上海市卢湾高级中学2025-2026学年高三下学期3月月考数学试卷（含答案）

卢湾高级中学2025学年第二学期阶段性教学质量反馈高三年级数学试卷考试时间:120钟满分:150分一、填空题:本大题共12题,1-6题每题4分,7-12题每题5分,共54分.填对得全分,否则一律得零分.1.已知集合A={0,1,2.若抛物线的准线为x=13.已知向量a=−1,0,1,b4.已知一个圆锥的母线长为3,侧面积6π,则此底面半径为_____.5.若ax2+1x5的展开式中x46.已知α是第二象限角，且cosπ2−α=7.若数据1,2,3,4,5的均值和标准差分别为μ和s，则μ28.若实系数方程2x2+bx+c=09.从数字1,2,3,4,5,6中随机抽取3个不同的数字,组成无重复数字的三位数,该三位数为偶数的概率为_____.10.已知给定的等差数列an的前n项和为Sn,a1+a6+a16<a4,S1111.已知函数fx=xex−1+1,x≥01+x2,12.如图,某水库有一个半径为1百米的半圆形小岛,其圆心为C且直径MN平行坝面.坝面上点A满足AC⊥MN,且AC长度为3百米,为便于游客到小岛观光,打算从点A到小岛修建三段栈道AB、BD与BE,在半圆小岛上再修建栈道ME⏜、DN⏜以及MN,水面上的点B在线段AC上，且BD、BE均与圆C相切，切点分别为D、E坝面二、选择题:本大题共4题,13-14题每题4分,15-16题每题5分,共18分,每题有且只有一个正确选项.13.已知一项统计结果表明有99%的把握认为“吸烟与患肺癌有关”是正确的，则()A.吸烟者一定会患肺癌B.吸烟者患肺癌的概率为99%C.100个吸烟者大约有99个会患肺癌D.认为“吸烟与患肺癌有关”犯错的概率不超过1%14.垃圾分类是保护环境，改善人居环境、促进城市精细化管理、保障可持续发展的重要举措.某小区为了倡导居民对生活垃圾进行分类,对垃圾分类后处理垃圾x(千克)所需的费用y(角)的情况作了调研，并统计得到下表中几组对应数据，同时用最小二乘法得到y关于x的线性回归方程为y=0.7x+x2345y22.33.4mA.变量x、y之间呈正相关关系B.可以预测当x=8时,C.m=3.9D.由表格中数据知样本中心点为15.已知椭圆x23+b2+y2b2=1b>0的短轴长为2,F1,F2分别为左、右焦点,过椭圆上顶点B作椭圆所在平面的垂线，在垂线上取点A.2B.3C.23D.16.若存在实数a及正整数n,使得fx=cos2x−asinx在区间0,nπ内恰有A.5个B.6个C.7个D.8个三、解答题:本大题共6题,17-19题每题14分,20-21题每题18分.解答下列各题必须写出必要的步骤.17.已知函数fx(1)若函数fx为奇函数，求实数a(2)若a=1，解不等式18.如图,点D是以AB为直径的半圆上的动点,已知AB=BC=3,(1)证明:平面BCD⊥平面ACD(2)若线段AC上存在一点E满足CE=2EA，当三棱锥C−ABD19.某学校有A,B两个餐厅为学生提供午餐与晚餐服务,甲、乙两位学生每天午餐和晚餐都在学校就餐，近选择餐厅情况(午餐，晚餐)(A,A)(A,B)(B,A)B甲30天20天40天10天乙20天25天15天40天为了吸引学生就餐,A餐厅推出就餐抽奖活动,获奖的概率为13,而B餐厅推出就餐送贴纸活动,假设甲、乙选择餐厅就餐相互独立,用频率估计概率.(1)分别估计一天中甲午餐和晚餐都选择A餐厅就餐的概率，乙午餐和晚餐都选择B餐厅就餐的概率;(2)记X为学生乙在一天中获得贴纸的数量，求X的分布列和数学期望EX(3)A餐厅推出活动当天学生甲就参加了抽奖活动，已知如果学生甲抽中奖品，则第二天午餐再次去A餐厅就餐的概率为23，如果学生甲并没有抽中奖品，第二天午餐依然在A餐厅就餐的概率为p,若A餐厅推出活动的第二天学生甲午餐去A餐厅就餐的概率是59,求20.已知双曲线C1:x24−y2b2=1b(1)若xA=6,求(2)若b=5,C2与x轴的交点是F1,F2,C1上的点P满足PF1=8，求∠F1PF2的大小；(3)若过点Q0,2+b22且斜率为−b221.三个互不相同的函数fx,gx和hx在区间D上恒有fx≥hx≥gx或恒有fx≤hx≤gx(1)设h1x=4x,h2x=x+1,试分别判断h1x(2)若二次函数h3x是y=2x2+2与y=4x在区间−∞,+∞上的“分割函数”，求h3x；(3)设m,n⊆−2,2，若存在函数h4x=1.{由题意得:A∪2.y设其标准方程为y2=−2pxp>0,则其准线方程为x=p3.1由向量a=得a⋅b=−1+4.2设圆锥的底面圆半径为r,由题意知:6π=πrl=πr×5.-2通项公式为Tr令10−3r=4故C52a3=−故答案为:-26.1由cosπ2−α=55,得sinα=55,而7.11由均值的计算公式,可得数据的均值为μ=标准差为s=151−8.−由题意可知实系数方程2x2设实系数一元二次方程2x2+bx+c=0则m2所以c2=m+n实系数方程2x2则Δ<0则实数b的取值范围为−169.1从数字1,2,3,4,5,6中随机抽取3个不同的数字,组成无重复数字的三位数共有A63该三位数为偶数共有C31所以该三位数为偶数的概率为6012010.±由a1+a6+a16<a即a9+a10<可知等差数列an递增,且首项a1<0当n≤9时Sn递减,n>9所以Sn在n=9时取得最小值,最大值在n=1因为S20−S9−SSm−Sn若取最大值,即Sm与Sn差值最大,需则m11.[当x≥0时,fx=xex−1+1,求导得当x<0时,由y=1+x2,得y2−x2=1x令过原点的直线与曲线y=fx,x≥0相切的切点为x0,x0ex0−1+1,则x而g1=1,因此当且仅当x=1时,gx=1即过原点的直线与曲线y=fx,x≥0相切的切点为1,2,切线方程为y因为点M、N是函数fx图象上不同的两个点,但0而正切函数y=tanx在0,π2又tan3π所以tan∠MON的取值范围是[故答案为:[12.2π连接CD,CE,由半圆半径为1得:坝面由对称性,可设∠CBE=∠CBD=θ所以BE=易知∠MCE=∠NCD=θ,所以ME又AC=3,故AB=AC−令sinθ0=13且θ所以f′当θ0<θ<π3时,f′θ<0当π3<θ<π2时,f′θ>0所以栈道总长度最小值fθ故答案为:2π313.D根据独立性检验思想可知,有99%的把握认为“吸烟与患肺癌有关”是正确的,也可认为“吸烟与患肺癌有关”犯错的概率不超过1%.故选:D14.C对于A选项,因为回归直线方程y=0.7x+0.4,故变量x对于B选项,当x=8时,y对于CD选项,∵x=2+3故样本的中心点的坐标为3.5,另一方面,y=2+2.3+3.4+m4=2.85故选:C.15.B由题意知椭圆x23+b2+y故椭圆方程为x24+y2由题意知PB⊥平面xOy,则∠PF2B即∠P在Rt△BOF2中，OB=1，O则PB=如图建立空间直角坐标系，则F1BP=设平面PBF2的法向量为n=x,取x=1,则可得则点F1到平面PBF2的距离为16.Afx令sinx=t,则函数可转化为Δ=而g(1)若a>1，则g−1>0，g1<0，故gt因为在[0,2π)中,sinx=故若sinx=t0在0,nπ内恰有2026个零点,需(2)若a=1，则g−1=0故gt在−1,1两个零点t1因为在[0,2π)中,sinxsinx=t2有且只有两个解,且这个两个解在而2026=3×675+1,故nsinx=t1、sinx=此时不存在n使得sinx=t1、sinx=(3)若−1<a<1，则g−故gt在−1,1两个零点t1在[0,2π)上sinx=sinx=t2有且只有两个不同的解,且均在因sinx=t1、sinx=t2(4)若a=−1，则g−1<0故gt在−1,1两个零点t1=1,或t(5)若a<−1,则故gt在−1,1因sinx=t1在0,nπ内恰有2026个零点,同(1)分析得n=2026或n17.1(2)ln(1)因为函数fx为奇函数,所以f−e化简得a+所以a+1=−a+(2)a=1时，原不等式可化为fx=ex−e−所以不等式变为t−1tt+因为t>0,所以t2+1即t>217,即ex>所以不等式的解集为ln2118.(1)证明见解析(2)arctan(1)证明:由BC⊥平面ABD,且AD⊂平面ABD,则又AB为半圆的直径,则AD⊥又BC∩BD=B,BC,BD⊂平面BCD又AD⊂平面ACD,所以平面BCD⊥平面(2)由BC⊥平面ABD，AB为半圆的直径，且AB=VC当且仅当AD=BD=322设圆心为O,连接OD,作OF⊥BE,且点F在BE连接DF，作EG⊥AB，且点G在AB由AO=BO=32,AD=BD又BC⊥平面ABD，且BC⊂平面ABC，则平面ABC⊥平面由DO⊂平面ABD,平面ABC∩平面ABD=AB,且DO⊥AB,则又BE⊂平面ABC,则DO又DO∩OF=O,且DO,OF⊂平面DOF,则又DF⊂平面DOF,则BE⊥DF,所以∠DFO为二面角在平面ABC上,有EG//BC,且则EGBC=AGAB=则BG=又△BOF∽△BEG,有OFEG=则tan∠DFO=DOOF=故二面角A−BE−D19.(1)设事件C为“一天中甲员工午餐和晚餐都选择A餐厅就餐”，事件D为“乙员工午餐和晚餐都选择B餐厅就餐”,因为100个工作日中甲员工午餐和晚餐都选择A餐厅就餐的天数为30,乙员工午餐和晚餐都选择B餐厅就餐的天数为40,所以PC(2)由题意知，X可以取的值为:0,1,2P故X的分布为:X012P0.20.40.4EX(3)设M表示事件“去A餐厅就餐获奖”，N表示事件“学生甲午餐去A餐厅就餐”,由题知,PM则PN解得p=即如果学生甲并没有抽中奖品,第二天午餐依然在A餐厅就餐的概率p=20.1(2)arccos1116或(3)OM⋅ON=b2(1)因为xA=6,所以代入双曲线方程中得64−因为点A在第一象限,所以yA将A6,22b代入圆的方程得,6+12b(2)因为b=5，所以圆令y=0,则x=±3,所以F1−因为C1上的点P满足PF1=8所以PF2=4或PF在△PF1FPF2=4时,36=此时∠FPF2=12时,36=此时∠F(3)过点Q0,2+b22且斜率为−b2的直线l的方程为y−2−b22=−b展开化简得:4+因为b>0,则上式可化简得x2−2bx+b2=联立直线l与双曲线C1的方程为:x展开化简得:2b4+b2x则y2=−b×故OM⋅因为直线l与曲线Γ有两个交点,如图可知,点M在A的上方,所以yA由x24−y2b2=1x2+y又b>0,故0<b2故4所以OM⋅ON的取值范围是21.(1)h1x是y=2x2+2与y=−x2+4x在区间−∞,+∞上的“分割函数”;h2(2)h(3)2√3(1)因为2x2+2−4x所以当x∈−∞,+∞时,2故h1x是y=2x2+2与又因为x+1−−x2+4x=x2所以h2x≥−x2+4x与故h2x不是y=2x2+2与(2)设h3x=ax2+cx+da≠0是y则2x2+2≥a因为2x2+2′=4x可知y=2x2+2的图象在它也是h3x=ax2