导数练习题及答案

章末检测

一、选择题

1.已知曲线尸V+2x—2在点，〃处的切线及x轴平行，则点财的坐

标是()

A.(―1,3)B.(―1,—3)

C.(—2,—3)D.(—2,3)

答案B

解析,:f(x)=2x+2=0,/.x=-l.

/'(—1)=(—1)'+2X(—1)—2=—3.J/(—19—3).

2.函数y=f—2V+5的单调减区间为()

A.(—8,—1)及(0,1)

B.(一1,0)及(1,+oo)

C.(―1,1)

D.(一8,—1)及(1,+8)

答案A

解析/=4f—4x=4x(V—1),令y'<0得x的范围为(一8,—

1)U(0,1),故选A.

3.函数f(x)=V+，+3x—9,在x=-3时取得极值，则a等于()

A.2B.3

C.4D.5

答案D

解析(x)=3/+2dx+3.由/'(X)在牙=-3时取得极值，

即/(—3)=0,即27—6a+3=0,.*.<3=5.

4.函数y=ln:।的大致图象为()

-AIJL

答案D

解析函数的图象关于万=-1对称，解除A、C,当x>—l时，y=

—ln（x+l）为减函数，故选D.

5.二次函数/=广（工）的图象过原点，且它的导函数（x）的图象

过第一、二、三象限的一条直线，则函数p=Ax）的图象的顶点所在

象限是（）

A.第一B.其次

C.第三D.第四

答案C

解析,・•尸/3的图象过第一、二、三象限，故二次函数尸Ax）

的图象必定先下降再上升且对称轴在原点左侧，又因为其图象过原

点，故顶点在第三象限.

6.已知函数f\x）=-x-\-aX-x—\在（一8,+8）上是单调函数，

则实数日的取值范围是（）

A.（—8,_木）B.［一/,小］

C.（而,+°°）D.（一小,小）

答案B

解析f（才）=—3/+243X一1W0在（一8,十8）恒成立，/=4,

—12W00一小

7.设F（x）=xlnx,若尸（围）=2,则及等于（）

A.e2B.In2

答案D

解析f(x)=x・(Inx)f+(x)’-Inx=l+lnx.

:•f(Ao)=l+lnx0=2,

••InXQ~~1f

/.x0=e.

8.设函数F(x)=:x—Inx(x>0),则y=_f(x)()

o

A.在区间(L1)(1,e)内均有零点

e

B.在区间(L1),(1,e)内均无零点

e

C.在区间d,1)内无零点，在区间(1,e)内有零点

e

D.在区间(L1)内有零点，在区间(1,e)内无零点

e

答案C

v—3

解析由题意得r(x)=-「，令f(x>>0得x>3；令r3V

0得0VxV3；f(x)=0得x=3,故知函数f(x)在区间(0,3)上为

减函数，在区间(3,+8)为增函数，在点x=3处有微小值l—ln3

<0；又F(l)=；>0,Ae)=1-1<0,f(-)=z^+l>0.

33e3e

9.设函数f(x)=殁/炉+小**+tang,其中

则导数r(1)的取值范围是()

A.[-2,2]B.h/2,如

C.[小,2]D.[y/2f2]

答案D

解析,:f(x)=Vsin0+x•yf^cos。,

f'(1)=sin°+小cos〃=2(；sin。+*cos0)

13.在平面直角坐标系xa中，点P在曲线Gy=f—10x+3上，

且在其次象限内，己知曲线。在点P处的切线的斜率为2,则点P的

坐标为________.

答案(2,15)

解析/=3y-10=2nx=±2,又点尸在其次象限内，.•.x=-2,

得点〃的坐标为(一2,15)

14.函数f{x)=x-\-ax+bx+a2,在x=l时有极值10,那么a,b

的值分别为.

答案4,-11

解析f(x)=3产+2@万+6,f(1)=2a+b+3=0,

/(l)—a+a+。+1—10,

[2a+Z;=-3fa=-33=4

仁T1'当户―3时，户1

4+w+Z?=9'b=3

不是极值点，a,6的值分别为4,-11.

三、解答题

93

设鼻〈水函数=/一凝/+的最大值为最

15.O1,f(x)乙6(—1WxWl)1,

小值为一半，求常数d,b.

解令f'(x)=3*—3ax=0,

得汨=0,x2=a.

，3

f(0)=b,f{a)=-y+Z?,F(—1)=—1—y+b,

乙乙

3

/(I)

乙

23

因为鼻＜水1,所以1一5水0,

O乙

故最大值为/1(0)=6=1,

所以f(x)的最小值为f(―1)=—1—1+b=~^a,

乙乙

所以一。=一乎，所以a=乎.

乙乙O

故d=*,b=l.

16.若函数/")="—ax+3在［―；,［上是单调函数，则实数a

乙乙

的取值范围为多少？

解ff(x)=12V—d,若f(x)在［―)上为单调增函数，则

f,0)20在［―］,上恒成立，

乙乙

即12/一心0在上恒成立,

乙乙

二•aWl2V在［一〈，上恒成立,S(12/)min=0.

J乙

当a=0时，f(x)=12/20恒成立(只有才=0时/(才)=0).

・・・a=0符合题意.

若/'(X)在［一］号上为单调减函数，

乙乙

则，a)wo,在［上上恒成立，

乙乙

即12/一W0在［-］］上恒成立,

乙乙

・••心12*在［―］，占上恒成立，

(12x)max=3.

当a=3时•(x)=12/—3=3(4V-1)WO恒成立(且只有x=土;时

乙

f(x)=0).

因此，a的取值范围为a<0或a23.

17.某村庄拟修建一个无盖的圆柱形蓄水池(不计厚度).设该蓄水池

的底面半径为二米，高为方米，体积为/立方米.假设建立成本仅及

表面积有关，侧面的建立成本为10。元/平方米，底面的建立成本为

160元/平方米，该蓄水池的总建立成本为12000兀元(兀为圆周率).

(1)将M表示成r的函数/(r),并求该函数的定义域；

⑵探讨函数VG)的单调性，并确定r和力为何值时该蓄水池的体积

最大.

解(1)因为蓄水池侧面的总成本为100・力=200JT］力(元)，底

面的总成本为160五/元，

所以蓄水池的总成本为(200n/力+160B/)元.

又依据题意20011?力+160兀#=12000IT?

所以方=4(300—4力，

5r

从而l7(r)—兀//?=~(3002—4r).

5

因为r>0,又由/?>0可得K5小,

故函数-⑴)的定义域为(0,5娟).

ji

(2)因为Kr)=—(300r-4r),

5

JI

故〃(r)=v(300-12r).

5

令/(r)=0,解得不i=5,々=—5(因为々=—5不在定义域内，舍

去).

当r£（0,5）时,r（r）＞0,故Hr）在（0,5）上为增函数；

当r£（5,54）时，r（r）＜0,故Mr）在（5,5#）上为减函数.

由此可知，在r=5处取得最大值，此时力=8.

即当r=5,方=8时，该蓄水池的体积最大.

17.统计表明，某种型号的汽车在匀速行驶中每小时的耗油量y（升）

关于行驶速度＞（千米/时）的函数解析式可以表示为：

IZoUUU

3

^+8（0＜^120）.已知甲、乙两地相距100千米.

oU

（1）当汽车以40千米/时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地要耗油多

少升？

⑵当汽车以多大的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少？最少

为多少升？

解（1）当x=40时，汽车从甲地到乙地行驶了爷=2.5小时，

13

要耗油（一改40：'—记X40+8）X2.5=17.5（升）.

IZoUUUoU

⑵当速度为，千米/小时时，汽车从甲地到乙地行驶了蜉小时，设

耗油量为力（X）升,

，/、/1：，3।仆10012।80015小

依题思得力⑺=(128000“一访"8)•丁=1280“十丁-7°<

启120),

3

V800/-80

，

h=6407=6401(0<A<120).

令力'（才）=0,得）=80.

当（0,80）时,h'（与V0,力（x）是减函数;

当(80,120)时，加(x)>0,力(x)是增函数.

・・.当x=80时,力(x)取到微小值力(80)=11.25.

因为力(x)在(0,120]上只有一个极值，所以它是最小值.

答当汽车以40千米/时的速度匀速行驶时•，从甲地到乙地耗油17.5

升.当汽车以80千米/时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少,

最少为11.25升.

18.已知函数_f(x)ainx—；(d£R，wWO).

(1)当d=3时，求曲线y=F(x)在点(1,f(D)处的切线方程；

⑵求函数〃>)的单调区间；

(3)若对随意的xU[l,-卜8),都有〃才)20成立，求〃的取值范围.

1

解(1)当a=3时，f(x)3-r1)=0,

3

:・f(x)=x—~,/.f'(1)=—2,

x

・・・曲线尸F(x)在点(1,F(l))处的切线方程2x+y—2=0.

/、,/、ax3—a、

(2)f(x)=x9—=----(zy>0).

xx

①当avo时，r金)=工『>0恒成立，函数f(x)的递增区间为(o,

+°°).

②当a>0时，令f(x)=0,解得才=/或