2026年高考数学终极冲刺压轴13 与球有关的切、接问题的4大核心题型（解析版）

压轴13与球有关的切、接问题的4大核心题型

空间几何体的外接球、内切球是高中数学的重点、难点，也是高考命题的热点，一般是通过对几何体

的割补或寻找几何体外接球的球心求解外接球问题，利用等体积法求内切球半径等，一般出现在压轴小题

位置

题型01空间几何体的外接球

技法指导

（1）求几何体外接球半径的方法

①补体法：把几何体补成长方体、正方体、正四面体，再利用它们的外接球半径公式求解；②性质法：

球心与截面圆心的连线与截面垂直，球心与弦中点的连线与弦垂直.

（2）确定球心的常用结论

①长方体或正方体的外接球的球心是其体对角线的中点；②正三棱柱的外接球的球心是上、下底面中心

连线的中点；③直三棱柱的外接球的球心是上、下底面三角形外心连线的中点；④正棱锥的外接球的球

心在其高上，具体位置可通过建立直角三角形运用勾股定理计算得到.

1.（2022·新高考全国Ⅱ卷·高考真题）已知正三棱台的高为1，上、下底面边长分别为33和43，其顶点

都在同一球面上，则该球的表面积为（）

A．100πB．128πC．144πD．192π

【答案】A

3343

【解析】设正三棱台上下底面所在圆面的半径r1,r2，所以2r,2r，即r13,r24，设球心

1sin602sin60

到上下底面的距离分别为d,d，球的半径为，所以2，2，故或，

12Rd1R9d2R16d1d21d1d21

22

即R9R161或R29R2161，解得R225符合题意，所以球的表面积为

S4πR2100π．

故选：A．

ππ

2.已知三棱锥PABC的四个顶点均在球O上，BAC,ACB,AC3,PB平面ABC．若

26

tanPAB23，则球O的体积为（）

4π16π32π64π

A．B．C．D．

3333

【答案】C

ππ

【解析】在ABC中，BAC,ACB,AC3，

26

π

所以ABACtan1，所以BC2．

6

因为PB平面ABC,AB,BC平面ABC，

所以PBAB,PBBC．

又tanPAB23，所以PBABtanPAB23．

如图将三棱锥PABC，补形为长方体，

则三棱锥PABC的外接球就是长方体的外接球，

长方体的体对角线PC是长方体的外接球的直径，球心为PC的中点．

又PC2PB2BC216，即PC4，所以球O的半径为2，

432π

故球O的体积Vπ23．故选C．

33

3.已知四面体ABCD的4个面为全等的等腰三角形，且CACB2AB4，A，B，C，D四点在同一个球面

上，则该球的表面积等于（）

A．8πB．12πC．18πD．24π

【答案】C

【解析】依题意可知DACBDBAC4，DCAB2．

如图，将四面体ABCD放入长方体中，

设长方体的共顶点的三条棱的长分别为x，y，z，将四面体补形为长方体模型，

x2y24,x2,

则x2z216,解得y2,

y2z216,

z14.

x2y2z232

四面体ABCD的外接球也就是该长方体的外接球，其半径为R，

22

2

故所求表面积为232，故选．

S4πR4π18πC

2

4.（2023·全国乙卷T16）已知点S,A,B,C均在半径为2的球面上，ABC是边长为3的等边三角形，SA平

面ABC，则SA．

【答案】2

【解析】如图，将三棱锥SABC转化为正三棱柱SMN-ABC，

设ABC的外接圆圆心为O1，半径为r，

AB3

2r23

则sinACB3，可得r3，

2

1

设三棱锥SABC的外接球球心为O，连接OA,OO1，则OA2,OOSA，

12

1

因为OA2OO2OA2，即43SA2，解得SA2.

114

题型02空间几何体的内切球

技法指导

空间几何体的内切球问题，一是找球心，球心到切点的距离相等且为球的半径，作出截面，在截面中求

半径；二是利用等体积法直接求内切球的半径.

5.（2025·吉林长春·模拟预测）所有棱长都是2的正四棱锥的内切球半径为（）

236262

A．B．C．D．

3324

【答案】C

【解析】依题意，所有棱长都是2的正四棱锥的高h22(2)22，

1423

体积V222，表面积S422224(31)，

334

13V4262

设该棱锥的内切球半径为r，则SrV，即r，故选C

3S4(31)2

6.（2025·江西南昌·模拟预测）已知正三棱锥PABC的体积为3m3，侧面积为2m2，底面积等于1m2，则这

个正三棱锥内切球的体积为（）

4

A．36πm3B．12πm3C．108πm3D．πm3

3

【答案】A

1

【解析】因为三棱锥PABC的体积：VSr，

3

其中S为三棱锥PABC的表面积，r为其内切球的半径.

1

所以321rr3.

3

4343

所以这个三棱锥内切球的体积为：πrπ336π（m3），故选A

33

7.某圆台的下底面半径是上底面半径的3倍，一个半径为3的球与该圆台的两个底面和侧面均相切，则这个

圆台的体积为（）

A．39πB．60πC．78πD．117π

【答案】C

【解析】如图，作圆台的轴截面：

设HDr，则FA3r，过D作DMAB于M，则AM2r，

又ADAEDEAFDH4r，DMGF6，

在RtAMD中，AD2AM2DM216r24r262r23.

π2

所以圆台的体积为：Vr23rr3rHG78π.

3

故选：C

8.（2025新高考Ⅱ卷T14）一个底面半径为4cm，高为9cm的封闭圆柱形容器（容器壁厚度忽略不计）内

有两个半径相等的铁球，则铁球半径的最大值为cm．

5

【答案】

2

【解析】圆柱的底面半径为4cm，设铁球的半径为r，且r4，

由圆柱与球的性质知AB2(2r)2(82r)2(92r)2，

25

即4r68r1452r52r290，r4，r.

2

题型03空间几何体的棱切球

技法指导

解决棱切球问题的常用方法

（1）外形：转化为内切球求解；

（2）找切点定球心构造直角三角形求解.

⇒⇒

9．（2026·江西南昌·期末）正三棱锥PABC的底面边长为23，侧棱长为22，若球H与正三棱锥所有

的棱都相切，则这个球的表面积为（）

179

A．B．(44166)C．D．32

42

【答案】B

【解析】设底面ABC的外接圆的圆心为O，连接PO,AO，延长AO交BC于N，

球H与棱PA,BC分别切于M,N，设球H的半径为r，

33

则AO232，ON2321，

32

而PO底面ABC，所以POAO，可得PO842，

在直角三角形ONH中，OHr21，1r22，

在直角三角形PMH中，PMMHr,PH2r，

所以POPHOH，即有22rr21，解得r223，

2

则这个球的表面积为4r2422344166．

故选：B

10．（2026·山东菏泽二模）已知正三棱柱ABCA1B1C1的体积为18，若存在球O与三棱柱ABCA1B1C1的各

棱均相切，则球O的表面积为（）

A．8B．12C．16D．18

【答案】C

【解析】设正三棱柱ABCA1B1C1的底面边长为a，高为b，上底面中心为O1，下底面中心为G，

连接O1G，则球O的球心O在O1G的中点上，设球O切棱AA1于F，切棱BC于E，

则F、E分别为所在棱的中点，

由题意32，①

Vab18

ABCA1B1C14

a3

OFAGa3

因为π3，GEa，

2sin6

3

bb2a2

又OG，所以OEOG2GE2，

2412

3b2a2

所以a，解得ab，②

3412

联立①②可得ab23，

3

所以球O的半径为Ra2，

3

所以球O的表面积为S4R242216，故选C.

题型04与球切、接有关的最值问题

技法指导

求解与球切、接有关的最值问题的策略

（1）转化为函数最值问题：通过引入线参数或角参数，建立关于这些参变量的函数关系，转化为函数的

最值问题来解决；

（2）转化为平面几何问题：根据题目的特征，寻找或确定一个数量关系比较集中的平面，将题目的其他

条件逐步向该平面转移，然后利用几何方法或三角方法来解决；

（3）利用基本不等式：可通过引入多个变量建立数学模型，然后利用基本不等式求其最值.

11.（2022·全国乙卷·高考真题）已知球O的半径为1，四棱锥的顶点为O，底面的四个顶点均在球O的球

面上，则当该四棱锥的体积最大时，其高为（）

1132

A．B．C．D．

3232

【答案】C

【解析】设该四棱锥底面为四边形ABCD，四边形ABCD所在小圆半径为r，

设四边形ABCD对角线夹角为，

111

则SACBDsinACBD2r2r2r2

ABCD222

（当且仅当四边形ABCD为正方形时等号成立）

即当四棱锥的顶点O到底面ABCD所在小圆距离一定时，底面ABCD面积最大值为2r2

又设四棱锥的高为h，则r2h21，

2223

1222222rr2h43

VOABCD2rhrr2h

333327

3

当且仅当22即h时等号成立，故选：

r2h3C

【利用导数求最值】

2

由题意可知，当四棱锥为正四棱锥时，其体积最大，设底面边长为a，底面所在圆的半径为r，则ra，

2

2233

a1a21tt

所以该四棱锥的高h1，Va21，令at(0t2)，Vt2，设ftt2，则

232322

3t2

ft2t，

2

44

0t，ft0，单调递增，t2，ft0，单调递减，

33

4a23

所以当t时，V最大，此时h1．故选：C.

323

12.（2025·山东·模拟预测）一个轴截面是边长为23的正三角形的圆锥形封闭容器，放入一个小球O2后，

还可以放入一个半径为1的小球O1，则小球O2的体积与容器体积之比的最大值为（）

441

A．B．C．D．

2438181

【答案】A

【解析】由题意，得圆锥形容器的底面半径r3，高h3.

13

因为边长为23的正三角形的内切圆半径r231，

132

所以轴截面是边长为23的正三角形的圆锥的内切球半径为1，

所以小球O1与容器的侧面，底面均相切.

要使小球O2的体积与容器体积之比最大，则小球O2的半径r2最大，所以只需小球O2与小球O1，

131

圆锥形容器的侧面都相切，其轴截面如图此时，

.r2232r1

323

4

πr3

24

所以小球O的体积与容器体积之比的最大值为3，故选A.

21

πr2h243

3

1．（2025·广东中山·二模）如图，在圆柱O1O2内有一个球O，该球与圆柱的上，下底面及母线均相切.若O1O22，

则圆柱O1O2的表面积为（）

A．4πB．5πC．6πD．7π

【答案】C

OO

【解析】由题意知，圆柱OO底面半径r121，母线长lOO2，

12212

2

所以圆柱O1O2的表面积S2πr2πrl2π4π6π.

故选：C

2．（2025·河南·三模）已知圆锥的母线长为5，侧面展开图的面积为25π，则该圆锥的外接球的表面积为

（）．

A．25πB．10πC．9πD．4π

【答案】A

【解析】若圆锥底面半径为r，则5πr25π，可得r2，故圆锥的高h541，

若圆锥外接球的半径为R，则球心到圆锥底面距离d|Rh|，

5

所以d2r2R2，即R22R5R2，可得R，

2

故外接球的表面积为4πR225π，故选A

3．（2025·甘肃白银·三模）如图，在三棱锥PABC中，ABAC,PA平面ABC，PA3,AB1,AC2，

D，E，F分别是棱PB，PC，BC的中点，则三棱锥ADEF的外接球的表面积为（）

5π7π9π

A．B．C．D．3π

222

【答案】B

【解析】

设棱AB,AC,PA的中点分别为H,M,G，连接HF,MF,DG,EG,DH,EM，

构造长方体DGENHAMF，则长方体DGENHAMF外接球的表面积

31

即为三棱锥ADEF外接球的表面积．依题意，HD,HF1,HA，

22

31147

设长方体DGENHAMF外接球的半径为R，则(2R)2()212()2，

2242

7π

所以其外接球的表面积S4πR2．

2

故选：B

4．（2025·江西·二模）在三棱锥PABC中，平面ABC平面PAC，PAPC，ACAB，ABAC10，

若点P、A、B、C均在球O的表面上，则球O的体积为（）

10002π

A．200πB．2002πC．D．10002π

3

【答案】C

【解析】因为平面ABC平面PAC，平面ABC平面PACAC，ABAC，

AB平面PAB，所以AB平面PAC，

因为PC平面PAC，所以ABPC，

因为PAPC，PAABA，PA、AB平面PAB，所以PC平面PAB，

因为PB平面PAB，所以PCPB，

1

取线段BC的中点O，连接OP、OA，则OPOABCOBOC，

2

BCAC2AB2

故BC为球O的直径，故球O的半径R52，

22

4πR310002π

所以球O的体积为V.

33

故选：C.

5．（2025·河南鹤壁·二模）如图，在三棱锥ABCD中，ABC和△BCD均为边长为3的等边三角形，若

二面角ABCD的大小为90，则三棱锥ABCD外接球的表面积为（）

A．5πB．8π

C．6πD．9π

【答案】A

【解析】设E是BC中点，连接AE,DE，设ABC的外心为O1，△BCD的外心为O2，

O是四面体外接球球心，

由于ABC和△BCD都是边长为3的正三角形，

2

2

所以33，

AEBC,DEBC,AEDE3

22

且O1,O2分别在DE,AE靠近E的三等分点处.

：根据二面角ABCD的大小为90及球的性质可知

OO1平面BCD，OO2平面ABC，所以OO1DE,OO2AE，

由于O1EO2E,AEDE，所以四边形OO1EO2是正方形，

112

EOEODE，ODDE1，

123213

2

125

设四面体外接球的半径为R，则R1.

22

5

所以外接球的表面积为4πR24π5π.

4

故选：A

6．（2025·四川德阳·三模）六氟化硫分子结构为正八面体结构（正八面体每个面都是正三角形）.若一正八

S2

面体的内切球表面积为S1，外接球表面积为S2，则的值为（）

S1

43

A．B．C．3D．4

32

【答案】C

【解析】如图正八面体，连接AC和BD交于点O，

因为EAEC，EDEB，所以EOAC，EOBD，

又AC平面ABCD，BD平面ABCD，ACBDO，

所以EO平面ABCD，

设正八面体的外接球的半径为R，内切球半径为r，

假设正八面体的棱长为2，

则EBECBC2，OBOC2，EOEB2OB22，

321

S△23，S△OBC211，

EBC42

因OBOCOE2，则R2，且O为正八面体的中心，

则点O到平面BEC的距离为内切球半径r，

11

因为VV，即S△EO=S△r，

EOBCOEBC3OBC3EBC

116

即12=3r，所以r，

333

2

S4πR22

23

所以22，故选：C.

S14πr6

3

7．（多选）（2025·甘肃金昌·二模）如图，在圆柱O1O2中，轴截面ABCD是边长为2的正方形，M是以AO2

为直径2的圆上一动点（异于点A,O2），AM与圆柱的底面圆交于点N，则（）

A．MO2∥平面NBO1

B．平面MO1O2平面ANO1

C．直线NB与直线AO1有可能垂直

D．三棱锥MAO1O2的外接球体积为定值

【答案】ABD

【解析】对于A，因为M,N都是对应圆周上的点，AO2,AB是相应的圆的直径，

所以O2MAM,NBAN，所以MO2∥NB，

因为MO2平面NBO1,NB平面NBO1，所以MO2∥平面NBO1，A项正确：

对于B，因为O1O2AN,O1O2MO2O2，所以AN平面MO1O2，

因为AN平面ANO1，所以平面MO1O2平面ANO1，B项正确；

对于C，若NBAO1，因为NBAN，ANAO1A,AN,AO1平面ANO1，

所以平面，则22，

NBANO1,NBNO1O1BNBO1NO1N

因为平面，所以22，

O1O2ABN,O1O22,BO2NO21O1NO1B215

这与O1BO1N矛盾，故直线NB与直线AO1不可能垂直，C项错误；

对于D，因为AMO1,AO2O1均是以AO1为斜边的直角三角形，

所以三棱锥的外接球的球心为AO的中点，由于22，

MAO1O21AO1215

故三棱锥MAO1O2的外接球体积为定值，D项正确.

故选：ABD

8．（多选）（2025·四川自贡·三模）如图1，在ABC中，ACBC，B，AB8，D、E分别在AB，

3

AC上，且4DE3BC.将ADE沿DE翻折得到图2，其中ACCE.记三棱锥ABCD外接球球心为O1，

球O1表面积为S1，三棱锥AECD外接球球心为O2，球O2表面积为S2，则在图2中，下列说法正确的有（）

A．BDAD

10

B．直线AB与DE所成角的正弦值为

5

C．O1O2//平面BCDE

D．S1S278

【答案】AC

ππ

【解析】选项A：由图1，在直角ABC中，BCABcos4，ACABsin43，

33

33

因为DEBC，所以DE//BC，且DEBC3，

44

3131

AEAC33，CEAC3，ADAB6，BDAB2，

4444

由图2，在直角△AEC中，ACAE2CE226，

因为DE//BC，且ACBC，所以DEEC，

所以在直角DEC中，DCDE2EC223，又AD6，

所以AC2DC2AD2，所以ACCD，

又因为ACCE，CDCEC，CD,CE平面BCED，所以AC平面BCED，

又BD平面BCED，所以ACBD；

在BDC中，BD2，DC23，BC4，所以BD2DC2BC2，

即BDCD，又ACCDC，AC,CD平面ADC，所以BD平面ADC，故A正确；

选项B：因为BC//DE，所以ABC即为所求，

因为AC平面BCED，BC平面BCED，所以ACBC，

2AC2615

所以在直角ABC中，ABAC2BC22642210sinABC，故B不正

AB2105

确；

选项C：由上可知BD平面ADC，BDAD，则AB的中点到A,B,D距离相等，

因为AC平面BDC，BDCD，则AB的中点到A,B,C距离相等，所以O1为AB的中点，

同理可知O2为AD的中点，所以O1O2//BD，O1O2平面BCDE，BD平面BCDE，所以O1O2//平面BCDE，

故C正确；

ABAD

选项D：由选项C可知：球O的半径R10，球O的半径R3，

112222

22

所以S1S24πR1R276π，故D不正确.

故选：AC.

9．（2025·陕西西安·模拟预测）已知圆台的高为3，上、下底面圆的半径分别为1和2，它的两个底面的圆

周在同一个球的球面上，则该球的表面积为．

【答案】20π

【解析】作出圆台及外接球的轴截面图，如图．

易得球心O在圆台内部，设球心到上底面圆的距离为x，

2

则球心到下底面圆的距离为3x，由勾股定理得x2123x22，解得x2，

则外接球的半径Rx2125，表面积为20π．

10.（2024·河南新乡·二模）在直三棱柱A1B1C1ABC中，ABBC,AC12AA14，则该三棱柱的体积的最

大值为．

【答案】6

【解析】如图，AC14，AA12，则A1C123，

由ABBC，则AB2BC2122ABBC，当ABBC时，等号成立，即ABBC的最大值为6，

11

此时三棱柱的体积最大，最大体积为ABBCAA626.

212

11．（2025·上海徐汇·一模）如图，在ABC中，ACB90，ABC30，BC3，在三角形内挖去一

个半圆，圆心O在边BC上，半圆与AC,AB分别相切于点C,M，与BC交于另一点N，将ABC绕直线BC

旋转一周得到一个旋转体.

(1)求该旋转体中间空心球的表面积的大小；

(2)求图中阴影部分绕直线BC旋转一周所得旋转体的体积.

【解】（1）连接OM，AB为半圆的切线，OMAB，

设OMr，则OB3r，

r1324

sinMBO，解得：r，S球面4r.

3r233

（2）ACB90，ABC30，BC3，AC1，

将阴影部分绕直线BC旋转一周得到一个圆锥，里面挖去一个内切球，

所求体积124314353

VV圆锥V球ACBCr3.

3333927

169π

12．（2025·四川成都·模拟）已知球内接正四棱锥PABCD的高为3，AC、BD相交于O，球的表面积为，

9

若E为PC中点.

(1)求证：OE//平面PAD；

(2)求三棱锥CEOB的体积.

【解】（1）依题意底面ABCD为正方形，AC、BD相交于O，

所以O为AC的中点，又E为PC中点，

所以OE//AP，

又OE平面PAD，AP平面PAD，

所以OE//平面PAD.

169π

（2）设球的半径为R，由球的表面积公式S4πR2，

9

13

解得R（负值舍去），

6

设球心为O1，在正四棱锥PABCD中，高为PO，则O1必在PO上，

13513

连接AO，则OP，OOOPOP，AO，

11611616

22

△2225213

则在RtO1OA，则OO1OAO1A，即OA，

66

解得OA2（负值舍去），

1

则OBOCOA2，所以S2