第三章-结构模型化技术

2026/4/31第三章系统模型与模型化

第一节概述

第二节系统结构模型化技术

第三节主成分分析及聚类分析

第四节状态空间模型

第五节系统工程模型技术的新进2026/4/32第一节系统模型与模型化概述一切客观存在的事物及其运动形态称为“实体”（即原型）。为便于实验、分析和预测，总是先把所需研究的系统结构型态或运动形态变成易于考察的形式，即转化为“模型”。一、系统模型定义1.定义：系统模型是对现实系统（实体）的特征及其变化规律的一种模仿、抽象或描述。2026/4/33系统的属性是多方面的，系统模型只是系统某一方面本质属性的描述，所以同一系统或试题，模型不是唯一的；模型建立是以模型与原型之间的相似性为基础的，这里的相似可以是外表的相似，内部结构的相似或仅为功能的相似。模型可以是定量的，也可以是定性的，或是两者的结合模型。

2.系统模型的特征它是现实系统的抽象或模仿；它是由反映系统本质或特征的主要因素构成；它集中体现这些主要因素之间的关系。说明：2026/4/343.使用系统模型的必要性系统开发的需要。在开发一个新系统时，系统尚未建立，无法直接实验；经济性考虑。大型复杂系统直接实验价格昂贵；安全性考虑。有些系统直接实验是很危险的，有时根本不允许；时间上考虑。社会、经济、生态系统，惯性大，反应周期长；系统模型易操作，分析结果易于理解。2026/4/35二、模型化的本质、作用及地位（见下页图）

1.本质：利用模型与原型之间某方面的相似关系，在研究过程中用模型来代替原型，通过对于模型的研究得到关于原型的一些信息。

2.作用：①模型本身是人们对客体系统一定程度研究结果的表达。这种表达是简洁的、形式化的。②模型提供了脱离具体内容的逻辑演绎和计算的基础，这会导致对科学规律、理论、原理的发现。③利用模型可以进行“思想”试验。

3.地位：模型的本质决定了它的作用的局限性。它不能代替以客观系统内容的研究，只有在和对客体系统相配合时，模型的作用才能充分发挥。2026/4/36实际系统结论模型现实意义模型化实验、分析解释比较系统模型（化）的作用与地位2026/4/37（一）按与实体的关系系统模型可分为：

1形象模型（实体与比例模型）这种模型保留着实体的外形特征，仅在尺度上成比例的改变。

2模拟模型根据相似系统原理，利用一种系统代替或近似描述另一种系统，前者为后者的模拟模型。

3数学模型用各种数学符号、数值描述工程、技术、管理、经济等有关因素及它们之间数量关系的模型。包括网络模型、图表模型、逻辑模型和解析模型。三、系统模型分类2026/4/38模型思维描述字句图示数学物理图像概念符号形象类比仿真2026/4/39物理模型—垃圾发电站2026/4/310形象——图像模型2026/4/311仿真模型——飞机数字化制造2026/4/312maxZ=6x1+4x2s.t.2x1+3x2≤1004x1+2x2≤120x1，x2≥0产品/资源甲乙可利用的资源总量原材料（吨）23100加工时间（小时）42120单位利润（百元）64数学模型——线性规划资源优化模型一个企业需要同一种原材料生产甲乙两种产品，它们的单位产品所需要的原材料的数量及所耗费的加工时间各不相同，从而获得的利润也不相同（如表）。该企业应如何安排生产计划，才能使获得的利润达到最大？2026/4/313四、构造模型的一般原则1、建立方框图：简化系统内部相互作用；2、考虑信息的相关性：只应包括系统中与研究目的有关的信息；3、考虑准确性：收集的用以建模的信息要准确；4、考虑结集性：将一些个别的实体组成更大实体的程度。生产管理部门采购部门制造车间装配车间装运部门原料成品用户订货2026/4/314五、建模一般过程（1）明确建模目的和要求；（2）弄清系统或子系统中的主要因素及其相互关系；（3）选择模型方法；（4）确定模型结构；（5）估计模型参数；（6）模型试运行；（7）对模型进行实验研究；（8）对模型进行必要修正。2026/4/315六、模型化的基本方法序号模型化方法模型1分析法或机理法2实验方法（模拟法、统计数学分析、试验分析）3综合法（既重视试验数据，又承认理论价值）4专家法或老手法(Delphi)5辩证法（系统是一个对立统一体，是由矛盾的两方面构成的）利用逻辑演绎方法，从公理、定律导出系统模型通过实验结果的观察和分析，利用逻辑归纳法导出系统模型2026/4/316①减少变量，减去次要变量例在物理中对碰撞的研究，假设物体是刚体，忽略了形变损失的力。②改变变量性质如变常数，连续变量离散化，离散变量连续化等变换方法。③合并变量（集结）如在做投入产出分析时，把各行业合并成工、农等产业部门。④改变函数关系如去掉影响不显著的函数关系（去耦、分解），将非线性化转化成线性化或用其它函数关系代替。⑤改变约束条件通过增加、修改或减少约束来简化模型。七、模型的简化2026/4/317第二节系统结构模型化技术一、系统结构模型化基础二、建立递阶结构模型的规范方法三、建立递阶结构模型的实用方法四、解释结构模型方法的优点与不足2026/4/318第二节系统结构模型化技术

系统是由许多具有一定功能的要素(如设备、事件、子系统等)所组成的，而各个要素之间总是存在相互支持或相互制约的逻辑关系。在这些关系中，又可分为直接关系和间接关系等。因此我们在开发或改造一个系统的时候，首先要了解系统中各要素间存在怎样的关系，是直接的还是间接的关系等。只有这样，才能更好的完成开发或改造系统的任务。要了解系统中各要素之间的关系，也就是要了解和掌握系统的结构，或者说要建立系统的结构模型。

2026/4/319概念：结构→结构模型→结构模型化→结构分析结构：组成系统的诸要素之间相互关联的方式。结构模型：定性表示系统构成要素以及它们之间存在着的本质上相互依赖、相互制约和关联情况的模型。结构模型化：建立系统结构模型的过程。结构分析：实现系统结构模型化并加以解释的过程。（一）系统结构分析的概念和意义2026/4/320系统结构分析系统结构分析的具体内容：对系统目的—功能的认识；系统构成要素的选取；对要素间的联系及其层次关系的分析；系统整体结构的确定及其解释。系统结构分析的意义：是系统分析的重要内容，是系统优化分析、设计与管理的基础。结构模型作为对系统进行描述的一种形式，正好处在自然科学领域所用的数学模型形式和社会科学领域所用的以文字表现的逻辑分析形式之间。结构模型是一种以定性分析为主的模型，可以分析系统中的要素选择的是否合理，还可以分析系统要素及其相互关系变化时对系统的总体影响等问题。因此，它适合用来处理处于社会科学为对象的复杂系统和比较简单的以自然科学为对象的系统中存在的问题。尤其是在分析与解决社会经济系统问题时，对系统结构的正确认识和描述更具有数学模型和定量分析所无法替代的作用。2026/4/3211、系统结构的集合表达2、系统结构的有向图表达3、系统结构的矩阵表达（二）系统结构的基本表达方式2026/4/3221、系统结构的集合表达设系统由n(n≥2)个要素(S1，S2，…，Sn)所组成，其集合为S，则有：S={S1，S2，…，Sn}。所谓二元关系是根据系统的性质和研究的目的所约定的一种需要讨论的、存在于系统中的两个要素(Si、Sj)之间的关系Rij(简记为R)。要素之间的二元关系通常有影响关系、因果关系、包含关系、隶属关系以及各种可以比较的关系(如大小、先后、轻重、优劣等)。2026/4/323二元关系是结构分析中所要讨论的系统构成要素间的基本关系，

一般有以下三种情形:Si与Sj间有某种二元关系R，即SiRSj；Si与Sj间无某种二元关系R，即Si

Sj；Si与Sj间的某种二元关系R不明，即SiSj。2026/4/324二元关系的传递性二元关系通常具有传递性，如SiRSj、SjRSk,则SiRSk，传递性二元关系反映两个要素的间接联系，可记作Rt(t为传递次数)，如将SiRSk记为SiR2Sk

。对系统的任意构成要素Si和Sj来说，既有SiRSj，又有SjRSi，这种相互关联的二元关系叫强连接关系。

2026/4/325用系统的构成要素集合S和在S上确定的某种二元关系集合Rb来共同表示系统的某种基本结构。系统构成要素中满足其种二元关系R的要素Si、Sj的要素对(Si，Sj)的集合，称为S上的二元关系集合，记作Rb，即有：Rb={(Si,Sj)|Si、Sj∈S,SiRSj,i,j=1,2,…,n}，且在一般情况下，(Si,Sj)和(Sj,Si)表示不同的要素对。“要素Si和Sj之间是否具有某种二元关系R”，等价于“要素对(Si,Sj)是否属于S上的二元关系集合Rb”。因此可以用系统的构成要素集合S和在S上确定的某种二元关系集合Rb来共同表示系统的某种基本结构。2026/4/326例3-1某系统由七个要素（S1，S2，…，S7）组成。经过两两判断认为：S2影响S1、S3影响S4、S4影响S5、S7影响S2、S4和S6相互影响。这样，该系统的基本结构可用要素集合S和二元关系集合Rb来表达，则：S={S1，S2，S3，S4，S5，S6，S7}Rb={（S2，S1），（S3，S4），（S4，S5），（S7，S2），（S4，S6），（S6，S4）}2026/4/3272、系统结构的有向图表达有向图(D)由节点和连接各节点的有向弧(箭线)组成，可用来表达系统的结构。具体方法是：用节点表示系统的各构成要素，用有向弧表示要素之间的二元关系。从节点i(Si)到j(Sj)的最小(少)的有向弧数称为D中节点间通路长度(路长)，也即要素Si与Sj间二元关系的传递次数。在有向图中，从某节点出发，沿着有向弧通过其它某些节点各一次可回到该节点时，在D中形成回路。呈强连接关系的要素节点间具有双向回路。2026/4/328图3-5系统要素及其二元关系的有向图表示S={S1，S2，S3，S4，S5，S6，S7}Rb={（S2，S1），（S3，S4），（S4，S5），（S7，S2），（S4，S6），（S6，S4）}5162374双向回路强连接关系节点有向弧2026/4/3293、系统结构的矩阵表达（1）邻接矩阵（2）可达矩阵（3）其他矩阵2026/4/330（1）邻接矩阵邻接矩阵(A)是表示系统要素间基本二元关系或直接联系情况的方阵。若A=(aij)n×n，则其定义式为：aij=0,SiSj或(Si,Sj)Rb(Si对Sj没有某种二元关系)1,SiRSj或(Si,Sj)∈Rb(Si对Sj有某种二元关系)2026/4/331与例3-1和图3-5对应的邻接矩阵如下01S1S2S3S4S5S6S7S1S2S3S4S5S6S7A=5162374很明显，A中“1”的个数与例3-1中Rb所包含的要素对数目和图3-5中有向弧的条数相等，均为6。000000000000000100000001100000000000100001000000000000000000000000000000000

邻接矩阵有如下特征：a矩阵A的元素全为0的行所对应的节点称作汇点，即只有有向边进入而没有离开该节点。

b矩阵A的元素全为0的列所对应的节点称作源点，即只有有向边离开而没有进入该节点.c对应每一节点的行中，其元素值为1的数量，就是离开该节点的有向边数。

d对应每一节点的列中，其元素值为1的数量，就是进入该节点的有向边数。

2026/4/3320,SiSj(不存在i至j的通路)mij=1，SiRtSj(存在着i至j的路长最大为r的通路)（2）可达矩阵若要素Si和Sj间存在着某种传递性二元关系，或有向图上存在着由节点i至j的有向通路时，称Si是可以到达Sj的，或者说Sj是Si可以到达的。所谓可达矩阵(M)，就是表示系统要素之间任意次传递性二元关系或有向图上两个节点之间通过任意长的路径可以到达情况的方阵。若M=(mij)n×n，且在无回路条件下的最大路长或传递次数为r，即有0≤t≤r，则可达矩阵的定义式为：2026/4/333可达矩阵：表示要素间直接和间接二元关系利用推移特性和布尔代数法则通过邻接矩阵求解可达矩阵。A1＝A＋I；（自身可达）A2＝(A＋I)2；（2步可达）

……Ar-1＝(A＋I)r－1（r－1步可达）Ar＝(A＋I)r

若A1≠A2≠……≠Ar-1，而Ar+1＝……＝An则可达矩阵M＝Ar+1＝Ar2026/4/334布尔代数法则：0+0=0，0+1=1，1+0=1，1+1=1，0×0=0，0×1=0，1×0=0，1×1=1矩阵运算：A+B=B+A，A+B+C=A+（B+C），A+（-A）=0，A-B=A+（-A）2026/4/335例1：例3-1求可达矩阵进一步计算发现(A+I)2=(A+I)3

，即有r=2，可达矩阵M=(A+I)201S1S2S3S4S5S6S7S1S2S3S4S5S6S7A=00000000000000010000000110000000000010000100000A+I=1111111(A+I)2=

11112026/4/336（3）其他矩阵在邻接矩阵和可达矩阵的基础上，还有其它表达系统结构并有助于实现系统结构模型化的矩阵形式，如缩减矩阵、骨架矩阵等。2026/4/337缩减矩阵5162374根据强连接要素的可替换性，在已有的可达矩阵M中，将具有强连接关系的一组要素看作一个要素，保留其中的某个代表要素，删除其余要素及其在M中的行和列，即得到M的缩减矩阵M′。

11S1S2S3S4S5S7S1S2S3S4S5S7M′=000001000000111000011000001011000111S1S2S3S4S5S6S7S1S2S3S4S5S6S7M=000000100000001111000011100000100000111011000012026/4/338骨架矩阵对于给定系统，A的可达矩阵M是唯一的，但实现某一可达矩阵M的邻接矩阵A可以具有多个。我们把实现某一可达矩阵M、具有最小二元关系个数(“1”元素最少)的邻接矩阵叫M的最小实现二元关系矩阵，或称之为骨架矩阵，记作A′。2026/4/339系统结构表示的三种基本方式的比较系统结构的三种基本表达方式相互对应，各有特色。集合来表达系统结构概念清楚，在各种表达方式中处于基础地位；有向图形式较为直观、易于理解；矩阵形式便于通过逻辑运算，用数学方法对系统结构进行分析处理。以它们为基础和工具，通过采用各种技术，可实现复杂系统结构的模型化。2026/4/340（三）常用系统结构模型化技术系统结构模型化技术是以各种创造性技术为基础的系统整体结构的决定技术。它们通过探寻系统构成要素、定义要素间关联的意义、给出要素间以二元关系为基础的具体关系，并且将其整理成图、矩阵等较为直观、易于理解和便于处理的形式，逐步建立起复杂系统的结构模型。2026/4/3412026/4/3422026/4/343（三）常用结构模型化技术结构模型化技术问题发掘技术结构决定技术脚本法专家调查法发想法集团启发法静态结构化技术动态结构化技术关联树法解释结构模型决策试验与评价试验室系统开发计划程序工作设计交叉影响分析凯能仿真模型快速仿真模型系统动力学比较有代表性的系统结构模型化技术有：关联树（如问题树、目标树、决策树法）、解释结构模型化（ISM）方法、系统动力学（SD）结构模型化方法等。2026/4/344解释结构模型（ISM）ISM技术是美国J·N·沃菲尔德教授于1973年作为分析复杂的社会经济系统结构问题的一种方法而开发的。其基本思想是：通过各种创造性技术，提取问题的构成要素，利用有向图、矩阵等工具和计算机技术，对要素及其相互关系等信息进行处理，最后用文字加以解释说明，明确问题的层次和整体结构，提高对问题的认识和理解程度。2026/4/345解释结构模型（ISM）工作程序1成立组织实施ISM的小组;2设定问题;3选择构成系统的要素，并与相关人员进行讨论，形成意识模型，4进一步明确定义各要素，判断各要素之间的二元关系,并建立邻接矩阵和可达矩阵;5对可达矩阵进行分解,建立结构模型;6建立解释结构模型.2026/4/346ISM工作原理图意识模型要素及其关系集合可达矩阵骨干矩阵递阶结构模型(多级递阶有向图)要素及其关系集合SiRSj分析报告修正计算机人解释作图分检推断2026/4/347

(一)有关专家与系统分析人员一起讨论，选择确定有关元素，建立邻接矩阵。（二）建立可达矩阵（三）划分

1区域划分（∏1）：

计算先行集A（ni）与可达集R（ni），并计算R（ni）∩A（ni）；

求出共同集合；对共同集合内的要素进行区域划分；R（ni）∩R（nj）≠Ø，则属于同一区域；d进行连通域划分。

2级间划分（∏2）

3强连通块划分（∏3）（四）求出最少边可达矩阵（骨架矩阵）。（五）做出递阶有向图。（六）得出解释结构模型。4652317

解释结构模型法建模2026/4/348二、建立递阶结构模型的规范方法46523170000001000000001000000110000000000010000100000S1S2S3S4S5S6S7

S1S2S3S4S5S6S7A=(一)有关专家与系统分析人员一起讨论，选择确定有关元素，建立邻接矩阵。2026/4/349

方法一：用邻接矩阵加上单位矩阵，经过（n-1）次运算后得到可达矩阵。

（二）建立可达矩阵10000001100000011110001110000010000011101100001S1S2S3S4S5S6S7

S1S2S3S4S5S6S7R=0000001000000001000000110000000000010000100000S1S2S3S4S5S6S7

S1S2S3S4S5S6S7A=2026/4/350①可达集R（Si）:系统要素Si的可达集是在可达矩阵或有向图中由Si可到达的诸要素所构成的集合。

R(Si)={Sj|Sj∈S，mij=1，j=1,2,…,n}i=1,2,…,n由可达矩阵中第i行所有矩阵元素为1的列所对应的要素集合而成；N为所有节点的集合。②先行集A（Si）:系统要素Si的先行集是在可达矩阵或有向图中可到达Si的诸要素所构成的集合。

A(Si)={Sj|Sj∈S，mji=1，j=1,2,…,n}i=1,2,…,n由可达矩阵中第j列所有矩阵元素为1的行所对应的要素集合而成；N为所有节点的集合。③共同集C（Si）:系统要素Si的共同集是Si的可达集和先行集的共同部分。

C(Si)={Sj|Sj∈S，mij=1，mji=1，j=1,2,…,n}i=1,2,…,n（三）划分2026/4/351可达集、先行集、共同集关系示意图SiA（Si）C（Si）可达集R（Si）2026/4/352集合S的起始集是在S中只影响（到达）其他要素而不受其他要素影响（不被其他要素到达）的要素所构成的集合，记为B(S)。B(S)中的要素在有向图中只有箭线流出，而无箭线流入，是系统的输入要素。

B（S）={Si|Si∈S,C(Si)=A(Si),i=1,2,…,n}如图3-5所对应的可达矩阵中，B(S)={S3，S7}。当Si为S的起始集（终止集）要素时，相当于使图3-7中的阴影部分C(Si)覆盖到了整个A(Si)（R(Si)）区域。这样，要区分系统要素集合S是否可分割，只要研究系统起始集B(S)中的要素及其可达集（或系统终止集E(Si)中的要素及其先行集要素）能否分割（是否相对独立）就行了。起始集B（S）和终止集E（S）2026/4/353利用起始集B（S）或终止集E（S）判断区域能否划分的规则起始集B(S)判断区域能否划分，任取两个要素bu、bv：①如果R(bu)∩R(bv)≠ψ（ψ为空集），则bu、bv及R(bu)、R(bv)中的要素属同一区域。若对所有u和v均有此结果（均不为空集），则区域不可分。②如果R(bu)∩R(bv)=ψ，则bu、bv及R(bu)、R(bv)中的要素不属同一区域，系统要素集合S至少可被划分为两个相对独立的区域。终止集E(S)判断区域能否划分，只要判定“A(eu)∩A(ev)”（eu、ev为E(S)中的任意两个要素）是否为空集即可。2026/4/354区域划分结果∏（S）=P1，P2，…，Pk，…，Pm（其中Pk为第k个相对独立区域的要素集合）。经过区域划分后的可达矩阵为块对角矩阵（记作M(P)）。2026/4/355a计算A（ni）与R（ni），并计算R（ni）∩A（ni）；

b求出共同集合；

c确定起始集合；

d对起始集合内的要素进行区域划分；R（ni）∩R（nj）≠Ø，则属于同一区域；

e划分连通域。

1区域划分（∏1）SiR(Si)—可达集合A(Si)—先行集合T(Si)—共同集合B(Si)—起始集合111,2,7121,22,7233,4,5,633344,5,63,4,64,6553,4,5,6564,5,63,4,64,671,2,77772026/4/356SiR(Si)—可达集合A(Si)—先行集合C(Si)—共同集合B(Si)—起始集合111,2,7121,22,7233,4,5,633344,5,63,4,64,6553,4,5,6564,5,63,4,64,671,2,77772026/4/357d确立不同区域任取属于共同集的两要素Su,Sv，若，则Su,Sv属同一区域；若，则Su,Sv属于不同区域。这样运算后的集合称区域分解，可写成：其中M为区域数。2026/4/358接例可达矩阵分解（区域划分）I=(j)R(Si)A(Sj)R(Si)∩A(Sj)B(Sj)E(Si)123456711,23,4,5,64,5,654,5,61,2,71,2,72,733,4,63,4,5,63,4,671234,654,673715因为：R(3)∩A(7)=φ，则S3，S7分属不同区域，所以，区域划分为：2026/4/359因为B（S）={S3，S7},且有R（S3）∩R（S7）={S3，S4，S5，S6}∩{S1，S2，S7}=ψ，所以S3及S4，S5，S6，S7与S1，S2分属两个相对独立的区域，即有：∏（S）=P1，P2={S3，S4，S5，S6}∩{S1，S2，S7}。这时的可达矩阵M变为如下的块对角矩阵：127M（P）=P1P2516237434561273456OO11101100111100100111011112026/4/360级间分解π2(P)——将系统中的所有要素，以可达矩阵为准则划分不同层次。在一个多级结构中，它的最上层要素Si的R(Si)，只能由Si自身和Si的强连通要素组成；同时Si的先行集只能由由Si自身和结构中的下一级可能到达的要素以及Si的强连通要素组成。若Si是最上层单元，需满足：找出最高一级要素后，将其从可达矩阵中划去相应的行与列，在从剩下的可达矩阵中寻找新的最高级要素，依此类推。级间分解2级位划分2026/4/361级间划分可用下式表示：，其中K为级次若定义：L0=φ，则：其中：分别是由要素组成的子图求得的可达集和先行集。强连通划分π3(L)：级间分解后，每级要素中可能有强连通要素，一般构成一个回路，只需选择一个要素即可。强连通划分2026/4/362SiR(Si)—可达集合A(Si)—先行集合C(Si)—共同集合C(Si)=R(Si)111,2,711√L1={S1,S5}21,22,7233,4,5,63344,5,63,4,64,6553,4,5,655√64,5,63,4,64,671,2,777不划分连通域直接分级2026/4/363要素集合SiR(Si)A(Si)C(Si)C(Si）=R(Si)∏(Pi)P1-L0111，2，71√L1={s1}21，22，7271，2，777P1-L0-L1222，72√L2={s2}72，777P1-L0-L1-L27777√L3={s7}2026/4/364接例可达矩阵分解（级间分解）要素集合SiR(Si)A(Si)C(Si)C(Si）=R(Si)∏(Pi)P1-L033,4,5,633L1={s5}44,5,63,4,64,6553,4,5,65√64,5,63,4,64,6P1-L0-L133,4,633L2={s4,s6}44,63,4,64,6√54,63,4,64,6√P1-L0-L1-L23333√L3={s3}2026/4/3653强连通块划分（∏3）

10000001100000011110001110000010000011101100001S1S2S3S4S5S6S7

S1S2S3S4S5S6S7R=0000001110000111000011110000000100000011000001115

4

6

3

1

275463127L1L2L3L3L2L1000001100001110000001000001100001115

4

3

1

27543127L1L2L3L3L2L1缩减矩阵的层次化处理，分为两步：（1）按照矩阵每一行“1”的个数的少与多，从前到后重新排列矩阵，此矩阵应为严格的下三角矩阵；（2）从矩阵的左上到右下依次找出最大单位矩阵，逐步形成不同层次的要素集合。检查强连接要素，建立可达矩阵的缩减矩阵2026/4/366（四）提取骨架矩阵骨架矩阵：对于给定系统，邻接矩阵的可达矩阵是唯一的，但实现某一可达矩阵的邻接矩阵可具有多个。我们把实现某一可达矩阵M、具有最小二元关系个数（“1”元素最少）的邻接矩阵叫做M的最小实现二元关系矩阵，或者称之为骨架矩阵。提取骨架矩阵，是通过对可达矩阵M(L)的缩约和检出，建立起M(L)的最小实现矩阵，即骨架矩阵A’。这里的骨架矩阵，也即为M的最小实现多级递阶结构矩阵。对经过区域和级位划分后的可达矩阵M(L)的缩检共分三步。

000001100001110000001000001100001115

4

3

1

27543127L1L2L3L3L2L1骨架矩阵？2026/4/367缩减矩阵543127543127M’（L）=L1L2L3L1L2L3002026/4/368去掉M’(L)中已具有邻接二元关系的要素间的超级二元关系，得到经进一步简化后的新矩阵M’’(L)。如在原例的M’(L)中，已有第二级要素（S4，S2）到第一级要素（S5，S1）和第三级要素（S3，S7）到第二级要素的邻接二元关系，即S4RS5、S2RS1和S3RS4、S7RS2，故可去掉第三级要素到第一级要素的超级二元关系“S3R2S5”和“S7R2S1”，即将M’(L)中3→5和7→1的“1”改为“0”，得：经进一步简化后的新矩阵543127543127M〞(L)=L1L2L3L1L2L3002026/4/369进一步去掉M’’(L)中自身到达的二元关系，即减去单位矩阵，将M’’(L)主对角线上的“1”全变为“0”，得到经简化后具有最小二元关系个数的骨架矩阵A′。如对原例有：543127543127A’=M’’(L)-I=L1L2L3L1L2L3002026/4/370

（五）做出递阶有向图1523467第1级第2级第3级作出多级递阶有向图。作图过程为：（1）按照每个最大单位子矩阵框定的要素，将各要素按层次分布；（2）将第3步被缩减掉的要素随其代表要素同级补入，并标明其间的相互作用关系；（3）用从下到上的有向弧来显示逐级要素间的关系；（4）补充必要的越级关系。在结构模型的要素上，填入相应的要素名称，即为解释结构模型。（六）得出解释结构模型2026/4/371以可达矩阵M为基础，以矩阵变换为主线的递阶结构模型的建立过程区域划分级位划分强连接要素缩减剔除超级关系去掉自身关系绘图（块对角）（区域块三角）（区域下三角）MM(P)M(L)M′(L)M〞(L)A′D(A’)可达矩阵分区可达矩阵分阶可达矩阵缩减矩阵骨架矩阵递阶结构模型2026/4/372三、建立递阶结构模型的实用方法1、实用化方法原理2、判定二元关系，建立可达矩阵及其缩减矩阵3、对可达矩阵的缩减矩阵进行层次化处理4、根据M’(L)绘制多级递阶有向图2026/4/3731、ISM实用化方法原理设定问题、形成意识模型找出影响要素要素关系分析(关系图)建立可达矩阵(M)和缩减矩阵(M/)矩阵层次化处理M/(

L)绘制多级递阶有向图建立解释结构模型分析报告比较/学习初步分析规范分析综合分析ISM实用化方法原理图2026/4/374由分析小组或分析人员个人寻找与问题有某种关系的要素，经集中后，根据要素个数绘制如图3—10所示的方格图，并在每行右端依次注上各要素的名称。通过两两比较，直观确定各要素之间的二元关系，并在两要素交汇处的方格内用符号V、A和X加以标识。V--表示方格图中的行(或上位)要素直接影响到列(或下位)要素;A--表示列要素对行要素有直接影响;X表示行列两要素相互影响(称之为强连接关系)。2、判定二元关系，建立可达矩阵及其缩减矩阵S1S2S3S4S5S6S7VXVAA2026/4/375S1S2S3S4S5S6S7(A)VXV(V)(V)AA(A)S1S2S3S4S5S6S7VXVAA根据要素间二元关系的传递性，逻辑推断出要素间各次递推的二元关系，并用加括号的标识符表示。加入反映自身到达关系的单位矩阵，建立起系统要素的可达矩阵。2026/4/376根据要素间关系方格图，加入单位矩阵，得到可达矩阵12345671234567M=S1S2S3S4S5S6S7(A)VXV(V)(V)AA(A)2026/4/3773、对可达矩阵的缩减矩阵进行层次化处理根据要素级位划分的思想，在具有强连接关系的要素(S4与S6)中，去除S6(即去除可达矩阵中“6”所对应的行和列)，可得到缩减(可达)矩阵M′。在M′中按每行“1”元素的多少，由少到多顺次排列，调整M′的行和列，得到M′(L)；最后在M′(L)中，从左上角到右下角，依次分解出最大阶数的单位矩阵，并加注方框。每个方框表示一个层次。2026/4/378可达矩阵的层次化处理结果152473

152473M′（L）=úúúúúúúúúûùêêêêêêêêêëé1000110100000110000111000000110000012026/4/3794、根据M’(L)绘制多级递阶有向图首先把所有要素按已有层次排列，然后按照M’(L)中两方框(单位矩阵)交汇处的“1”元素，画出表征不同层次要素间直接联系的有向弧，形成多级递阶有向图。如根据上例中第二层到第一层间的S2RS1、S4RS5和第三层到第二层间的S7RS2、S3RS4，并补充进被缩约的S6，即可绘制出与图3-８相同的多级递阶有向图。S1S2S7S3S4S5S6第1级第2级第3级2026/4/380案例1：通过以往的经验和个人的观察，以及参考了有关杂志和网络资料，总结出了10个比较重要的影响中国队成绩的因素，列表如下：序号影响因素序号影响因素1国际比赛经验6中国联赛水平2球员心理素质7足协领导能力3教练员水平8球赛的商业运作4球队战术水平9球员留洋5球员个人能力10青少年培养2026/4/381经过小组讨论，找出了10个因素间的两两关系，列表如下：V--表示方格图中的行(或上位)要素直接影响到列(或下位)要素;A--表示列要素对行要素有直接影响;X表示行列两要素相互影响(称之为强连接关系)。2026/4/382根据上述AV表的两两关系可建立邻接矩阵，将邻接矩阵加上单位矩阵即可得如下可达矩阵：2026/4/383因为因素P9和P5所在行元素完全相同，即为最大回路集，选取P5为代表因素，即得缩减可达矩阵：2026/4/384对缩减可达矩阵按每行元素为1的数目多少，由少到多将因素依次排列，可得排序后的缩减可达矩阵：2026/4/385根据排序后的缩减可达矩阵，建立结构模型如下：序号影响因素1国际比赛经验2球员心理素质3教练员水平4球队战术水平5球员个人能力6中国联赛水平7足协领导能力8球赛的商业运作9球员留洋10青少年培养2026/4/386根据建立的结构模型，可得解释结构模型：2026/4/387

影响人口增长的因素主要考虑：⑴期望寿命；⑵医疗保健水平；⑶国民生育能力；⑷计划生育政策；⑸国民思想风俗；⑹食物营养；⑺环境污染程度；⑻国民收入；⑼国民素质；⑽出生率；⑾死亡率。鉴于这些影响人口增长的因素可以通过人口专家的经验进行分析，并经过多次的讨论以确定它们之间的关系，如下图所示。案例2：讨论人口系统中影响总人口增长的各种因素分析，如何根据有关人员的经验和对话过程，直接求得可达矩阵，建立结构模型和解释结构模型，为今后制定有关人口政策、控制人口增长等采取相应对策提供科学决策的依据。2026/4/3882026/4/389

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结构模型2026/4/390总人口系统是一个具有4级（层）的多级递阶系统。直接因素是出生率和死亡率。解释结构模型总人口死亡率出生率国民生育能力计划生育政策国民思想风俗期望寿命医疗保健水平食物营养环境污染程度国民收入国民素质2026/4/391方法技术专家；（掌握建模方法）协调人；（具有激励机制知识，能引导参与者增进理解、调查和交流，属于——合剂或催化剂）参与者。（掌握有关的信息知识，是模型法实施的受益者）二实施结构模型法的人员组成方法技术专家协调人参与者角色1角色2角色32026/4/392

结构模型的缺陷1从理论角度来说，应用ISM时，最大的问题是推移率的假定。假定推移定律，意味着各级要素只是一种递阶关系，即阶与阶之间不存在反馈回路。但在实际问题中，各级要素之间往往存在反馈关系。

2通过邻接矩阵建立可达矩阵或直接建立可达矩阵来确定系统各要素间的逻辑关系，在一定程度上还要以来人们的经验。关系是一个比较模糊的概念，有无关系的判断是比较主观的。

3在实施结构模型时，需要三种角色的的人参加，其中由以协调人的角色最为重要，较难找到胜任这三种角色的人。

总人口出生率总人口出生率＋因果关系反馈关系2026/4/393汇报什么？假定你是一个公司的财务经理，掌握了公司的所有数据，比如固定资产、流动资金、每一笔借贷的数额和期限、各种税费、工资支出、原料消耗、产值、利润、折旧、职工人数、职工的分工和教育程度等等。如果让你向上面介绍公司状况，你能够把这些指标和数字都原封不动地摆出去吗？

当然不能。你必须要把各个方面作出高度概括，用一两个指标简单明了地把情况说清楚。

第三节主成分分析及聚类分析2026/4/394一、主成分分析每个人都会遇到有很多变量的数据。比如全国或各个地区的带有许多经济和社会变量的数据；各个学校的研究、教学等各种变量的数据等等。这些数据的共同特点是变量很多，在如此多的变量之中，有很多是相关的。人们希望能够找出它们的少数“代表”来对它们进行描述。2026/4/395

一项十分著名的工作是美国的统计学家斯通(stone)在1947年关于国民经济的研究。他曾利用美国1929一1938年各年的数据，得到了17个反映国民收入与支出的变量要素，例如雇主补贴、消费资料和生产资料、纯公共支出、净增库存、股息、利息外贸平衡等等。

基本思想2026/4/396

在进行主成分分析后，竟以97.4％的精度，用三新变量就取代了原17个变量。根据经济学知识，斯通给这三个新变量分别命名为总收入F1、总收入变化率F2和经济发展或衰退的趋势F3。更有意思的是，这三个变量其实都是可以直接测量的。斯通将他得到的主成分与实际测量的总收入I、总收入变化率

I以及时间t因素做相关分析，得到下表：2026/4/397

F1F2F3iitF11

F201

F3001

i0.995-0.0410.057l

i-0.0560.948-0.124-0.102l

t-0.369-0.282-0.836-0.414-0.11212026/4/398

主成分分析是把各变量之间互相关联的复杂关系进行简化分析的方法。在社会经济的研究中，为了全面系统的分析和研究问题，必须考虑许多经济指标，这些指标能从不同的侧面反映我们所研究的对象的特征，但在某种程度上存在信息的重叠，具有一定的相关性。

2026/4/399

主成分分析试图在力保数据信息丢失最少的原则下，对这种多变量的截面数据表进行最佳综合简化，也就是说，对高维变量空间进行降维处理。很显然，识辨系统在一个低维空间要比在一个高维空间容易得多。2026/4/3100(1)基于相关系数矩阵还是基于协方差矩阵做主成分分析。当分析中所选择的经济变量具有不同的量纲，变量水平差异很大，应该选择基于相关系数矩阵的主成分分析。（2）选择几个主成分。主成分分析的目的是简化变量，一般情况下主成分的个数应该小于原始变量的个数。关于保留几个主成分，应该权衡主成分个数和保留的信息。（3）如何解释主成分所包含的经济意义。

在力求数据信息丢失最少的原则下，对高维的变量空间降维，即研究指标体系的少数几个线性组合，并且这几个线性组合所构成的综合指标将尽可能多地保留原来指标变异方面的信息。这些综合指标就称为主成分。要讨论的问题是：2026/4/3101成绩数据（student.sav）100个学生的数学、物理、化学、语文、历史、英语的成绩如下表（部分）。2026/4/3102从本例可能提出的问题目前的问题是，能不能把这个数据的6个变量用一两个综合变量来表示呢？这一两个综合变量包含有多少原来的信息呢？能不能利用找到的综合变量来对学生排序呢？这一类数据所涉及的问题可以推广到对企业，对学校进行分析、排序、判别和分类等问题。2026/4/3103主成分分析例中的的数据点是六维的；也就是说，每个观测值是6维空间中的一个点。我们希望把6维空间用低维空间表示。先假定只有二维，即只有两个变量，它们由横坐标和纵坐标所代表；因此每个观测值都有相应于这两个坐标轴的两个坐标值；如果这些数据形成一个椭圆形状的点阵（这在变量的二维正态的假定下是可能的）那么这个椭圆有一个长轴和一个短轴。在短轴方向上，数据变化很少；在极端的情况，短轴如果退化成一点，那只有在长轴的方向才能够解释这些点的变化了；这样，由二维到一维的降维就自然完成了。2026/4/3104主成分分析当坐标轴和椭圆的长短轴平行，那么代表长轴的变量就描述了数据的主要变化，而代表短轴的变量就描述了数据的次要变化。但是，坐标轴通常并不和椭圆的长短轴平行。因此，需要寻找椭圆的长短轴，并进行变换，使得新变量和椭圆的长短轴平行。如果长轴变量代表了数据包含的大部分信息，就用该变量代替原先的两个变量（舍去次要的一维），降维就完成了。椭圆（球）的长短轴相差得越大，降维也越有道理。2026/4/31052026/4/3106主成分分析对于多维变量的情况和二维类似，也有高维的椭球，只不过无法直观地看见罢了。首先把高维椭球的主轴找出来，再用代表大多数数据信息的最长的几个轴作为新变量；这样，主成分分析就基本完成了。注意，和二维情况类似，高维椭球的主轴也是互相垂直的。这些互相正交的新变量是原先变量的线性组合，叫做主成分(principalcomponent)。

2026/4/3107主成分分析正如二维椭圆有两个主轴，三维椭球有三个主轴一样，有几个变量，就有几个主成分。选择越少的主成分，降维就越好。什么是标准呢？那就是这些被选的主成分所代表的主轴的长度之和占了主轴长度总和的大部分。有些文献建议，所选的主轴总长度占所有主轴长度之和的大约85%即可，其实，这只是一个大体的说法；具体选几个，要看实际情况而定。2026/4/3108对于我们的数据，SPSS输出为这里的InitialEigenvalues就是这里的六个主轴长度，又称特征值（数据相关阵的特征值）。头两个成分特征值累积占了总方差的81.142%。后面的特征值的贡献越来越少。2026/4/3109特征值的贡献还可以从SPSS的所谓碎石图看出2026/4/3110怎么解释这两个主成分。前面说过主成分是原始六个变量的线性组合。是怎么样的组合呢？SPSS可以输出下面的表。

这里每一列代表一个主成分作为原来变量线性组合的系数（比例）。比如第一主成分作为数学、物理、化学、语文、历史、英语这六个原先变量的线性组合，系数（比例）为-0.806,-0.674,-0.675,0.893,0.825,0.836。2026/4/3111二、聚类分析聚类（Clustering）就是将数据分组成为多个类（Cluster）。在同一个类内对象之间具有较高的相似度，不同类之间的对象差别较大。早在孩提时代，人就通过不断改进下意识中的聚类模式来学会如何区分猫和狗，动物和植物。谁经常光顾商店，谁买什么东西，买多少？按忠诚卡记录的光临次数、光临时间、性别、年龄、职业、购物种类、金额等变量分类这样商店可以….识别顾客购买模式（如喜欢一大早来买酸奶和鲜肉，习惯周末时一次性大采购）刻画不同的客户群的特征（用变量来刻画，就象刻画猫和狗的特征一样）2026/4/3112什么情况下需要聚类为什么这样分类？因为每一个类别里面的人消费方式都不一样，需要针对不同的人群，制定不同的关系管理方式，以提高客户对公司商业活动的相应率。挖掘有价值的客户，并制定相应的促销策略：如，对经常购买酸奶的客户对累计消费达到12个月的老客户针对潜在客户派发广告，比在大街上乱发传单命中率更高，成本更低！2026/4/3113聚类分析无处不在谁是银行信用卡的黄金客户？利用储蓄额、刷卡消费金额、诚信度等变量对客户分类，找出“黄金客户”！这样银行可以……制定更吸引的服务，留住客户！比如：一定额度和期限的免息透资服务！百盛的贵宾打折卡！在他或她生日的时候送上一个小蛋糕！2026/4/3114聚类的应用领域经济领域：帮助市场分析人员从客户数据库中发现不同的客户群，并且用购买模式来刻画不同的客户群的特征。谁喜欢打国际长途，在什么时间，打到那里？对住宅区进行聚类，确定自动提款机ATM的安放位置股票市场板块分析，找出最具活力的板块龙头股企业信用等级分类……生物学领域推导植物和动物的分类；对基因分类，获得对种群的认识数据挖掘领域作为其他数学算法的预处理步骤，获得数据分布状况，集中对特定的类做进一步的研究2026/4/3115有贡献的研究领域数据挖掘聚类可伸缩性、各种各种复杂形状类的识别，高维聚类等统计学主要集中在基于距离的聚类分析，发现球状类机器学习无指导学习（聚类不依赖预先定义的类，不等同于分类）空间数据技术生物学市场营销学2026/4/3116什么情况下需要聚类以上分析，没有大量的数据去支持，DataMining就什么都挖不出来。大量的数据不等于大量的垃圾，我们需要针对客户市场细分所需要的资料。如需要知道白金持卡人和金卡持卡人的流动率，各自平均消费水平有多少，等；聚类分析可以辅助企业进行客户细分，但是Datamining的客户细分不等同于商业领域的细分，看不懂结果，也可能造成企业管理层无法对结果善加利用。2026/4/3117聚类分析原理介绍聚类分析中“类”的特征：聚类所说的类不是事先给定的，而是根据数据的相似性和距离来划分聚类的数目和结构都没有事先假定聚类分析的基本思想是认为我们所研究的样本或指标（变量）之间存在着程度不同的相似性（亲疏关系）。

1、具体找出一些彼此之间相似程度较大的样本（或指标）聚合为一类，2、然后把另外一些彼此之间相似程度较大的样本（或指标）又聚合为另一类，关系密切的聚合到一个小的分类单位，关系疏远的聚合到一个大的分类单位，直到把所有样本（或指标）都聚合完毕，把不同的类型一一划分出来，形成一个由小到大的分类系统。3、最后把整个分类系统画成一张谱系图，用它把所有样本（或指标）间的亲疏关系表示出来。这种方法是最常用的、最基本的一种，称为系统聚类分析。2026/4/3118聚类分析原理介绍聚类方法的目的是寻找数据中：潜在的自然分组结构astructureof“natural”grouping感兴趣的关系relationship什么是自然分组结构Naturalgrouping?我们看看以下的例子：有16张牌如何将他们分为一组一组的牌呢？AKQJ2026/4/3119聚类分析原理介绍分成四组每组里花色相同组与组之间花色相异AKQJ花色相同的牌为一副Individualsuits2026/4/3120聚类分析原理介绍分成四组符号相同的牌为一组AKQJ符号相同的的牌Likefacecards2026/4/3121聚类分析原理介绍分成两组颜色相同的牌为一组AKQJ颜色相同的配对Blackandredsuits2026/4/3122聚类分析原理介绍分成两组大小程度相近的牌分到一组AKQJ大配对和小配对Majorandminorsuits2026/4/3123聚类分析原理介绍这个例子告诉我们，分组的意义在于我们怎么定义并度量“相似性”Similar因此衍生出一系列度量相似性的算法AKQJ大配对和小配对Majorandminorsuits2026/4/3124聚类分析原理介绍相似性Similar的度量（统计学角度）距离Q型聚类（主要讨论）主要用于对样本分类常用的距离有（只适用于具有间隔尺度变量的聚类）：明考夫斯基距离（包括：绝对距离、欧式距离、切比雪夫距离）兰氏距离马氏距离斜交空间距离此不详述，有兴趣可参考《应用多元分析》（第二版）王学民相似系数R型聚类用于对变量分类，可以用变量之间的相似系数的变形如1－rij定义距离这里不详细介绍这种聚类度量方法2026/4/3125聚类分析原理介绍变量按测量尺度（MeasurementLevel）分类间隔（Interval）尺度变量连续变量，如长度、重量、速度、温度等有序（Ordinal）尺度变量等级变量，不可加，但可比，如一等、二等、三等奖学金名义（Nominal）尺度变量类别变量，不可加也不可比，如性别、职业等2026/4/3126当对象是同时被各种类型的变量描述时，怎样描述对象之间的相异度呢？一种可取的办法是把所有变量一起处理，将不同类型的变量组合在单个相异矩阵中，把所有有意义的变量转换到【0，1】的区间上，只进行一次聚类分析。2026/4/3127聚类分析要注意的问题用什么指标(变量)表达要分析的样品？用什么统计量(距离、相似系数)描述样本间的相似程度？用什么方法(类间距离等)进行聚类？分成几类比较合适？2026/4/3128推荐参考书目《应用多元分析》（第二版）王学民上海财经大学出版社《应用多元统计分析》即《AppiedMultivariateSatistics》5thEdRichardA.Johnson,DeanW.Wichern中国统计出版社《数据仓库》即《BuildingtheDataWarehouse》3thEd，W.H.Inman机械工业出版社《数据挖掘原理》《PrinciplesofDataMining》DavidHandHeikkiMannilaPadhraicSmgth机械工业