2026年高考数学终极冲刺限时预测04（解析版）（全国二卷）

限时预测04（A组+B组+C组）

（建议用时：60分钟满分：77分）

四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

15．（13分）

3

在ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c，已知bcsinAacosC.

3

(1)求角A的大小；

(2)若D为边BC上一点，满足BD2CD，且AD2，求ABC的面积最大值.

π

【答案】(1)A

3

33

(2)

2

3

【详解】（1）解：因为bcsinAacosC，

3

3

由正弦定理得2RsinB2RsinCsinA2RsinAcosC，

3

3

所以sinBsinCsinAsinAcosC，...............................................2

3

3

又因为Bπ(AC)，可得sin(AC)sinCsinAsinAcosC，

3

3

所以sinAcosCcosAsinCsinCsinAsinAcosC，

3

3

所以cosAsinCsinCsinA，...............................................4

3

3

因为0Cπ，所以sinC0，可得cosAsinA，所以tanA3，...............................................5

3

π

又因为0Aπ，故A................................................6

3

（2）解：因为D为边BC上，满足BD2CD，

12

所以BD2DC，所以ADAB2(ACAD)，所以ADABAC，...............................................8

33

212424

所以ADABACABAC，

999

144π

即有|AD|2|AB|2|AC|2|AB||AC|cos，...............................................10

9993

144π

即22c2b2cbcos，

9993

142c2b222

所以4c2b2cb2cbbc，所以4bc，即bc6，

99933933

c2b

当且仅当时，即c2b23时，取等号，...............................................12

33

11π3333

所以SbcsinAbcsinbc6，

ABC223442

33

即ABC的面积最大值为................................................13

2

16．（15分）如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，A1CAA12AB2AC2BC4，BAA160.

(1)证明：直线A1B平面ABC．

(2)设P是棱CC1的中点，求AC与平面PA1B1所成角的正弦值．

【答案】(1)证明见解析；

6

(2)

4

【详解】（1）由题意可知ABC是边长为2的正三角形，

△222

在ABA1中，由余弦定理可得A1BAA1AB2AA1ABcosA1AB

1

164242

2

12，...............................................2

222

所以ABA1B16A1A，

所以△A1AB为直角三角形，且ABA190，

所以A1BAB，...............................................4

同理可得A1BBC，...............................................5

因为BC,AB平面ABC，BCABB，

所以直线A1B平面ABC；...............................................6

（2）取AB中点D，连接CD，则CDAB，

又ABACBC2，所以CD3，

由（1）可知直线A1B平面ABC，ABA1B，...............................................8

以B为原点，分别以射线BA，BA1为x，y轴的正半轴，建立空间坐标系，如图所示：

则，，

A(2,0,0),A1(0,23,0),C(1,0,3),B1(2,23,0)C11,23,3,P0,3,3

所以，

A1B1(2,0,0),A1P(0,3,3)...............................................10

设平面PA1B1的法向量为n(x,y,z)，

nA1B12x0

则有，

nA1P3y3z0

令y1，可得n(0,1,1)，...............................................12

又因为AC(1,0,3)，

ACn36

所以cosAC,n，...............................................14

|ACn|224

6

所以AC与平面PA1B1所成角的正弦值为................................................15

4

17．（15分）．某人工智能公司召开年会，期间提供两个游戏供员工选择，两个游戏均有3局，每局获胜

可获对应奖金，奖金可累计.具体规则如下：

游戏Ⅰ：抛掷质地均匀的相同硬币

第1局，抛两枚，向上的图案相同则获胜，得100元奖金；第2局，抛三枚，向上的图案相同则获胜，得

500元奖金；第3局，抛四枚，向上的图案相同则获胜，得900元奖金；

游戏Ⅱ：抛掷质地均匀的特殊骰子（三组对面分别标记0，2，6的骰子）.

第1局，抛两颗，向上的数字相同则获胜，得300元奖金；第2局，抛三颗，向上的数字相同则获胜，得

600元奖金；第3局，抛四颗，向上的数字是2，0，2，6（不计顺序）则获胜，得900元奖金.

(1)求游戏Ⅰ第2局获胜的概率；

(2)若销售部门的3位员工均选择游戏Ⅰ，设X为前两局均未获胜的人数，求X的分布列和数学期望；

(3)从奖金期望角度，员工应选择哪个游戏？请说明理由.

21

【详解】（1）由题意知，游戏Ⅰ第2局获胜的概率P................................................3

234

（2）易知X0,1,2,3,

11

游戏Ⅰ第1局获胜的概率为，第2局获胜的概率为，则第1局和第2局均未获胜的概率为

24

113

11，

248

3

因此可知X~B3,,...............................................4

8

32

3125133225

PX01,PX1C31,

851288512

23

233135327

PX2C31,PX3,...............................................6

885128512

随机变量X的分布列为

X0123

12522513527

P

512512512512

125225135279

随机变量X的期望EX0123或

5125125125128

39

EX3................................................9

88

（3）应该参加游戏Ⅱ，理由如下：

记Y1,Y2分别为一次参加游戏Ⅰ,Ⅱ所获奖金总额，

111

游戏Ⅰ第1局获胜的概率为，第2局获胜的概率为，第3局获胜的概率为，

248

111

EY100500900287.5,...............................................11

1248

112

游戏第局获胜的概率为，第局获胜的概率为，第局获胜的概率为211114，

Ⅱ123C4C2

3933327

114

EY300600900300,...............................................13

23927

EY2EY1,

从奖金期望角度来看，应选择参加游戏Ⅱ................................................15

18．（17分）已知点F为抛物线C:x22py的焦点，点G2,1在C上.

(1)求C的方程与点F坐标：

(2)过点0,3的直线，与抛物线C相交于A,B两点，一条垂直于x轴的直线，分别与线段AB和直线y=3相

交于P,Q两点.

（i）若P为线段AB的中点，求证：直线QA为抛物线C的切线；

（ii）若直线QA为抛物线C的切线，过点Q作直线AF的垂线，垂足为H，求GH的最大值.

【答案】(1)x24y；F0,1

(2)（i）证明见解析；（ii）4

2

【详解】（1）点G2,1在C:x22py，22p1，

p2，C:x24y；

点F为抛物线C:x24y的焦点，F0,1；...............................................4

（2）（i）过点0,3的直线与抛物线C相交于A,B两点，此直线一定存在斜率，

设过点0,3的直线方程为ykx3，

将ykx3代入C:x24y，得到x24kx3，

整理得到x24kx120，...............................................6

x1x24k

如图，设Ax1,y1,Bx2,y2，则有，

x1x212

x1x24k

P为线段AB的中点，xP2k，...............................................7

22

12

x1x212，x2，

x1

12

x2

xx1xx12，

2k1211

222x1

2

P在直线ykx3上，yP2k3，

2y13

P2k,2k3，Q2k,3，kQA，...............................................8

x12k

2

22x1

Ax1,y1在C:x4y上，x14y1，y，

14

22

x1x112

23

x1244x1

1

2k，kQA22，

x12x122

2x111

x1

2x12x1

2

2xx

x4y，y，y，

42

x1

切点为Ax1,y1，ky|，

xx12

kQA与切点为Ax1,y1的斜率相等，直线QA为抛物线C的切线；...............................................10

（ii）由（i）知，当QA为抛物线C的切线时，

2

2x1

2

x11

Ax,y，F0,1，，y11x14，

11y14

4kAF

x1x14x1

x24

直线AF的方程为y1x1，

4x1

如图，作出符合题意的图形，

过点Q作直线AF的垂线，垂足为H，

22

x14x14

HxH,yH在直线AF上，yHxH1，HxH,xH1，

4x14x1

2

x1

Q2k,3，F0,1，Ax1,，

4

22

x14x1

QHxH2k,xH4，AFx1,1，

4x14

QHAF，QHAF0，

22

x14x1

x1xH2kxH410，

4x14

2

x212x12x24x2

1，xx11x4110，

2k1HH

2x12x14x14

8xx2128xx212

1111

xH2，yH，H,，...............................................12

x4222

1x14x14x14

22

22

28xx128x2

，111，

G2,1GH22212...............................................14

x14x14x14

2

8x22

设y，整理得到y8x32x4y320，

x24

2

则Δ324y8320，解得0y16，...............................................16

2

GH的最大值为16，GH的最大值为4................................................17

ax

19．（17分）已知函数fxexxR.

(1)讨论函数fx的单调性.

m

(2)设函数gxfxaa0,mR，若存在唯一实数a使函数gx的最小值为0，求实数m的取值范

围.

【答案】(1)答案见解析；

(2)m0或m1．

ax

【详解】（1）由fxexxR得fxaeax1................................................1

①当a0时，fx10，fx单调递减；...............................................2

lna

②当a0时，令fxaeax10，解得x，

a

lna1

当x时，axlna,eaxelna,aeax1，即fx0，所以fx单调递减，

aa

lna1

当x时，axlna,eaxelna,aeax1，即fx0，所以fx单调递增；.............................4

aa

③当a0时，aeax0，所以fx0，fx单调递减................................................5

综上，当a0时，fx单调递减；

lnalna

当a0时，fx在,上单调递减，在,上单调递增；

aa

当a0时，fx单调递减................................................7

（2）由g(x)f(x)ameaxxam,a0...............................................8

得g(x)aeax1，由（1）可知

1

ln

11a11m111m

g(x)minglnelnalna0，...............................................9

aaaaaaa

111

即关于a的方程lnam0只有1个根，

aaa

当a1时，方程（）恒成立，即当a0且a1时，方程（）无解

111111lna

所以lnamlnaamam，...............................................11

aaaaaa

1

由am0，所以1lna0，即lna1，即a且a1，

e

1lna

对（）式同时取对数lnmlnaln(1lna)lnamlna，...............................................13

a

ln(1lna)

即m1，令tlna1，则t(0,1)(1,)，

lna

lnt

即关于t的方程m1在t(0,1)(1,)无解(***)................................................14

t1

t11

lntlnt1lnt

又令，则，

(t),t(0,1)(1,)tt

t1(t)22

(t1)(t1)

1111t

令h(t)1lnt，则h(t)，

tt2tt2

由h(1)0，则当t(0,1)时，h(t)0，当t(1,)时，h(t)0，

所以h(t)在(0,1)单调递增，在(1,)单调递减，

所以h(t)h(1)0，所以(t)0，所以(t)在(0,1),(1,)上单调递减，...............................................15

当t1时，(t)1，当t时，(t)0，

要使(***)式成立，只需m11或m10，即m0或m1...............................................16

综述，实数m的取值范围m0或m1．...............................................17

（建议用时：60分钟满分：77分）

四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

15．（13分）已知an是公差为d的等差数列，其前n项和为Sn，且a2a512，S525.

(1)求an的通项公式；

2

(2)若数列bn满足bn，其前n项和为Tn，证明：Tn1.

anan1

【答案】(1)an2n1

(2)证明见解析

a2a52a15d12,

【详解】（1）由题意得...............................................2

S55a110d25,

a1,

解得1...............................................4

d2,

所以ana1n1d2n1................................................6

2211

（2）由bn，...............................................9

anan12n12n12n12n1

11111

所以Tbbb1

n12n3352n12n1

1

11................................................13

2n1

16．（15分）

某电商研究中心为剖析国潮消费趋势，随机调查了该平台50名男性用户和50名女性用户，统计其对“国潮

服饰类产品”的购买意愿（经常购买/不常购买），得到如下列联表：

经常购买不常购买

男性用户4010

女性用户3020

(1)依据＝0.05的独立性检验，能否认为该平台男、女用户对国潮服饰类产品的购买意愿有差异？

(2)从该平台的用户中任选一人，A表示事件“选到的人不常购买国潮服饰类产品”，B表示事件“选到的人为

女性用户”，利用该调查数据，给出PBA，PBA的估计值．

2

nadbc

附：2．

abcdacbd

Pχ240.0500.0100.005

k3.8416.6357.879

【答案】(1)认为男、女用户对国潮服饰类产品的购买意愿有差异

23

(2)，

37

2

10040203010

【详解】（1）由题可得：24.7623.841，...............................................4

50507030

依据＝0.05的独立性检验，认为男、女用户对国潮服饰类产品的购买意愿有差

异．...............................................7

PABnAB202

（2）由题得，PBA，...............................................11

PAnA303

PABnAB303

PBA．

PAnA707

.............................................................................................................15

17．（15分）

已知椭圆C过点M2,1，两个焦点坐标分别为6,0,6,0．

(1)求椭圆C的方程．

(2)已知A,B为椭圆C上异于M的两点，且直线MA,MB与x轴围成一个以M为顶点的等腰三角形．

（i）求证：直线AB的斜率为定值；

（ii）求△MAB面积的最大值．

x2y2

【答案】(1)1

82

(2)（i）证明见解析；（ii）2．

x2y2

【详解】（1）设椭圆C的方程为1ab0，

a2b2

显然c6,a2b2c2b26，...............................................2

x2y241

将点M2,1代入椭圆方程1，即1，解得b22或b23（舍去）

b26b2b26b2

x2y2

所以椭圆C的方程为1．...............................................4

82

（2）（i）

设直线AB的方程为ykxt（由对称性知k存在），如下图：

22

xy2222

联立1得x24kxt8，化简得4k1x8ktx4t20，

82

8kt

xx,

AB4k21

22

由0知8kt20，则2，...............................................6

4t2

xx

AB4k21

y1y1y1x2y1x2

ABBAAB

因为kMAkMB0，所以0，即0，.............................8

xA2xB2xA2xB2

化简得2k12k1t0，因为直线AB不过点M2,1，所以2kt1，

1

故k．...............................................9

2

法二：

设直线MA的方程为y1kx2，

22

xy2222

联立1，得x4kx218，化简x4kx12k8，

82

2

得4k21x28k12kx412k80，

2

1412k8

由0知4k24k10，即k，则xx，

2AM4k21

8k28k2

又xM2，所以x，...............................................6

A4k21

因为直线MA,MB与x轴围成一个以M为顶点的等腰三角形，所以kMAkMB0，

8k28k2

同理可得x，...............................................7

B4k21

16k2416k

由此可知xx,xx，...............................................8

AB4k21AB4k21

yykxAxB4k1

则直线AB的斜率kAB，

xAxBxAxB2

1

故直线AB的斜率为定值．...............................................9

2

法三：

因为直线MA,MB与x轴围成一个以M为顶点的等腰三角形，所以kMAkMB0，

因为A,B为椭圆上异于M的两点，

所以可设直线AB为mx2ny11，m,n不同时为0，

x2y2

联立mx2ny11与1，...............................................5

82

22

得4m1x242mnx2y142n1y10，

2y1

等式两边同时除以x2，记k，...............................................7

x2

化简得4m142mnk42n1k20，

1

由于kk0，所以2mn0，说明直线AB的斜率为定值．...............................................9

MAMB2

1

（ii）设直线AB为yxt，

2

1x2y2

联立yxt与1，得x22tx2t240，

282

22

因为Δ4t42t40，所以t24．

xAxB2t,

由韦达定理知2...............................................11

xAxB2t4,

法一：

过点M作x轴的垂线交直线AB于点N，则点N的坐标为2,t1，

112

SMNxx，即Stxx4xx，...............................................12

MAB2ABMAB2ABAB

化简得22．

SMABt24...............................................14

当且仅当t22时，△MAB的面积取最大值2．...............................................15

法二：

2

易知1522，

AB1xAxBxAxB4xAxB54t

22

t2t

d

2

点M2,1到直线AB的距离15，...............................................12

1

2

2

12422

所以SMABABdt4tt4tt24，...............................................14

2

当且仅当t22时，△MAB的面积取最大值2．..........................................................15

18（17分）如图，四棱锥PABCD中，PA平面ABCD，AD//BC，ADAP2BC2AC6，CD35.

(1)求证：ACPD；

(2)若G为△PCD的重心，

（i）求GC与平面PBD所成角的正弦值；

AF

（ii）若AG交平面PBD于F，求的值.

AG

【答案】(1)证明见解析；

6

(2)33，

337

【详解】（1）在ACD中，AD6,AC3，CD35，

AD2AC2CD2，ADAC，...............................................2

PA平面ABCD，AC平面ABCD，PAAC，...............................................3

ADPAA，AD平面ADP，PA平面ADP，

AC平面ADP，PD平面ADP，ACPD；...............................................5

（2）（i）以A为原点，AC,AD,AP分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系，如图所示，

AD//BC，ADAP2BC2AC6，CD35.

A0,0,0，C3,0,0，B3,3,0，D0,6,0，P0,0,6，

PB3,3,6，PD0,6,6，

G为△PCD的重心，G1,2,2，GC2,2,2，...............................................6

设平面PBD的法向量为n1x1,y1,z1，

n1PBn1PB03x13y16z10

则，，，

6y6z0

n1PDn1PD011

取y11，则z11,x13，即n13,1,1，...............................................8

GCn16222，n111，GC23，...............................................9

设GC与平面PBD所成的角为，

nGC233

则sincosn,GC，...............................................10

nGC112333

故GC与平面PBD所成角的正弦值为33；...............................................11

33

（ii）由（i）知，AP0,0,6，AG1,2,2，

AF

设，则AFAG,2,2，

AG

PFAFAP,2,20,0,6,2,26，...............................................12

由（i）知，平面PBD的法向量为n13,1,1，...............................................13

6

则PFn，即PFn0，则32260，解得，...............................................15

117

AF6

即...............................................................................................17

AG7

19．（17分）

已知函数fx2exax，aR．

(1)讨论fx的单调性；

(2)若fx在R上有两个零点，求实数a的取值范围；

12

x1x2

(3)若函数gxfxx有两个极值点x1，x2，证明：ee4．

2

aa

【答案】(1)a0时，fx在R上单调递增，a0时，fx在,ln上单调递减，在ln,上单

22

调递增

(2)2e,

(3)证明见解析

xx

【详解】（1）fx2eax的定义域为R，fx2ea．

当a0时，fx0,fx在R上单调递增；...............................................1

a

当a0时，由fx0得xln，

2

aa

由fx0得xln，由fx0得xln，

22

aa

则fx在,ln上单调递减，在ln,上单调递增．...............................................3

22

综上，a0时，fx在R上单调递增，

aa

a0时，fx在,ln上单调递减，在ln,上单调递增．...............................................5

22

（2）因为fx在R上有两个零点，所以a0，

x2x1x

由fx0得，令mx，则mx，...............................................6

exaexex

所以m10,x1，时，mx0;x1时，mx0，

所以mx在,1上单调递增，在1,上单调递减，...............................................8

1

mx有极大值，也就是最大值为m1，...............................................9