,z12m3,0,2

nCD2y0

设平面的法向量为，则2，

QCDnx2,y2,z2

nCQy23z20

设x21，则y2z20，可得n1,0,0；

mn321

则cosm,n，

mn717

21

所以平面PCD与平面QCD夹角的余弦值为；

7

OA2OD2

22

（ⅱ）设三棱锥PADE的外接球的球心为Ox0,y0,z0，半径为R，则OAOE，

22

OAOP

222

x2y2z2x2y2z2

000000

22x01

2213

即22，解得，

x0y02z0x01y0z0y02

22

23

222z

x2y2z2x2y1z30

0000003

728π

可得R2OA2，所以三棱锥PADE的外接球的表面积为4πR2.

33

题型03空间几何中的二面角

析典例·建模型

1．（25-26高三上·安徽六安·期末）如图，直四棱柱ABCDA1B1C1D1底面ABCD为菱形，ABC120，AB2，

AA13，点M为棱DD1上靠近D1的三等分点，点N在AA1上且A1NA1A01，过点M、N、C

的平面与直线AB交于点P.

(1)求证：NP//MC；

2

(2)若，求三棱锥MDPC的外接球的表面积；

3

23

(3)若二面角NPCD的余弦值为，求的值.

7

【思路分析】（1）根据面面平行的性质即可证明结论；

（2）建立空间直角坐标系，确定相关点的坐标，设三棱锥MDPC的外接球的球心为Ox,y,z，根

据OMODOPOC列方程求出O的坐标，即可求得外接球半径，则可求答案；

（3）求出点P的坐标，进而求出平面NPC的法向量，结合二面角NPCD的余弦值，列式求解，

即可得答案.

,

【规范答题】（1）由题意知过点M、N、C的平面与直线AB交于点P，故NPMC共面，

因为直四棱柱ABCDA1B1C1D1中，平面ABB1A1//平面DCC1D1，

且平面NPCM平面ABB1A1NP，平面NPCM平面DCC1D1MC，

故NP//MC；

（2）由于四边形ABCD为菱形，ABC120，故ADC120，

作DEAB于E，则DEDC，ADE30；

以D为坐标原点，DE,DC,DD1所在直线为x,y,z轴，建立空间直角坐标系，

22

时，ANAA，则AN1，

3131

连接MN并延长交DA于F，连接CF交AP即为P点，

1

结合题意知DM2，故ANDM，则A为DE的中点，

2

1

又因为AP//DC，故APDC1，而AEADcos601，

2

故E,P为同一点，则P3,0,0，

M0,0,2,C0,2,0,D0,0,0,

设三棱锥MDPC的外接球的球心为Ox,y,z，则OMODOPOC，

222

即x2y2z2x2y2z2x3y2z2x2y2z2，

2

解得3，故三棱锥的外接球的半径为32211，

x,y1,z1MDPCR11

222

2

故三棱锥的外接球的表面积为11；

MDPC4π11π

2

（）由于，则，

3A1NA1AAN1AA110,0,3

而A3,1,0，故N3,1,31，

结合NP//MC，MC0,2,2，设NPkMC，则P3,2k1,2k31，

又ABDC0,2,0，而AP0,2k,2k31,

31

结合A,P,B三点共线，可得2k310，则k，则P3,23,0，

2

NP0,33,31，PC3,3,0，

nNP0

设平面NPC的法向量为nx,y,z，则，

nPC0

33y31z0

即得，令x3，则y1,z1，

3x3y0

即n3,1,1，

平面PCD的法向量可取为m0,0,1，

mn123

23cosm,n

由于二面角NPCD的余弦值为，故mn27，

7131212

5

结合01，解得.

6

研考点·通技法

1．几何法求二面角

（1）定义法（棱上一点双垂线法）：在二面角的棱上找一个特殊点，在两个半平面内分别过该点作垂直于

棱的射线．

（2）三垂线法（面上一点双垂线法）：自二面角的一个面上一点向另外一个面作垂线，再由垂足向棱作垂

线得到棱上的点（即斜足），斜足和面上一点的连线与斜足和垂足的连线所夹的角，即为二面角的平面角．

（3）垂面法（空间一点垂面法）：过空间一点作与棱垂直的平面，截二面角得两条射线，这两条射线所成

的角就是二面角的平面角．

（4）射影面积法：已知平面内一个多边形的面积为S，它在平面内的射影图形的面积为射影，

射影�

平面和平面所成的二面角的大小为，则.这个方法对于无棱二面角的求解很简便．

�

𝐶𝑖=�

．向量法求二面角：若分别为平面的法向量，为平面所成二面角的平面角，则

2n1,n2,,

nn

｜｜12．二面角的范围是到

coscosn1,n2.0180.

n1n2

破类题·提能力

1．（2026·辽宁辽阳·一模）在三棱锥PABC中，ABC和△APC均为等边三角形，AC2，点F为线段

PB的中点．

(1)证明：平面PBC平面ACF；

5

(2)若直线PC与AB所成角的余弦值为时，求二面角PACB的余弦值．

8

【答案】(1)证明见解析

1

(2)

2

【分析】（1）连接AF、CF，推导出PB平面ACF，再利用面面垂直的判定定理可证得结论成立；

（2）取AC的中点O，连接OB、OP，可知二面角PACB的平面角为POB，设POB，以

点O为坐标原点，OA、OB所在直线分别为x、y轴，平面POB内过点O且垂直于OB的直线为z轴建

立空间直角坐标系，利用空间向量法可求得cos的值.

【详解】（1）连接AF、CF，如图所示：

因为ABC和△APC均为等边三角形，所以PAPCACABBC，

因为F为PB的中点，所以AFPB，CFPB，

因为AFCFF，AF、CF平面ACF，所以PB平面ACF，

因为PB平面PBC，所以平面PBC平面ACF.

（2）取AC的中点O，连接OB、OP，如图所示，

因为PAPCACABBC，O为AC的中点，则OBAC，OPAC，

所以二面角PACB的平面角为POB，设POB，

因为OPOBO，OP、OB平面POB，所以AC平面POB，

以点O为坐标原点，OA、OB所在直线分别为x、y轴，平面POB内过点O且垂直于OB的直线为z轴

建立空间直角坐标系，

则A1,0,0、B0,3,0、C1,0,0、P0,3cos,3sin，

AB1,3,0，CP1,3cos,3sin，

ABCP3cos13cos15

由题意可得cosAB,CP，

ABCP2248

711

解得cos（舍去）或cos，故二面角PACB的余弦值为.

622

1

2．（25-26高三上·河北秦皇岛·月考）如图，在等腰梯形ABCD中，ABBCCDAD2，A60，

2

E是AD的中点.现将ABE沿BE翻折，点A翻折到点P的位置，使得二面角PBED的大小为120.

(1)求证：PCCD；

(2)若点G为△PBE的重心，求平面BCG与平面PCD所成二面角的正弦值.

【答案】(1)证明见解析

793

(2)

61

【分析】（1）通过证明线面垂直，再证线线垂直.

（2）建立空间直角坐标系，利用空间向量求两个平面所成角的三角函数值.

【详解】（1）如图：连接AC，交BE于O，再连接OP