2026年高考数学终极冲刺压轴07 解三角形的综合问题的7大核心题型（原卷版）

压轴07解三角形综合问题的7大核心题型

应用正弦定理、余弦定理解三角形是高考的必考内容，主要考查边、角、面积、周长等的计算，既有

选择、填空题，也有解答题，难度为中档或偏下.

题型01正、余弦定理

技法指导

1.正弦定理：在△ABC中，＝＝＝2R（R为△ABC的外接圆半径）.变形：a＝2RsinA，b＝2Rsin

���

sin�sin�sin�

B，c＝2RsinC，sinA＝，sinB＝，sinC＝，a∶b∶c＝sinA∶sinB∶sinC等.

���

＋－

.：在△中2�，2＝2＋2�2－2�.变形：2＋2－2＝，＝.

2余弦定理ABCabc2bccosAbca2bccosAcosA222

���

2��

3.三角形的面积公式：S＝absinC＝acsinB＝bcsinA.

111

222

1（.2024全国Ⅰ卷T16）记ABC内角A、B、C的对边分别为a，b，c，已知sinC2cosB，a2b2c22ab

(1)求B；

(2)若ABC的面积为33，求c．

题型02最值范围问题

技法指导

解与三角形有关的最值（范围）问题的基本步骤

（1）定基本量：根据题意和已知图形，选择相关的边、角作为基本变量，确定基本变量的范围；

（2）构建函数：将待求范围变量，利用正、余弦定理或三角恒等变换转化为基本变量的函数；

（3）求最值：利用函数有界性、单调性或基本不等式求最值.

cosAsin2B

2.（2024全国Ⅰ卷T15）记ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．

1sinA1cos2B

2

(1)若C，求B；

3

a2b2

(2)求的最小值．

c2

题型03多边形问题

技法指导

利用正、余弦定理解决平面多边形问题的策略

（1）将所给平面多边形拆分成若干个三角形，然后在各个三角形内利用正、余弦定理建立边角关系进行

求解；

（2）注意各个三角形之间的联系，特别是公共边、邻角之间的等量关系，交叉使用公共条件进行求解；

（3）注意三角形相似、平行四边形性质等几何结论的应用；

（4）注意方程思想的灵活运用，通过设出未知变量，建立方程进行求解.

3.（2023·新课标Ⅱ卷T17）记ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c，已知ABC的面积为3，D为BC中

点，且AD1．

π

(1)若ADC，求tanB；

3

(2)若b2c28，求b,c．

题型04角平分线问题

技法指导

角平分线问题的处理策略：在△ABC中，AD平分∠BAC

ABBD

(1)角平分线定理：＝.

ACCD

(2)利用两个小三角形面积和等于大三角形面积处理.

4.（2023全国甲卷T16）在ABC中，BAC60,AB2,BC6，BAC的角平分线交BC于D，则

AD．

题型05中线问题

技法指导

11

中线定理：在ABC中，AD是BC边上的中线，则有AD2AB2AC2BC2

24

a

5.（2025·湖南浏阳三模）锐角ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且tanBtanC.

ccosB

(1)求角C的大小；

(2)若边c2，边AB的中点为D，求中线CD长的取值范围．

题型06高线问题

技法指导

高线问题的处理策略

(1)等面积法：AD·BC＝AB·AC·sin∠BAC.

(2)AD＝AB·sin∠ABD＝AC·sin∠ACD.

(3)a＝c·cosB＋b·cosC.

6(2023·新高考Ⅰ卷T17)已知在△ABC中，A＋B＝3C，2sin(A－C)＝sinB.

(1)求sinA；

(2)设AB＝5，求AB边上的高.

题型07解三角形中的证明问题

技法指导

对于解三角形中的证明问题，要仔细观察条件与结论之间的联系，发现二者的差异，利用正弦定理、

余弦定理及三角恒等变换把条件转换为结论，即为证明过程.

7.(2022·全国乙卷)记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sinCsin(A－B)＝sin

Bsin(C－A).

(1)若A＝2B，求C；

(2)证明：2a2＝b2＋c2.

1．（2025·云南昆明·一模）记△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，AB，且

b1cosB

2sinAsinB．

a

(1)证明：B2A；

(2)当b2a时，求A．

2．（2025·江苏镇江·模拟）记ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c，已知3bsinCcsin2B0.

(1)求B；

(2)若b22，且22sinAcos2A1sin2A，求ABC的面积.

3．（2025·湖南湘潭一模）在锐角ABC中，内角A,B,C的对边分别是a,b,c，且满足a2c2acb2．

(1)求角B的大小；

(2)若b1，求a的取值范围．

4．（2025·河北秦皇岛二模）在平面四边形ABCD中，BCCD，AD2，ACD30，CAD45.

(1)求AC的长.

(2)若ABC为锐角三角形，求ABC面积的取值范围.

5．（2025·黑龙江齐齐哈尔·三模）已知ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,ABC的面积为

1

acsinCbsinBasinA．

2

(1)求A；

(2)若a2，且ABC的周长为5，设D为边BC中点，求AD．

6（.2025·浙江嘉兴·三模）已知a，b，c分别为ABC的三个内角A，B，C的对边，且acosC3asinCbc0.

(1)求A；

(2)若边BC上的高为3，且ABC的周长为6，求a.

7．（2025·北京大兴·三模）在ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，角A的角平分线交BC

A

于点D，且asinCccos．

2

(1)求A；

3

(2)若b2，且ABC的面积为，角A的角平分线为AD，求AD的长．

2

8．（2025·湖北荆州·模拟）已知ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且cos2Asin2Ccos2B0.

(1)证明：a22b2c2；

(2)设c2ab，

（ⅰ）求cosC；

（ⅱ）若ab4，角C的平分线与AB交于点D，求CD的长.

sinA2

9．ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c，已知a,b,c成等差数列，且．

sinB3

(1)求cosB；

(2)记ABC外接圆的面积为S，若S64π，求b的取值范围．

ab

10．已知ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,2cosB.

c

(1)若b4,c6，求a；

(2)证明：s