高中数学导数题型总结1

导数

经典例题剖析

考点一：求导公式。

例1.口是口的导函数，则口的值.........

考点二：导数的几何意义。

例2.已知函数口的图象，在点□处的切娱方程是口，则........

例3.曲线y=V-2X2-4X+2在点(1,-3)处的切线方程是。

考点三：导数的几何意义的应用。

例4.已知曲线C：口，直线口，且直线□与曲线C相切于点口口，求直线□的方程及切点坐

标。

考点四：函数的单调性。

例5.巳知口在R上是减函数,求口的取值范围。

例6.设函数□在□及口时取得极值。

(1)求b的值;

(2)若对于任意的，都有成立，求c的取值范围。

点评：本题考查利用导数求函数的极值。求可导函数口的极值步臊：①求导数口；

②求口的根：③将口的根在数轴上标出，得出单调区间，由口在各区间上取值的正负可确定

并求出函数口的极值。

例7.已知□为实数，□。求导数口；(2)若口，求□在区间口上的最大值和最小值。

解析：(1),O

(2)

令，即

,解得

或，

则和

在区间4

-2(-2,-1)-12

上随的卜周3

变化情

况如下

表：

X

广⑴+0—0+

/(X)0增函数极大值减函数极小值增函数0

,o所以，在区间上的最大值为，最小值为。

答案：（1）口；（2）最大值为口，最小值为口。

点评：本题考查可导函薮最值的求法。求可导函数口在区间口上的最值，要先求出函数口

在区间口上的极值，然后与口和口进行比较，从而得出函数的最大最小值。

考点七：导数的综合性问题。

例8.设函数□□为奇函数，其图象在点□处的切线与直线□垂直，导函数U的

最小值为口。（1）求口，口，□的值；

（2）求函数的单调递增区间，并求函数在上的最大值和最小值。

解析：（1）为奇函数，，，即

*

••>

的

最小值

为，

•

••>

又直线

的斜

率为，

（-8,一扬（-近，五）V2(£+8)

因此，

*

，••

，，

（2）o

,列表

如下：

X

f\x)+0一0+

fM增函数极大减函数极小增函数

所以函数的单调增区间是和，;・•・在上的最大值是，最小值

是。

答案：G)口，口，口；(2)最大值是口，最小值是口。

点评：本题考查函数的奇偶性、单调性、二次函数的最值、导数的应用等基础知识，以

及推理能力和运算能力。

导数强化训练

(一)选杼题

1.已知曲线的一条切线的斜率为，则切点的横坐标为..)

A.IB.2C.

3D.4

2.曲线在点(1,-1)处的切线方程为…)

A.B.C.D.

3函.数在处的导数等..…)

A.1B.2C.3D.4

4.已知函数的解析式可能为...)

A.B.

C.D.

5.函数，已知在时取得极值，则=..)

(A)2(B)3(C)4(D)5

6.函数是减函数的区间为...)

(A)(2,+oo)(B)(-oo,2)(C)(-oo,0)(D)(0,2)

7.若函数的图象的顶点在第四象限，则函数的图象是…)

RCD

A

8.函数在区间上的最大值是(A)

A.B.C.D.

9.函数的极大值为，极小值为，则.…)

A.OB.1C.2D.4

10.三次函数在内是增函数，.....)

A.B.C.

D.

11.在函数的图象上，其切线的倾斜角小于的点中，坐标为整数的点的个数是

...）

A.3B.2C.ID.0

12.函数的定义域为开区间，导函数在内的图象如图所示，则函数在开区间内

有极小值点（.）

A.1个B.2个

C.3个D.4个

（二）填空题

13.曲线在点处的切线与轴、直线所围成的三角形的面积为o

14.已知曲线，则过点“改为在点”的切线方程是

15.已知是对函数连续讲行n次求导.若，对于仔意.都有=0.则n的最少值..….

16.某公司一年购买某种货物400吨，每次都购买吨，运费为4万元/次，一年的总存储费

用为万元，要使一年的息运费与总存储费用之和最小，则吨.

（三）解答题

17.已知函数,当时，取得极大值7；当时，取得极小值.求这个极小值及的值.

18.已知函数

（1）求/（X）的单调减区间；

（2）若在区间[-2,2].上的最大值为20,求它在该区间上的最小值.

19.设，点P(,0)是函数的图象的一个公共点，两函数的图象在点P处有相同的切线。

(1)用，表示

(2)若函数在(一1,3)上单调递减，求的取值范围。

20.设函数，已知是奇函数。

(1)求Z?、c的值。

(2)求g(x)的单调区间与极值。

21用长为Lem的钢条围成一个长方体形状的框架，要求长方体的长与宽之比为2:1,问该

长方体的长、宽、高各为多少时，其体积最大？最大体枳是多少？

22.已知函数在区间，内各有一个极值点.

(1)求/-4〃的最大值：

当时，设函数在点处的切线为，若在点处穿过函数的图象(即动点在点附近沿

曲线运动，经过点时，从的一侧进入另一侧)，求函数的表达式.

强化训练答案：

l.A2.B3.D4.A5.D6.D7.A8.A9.A10.A1I.D12.A

(四)填空期

(五)..16.20

(六)解答题

17.解：o

据题意，一】，3是方程的两个根，由韦达定理得

-1+3=-—

<3

-1x3=-

/.a=-3,b=—9

.♦・/(x)=X3-3x2-9x+c

极小值/(3)=33-3X32-9X3+2=-25

，极小值为-25,,。

18.解：(1).令，解得

所以函数/(X)的单调递减区间为(-8,-1),(3,+8).

(2)因为/(-2)=8+12-18+〃=2+。，/(2)=-8+12+18+4=22+4

所以因为在(一1,3)上,所以在〔一1,2〕上单调递增，又由于在［-2,一口上单调递减,

因此和分别是在区间上的最大值和最小值.于是有，解得

故7(x)=一第，+3x2+9x-2.因此/(-I)=1+3-9-2=-7,

即函数/(X)在区间［-2,2］上的最小值为-7.

19.解：(1)因为函数.的图象都过点(，0),所以.

.即.因为所以.

又因为，在点(，0)处有相同的切线，所以

而f\x)=3x2+a,g'(%)=2/zr,所以3/+〃=2bt,

将代入上式得因此故，，

(2)y=/(x)-g(x)=x3-rx-tx1=3x2-2tx-r=(3x+r)(x-O.

当时，函数单调递减.

由，若：若

由题意，函数在(一1,3)上单调递减，则

(-1,3)U(-,，/)或(一1,3)U。,一,).所以，>3ng-->3.即r<-9或z>3.

333

又当时，函数在(一1,3)上单调递减.

所以，的取值范围为(一8,-9］D［3,+8).

20.解：(I)V一•.。从而=是一个奇函数，所以得，由奇函数定义得：

(2)由(I)知，从而，由此可知，

(-00,-72)和(血,+8)是函数g(K)是单调递增区间：

(-V2,J5)是函数g(_r)是单调递减区间：

在时，取得极大值，极大值为，在时，取得极小值，极小值为0

21.解：设长方体的宽为(m),则长为.(m),高为

.18-12x「1\

h=-----=4.5-3Mm)^(Xx<—.

故长方体的体积为

V(x)=2x2(4.5-3x)=9x2-6x3(〃/)[0<x<|j

从而Vr(x)=18x-18x2(4.5-3x)=18x(1-x).

令，解得(舍去)或，因此.

当时，：当时，，

故在处取得极人值，并且这个极人值就是的最人值。

从而最大体积,此时长方体的长为2m,高为1.5m.

答：当长方体的长为2m时，宽为1m,高为1.5m时，体积最大,最大体积为。

22.解：(1)因为函数在区间，内分别有一个极值