8.1 课时3 用计算器求一个正数的算术平方根 教学设计（2025-2026学年七年级下册 人教版新教材）

8.1课时3用计算器求一个正数的算术平方根教学设计（2025-2026学年七年级下册人教版·新教材）一、教材分析本节课是人教版七年级下册第八章“实数”第一节第三课时内容，承接前两课时算术平方根的定义、非负数的算术平方根性质，是算术平方根知识从“精确值”到“近似值”的延伸，也是实数运算的基础铺垫，更是连接有理数与实数的关键纽带。教材编排贴合2022版数学新课标“用数学的眼光观察现实世界、用数学的思维思考现实世界、用数学的语言表达现实世界”的核心要求，以“实际需求—工具应用—规律探究—实践应用”为逻辑主线，通过计算器这一工具，突破非完全平方数算术平方根无法直接口算、笔算的难点，同时渗透“夹逼法”数学思想和数形结合思想，培养学生的运算能力、推理意识和应用意识。本节课的学习，不仅能完善学生对算术平方根的完整认知，掌握实用的数学运算工具使用方法，还能为后续学习立方根、实数的大小比较、二次根式运算等内容奠定基础，同时让学生体会数学工具的实用性，感受数学与生活的密切联系，落实新课标对初中数学“数与代数”领域的教学要求，助力学生核心素养的逐步形成。二、教学目标结合2022版数学新课标要求，立足七年级学生认知特点，从学习理解、应用实践、迁移创新三个层面设计教学目标，层层递进，兼顾知识传授与核心素养培育：（一）学习理解1.能准确区分完全平方数与非完全平方数的算术平方根特点，明确非完全平方数的算术平方根是无限不循环小数，需借助计算器求其近似值；2.熟练掌握用计算器求一个正数算术平方根的操作步骤，能规范操作计算器，准确读取计算结果，并根据题目要求保留相应精度；3.初步理解“夹逼法”估算算术平方根的基本思路，能结合相邻完全平方数，估算简单非完全平方数算术平方根的大致范围。（二）应用实践1.能运用计算器熟练求解正数的算术平方根，包括整数、小数、分数的算术平方根，能根据实际问题需求，确定近似值的精度（如保留一位小数、两位小数）；2.能运用“夹逼法”估算非完全平方数的算术平方根，解决简单的估算比较问题，提升数感和运算能力；3.能结合生活实际场景，运用计算器求算术平方根的知识解决简单实际问题，体会数学与生活的联系，强化应用意识。（三）迁移创新1.能通过计算器探究被开方数与算术平方根之间的小数点移动规律，并用语言准确表述规律，培养推理意识和归纳总结能力；2.能灵活运用所学知识，结合计算器和估算方法，解决稍复杂的实际问题（如几何图形中的边长计算、实际测量中的近似计算），实现知识的灵活迁移；3.能主动思考计算器在数学运算中的优势与局限，结合“夹逼法”，探索更高效的估算策略，培养创新意识和数学思维能力，落实新课标“三会”核心素养要求。三、重点难点（一）教学重点1.用计算器求一个正数算术平方根的操作方法和规范步骤；2.根据题目要求，准确确定算术平方根近似值的精度；3.运用“夹逼法”估算非完全平方数算术平方根的大致范围。（二）教学难点1.理解“夹逼法”估算算术平方根的原理，能灵活运用该方法进行估算；2.探究并掌握被开方数与算术平方根的小数点移动规律，能运用规律解决相关问题；3.结合实际场景，将实际问题转化为“求正数算术平方根”的数学问题，灵活运用计算器和估算知识解决问题，落实应用意识的培育。四、课堂导入（5分钟）导入环节紧扣“教-学-评”一体化理念，以复习旧知、创设情境为核心，激发学生学习兴趣，衔接新知，同时初步检测学生对前两课时知识的掌握情况。首先，引导学生回顾旧知：“上一节课我们学习了算术平方根的定义，谁能说说，什么是一个正数的算术平方根？我们能直接求出哪些数的算术平方根？”邀请学生发言，教师补充梳理，明确完全平方数的算术平方根可以直接通过口算得出（如16的算术平方根是4，0.36的算术平方根是0.6），同时追问：“如果我们遇到一个非完全平方数，比如2的算术平方根，它的值是多少？我们能直接口算或笔算出来吗？”接着，创设生活实际情境：“学校要新建一个正方形宣传栏，计划面积为20平方米，施工前需要确定宣传栏的边长，才能采购材料，大家能算出这个正方形的边长吗？”引导学生发现，正方形的边长是面积的算术平方根，即√20，而20不是完全平方数，无法直接求出精确值，进而引发学生思考：“当我们遇到非完全平方数，无法直接求出其算术平方根时，应该借助什么工具来解决呢？”最后，自然引出本节课课题：“今天我们就一起来学习，如何用计算器求一个正数的算术平方根，同时探究非完全平方数算术平方根的估算方法，解决生活中的实际问题。”导入评价：通过回顾旧知，检测学生对算术平方根定义的掌握情况；通过情境创设，激发学生的探究欲望，让学生体会数学的实用性，同时明确本节课的学习目标，为后续探究新知做好铺垫。五、探究新知（20分钟）探究新知环节围绕本节课3个核心知识点展开，拆分合理，逻辑清晰，以学生自主探究、教师引导点拨为主，落实“教-学-评”一体化，贴合新课标核心素养要求，兼顾知识讲解与能力培养，每个知识点均配套即时评价，及时反馈学习效果。知识点一：用计算器求正数的算术平方根（核心知识点）首先，明确计算器的操作前提：向学生说明，人教版新教材配套的计算器（或常用科学计算器），均有专门用于求算术平方根的按键（√），我们可以通过该按键快速求出正数的算术平方根，对于非完全平方数，计算器会显示其近似值。接着，教师示范操作，分步讲解规范步骤，结合具体例子（求√16、√2、√0.5的算术平方根），边操作边讲解：第一步，打开计算器，确保计算器处于正常运算状态；第二步，按下算术平方根按键（√）；第三步，输入被开方数（如16、2、0.5）；第四步，按下等号键，读取计算结果；第五步，根据题目要求，保留相应的小数位数（如√2保留两位小数，结果为1.41）。然后，组织学生自主操作，分组探究：让学生拿出自备计算器，跟随教师的示范，依次求出√4、√5、√0.36、√12.5的算术平方根，要求规范操作，记录计算结果，并同桌之间互相检查，纠正操作错误（如漏按按键、输入错误、未保留指定精度等）。最后，即时评价与点拨：教师巡视指导，重点关注操作不熟练的学生，及时纠正错误操作；邀请2-3名学生上台展示操作过程和计算结果，针对学生出现的问题（如保留精度错误、按键顺序颠倒）进行针对性讲解，强调注意事项：一是计算器显示的非完全平方数的算术平方根是近似值，需根据题目要求保留精度；二是被开方数为小数或分数时，可直接输入，无需转化；三是不同品牌的计算器，按键顺序可能略有不同，需结合计算器说明书灵活操作。知识点二：用“夹逼法”估算非完全平方数的算术平方根首先，回顾导入环节的问题（求√20的算术平方根），引导学生思考：“在没有计算器的情况下，我们如何大致知道√20的值是多少呢？”激发学生的探究欲望，引出“夹逼法”。接着，教师引导学生自主探究，分步梳理“夹逼法”的思路：第一步，找到与被开方数（20）相邻的两个完全平方数，即16和25，因为16＜20＜25；第二步，根据算术平方根的性质，得出√16＜√20＜√25，即4＜√20＜5，由此确定√20的整数部分是4；第三步，进一步细化范围，探究小数部分，计算4.4²=19.36，4.5²=20.25，因为19.36＜20＜20.25，所以4.4＜√20＜4.5；第四步，若需要更高精度，可继续细化，计算4.47²=19.9809，4.48²=20.0704，由此得出4.47＜√20＜4.48，即√20≈4.5（保留一位小数）。然后，总结“夹逼法”的核心思路：找到与被开方数相邻的两个完全平方数，确定算术平方根的整数范围，再逐步细化小数部分，缩小范围，最终得到近似值，渗透数形结合和逼近的数学思想。最后，即时练习与评价：让学生自主运用“夹逼法”，估算√7、√11的算术平方根（保留一位小数），小组内交流估算过程和结果，教师巡视指导，重点关注学生是否能准确找到相邻的完全平方数，是否能规范细化范围；邀请小组代表分享估算过程，教师点评，肯定正确方法，纠正错误思路，强化学生对“夹逼法”的理解和运用。知识点三：探究被开方数与算术平方根的小数点移动规律首先，组织学生分组探究，给出一组被开方数，让学生用计算器求出它们的算术平方根，记录结果并观察规律：被开方数：0.0025、0.025、0.25、2.5、25、250、2500让学生自主计算，将结果填入表格（课堂板书同步呈现），小组内讨论：“观察被开方数和对应的算术平方根，它们的小数点移动有什么规律？”接着，教师引导学生总结规律：通过计算发现，被开方数的小数点每向左（或向右）移动两位，它的算术平方根的小数点就相应地向左（或向右）移动一位。例如，0.25的算术平方根是0.5，25的算术平方根是5，2500的算术平方根是50，被开方数25相对于0.25，小数点向右移动两位，算术平方根5相对于0.5，小数点也向右移动一位；反之，被开方数0.0025相对于0.25，小数点向左移动两位，算术平方根0.05相对于0.5，小数点也向左移动一位。然后，即时验证与应用：让学生运用总结的规律，根据√2≈1.414，快速说出√0.02、√200、√20000的近似值，小组内互相验证，教师巡视指导，及时纠正错误，强调规律的应用前提：被开方数的小数点移动位数必须是两位，算术平方根的小数点移动位数才是一位，若移动位数不是两位，需先转化为两位再应用规律。最后，即时评价：通过小组讨论、规律总结、即时验证，检测学生的归纳推理能力和应用能力，落实新课标“用数学的思维思考现实世界、用数学的语言表达现实世界”的要求，同时强化学生对算术平方根的理解。六、课堂练习（10分钟）课堂练习围绕本节课3个核心知识点设计，分层设置，兼顾基础巩固、能力提升和拓展延伸，贴合“教-学-评”一体化理念，及时检测学生的学习效果，查漏补缺，同时强化知识应用，培养学生的运算能力和应用意识。练习过程中，教师巡视指导，及时纠正错误，对学生的答题情况进行即时评价，重点关注学困生的掌握情况，给予针对性指导。基础巩固题（全员必做）1.用计算器求下列各数的算术平方根，结果保留两位小数：（1）3（2）7.2（3）0.81（4）1232.用“夹逼法”估算下列各数的算术平方根，结果保留一位小数：（1）5（2）13（3）29评价重点：学生对计算器操作的规范性，对“夹逼法”的运用是否准确，结果的精度是否符合要求。能力提升题（选做，面向中等及以上学生）1.已知√3≈1.732，根据被开方数与算术平方根的小数点移动规律，求下列各数的近似值：（1）√0.03（2）√300（3）√300002.比较下列各组数的大小（用“＞”“＜”或“=”填空）：（1）√6与2.5（2）√11与3.3（3）√17-2与2评价重点：学生对小数点移动规律的应用能力，对估算方法的灵活运用，以及数的大小比较能力。拓展延伸题（选做，面向学有余力学生）1.一个正方形的面积是18平方米，求这个正方形的边长（结果保留两位小数），并说明这个边长是有理数还是无理数。2.已知一个正数的算术平方根是a，那么这个正数的100倍的算术平方根是多少？请说明理由。评价重点：学生对知识的迁移创新能力，对算术平方根定义和规律的灵活运用，以及逻辑推理能力。练习总结：练习结束后，教师选取典型错题进行讲解，重点纠正计算器操作错误、“夹逼法”应用不熟练、规律记忆混淆等问题，强调解题规范，同时肯定学生的进步，鼓励学生主动思考，查漏补缺，进一步巩固本节课所学知识。七、课堂总结（5分钟）课堂总结以学生自主梳理为主，教师引导补充，贴合“教-学-评”一体化理念，帮助学生构建完整的知识体系，同时反思学习过程，明确重点难点，强化核心素养。首先，邀请学生发言，分享本节课的收获，说说自己学会了什么、掌握了哪些方法、有哪些疑问。教师引导学生从知识点、方法、能力三个层面进行梳理：知识点方面，掌握了用计算器求正数算术平方根的方法、用“夹逼法”估算非完全平方数算术平方根的思路、被开方数与算术平方根的小数点移动规律；方法方面，学会了规范操作计算器、运用“夹逼法”进行估算、归纳总结数学规律；能力方面，提升了运算能力、推理意识和应用意识。接着，教师补充梳理，强调本节课的重点：用计算器求算术平方根的操作规范、“夹逼法”的核心思路、小数点移动规律的应用；同时提醒学生注意易错点：计算器操作顺序、近似值的精度保留、“夹逼法”中相邻完全平方数的寻找、小数点移动规律的应用前提。最后，结合2022版新课标要求，引导学生反思：“本节课我们运用计算器这一工具，解决了非完全平方数算术平方根的求解问题，体会了数学工具的实用性，同时运用‘夹逼法’和规律探究，培养了数学思维和推理能力，希望大家在今后的学习中，能继续用数学的眼光观察生活，用数学的思维解决问题，用数学的语言表达规律。”总结评价：通过学生自主梳理和教师补充，检测学生对本节课知识的掌握情况，帮助学生构建完整的知识体系，同时培养学生的归纳总结能力和反思意识，落实核心素养培育要求。八、课后任务课后任务贴合“教-学-评”一体化理念，分层设计，兼顾基础巩固、能力提升和拓展延伸，结合生活实际，让学生在实践中巩固知识，提升能力，同时落实新课标应用意识的培育要求，避免机械刷题，注重知识的灵活运用。基础任务（全员必做）1.完成教材对应课后习题，用计算器求下列各数的算术平方根，结果保留两位小数：（1）8（2）9.5（3）0.045（4）1562.用“夹逼法”估算下列各数的算术平方根，结果保留一位小数，并写出估算过程：（1）6（2）14（3）323.整理本节课所学知识点和易错点，完成思维导图（可手绘或电子绘制）。提升任务（选做）1.调查生活中需要用到算术平方根估算或计算器求算术平方根的场景（至少2个），记录下来，并运用本节课所学知识解决对应的简单问题（如测量正方形物体的边长、计算圆形物体的半径等）。2.进一步探究被开方数与算术平方根的关系，尝试总结被开方数扩大（或缩小）100倍、10000倍时，算术平方根的变化规律，并结合具体例子验证。拓展任务（选做）1.尝试用“夹逼法”估算√3的算术平方根（保留三位小数），并与计算器计算的结果进行对比，说说两种方法的优劣。2.已知√a≈2.45，求a的值以及√100a、√(a/100)的值，结合结果进一步验证小数点移动规律。任务要求：独立完成，书写规范，步骤清晰；基础任务确保全员掌握，提升任务和拓展任务根据自身情况选择完成，下节课分享交流；同时记录自己在完成任务过程中遇到的问题，下节课主动提问，共同解决。九、板书设计板书设计简洁明了，重点突出，贴合七年级学生认知特点，条理清晰，便于学生回顾和记忆，同时体现“教-学-评”一体化理念，突出核心知识点和方法，具体如下：用计算器求一个正数的算术平方根一、核心知识点1.计算器求算术平方根操作步骤：开计算器→按√键→输入被开方数→按等号→保留精度注意：非完全平方数的结果是近似值2.夹逼法估算思路：找相邻完全平方数→定整数范围→细化小数范围示例：√20（4＜√20＜5，≈4.5）3.小数点移动规律被开方数小数点→左（右）移两位→算术平方根小数点→左（右）移一位示例：√2≈1.414→√0.02≈0.1414，√200≈14.14二、重点难点重点：计算器操作、夹逼法、规律应用难点：夹逼法原理、规律应用、实际问题转化三、核心素养数学眼光、数学思维、数学语言十、教学反思本节课紧扣2022版数学新课标“三会”核心要求，以“教-学-评”一体化理念为核心，围绕三个核心知识点，设计了完整的教学流程，贴合七年级学生从形象思维向抽象思维过渡的认知特点，注重知识的层层递进，兼顾知识传授与核心素养培育，整体教学效果良好，但仍存在一些不足，现将教学反思总结如下：优点方面：一是导入环节贴合生活实际，既能复习旧知，又能激发学生的探究欲望，自然引出课题，同时初步落实了应用意识的培育；二是探究新知环节拆分合理，每个知识点均采用“教师示范—学生自主探究—即时评价”的模式，让学生主动参与课堂，掌握知识和方法，同时渗透数学思想，落实核心素养；三是课堂练习和课后任务分层设计，兼顾不同层次学生的需求，贴合“教-学-评”一体化理念，及时检测学习效果，查漏补缺；四是板书设计简洁明了，重点突出，便于