高等数学（下册）（第2版）习题B详解汇 上财 第6-9章

第六章第三节偏导数设函数,求.解由于,因此,所以.若函数,证明.解,,,,因此.证明函数,,满足拉普拉斯方程.解由于,,类似可得,.因此.方向导数与梯度A级题目求函数在点沿着从点到点方向的方向导数。解法一从点到的向量为故题中射线的参数方程为由方向导数的定义，解法二从点到的向量为故题中射线方向的方向余弦分别为函数在点可微，由定理6.4,可知设问（1）若射线与的夹角为求方向导数（2）求在什么方向上方向导数有最大值、最小值及等于零？解（1）由题设，方向的方向余弦分别为函数在点可微，故而设的方向为，这里为与轴正向的夹角，于是所以当时，方向导数最大，其最大值为当时，方向导数最小，其最小值为当或，方向导数为B级设函数证明函数在点沿任一方向的方向导数都存在，但其在该点不可微。证明对于从点出发的任一射线，设其方向为，则有故而函数在点沿任一方向的方向导数都存在。易得但是而即所以函数在点不可微。第六节多元复合函数及隐函数的求导法则设函数具有二阶连续偏导数,函数,求.解,.,,,因此.若函数具有连续的二阶偏导数,求在极坐标系下的形式.解直角坐标与极坐标有如下关系,因此,,则,,由此得,,,,所以.设函数具有二阶连续偏导数,且满足等式，确定的值,使等式在变换,下化简为.解由题,,,,,代入,得,因此要将等式转化为,需满足,所以,或者,满足题目要求.设函数是由方程所确定,求,.解令,则,,..函数为由方程所确定的隐函数,且具有连续的二阶偏导数,求,.解令,因此,,则,,所以.进而,所以.第七节多元函数的极值及其应用求二元函数的极值.解考虑求解驻点满足的方程组,得驻点,.考虑二阶偏导数,,.在处,,,,,因此不是极值.在处,,,,,因此是极小值.求函数的极值.解考虑求解方程组,得驻点,,.进一步,,.在点处,,,,因此,且,所以为极小值;在点处,,,,因此,且,所以为极小值;在点处,,,,因此,所以充分条件失效.考虑在某领域内,,,所以不是极值.求函数的极值.解考虑求解方程组,得驻点,,.进一步,,.在点处,,,,因此,所以不是极值;在点处,,,,因此,且,所以为极小值;在点处,,,,因此,所以充分条件失效.考虑在上,,当时,,当时,,所以不是极值.求平面与椭球面相交所成的椭圆面积.解问题归结为求目标函数在约束条件,下的最大值和最小值问题.考虑使用Lagrange乘子法,构造辅助函数,解方程组得,因此或.若,则,此时,因此,代入到约束条件得两组解,,此时目标函数在这两点处的值都为.若,则,,代入到约束条件得,两组解,,此时目标函数在这两点处的值都为.比较可得所截得的椭圆半长轴为,半短轴为,所以所截椭圆面积为.第七章二重积分的计算A级题目增加（删除原来第8题）计算，其中是由所围成的区域。解：令，则.雅可比行列式，则.积分区域在新变量下变为：.于是，.计算，其中是的区域.解：利用极坐标变换.积分区域变为.于是.B级题目求函数在区间上的平均值.解由于该函数在上的平均值为.计算二重积分,其中.解考虑,得交点,.令,由对称性得.计算二重积分,其中.解令,由对称性知,因此.设函数连续且,计算,其中.解令,方程两边同时二重积分得,因此.所以.计算，其中是由双曲线以及直线，所围成的区域。解：令，则.雅可比行列式：积分区域在平面上的表示为：.计算，其中是由所围成的区域。解：令，则雅可比行列式：.积分区域在平面上的表示为：.计算，其中区域是.解：极坐标变换得.计算，其中区域是.解：极坐标变换得.重积分的应用A部分求由所围成的区域的面积.解：区域可表示为，，根据二重积分求面积的公式，可得所求的面积为.求以为底面，为顶面，在区域上的柱体体积.解：所求的体积可利用二重积分表示，积分区域采用极坐标变换，变为，则 .由围成的区域绕轴旋转一周所得旋转体体积.解：旋转体体积公式为，这里可化为二重积分，为，，则 已知某工厂生产和两种产品，生产产品的数量（单位：件）与生产产品的数量（单位：件）满足一定的关系，其产量函数为。若的取值范围是，的取值范围是，求该工厂在这个范围内的总产量。解：总产量通过二重积分计算，即.由于是矩形区域，可将其化为累次积分： 于是.某企业生产两种商品，设为第一种商品的产量（单位：吨），为第二种商品的产量（单位：吨），成本函数为。若在到之间，在到之间，求生产这两种商品的总成本。解：总成本为.B级题目求由所围成的区域的面积.解：题设区域可分为和，：；.则.求以为顶面所围成区域为底面的柱体体积.解：所求的体积为，其中为，则 .由围成的区域绕旋转一周所得旋转体体积.解：由和联立求得交点为和，于是得积分区域.构建二重积分：使用微元法，对于区域内的任意一点，绕旋转形成的圆环微元的面积为 (这里是外半径，()是内半径，因为在处，的取值范围是从到)，则旋转体体积.注：本题可以用定积分求解.某企业生产一种产品，其成本与原材料的使用量（单位：吨）和劳动力投入量（单位：人）有关，成本函数为。假设在当前生产规模基础上，企业考虑进一步扩大生产，使得原材料使用量在吨范围内变化，劳动力投入量在人范围内变化。求在此过程中的总成本，以及当原材料使用量和劳动力投入量分别增加一个单位时，成本的边际变化情况（即边际成本）。解：总成本为 边际成本是成本函数对和的偏导数，对求关于的偏导数为，当时，，这意味着当劳动力投入量为人，原材料使用量为吨时，原材料使用量每增加吨，成本大约增加单位。对求关于的偏导数为当时，，这意味着当原材料使用量为吨，劳动力投入量为人时，劳动力投入量每增加人，成本大约增加单位。消费者对两种商品和的效用函数为，其中表示商品的消费量（单位：件），表示商品的消费量（单位：件）。商品的消费量在5到10件范围内，商品Y的消费量在8到12件范围内。求在此消费范围内的总效用，以及当商品和商品的消费量分别增加一个单位时，效用的边际变化情况（即边际效用）。解：总效用为.对求关于的偏导数可得 当时，;对求关于的偏导数可得 当时，.第八章第二节正项级数及其敛散性判别法已知且,试证：若收敛，则.解反证法.设,由于,因此,所以与有相同的敛散性,而调和级数发散,则发散,矛盾.所以.设数列,满足,级数发散,且,证明级数发散.解由于,所以.因此,所以由不等式形式比较判别法知发散.设正项级数收敛,且,证明级数收敛.解由于,所以.而,由极限形式的比较判别法知收敛,因此收敛.设正项级数收敛,证明级数收敛.解由于正项级数收敛,因此,所以从某项开始,则,由正项级数的比较判别法收敛,由,由正项级数的比较判别法收敛.若,且,证明级数发散.证由于,因此,所以数列单调递增,从而有下界,即存在,使得,所以.由发散,及正项级数不等式形式比较判别法,级数发散.第三节任意项级数及其敛散性判别法若数项级数绝对收敛,条件收敛,证明级数绝对收敛.解由条件收敛,知,因此,,.考虑,由于,则由比较判别法,知收敛.因此级数绝对收敛.若是单调递增的有界数列,证明级数绝对收敛.解由题,,.且由于是单调递增的有界数列,所以收敛,不妨设.考虑,则该正项级数的前项部分和,因此该正项级数部分和数列有界,则级数收敛,所以级数绝对收敛.第四节幂级数已知幂级数在处收敛,求实数的取值范围.解由于收敛域为,且幂级数在处收敛,因此,所以.求幂级数的收敛域与和函数.解由于收敛半径，则收敛区间为，考虑端点处，收敛，所以级数的收敛域为.，当时，考虑，，因此.则幂级数的和函数为.第五节函数的幂级数展开式将展开为的幂级数.解由于,.因此,.将函数在点处展开成泰勒级数.解,收敛域.,收敛域.或,收敛域.已知幂级数的和函数为,求的收敛域与和函数.解由于,因此,,所以.考虑,所以当时,即时,级数收敛,当时,级数发散,则收敛区间为.考虑端点处,收敛,所以级数的收敛域为.令,当时,令,因此,所以,则幂级数的和函数为.第九章第二节一阶微分方程设函数是微分方程满足初始条件的特解.设平面区域,求绕轴旋转一周所得旋转体体积.解考虑微分方程的通解,由初始条件知,因此满足初始条件的特解为.因此平面区域,所以.设为正整数,是微分方程,满足条件的解.(1)求;(2)求级数的收敛域及和函数.解(1)由题,因此,考虑初值得,所以;(2)由于,所以,考虑时,级数均收敛.因此幂级数收敛域为.,考虑,,两边同时积分得,即,所以设数列满足,,.证明当时,幂级数的收敛,并求幂级数的和函数.解由题,,则.因此当时,幂级数的收敛.令,因此,由此得,,解微分方程得通解,考虑初始条件得,所以.已知连续可导函数满足,求.解由于,因此.两边求导得,即,且.两边再次求导得,,由初值得,则.第三节可降阶的二阶微分方程设非负函数满足微分方程.若曲线过原点,且其与直线,所围平面区域的面积为,求绕轴旋转一周所得的旋转体体积.解设,则,由此方程转化为,其通解为,即得,因此方程的通解为.考虑曲线过原点知,考虑平面区域D的面积为,知,则曲线方程为.因此,由此D绕x轴旋转一周所得的旋转体体积为.或使用柱壳法得.求方程满足初始条件的特解.解设,则,代入方程得,即,解方程得,考虑初始条件得,即,所以,考虑初始条件得,所以满足初始条件的解.第四节二阶常系数线性微分方程求微分方程的通解.解由题.方程对应的齐次方程为,特征方