高中数学必修一函数性质详解及知识点总结及题型详高中数学必修一函数性质详解及知识点总结及题型详解

(经典)中学数学最全必修一函数性质详解及学问点总结及题型详解分析

一、函数的概念与表示

1、映射：(1)对映射定义的理解。(2)推断一个对应是映射的方法。一对多不是映射，多对一是映射

集合A,B是平面直角坐标系上的两个点集，给定从A-B的映射f:(x,y)-(x?+y；xy),求象(5,2)的原

象.

1

3.已知集合A到集合R={0,1,2,3)的映射f:x一凶一1,则集合A中的元素最多有几个写出元素最多

时的集合A.

2、函数。构成函数概念的三要素①定义域②对应法则③值域

两个函数是同一个函数的条件：三要素有两个相同

1、下列各对函数中，相同的是(r

V--1_1

A、/(x)=lgx2^(x)=21gxB、/(x)=lg---^(x)=lg(x+l)-lg(x-l)

x-\

C、f(u)=-^10、f(X)=x,f(x)=

2、M={x|0WxW2),N={y|0Wy«3)给出下列四个图形，其中能表示从集合M到集合

N的函数关系的有()

A、0个B、1个C、2个D、3个

二、函数的解析式与定义域

函数解析式的七种求法

待定系数法：在已知函数解析式的构造时，可用待定系数法。

例1设/(X)是一次函数，且/[/(A)]-4A+3,求/(x)

配凑法：已知复合函数/3(刈]的表达式，求/。)的解析式，//。)]的表达式简洁配成g(x)的运算形式时，

常用配凑法。但要留意所求函数/(X)的定义域不是原复合函数的定义域，而是g(x)的值域。

例2已知f(x+-)=x2+-V(x>0),求f(x)的解析式

三、换元法：已知复合函数的表达式时，还可以用换元法求/(X)的解析式。与配凑法一样，要留意所

换元的定义域的改变。

例3已知/(4+1)=工+26，求/(X+1)

四、代入法：求已知函数关于某点或者某条直线的对称函数时，一般用代入法。

例4已知：函数》=/+工与)，=8(幻的图象关于点(-2,3)对称，求g(x)的解析式

五、构造方程组法：若已知的函数关系较为抽象简约，则可以对变量进行置换，设法构造方程组，通过解方

程组求得函数解析式。例5设/3)满足八公-2/(3=乂求/")

x

例6设/(x)为偶函数，g(x)为奇函数，又/1(x)+g(x)=」一,试求和g(x)的解析式

x-1

六、赋值法：当题中所给变量较多，且含有“随意”等条件时，往往可以对具有“随意性”的变量进行赋值,

使问题详细化、简洁化，从而求得解析式。

例7已知：/（0）=1,对于随意实数x、y,等式/（x-），）=/*）一），（2工一），+1）恒成立，求/⑶

七、递推法：若题中所给条件含有某种递进关系，则可以递推得出系列关系式，然后通过迭加、迭乘或者迭

代等运算求得函数解析式。

例8设/㈤是M上的函数,满意/⑴=1,对随意的自然数。力都有/（。）+/（勿=/（4+份-"，求/0）

1、求函数定义域的主要依据：

（1）分式的分母不为零；（2）偶次方根的被开方数不小于零，零取零次方没有意义；

（3）对数函数的真数必需大于零；（4）指数函数和对数函数的底数必需大于零且不等于1；

6.（05江苏卷）函数y=Jlog”（4x2_3x）的定义域为

2求函数定义域的两个难点问题

（1）已知f（x）的定义域是-2,5],求f（2x+3）的定义域。

（2）己知f（2x-l）的定义域是[T,3],求f（x）的定义域

例2设f（x）=lg|^,则/（；）+/（-）的定义域为

2-x2x

变式练习：/（2-%）="-%2,求/（五）的定义域。

三、函数的值域

1求函数值域的方法

①干脆法：从自变量x的范围动身，推出y=f（x）的取值范围，适合于简洁的复合函数;

②换元法：利用换元法将函数转化为二次函数求值域，适合根式内外皆为一次式;

③判别式法：运用方程思想，依据二次方程有根，求出y的取值范围：适合分母为二次且x£R的分式;

④分别常数：适合分子分母皆为一次式（x有范围限制时要画图）;

⑤单调性法：利用函数的单调性求值域；

⑥图象法：二次函数必画草图求其值域;

⑦利用对号函数

⑧几!可意义法：由数形结合，转化距离等求值域。主要是含肯定值函数

1.（干脆法）y=-----2.f（x）=2-yl24+2x-x13.（换元法）y=-x+V2x-1

x~+2x+3

4.（A法）），=T25.y=:上16.（分别常数法）①y=_匚②

y=|^（-2<x<4）7.（单调性）y=x-j~（xe[T，3]）8.①y=/'，②

2x+12xx+\yjx—\

3J=VX+I-VX-T9.（图象法）y=3+2xT2（_[<xK2）10.（对勾函

Q

数）y=2x+-[x>4）

x

11.（几何意义）y=|x+2|-|x-l|

四.函数的奇偶性

1.定义：2.性质：

①y二f（x）是偶函数<=>y=f（x）的图象关于y轴对称，y=f（x）是奇函数oy=f（x）的图象关于原点对称，

②若函数f（x）的定义域关于原点对称，则f（0）=0

③奇士新奇偶土偶:偶奇义奇=偶偶X偶二偶奇乂偶=奇[两函数的定义域D-仄，DAD,要关于原点对称]

3.奇偶性的推断CD看定义域是否关于原点对称②看f（x）与f（-x）的关系

1已知函数/(X)是定义在(-8,+8)上的偶函数.当工£(-8,0)时，f(x)=X-X4,则当

X£(0,+00)时，f(X)=.

-2X4-h

2已知定义域为R的函数/(大)=一^是奇函数。(I)求4力的值；(II)若对随意的

2+a

teR,不等式/。2_力)+/(2/-幻<0恒成立，求]的取值范围;

3已知/(x)在(-1,1)上有定义，且满意X,ye有/a)_/(、)=/(=马，

\-xy

证明：/(x)在(一1,1)上为奇函数；

4若奇函数/(刈(入飞©满意八2)-1,/(工十2)-/(刈十八2),则/⑸一

五、函数的单调性

1、函数单调性的定义：2设y=/卜a)]是定义在M上的函数，若f(x)与g(x)的单调性相反，则)，=/[g(x)]在

M上是减函数；若f(x)与g(x)的单调性相同，则)，=/[g(x)]在M上是增函数。

2例函数/(x)对随意的HGR,都有f(m+n)=f(m)+,并且当x>0时，

/W>1，

⑴求证：/*)在R上是增函数；⑵若/(3)=4,解不等式八/+叱5)<2

3函数y=log。/(6+x-2/)的单调增区间是________

4(高考真题)已知=是(…什⑼上的减函数，则。的取值范围是

Ilogrtx,x>l

(A)(0,1)(B)(0,1)(C)[p1)(D)[1,1)

一：函数单调性的证明L取值2,作差3,定号4,结论

二：函数单调性的判定，求单调区间

222

y=\x-2x-3|y=x-2|A|-3j=d-x+5x_4y=1】=

・'V-x2-2x+3

产4x]

-割+2)y=]y=E

az八、

y=x+-(tz>0)y=x——(a>0)

x

三：函数单调性的应用1.比较大小例：假如函数=法+。对随意实数/都有/(2+。=/(r-2),

则A、f(2)</(I)</(4)B、/(l)</(2)</(4)C./(2)</(4)</(l)C、/(4)</(2)</(I)

2.解不等式例：定义在(一1,1)上的函数/。)是减函数，且满意：求实数。的取值范围。

例：设/6)是定义在电田)上的增函数，/⑵=1,且/(^)=/WVO),

求满意不等式/*)+/(x-3S2的X的取值范围.

3.取值范围例：函数/a)=--2(a-l)"2在(-④⑷上是减函数则。的取值范围是.

例：若〃幻=产-1)1+4"E是氏上的减函数，则〃的取值范围是()

logflXx>\

A.(0,1)B.叫C.［1,1)D.［pl)

4.二次函数最值例：探究函数/(幻=/一2介+1在区间［0』的最大值和最小值。

例：探究函数/(x)=--2x+l在区间［a,a+l］的最大值和最小值。

5.抽象函数单调性推断

例：已知函数“幻的定义域是(0,+8),当x>l时,/«>(),且/(盯)=/。)+/()，)

⑴求/⑴，⑵证明/(X)在定义域上是增函数

⑶假如/4)=-1,求满意不等式/(幻-/(，■)22的彳的取值范围

3x-2

2

例：已知函数/'(x)对于随意x,y£R,总有f(x)+f(y)=f(x+y),且当x>0时，f(x)(0,f(l)=-7.

o

(1)求证：f(x)在R上是减函数；(2)求/、(x)在［—3,3］上的最大值和最小值.

例：已知定义在区间(0,+8)上的函数/Q)满意/、卢)=/(由)一/U),且当x>l时，F(x)<0.

Xi

⑴求f(l)的值；(2)推断/U)的单调性；(3)若f(3)=-1,解不等式f(|x|)<-2.

六.函数的周期性：

1.(定义)若/(X+7')=/'(刈(7'工0)0/*)是周期函数，丁是它的一个周期。说明：nT也是/*)的周期

(推广)若/(x+a)=/(x+A),则/(x)是周期函数，〃一〃是它的一个周期

比照记忆/5+。)=/(不一。)说明：f(a4-x)=/(。一幻说明：

2.若/(x+d)=-/(x)；/(x+a)=-^—；f(x+a)=―^―；则/(幻周期是2a

fMf(x)

i已知定义在R上的奇函数f(x)满意Ax必二一尸⑺，则，丹6)的值为

(A)-l(B)0(01(D)2

2定义在R上的偶函数f(x),满意/(2+x)=/(2-x),在区间［-2,0］上单调递减，设

a=f(-l.5).b=f(y/2).c=f(5)，则6,C的大小依次为

3已知f(x)是定义在实数集上的函数，且/。+2)=上做，荀⑴=2+△则

1-7W

f(2005)=

4已知/⑶是(-8,+8)上的奇函数,f(2+x)=-f(x)f当04x41时,f(x)=x,则

f(7.5)=________

例11设/(x)是定义在R上的奇函数，且对随意实数x恒满意/(2+x)=-/(X),当

_¥&[0,2]时/(幻=2工--(1)求证：/(x)是周期函数；(2)当xw[2,4]时，求/(幻的解析式;

⑶计算：f⑪+/(1)+/⑵+…+/(2005)

七.5次函数(涉及二次函数问题必画图分析)

1、已知函数=次+5在区间[-2,+8)上是增函数，则/⑴的范围是

()

(A)/(1)>25(B)/(1)=25(C)/(1)W25(D)/(I)>25

2、方程〃优2+2mv+i=o有一根大于1,另一根小于1,则实根m的取值范围是

八.指数式与对数式

1.幕的有关概念

(1)零指数鼎aQ=]("0)(2)负整数指数塞「=o0,”wN)

m

⑶正分数指数第十=>0,m,neN\n>1)；

(5)负分数指数暴a，=」•=已=(。>0,〃7,〃£N”,〃>1)

(6)0的正分数指数幕等于0,0的负分数指数幕没有意义.

2.有理数指数累的性质

>0,r,5eQ)(2)|ff)=/(a>0,r,s£Q)(3)卜/〃)’=〃方(«>0,/?>0,reQ)

3.根式根式的性质：当〃是奇数，则叱=a；当〃是偶数，则〃，=时=["a-0

-aa<0

4.对数⑴对数的概念:假如a"=N(a>0,a工1),则b叫做以a为底N的对数，记〃=logaN(a>0,a01)

⑵对数的性质：①零与负数没有对数②log,1=0③log,”I

(3)对数的运算性质

M

log.—=log.M-log.N

logMN=logM+logNN。a

对数换底公式：log0N=1°。"'A(N>0,a>0且〃o>0且/〃丰1)

*a

对数的降幕公式：log„N1'=-log,N(N>0,«>0H.a1)

"m

J旧Q4ab7产Ig8+lgl25-lg2-lg5

(1)4”।(2)

IgTlOIgO.l

(0.1)-2(//3)2

十.指数函数与对数函数

1、指数函数丫二或与对数函数y=log.x(a>0,aWl)互为反函数

名称指数函数对数函数

x

一般形式Y=a(a>0且aWDy=1og:.x(a>0,aWl)

定义域(―8,+OO)(0,+8)

值域(0,+8)(-8,+OO)

过定点(0,1)(1,0)

指数函数y=a"与对数函数y=log；,x(a>0,aWl)图象关于y=x对称

iy

xf^zy=ax(a>l)

1J71ogx(a>l)

图象y=a(0<a<lX/a

____o

1y=logax(o<a<i)

a>1,在(-8,+8)上为增函

数a>l,在(0,+8)上为增函数

单调性

0<a<l,在(-8,+8)上为0<a<l,在(0,+8)上为减函数

减函数

值分布y>ly<ly>0y<0

2.比较两个累值的大小，是一类易错题，解决这类问题，首先要分清底数相同还是指数相同，假如底数

相同，可利用指数函数的单调性；指数相同，可以利用指数函数的底数与图象关系(对数式比较大小同理)

记住下列特别值为底数的函数图象：

3、探讨指数，对数函数问题，尽量化为同底,并留意对数问题中的定义域限制

4、指数函数与对数函数中的绝大部分问题是指数函数与对数函数与其他函数的复合问题,探讨复合函

数的单调性是解决问题的重要途径。

1、(1))=JiQ+lg(5—3x)的定义域为;

1

(2))，=2工的值域为________；

(3))，=怆(-/+工)的递增区间为,值域为

2、(1)暗产」^。，则________

24

3、要使函数)，=1+2'+4'。在xe(-8,l］上)，>0恒成立。求。的取值范围。

4.若冷+4•印一工<0(a>0且a#l),求尸2#—3•H+4的值域.

22

十.函数的图象变换

(1)1、平移变换：(左+右-，上+下-)即

右移;.左手多

y=/(x)/7VO,/7>O>y=/(x+”)

文下移;大.上不多

y=/(x)v().>O>y=/(x)+k

①对称变换：(对称谁，谁不变，对称原点都要变)

y=/(x)———>y=一八不)

_y=八x)———>y=/(—x)

y=八x)—3>y=一/(一x)

、=八x)—匕=尸O)

y=/(x)y^lh右边不变.左边为右边部分的对称图>y=八㈤)

保田,«仙上力-i冬I,米外看由卜方图匕拥

y=.尸(”)>y=\,fM\

i.f(x)的图象过点(0,1),则f(4-x)的反函数的图象过点()

A.(3,0)B.(0,3)C.(4,