北京2026年中考数学二轮复习难点06 新定义综合题几何与函数（4大题型）（重难专练）（原卷版）

难点06新定义综合题几何与函数

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第一部分重难考向解读拆解核心难点，明确备考要点

核心模块重难考向考法解读/考向预测

第二部分重难要点剖析精解核心要点，点拨解题技巧

要点梳理典例验知技巧点拨类题夯基

考向函数与几何

第三部分重难提分必刷靶向突破难点，精练稳步进阶

重难考向解读

2023、2024、2025年考法解读2026年考法预测

中考数学中新定义综合题的主要考向分为两

预测考查方向：

类：

结合切线：当直线与圆相切时，求k的值结合参数

一、函数与圆综合（每年1道，1分）；

范围：给定k的取值范围，求圆半径或点坐标的取值

二、函数与三角形四边形综合（每年1题，7

范围结合直线与圆的位置关系：探究直线与圆有公共

分）；

点且满足k的条件时，参数b的取值范围。

考查内容稳定，以解答题为主，难度较大．

重难要点剖析

题型1一次函数与圆综合

考查了轴对称的性质，一次函数与坐标轴的交点问题，切线的性质，勾股定理，等边三角形的判定和性

质，锐角三角函数的应用等，正确理解新定义的含义，灵活应用数形结合思想是解题的关键．

1．（2024·北京东城汇文中学·一模）在平面直角坐标系xOy中，O的半径为1．对于线段PQ给出如下定义：

若线段PQ与O有两个交点M，N，且PMMNNQ，则称线段PQ是O的“倍弦线”．

(1)如图，点A，B，C，D的横、纵坐标都是整数，在线段AB，CB，CD中，O的“倍弦线”是_____；

(2)O的“倍弦线”PQ与直线x2交于点E，求点E纵坐标yE的取值范围；

(3)若O的“倍弦线”PQ过点(1,0)，直线yxb与线段PQ有公共点，直接写出b的取值范围．

2．（2025·北京丰台·二模）在平面直角坐标系xOy中，O的半径为1．对于点C和O的弦AB，给出如下

定义：点C向左平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到点C，若点C在弦AB上，且不与点A，

B重合，则称点C是弦AB“伴随点”．

13

(1)如图，点A(0,1)，B(1,0)，在点C1,，C2(1,1)，C3(2,0)中，弦AB的“伴随点”是______；

22

(2)已知D是直线yx上一点，且存在O的弦EF1，使得点D是弦EF的“伴随点”．记点D的横坐标为t，

直接写出t的取值范围；

11

(3)已知点Mm,，Nm1,．对于线段MN上任意一点S，存在O的弦PQ，使得点S是弦PQ的“伴

22

随点”，将点S对应的弦PQ的长度的最小值记为d，直接写出d的最大值及m的取值范围．

3．（2025·北京五十中·二模）在平面直角坐标系xOy中，O的半径为1，T0,t为y轴上一点，P为平面

上一点，给出如下定义：若在O上存在一点Q，使得TQP是等腰直角三角形，且TQP90，则称点P

为O的“等直点”，TQP为O的“等直三角形”．

(1)如图，点A、B、C、D的横、纵坐标都是整数．

①当t2时，在点A，B，C，D中，O的“等直点”是__________；

CP

②当t3时，若TQP是O的“等直三角形”，且点P，Q都在第一象限，求的值；

OQ

(2)若直线y=x+3上存在O的“等直点”，直接写出t的取值范围．

4．（2025·北京昌平·二模）在平面直角坐标系xOy中，已知点A(3,4)，线段ABx轴于点B,BD为平面内一

条线段，将点A绕点D旋转180后得到点C．若点C到点O的距离为1，则称线段BD为点A的“隐圆线段”．

(1)若点C在x轴上时，点A的“隐圆线段”长为_____________；

(2)求点A的“隐圆线段”长的最大值；

(3)若点A的“隐圆线段”所在直线为ykxb，直接写出k的取值范围．

5．（2025·北京门头·一模）在平面直角坐标系xOy中，对于点P和点Qa,b给出如下规定：如果将点P沿直

线xa翻折后得到点P，再将点P沿直线yb翻折后得到点H，点H就是点P的“相称点”．

(1)如图1，如果点P1,1，ab，

①在点H14,2，H21,0，H30,2中，点P的“相称点”的是________；

②点P的“相称点”与点P的距离最小值是_______．

(2)如图2，O的半径和等边ABC的边长均为1，点A0,m，点P和点Qa,b都在O上，如果在图中的

ABC边上存在点P的“相称点”，求m的取值范围．

6．（2025·北京通州·一模）在平面直角坐标系xOy中，O的半径为1，对于平面内点P和y轴上点Q，给

出如下定义：将点P绕着点Q旋转90得到的对应点P恰好在O上，称点P为O的“赋能点”．

(1)已知点Q的坐标为0,1．

①如图1，在点P12,1,P21,1,P31,2中，O的“赋能点”是_____；

②如图2，若直线yxb上存在点P，使点P为O的“赋能点”，求b的取值范围；

(2)如图3，点Q0,t,M1,2,N2,2．若线段MN上存在点P，使点P为O的“赋能点”，直接写出t的取

值范围．

题型2一次函数与三角形四边形综合

主要考查了垂径定理，圆周角定理，一次函数与几何综合，解直角三角形，勾股定理等等，正确理解题

意利用数形结合的思想求解是解题的关键．

7．（2025·北京丰台·二模）在平面直角坐标系xOy中，如果点A、点C为某个菱形的一组对角的顶点，且点

A、C在直线yx上，那么称该菱形为点A、C的“最佳菱形”下图为点A、C的“最佳菱形”的一个示意图．已

知点M的坐标为1,1，点P的坐标为3,3．

（1）点E1,3,F2,1,G4,0中，能够成为点M、P的“最佳菱形”的顶点的是_________；

（2）如果四边形MNPQ是点M、P的“最佳菱形”．

①当点N的坐标为3,1时，求四边形MNPQ的面积；

②当四边形MNPQ的面积为8，且与直线yxb有公共点时，直接写出b的取值范围．

8．（2023·北京西城·一模）平面直角坐标系xOy中，对于点M和图形W，若图形W上存在一点N（点M，

N可以重合），使得点M与点N关于一条经过原点的直线l对称，则称点M与图形W是“中心轴对称”．对

于图形W1和图形W2，若图形W1和图形W2分别存在点M和点N（点M，N可以重合），使得点M与点N关

于一条经过原点的直线l对称，则称图形W1和图形W2是“中心轴对称”的．特别地，对于点M和点N，若存

在一条经过原点的直线l，使得点M与点N关于直线l对称，则称点M和点N是“中心轴对称”的．

（1）如图1，在正方形ABCD中，点A(1,0)，点C(2,1)，

113

①下列四个点P1(0,1)，P2(2,2)，P(，0)，P4(，)中，与点A是“中心轴对称”的是；

3222

②点E在射线OB上，若点E与正方形ABCD是“中心轴对称”的，求点E的横坐标xE的取值范围；

（2）四边形GHJK的四个顶点的坐标分别为G(2,2)，H(2,2)，J(2,2)，K(2,2)，一次函数y3xb

图象与x轴交于点M，与y轴交于点N，若线段MN与四边形GHJK是“中心轴对称”的，直接写出b的取值

范围．

9．（2023·北京清华附中·二模）在平面直角坐标系xOy中，对于线段AB和点P，给出如下定义：若在直线yx

上存在点Q，使得四边形ABPQ为平行四边形，则称点P为线段AB的“关联点”．已知A5,2，B1,4．

(1)在P13,3，P22,4，P31,5，P41,6中，线段AB的“关联点”是___________；

(2)若点P在第二象限且点P是线段AB“关联点”，求线段OP长度d的取值范围；

(3)已知正方形CDEF边长为1．以Tt,3为中心且各边与坐标轴垂直或平行，点M，N在线段AB上（M在

N的下方）．若正方形CDEF上的任意一点都存在线段MN，使得该点为线段MN的“关联点”，直接写出t的

取值范围．

1

10．（2024·北京东城·一模）在平面直角坐标系xOy中，直线yx1分别与x轴，y轴交于点A，B，点

2

1

C是第一象限内的一点，且ABAC，ABAC，抛物线yx²bxc经过A，C两点，与x轴的另一交

2

点为D．

（1）求此抛物线的解析式；

（2）判断直线AB与CD的位置关系，并证明你的结论；

（3）点M为x轴上一动点，在抛物线上是否存在一点N，使以A，B，M，N四点构成的四边形为平行四边

形？若存在，求点N的坐标；若不存在，请说明理由．

11．（2023·北京二中教育集团·模拟）对于平面直角坐标系xOy中的线段PQ，给出如下定义：若存在PQR使

2

得SPQRPQ，则称PQR为线段PQ的“等幂三角形”，点R称为线段PQ的“等幂点”．

(1)已知A2，0，若存在等腰△OAB是线段OA的“等幂三角形”，求点B的坐标；

(2)已知点C的坐标为C2，1，点D在直线yx3上，记图形M为以点T1，0为圆心，2为半径的T位

于x轴上方的部分．若图形M上存在点E，使得线段CD的“等幂三角形”CDE为锐角三角形，直接写出点

D的横坐标xD的取值范围．

12．（2024·北京十一晋元中学·一模）对于点P和图形W，若点P关于图形W上任意的一点的对称点为点Q，

所有点Q组成的图形为M，则称图形M为点P关于图形W的“对称图形”．在平面直角坐标系xOy中，已知

点A(1,2)，B(2,2)，C(2,1)，D(1,1)．

(1)①在点E(2,4)，F(0,4)，G(3,3)中，是点O关于线段AB的“对称图形”上的点有_______．

②画出点O关于四边形ABCD的“对称图形”；

(2)点T(t,0)是x轴上的一动点．

①若点T关于四边形ABCD的“对称图形”与O关于四边形ABCD的“对称图形”有公共点，求t的取值范围；

②直线yxt与x轴交于点T，与y轴交于点H，线段TH上存在点K，使得点K是点T关于四边形ABCD

的“对称图形”上的点，直接写出t的取值范围．

题型3二次函数综合

考查二次函数的综合题，考点还涉及平面直角坐标系、三角形全等的判断和性质、二次函数对称轴、菱

形的性质、线段极值、圆的性质等知识点，学会并熟练运用相关知识是解题关键.

13．（2025·北京门头沟·二模）在平面直角坐标系中，二次函数yax2bx2的图象交x轴于点A3,0和点

B1,0．

（1）此二次函数的图象与y轴的交点的纵坐标为______．

（2）求此二次函数的关系式．

（3）当2x3时，求二次函数yax2bx2的最大值和最小值．

21

（4）点P为二次函数yaxbx23x图象上任意一点，其横坐标为m，过点P作PQ∥x轴，

2

点Q的横坐标为2m4．已知点P与点Q不重合，且线段PQ的长度随m的增大而减小．直接写出线段

21

PQ与二次函数yaxbx23x的图象只有1个公共点时m的取值范围．

2

14．（2024·北京海淀·一模）在平面直角坐标系xOy中，二次函数y＝mx2﹣（m＋n）x＋n（m＜0）的图象

与y轴正半轴交于A点．

(1)求证：该二次函数的图象与x轴必有两个交点；

(2)设该二次函数的图象与x轴的两个交点中右侧的交点为点B，若∠ABO＝45°，将直线AB向下平移2个

单位得到直线l，求直线l的解析式；

(3)在（2）的条件下，设M（p，q）为二次函数图象上的一个动点，当﹣3＜p＜0时，点M关于x轴的对称

点都在直线l的下方，求m的取值范围．

15．（2025·北京燕山·二模）为了测量抛物线的开口大小，某数学兴趣小组将两把含有刻度的直尺垂直放置，

并分别以水平放置的直尺和竖直放置的直尺为x，y轴建立如图所示平面直角坐标系，该数学小组选择不同

位置测量数据如下表所示，设BD的读数为x，CD读数为y，抛物线的顶点为C．

(1)（Ⅰ）列表：

①②③④⑤⑥

x023456

y012.2546.259

（Ⅱ）描点：请将表格中的x,y描在图2中；

（Ⅲ）连线：请用平滑的曲线在图2将上述点连接，并求出y与x的关系式；

2

(2)如图3所示，在平面直角坐标系中，抛物线yaxhk的顶点为C，该数学兴趣小组用水平和竖直

直尺测量其水平跨度为AB，竖直跨度为CD，且ABm，CDn，为了求出该抛物线的开口大小，该数学

兴趣小组有如下两种方案，请选择其中一种方案，并完善过程：

2

方案一：将二次函数yaxhk平移，使得顶点C与原点O重合，此时抛物线解析式为yax2．

①此时点B的坐标为________；

②将点B坐标代入yax2中，解得a________；（用含m，n的式子表示）

方案二：设C点坐标为h,k

①此时点B的坐标为________；

2

②将点B坐标代入yaxhk中解得a________；（用含m，n的式子表示）

(3)【应用】如图4，已知平面直角坐标系xOy中有A，B两点，AB4，且AB∥x轴，二次函数

22

C1:y12xhk和C2:y2axhb都经过A，B两点，且C1和C2的顶点P，Q距线段AB的距离之

和为10，求a的值．

16．（2025·北京十三中分校·二模）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线yax22atxca0经过点

A2,y1，B3,y2，C2t2,y3，D2t,y4．

(1)当a1时，求该抛物线的对称轴（用含t的式子表示）．

(2)若点M2,m，N2t2,n都在抛物线上，则mn（填“”“”或“”）；

(3)将抛物线在A,B之间的部分（含A,B）所有点的纵坐标的最大值记为m1，C,D之间的部分（含C,D）所

有点的纵坐标的最大值记为m2，若都有m1m2，求t的取值范围．

17．（2025·北京二中·一模）对于平面直角坐标系xOy内的点P和图形M，给出如下定义：如果点P绕原点

O顺时针旋转90得到点P'，点P'落在图形M上，那么称点P是图形M关于原点O的“伴随点”，已知点

A1,1,B1,2,C3,1．

(1)在点P11,1，P22,0，P31,2中，点________是线段AC关于原点O的“伴随点”；

(2)如果点Dm,2是ABC关于原点O的“伴随点”，直接写出m的取值范围；

(3)已知抛物线y(x1)2n，其关于原点对称的抛物线上存在两个ABC关于原点O的“伴随点”，直接写

出n的取值范围．

1

18．（2025·北京清华附中·二模）研究发现，抛物线yx2上的点到点F(0，1)的距离与到直线l：y1的

4

1

距离相等.如图1所示，若点P是抛物线yx2上任意一点，PH⊥l于点H，则PF=PH.

4

基于上述发现，对于平面直角坐标系xOy中的点M，记点M到点P的距离与点P到点F的距离之和的最小

11

值为d，称d为点M关于抛物线yx2的关联距离；当2d4时，称点M为抛物线yx2的关联点.

44

1

（1）在点M2，0，M1，2，M4，5，M0，4中，抛物线yx2的关联点是_____；

12344

（2）如图2，在矩形ABCD中，点At，1，点Ct1，3，

1

①若t=4，点M在矩形ABCD上，求点M关于抛物线yx2的关联距离d的取值范围；

4

1

②若矩形ABCD上的所有点都是抛物线yx2的关联点，则t的取值范围是________.

4

题型4反比例函数综合

主要考查相似三角形的性质与判定、解直角三角形及反比例函数，熟练掌握相似三角形的性质与判定、

解直角三角形及反比例函数是解题的关键．

19．（22-23九下·北京通州·一模）我们学过二次函数的图象的平移，如：将二次函数y3x2的图象向左平移

2个单位，再向下平移4个单位，所得图像的函数表达式是y3(x2)24．类似地，函数

kk

yn(k0,m0,n0)的图象是由反比例函数y的图象向右平移m个单位，再向上平移n个单位

xmx

得到，其对称中心坐标为(m,n)．

1

(1)①将y的图象向右平移1个单位，所得图象的函数表达式为，再向上平移1个单位，所得图象的函

x

数表达式为；

x11

②函数y的图象可由y得图象向平移个单位得到；

xx

x1

③y的图象可由哪儿个反比例函数的图象经过怎样的变换得到？

x2

44

(2)如图，在平面直角坐标系xOy中，请根据给的y的图象画出函数y2的图象，并根据该图象

xx2

指出，当x在什么范围内变化时，y1．

(3)实际应用：某老师对一位学生的学习情况进行跟踪研究，假设刚学完新知识时的记忆存留量为1，新知识

4

学习后经过的时间为x，发现该生的记忆存留量随x变化的函数关系式为y；若在xt(t4)时进行

1x4

第一次复习，发现他复习后的记忆存留量是复习前的2倍（复习的时间忽略不计），且复习后的记忆存留量

81

随x变化的函数关系式为y．如果记忆存留量为时是复习的“最佳时机点”，且他第一次复习是在

2xa2

“最佳时机点”进行的，那么当x为何值时，是他第二次复习的“最佳时机点”？请直接写出答案．

k

20．（2024·北京门头沟·二模）在平面直角坐标系xOy中，反比例函数yk0的图象过点A1,1．

x

(1)求k的值；

k

(2)一次函数yaxba0的图象过A0,3，与yx0的图象交于两点，两函数图象交点之间的部分

x

组成的封闭图形称作图象“G”，该图象内横纵坐标均为整数的点称为“G区域点”（不含边界）；

①当一次函数图象过3,1时，存在______个“G区域点”；

②如果“G区域点”的个数为3个，画出示意图，直接写出a的取值范围．

21．（2025·北京平谷·二模）如图，在平面直角坐标系中，给出如下定义：已知点A2,3，点B6,3，连接AB．如

果线段AB上有一个点与点P的距离不大于1，那么称点P是线段AB的“环绕点”．

(1)已知点C3，1.5，D4，3.5，E1，3，则是线段AB的“环绕点”的点是；

8

(2)已知点Pm,n在反比例函数y的图象上，且点P是线段AB的“环绕点”，求出点P的横坐标m的取

x

值范围；

(3)已知M上有一点P是线段AB的“环绕点”，且点M4，1，求M的半径r的取值范围．

22．（2025·河北秦皇岛·一模）如图，矩形ABCD的四个顶点都在格点（网格线的交点）上，对角线AC，BD

k

相交于点E，反比例函数yx0的图象经过点A．

x

(1)求这个反比例函数的表达式；

(2)画出反比例函数的图象；

(3)将矩形ABCD向下平移，当点C落在这个反比例函数的图象上时，求平移的距离为多少？

23．（2022·北京三帆中学·模拟）在平面直角坐标系xOy中，一次函数ymx4mm0的图象与y轴交

k

于点C，与反比例函数yk0的图象交于点A1，n，B两点．

x

(1)求反比例函数的表达式；

(2)当BCAC时，直接写出关于x的方程mx24mxk0的解；

(3)当BC2