2026年高考数学终极冲刺压轴16 立体几何中的创新与融合问题的3大核心题型（原卷版）

压轴16立体几何中的创新与融合问题的3大核心题型

随着高考改革的不断推进，近期各地的模拟题呈现的考查方向百花齐放，在立体几何中以空间图形为

背景的试题，其考查的知识内容和范围，涉及代数、几何、三角、向量、新定义等学科分支，对综合运用

各种知识技能解题的灵活性要求有所加强，应予以重视.

题型01立体几何与轨迹问题的融合

技法指导

1.动点轨迹的判断一般根据线面平行、线面垂直的判定定理和性质定理，结合圆或圆锥曲线的定义推断

出动点的轨迹，有时也可以利用空间向量的坐标运算求出动点的轨迹方程.

2.翻折有关的轨迹问题

(1)翻折过程中寻找不变的垂直关系求轨迹.

(2)翻折过程中寻找不变的长度关系求轨迹.

(3)可以利用空间坐标运算求轨迹.

1.在棱长为4的正方体ABCDA1B1C1D1中，棱DD1上的点E满足DEED1，F是侧面CDD1C1上的动点，且

B1F//平面A1BE，则点F在侧面CDD1C1上的轨迹长度为（）

A．22B．32C．23D．4

1

2.（2025·江苏苏州三模）如图，在直角梯形ABCD中，AD//BC，ADBC2，ABC90，C45，

2

E为BC中点，现将CDE沿DE折起，使得平面CDE平面ABED，连接AC,BC，设M为CE中点，动

点P在侧面CBE和侧面CDE上运动，且始终满足AMMP，则点P形成的轨迹长度为.

题型02立体几何与函数的融合

技法指导

立体几何中体积、距离、角的最值（范围）问题，常用的解题思路是：

（1）直观判断：判断动点、动线、动面在变化中达到某一特定位置时，所求的量有相应最大（小）值；

（2）函数思想：通过建系或引入变量，把这类问题转化为函数，从而利用代数方法求解.

3.（2025·湖北十堰·模拟预测）如图，已知正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为3,H为DD1上三等分点且靠近D1

点，在侧面ABB1A1内作边长为1的正方形EFGB1，P是侧面ABB1A1内一动点，且点P到平面BCC1B1的距离

与线段PF的长度相等．则当点P运动时，|HP|2的最小值是（）

A．12B．13C．14D．17

4.如图，在长方体ABCDA1B1C1D1中，已知AD1，AB2，AA1a，若对角线BD1上存在一点P，使得

PB1·PC10，则a的最大值是．

题型03立体几何中的创新问题

技法指导

用类比方法求解定义新性质创新问题的三个切入角度

（1）从两个性质的相似性和差异性上理解新性质的准确性；

（2）从两个性质的内涵、应用环境上的差异刻画新性质的“全貌”（本质）；

（3）从类比方法获得启示，从而应用新性质解决问题.

5.空间中，我们将至少两条坐标轴不垂直的坐标系称为“空间斜坐标系”．类比空间直角坐标系，i,j,k分别

为“空间斜坐标系”中三条数轴（x轴、y轴、z轴）正方向的单位向量，若向量nxiyjzk，则n与有

序实数组x,y,z相对应，称向量n的斜坐标为x,y,z，记作nx,y,z．如图，在平行六面体

π

ABCDA1B1C1D1中，ABAD1，AA12，ABAD，BAA1DAA1．以AB,AD,AA1为基底建

3

立“空间斜坐标系”．

(1)若点E在平面ABCD内，且A1E平面ABCD，求A1E的斜坐标；

若的斜坐标为，求平面与平面的夹角的余弦值．

(2)AF1,0,1AD1FABCD

6.（2025·河南郑州·三模）在空间直角坐标系O-xyz中，已知向量ua,b,cabc0，经过点P0x0,y0,z0，

且以u为法向量的平面α的方程为axx0byy0czz00．

(1)求原点O到平面xyz40的距离；

(2)根据平面直角坐标系中点到直线的距离公式，类比出Px0,y0,z0到平面AxByCzD0的距离公

式，并利用有关知识证明；

(3)已知平行六面体ABCDA1B1C1D1，平面CDD1C1的方程为x2yz20，平面ADD1A1经过点

≤≤

E0,0,1,F1,1,2,G2,2,1，平面ACC1A1的方程为kxty2z101t2，求平面CDD1C1与平面ACC1A1

夹角的余弦值的最大值．

1.等腰四面体是一种特殊的三棱锥，它的三组对棱分别相等.已知一个长方体的体积为12，则由长方体的四

个顶点构成的等腰四面体的体积为（）

A.3B.4

C.6D.8

2．（2025·云南保山·二模）已知正方体ABCDA1B1C1D1，Q为上底面A1B1C1D1所在平面内的动点，当直线DQ

与DA1的所成角为45°时，点Q的轨迹为（）

A．圆B．直线C．抛物线D．椭圆

3.如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，M为A1C1的中点，N为侧面BCC1B1上的一点，且MN∥平面ABC1，若

点N的轨迹长度为2，则（）

A.AC1＝4

B.BC1＝4

C.AB1＝6

D.B1C＝6

4．（2025·江苏扬州二模）定义两个向量u与v的向量积是uv一个向量，它的模uvuvsinu,v，它的

方向与u和v同时垂直，且以u，v，uv的顺序符合右手法则（如图），在棱长为2的正四面体ABCD中，

则ABADAC（）

A．23B．4.C．43D．42

5.如图，正三角形PAD所在平面与正方形ABCD所在平面垂直，O为正方形ABCD的中心，M为正方形

ABCD内一点，且满足MP＝MC，则点M的轨迹为（）

6．由空间一点O出发不共面的三条射线OA，OB，OC及相邻两射线所在平面构成的几何图形叫三面角，

记为OABC．其中O叫做三面角的顶点，面AOB，BOC，COA叫做三面角的面，AOB，BOC，AOC

叫做三面角的三个面角，分别记为，，，二面角AOBC、BOAC、AOCB叫做三面角的

二面角，设二面角AOCB的平面角大小为x，则一定成立的是（）

coscoscoscoscoscos

A．cosxB．cosx

sinsinsinsin

sinsinsinsinsinsin

C．cosxD．cosx

coscoscoscos

7.（多选）（2025·江苏南通·模拟）已知点P是正方体ABCDA1B1C1D1侧面BB1C1C（包含边界）上一点，下

列说法正确的是（）

A．存在唯一一点P，使得DP//AB1

B．存在唯一一点P，使得AP//面A1C1D

C．存在唯一一点P，使得A1P⊥B1D

D．存在唯一一点P，使得D1P⊥面A1C1D

8．（多选）(2025·金华十校模拟)在矩形ABCD中,AB=2AD,E为线段AB的中点,将△ADE沿直线DE翻折到

△A1DE,若M为线段A1C的中点,则在△ADE从起始到结束的翻折过程中()

A.存在某位置,使得DE⊥A1C

B.存在某位置,使得CE⊥A1D

C.MB的长为定值

1

D.MB与CD所成角的正切值的最小值为

2

9.如图，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2，P是面对角线BC1上一动点，Q是底面ABCD（含边界）内一

动点，则D1P＋PQ的最小值为.

10．（2025·浙江杭州·期末）如图在长方形ABCD中，AB3，BC=1，E为线段DC上一动点，现将AED

沿AE折起，使点D在平面ABC上的射影K在直线AE上，当E从D运动到C，则K所形成轨迹的长度为

（）

ππ323

A．B．C．D．

2323

11.在空间直角坐标系中，定义：平面的一般方程为AxByCzD0A,B,C,DR,A2B2C20，

Ax0By0Cz0D

点Px0,y0,z0到平面的距离d，则在底面边长与高都为2的正四棱锥中，底面中心

A2B2C2

O到侧面的距离等于．

12.（2025·吉林长春·二模）如图，在三棱锥SABC中，平面SAB平面ABC,SAB120，

ACABBCSA2，点E在棱AC上，且CE3AE，侧面SAB内一动点P满足CP2PE，则点P的

轨迹长度为；直线CP与直线AB所成角的余弦值的取值范围为.

设全体空间向量组成的集合为，为中的一个单位向量，建立一个自变量为向量，因

13.Va(a1,a2,a3)V“”“

变量”也是向量的“向量函数”f(x)；f(x)x2(xa)a(xV).

(1)设u