2026年高考数学终极冲刺压轴12 数列中的创新与融合问题的4大核心题型（原卷版）

压轴12数列中的创新与融合问题的4大核心题型

新高考的命题要求为：创新试题形式，加强情境设计，注意联系社会生活实际，增加综合性、开放性、

应用性、探究性试题.这些要求反映在数列试题中，就是出现了数列的新情境、新定义和新性质问题，这些

“三新”问题逐渐成为热点的压轴题.

题型01数列与其他知识的交汇

技法指导

数列与三角相结合出现的频率较高，一般是根据题干得到数列的递推关系式，结合数列的相关知识

进行求解，多通过构造的方法转化为等差、等比数列问题求解，求解过程中灵活运用数列的性质，准确

应用相关的数列知识.

1

πππ*

1.数列an满足a1，an,，tanan1，nN.

622cosan

2

(1)证明：数列tanan为等差数列，并求数列tanan的通项公式；

1

(2)求正整数m，使得sinasinasina.

12m100

2

2.（2025湖南长沙模拟）已知函数fxx4，设曲线yfx在点xn,fxn处的切线与x轴的交点为

*

xn1,0nN，且x1>0．

(1)用xn表示xn1；

xn2

(2)若x13，记anln，证明数列an是等比数列，并求数列xn的通项公式．

xn2

题型02数列的新情境问题

技法指导

解决数列的新情境问题要首先理解题意，从新情境中抽象出等差数列、等比数列等特殊的数列、转

化为数列的通项、性质或求和问题.

3．（2026·湖北黄冈·一模）抽屉里有相同规格的3块充电电池和2块一次性干电池，当需要使用电池时即从

抽屉随机抽取一块，充电电池使用完后充满电放回原抽屉，干电池使用完后即作垃圾回收．当抽屉只剩下

充电电池时则停止电池的随机抽取．

(1)求在第2次抽取的是干电池的条件下第1次抽取的也是干电池的概率；

(2)若每次用完一块干电池就补充一块充电电池，直到2块干电池用完．记抽取第n1次时恰好抽到最后一

块干电池的概率为Pn，求Pn．

4．（2026·江苏南京·三模）小芳、小明两人各拿两颗质地均匀的骰子（点数为1,2,3,4,5,6）玩游戏，游戏规

则如下：每次由1人投掷手中的两颗骰子，在一次投掷后，若掷出的点数之和为4的倍数，则由原来投掷

人继续投掷；若掷出的点数之和不是4的倍数，则由对方接着投掷．

(1)求小明在一次投掷后，掷出的点数之和是4的倍数的概率；

(2)规定第一次从小明开始，在游戏的前4次投掷中，设小芳投掷的次数为随机变量X，求X的分布列和均

值；

(3)若第一次从小芳开始，求第n次由小芳投掷的概率Pn．

题型03数列的新定义问题

技法指导

数列中的新定义问题，主要是指即时定义新概念、新定理、新法则、新运算等，然后根据此新定义去解

决问题，有时还需要用类比的方法去理解新定义，这样有助于更透彻地理解新定义.但是，归根结底这些

问题考查的还是数列的基本概念、性质和运算，根据条件适时转化是解决此类问题的基本思路与原则.

13

5.（2025·安徽芜湖·期末）已知数列a的前n项和为S，且Sn2n．

nnn22

(1)求数列an的通项公式an；

(2)伯努利不等式是由瑞士数学家雅各布伯努利提出的，是分析不等式中最常见的一种不等式．伯努利不

・

等式的一般形式为：若x1且n为正整数时，(1x)n1nx，当且仅当n1或x0时等号成立．

n

a

（ⅰ）证明：数列n为递增数列；

n

n

（）已知*时，11，证明：nnnnn．

ⅱn4nN1a1a2a3anan1

n22

6.（2025·江苏徐州·一模）对于每项均是正整数的数列P：a1,a2,,an，定义变换T1，T1将数列P变换成数

列T1P：n,a11,a21,,an1．对于每项均是非负整数的数列Q:b1,b2,,bm，定义

222

S(Q)2(b12b2mbm)b1b2bm，定义变换T2，T2将数列Q各项从大到小排列，然后去掉所有为零

的项，得到数列T2Q．

(1)若数列P0为2，4，3，7，求ST1P0的值；

(2)对于每项均是正整数的有穷数列P0，令Pk1T2T1Pk，kN．

（i）探究ST1P0与SP0的关系；

（ii）证明：SPk1SPk．

题型04数列的凹凸性

技法指导

数列的凹凸性是类比函数的凹凸性得到的，解决此类问题一般要从题目条件中挖掘出一个特殊的数

列(例如等差数列、等比数列)，数列的凹凸性给出的不等关系就可以利用这个特殊数列的运算，结合不

等式放缩加以证明.

*2

7.（2026·山东枣庄·模拟预测）若数列an的各项均为正数，对任意nN，有an1an2an，则称数列an为

“对数凹性”数列．

(1)已知数列1，3，2，4和数列1，2，4，3，2，判断它们是否为“对数凹性”数列，并说明理由；

23

(2)若函数f(x)b1b2xb3xb4x有三个零点，其中bi0(i1,2,3,4)．

证明：数列b1,b2,b3,b4为“对数凹性”数列；

1

(3)若数列c的各项均为正数，cc，记c的前n项和为S，WS，对任意三个不相等正整数p，

n21nnnnn

q，r，存在常数t，使得(pq)Wr(qr)Wp(rp)Wqt．

证明：数列Sn为“对数凹性”数列．

2*

8．（2026·浙江金华·三模）若正实数数列cn满足cn1cncn2nN，则称cn是一个对数凸数列；若实

数列dn满足2dn1dndn2，则称dn是一个凸数列.已知an是一个对数凸数列，bnlnan．

(1)证明：a1a10a5a6；

(2)若a1a2a20241，证明：a1012a10131；

(3)若b11，b20242024，求b10的最大值．

π

1．（2025·上海松江·二模）已知函数yAsin(2x),A0,0π，当x时函数取得最大值4，记

6

yf(x).

(1)求函数yf(x)的表达式；

πan

(2)若数列an为等差数列，a2f(0),a4f，记bn2，求数列bn的前n项和Sn.

6

2.（2025·北京平谷·一模）对于数列A:a1,a2,,an，若满足ai0,1i1,2,3,,n，则称数列A为“01数列”.

定义变换T，若ai1，将ai变成0，1，若ai0，将ai变成1，0，得到新的“01数列”.设A0是“01数列”，

令AkTAk1,k1,2,3,.

(1)若数列A3:0,1,1,0,1,0,0,1,0,1,1,0，求数列A2,A1；

(2)若数列A0共有10项，则数列A2中连续两项相等的数对至多有多少对？请说明理由；

(3)若A0为0，1，记数列Ak中连续两项都是0的数对个数为lk,k1,2,3,.求lk关于k的表达式.

3.（2025·浙江温州·模拟）设数列an的各项均为不等的正整数，其前n项和为Sn，我们称满足条件“对任意

*

的m,nN，均有nmSnmnmSnSm”的数列an为“好”数列．

n1*

(1)试分别判断数列an，bn是否为“好”数列，其中an2n1，bn2，nN，并给出证明；

(2)已知数列cn为“好”数列．

①若c20192020，求数列cn的通项公式；

2

②若c1p，且对任意给定正整数p,s(s1)，有c1,cs,ct成等比数列，求证：ts．

4.（2025·河南洛阳·模拟）已知函数fxtanxax．

π

(1)当x0,时，fx0，求实数a的取值范围．

4

(2)若a1，设fx的正零点从小到大依次为a1,a2,a3,．

（ⅰ）证明：an1anπ；

（ⅱ）判断数列an1an的单调性，并证明．

π

附：当x0,时，sinxxtanx．

2

5.（2026·湖北省直辖县级单位·模拟预测）在篮球训练场上，教练甲指导三名学员A,B,C进行传球训练，训

练开始时，篮球在教练甲手中．由甲开始传球，他每次等可能地将篮球传给学员A,B,C其中一人，学员接

球后，将篮球传出，传给教练甲的概率为1，传给另外两学员的概率相等，篮球在四人之间传递．

4

(1)若四人进行了4次传球，求教练甲接球次数的分布列、数学期望；

(2)设Pn表示经过n次传球后篮球在A手中的概率，求Pn．

,,2

6．（2026·江苏盐城·月考）若数列an的各项均为正数，且对任意的相邻三项at1atat1，都满足at1at1at，

,,

则称该数列为“对数性凸数列”，若对任意的相邻三项at1atat1，都满足at1at12at则称该数列为“凸数

列”．

已知正项数列是一个凸数列，且cn，（其中为自然常数，*），证明：数列是一个对

(1)cn“”aneenNan“

数性凸数列”；

23

(2)若关于x的函数f(x)b1b2xb3xb4x有三个零点，其中bi0(i1,2,3,4)．证明：数列b1,b2,b3,b4是

一个“对数性凸数列”；

1n1n11n11n

设正项数列是一个对数性凸数列证明：．

(3)a0,a1,,an“”aiajaiaj

n1i0n1j1ni0nj1

*

7．（2026·北京海淀一模）已知数列an，如果对任意的nN且n2，都有an1an12an，则称an为

凸数列．

2n1

(1)直接判断数列ann2n和bn2是否为凸数列；

aaaa

(2)若a是一个凸数列，证明：当k,m,nN*，且1kmn时，有nmmk；

nnmmk

bn

(3)已知项数为2kk2,kZ的数列bn是一个凸数列，cn2,n1,2,3,,2k，且cn的所有项的和等于

2k，求ckck1的最大值．

8．（2026·辽宁辽阳·一模）在数列an中，记anan1an，若an为等差数列，则称an为二阶等差数

列．

2

(1)若an4n5n3，判断an是否为二阶等差数列？并说明理由；

(2)已知二阶等差数列an满足a10，a21，a33．

①求数列an的通项公式；

n1*

②若不等式ank2对nN恒成立，求实数k的取值范围．

*

9．（2026·湖北孝感·二模）已知数列an的前n项和为Sn，若对任意nN，向量pn4,2n1，qnSn,an，

为奇数

an1,n

有pq1．数列b满足b，其前n项和为Tn．

nnnn为偶数

3an,n

(1)求数列an的通项公式；

*

(2)若TnSnn对任意nN恒成立，求实数的取值范围．

10.（2026·黑龙江·一模）近年来，全球数字化进程持续加速，人工智能（ArtificialIntelligence，简称AI）已

然成为科技变革的核心驱动力，有媒体称DeepSeek开启了我国AI新纪元.某地区随机调查了经常使用某