2026年高考数学复习系列（全国）专题2.3 函数的单调性、奇偶性、对称性与周期性（讲义）（原卷版）

专题2.3函数的单调性、奇偶性、对称性与周期性（举一反三复习讲义）

【全国通用】

1、函数的单调性、奇偶性、对称性与周期性

函数的性质是历年高考的重点、热点内容，函数的单调性、奇偶性、周

期性是高考的必考内容，从近几年的高考情况来看，重点关注单调性、奇偶

命题规律性结合在一起，与函数图象、函数零点和不等式相结合进行考查，解题时要

充分运用转化思想和数形结合思想。题型主要以选择题、填空题为主，偶尔

分析

在解答题中渗透考查；对于选择题和填空题部分，重点考查基本初等函数的

单调性，利用性质判断函数单调性及求最值、解不等式、求参数范围等，难

度较小；对于解答题部分，一般与导数结合，综合性强，考查难度较大.

高考真题考点2023年2024年2025年

统计函数的性I卷：第4题，5分新课标I卷：第6题，5全国一卷：第5题，5

质I卷：第11题，5分分分

Ⅱ卷：第4题，5分新课标Ⅱ卷：第8题，5全国二卷：第10题，6

分分

天津卷：第3题，5分

预测在2026年全国卷高考数学中，对函数的单调性、奇偶性、对称性

2026年与周期性的考查仍为必考重点，考情较为稳定。题型主要以选择题、填空题

为主，偶尔在解答题中渗透考查，分值占比固定。命题形式延续函数多性质

命题预测综合的考查特点，常与函数图象、函数零点和不等式相结合进行考查，解题

时要充分运用转化思想和数形结合思想进行求解，难度中等。

知识点1函数的单调性

1．求函数的单调区间

求函数的单调区间，应先求定义域，在定义域内求单调区间.

2．函数单调性的判断

(1)函数单调性的判断方法：①定义法；②图象法；③利用已知函数的单调性；④导数法.

(2)复合函数的单调性：函数y=f(g(x))的单调性应根据外层函数y=f(t)和内层函数t=g(x)的单调性判断，遵循

“同增异减”的原则.

知识点2函数的最值的求法

1．求函数最值的三种基本方法：

(1)单调性法：先确定函数的单调性，再由单调性求最值.

(2)图象法：先作出函数的图象，再观察其最高点、最低点，求出最值.

(3)基本不等式法：先对解析式变形，使之具备“一正二定三相等”的条件后用基本不等式求出最值.

2．复杂函数求最值：

对于较复杂函数，可运用导数，求出在给定区间上的极值，最后结合端点值，求出最值.

知识点3函数的奇偶性及其应用

1．函数奇偶性的判断

判断函数的奇偶性，其中包括两个必备条件：

(1)定义域关于原点对称，这是函数具有奇偶性的必要不充分条件，所以首先考虑定义域；

(2)判断f(x)与f(-x)是否具有等量关系，在判断奇偶性的运算中，可以转化为判断奇偶性的等价等量关系式

(f(x)+f(-x)=0(奇函数)或f(x)-f(-x)=0(偶函数))是否成立.

2．函数奇偶性的应用

(1)利用函数的奇偶性可求函数值或求参数的取值，求解的关键在于借助奇偶性转化为求已知区间上的函数

或得到参数的恒等式，利用方程思想求参数的值.

(2)画函数图象：利用函数的奇偶性可画出函数在其对称区间上的图象，结合几何直观求解相关问题.

3．常见奇偶性函数模型

(1)奇函数：

ax1ax1

①函数f(x)m()(x0)或函数f(x)m()．

ax1ax1

②函数f(x)(axax)．

xm2mxm2m

③函数f(x)loglog(1)或函数f(x)loglog(1)

axmaxmaxmaxm

④函数2或函数2．

f(x)loga(x1x)f(x)loga(x1x)

(2)偶函数：

①函数f(x)(axax)．

mx

②函数f(x)log(amx1)．

a2

③函数f(|x|)类型的一切函数．

④常数函数.

知识点4函数的周期性与对称性的常用结论

1．函数的周期性常用结论(a是不为0的常数)

(1)若f(x+a)=f(x)，则T=a；

(2)若f(x+a)=f(x-a)，则T=2a；

(3)若f(x+a)=-f(x)，则T=2a；

(4)若f(x+a)=，则T=2a；

(5)若f(x+a)=，则T=2a；

(6)若f(x+a)=f(x+b)，则T=|a-b|(a≠b);

2．对称性的三个常用结论

(1)若函数f(x)满足f(a+x)=f(b-x)，则y=f(x)的图象关于直线对称.

(2)若函数f(x)满足f(a+x)=-f(b-x)，则y=f(x)的图象关于点对称.

(3)若函数f(x)满足f(a+x)+f(b-x)=c，则y=f(x)的图象关于点对称.

3．函数的的对称性与周期性的关系

(1)若函数yf(x)有两条对称轴xa，xb(ab)，则函数f(x)是周期函数，且T2(ba)；

(2)若函数yf(x)的图象有两个对称中心(a,c),(b,c)(ab)，则函数yf(x)是周期函数，且T2(ba)；

(3)若函数yf(x)有一条对称轴xa和一个对称中心(b,0)(ab)，则函数yf(x)是周期函数，且

T4(ba).

【题型1函数单调性的判断及单调区间的求解】

【例1】（2025·北京海淀·三模）下列函数中，在上单调递增的是（）

．．．−∞,0．

ABC2D

1�−�3

��=���=e+e��=���=sin�

【变式1-1】（2025·江苏南通·模拟预测）函数2的单调递减区间为（）

12�−3�+11

��=3

A．B．C．D．

3333

−∞,22,+∞−∞,44,+∞

【变式1-2】（2025·广东清远·一模）设函数，则函数为（）

2

��=�−���

A．奇函数，且在单调递增

B．奇函数，且在0,+∞单调递减

C．偶函数，且在0,+∞单调递增

D．偶函数，且在0,+∞单调递减

【变式1-3】（2025·湖南0常,+德∞·三模）已知奇函数是定义域为R的连续函数，且在区间上单

调递增，则下列说法正确的是（）�=�(�)(0,+∞)

A．函数在R上单调递增

2

B．函数�=�(�)+�在上单调递增

2

C．函数�=�(�)−在�R(上0,单+调∞递)增

2

�=��(�)

D．函数在上单调递增

�(�)

2

�=�(0,+∞)

【题型2根据函数的单调性求参数】

【例2】（2025·广东茂名·一模）已知函数在区间上单调递增，则的取值范围

2

为（）��=�−6�+5�,+∞�

A．B．C．D．

【变式2-1−】∞（,12025·陕西西安−·∞模,拟3预测）若函数3,+∞在5上,+单∞调，则的取值范围是（）

2

�+��−3

A．B．C．��=21,D+．∞�

【变式2-2−】2（,+2∞025·山西·二模−1）,+若∞函数−∞在,−2上单调递减，−则∞实,−数1a的取值范围是（）

�

�(�)=�+�(0,2]

A．B．C．D．

(0,2](0,4][2,+，∞)[4,+∞)

【变式2-3】（2025·安徽合肥·一模）若是上的增函数，则实数的取值范围为（）

，

��+1�<1

��=��

A．B．lCn．�+2��≥1D．

1,+∞1,+∞2,+∞2,+∞

【题型3函数的最值问题】

【例3】（2025·宁夏陕西·模拟预测）已知函数，则在上的最大值为（）

�−�

A．B．C�．�0+1=2−2D．�1�−1,1

315

24

【变式3-1】（2025·湖南·模拟预测）已知函数，则“，”是“在上的最

��∀�∈0,+∞��≥2��0,+∞

小值为2”的（）

A．充分不必要条件B．必要不充分条件

C．充要条件D．既不充分又不必要条件

【变式3-2】（2025·山东·模拟预测）已知函数，若正数a，b满足，则的最小

1

值是（）�(�)=�+��+�=1�(�)�(�)

A．2B．C．4D．

1725

44

【变式3-3】（2025·广东·模拟预测）已知是上的奇函数，，若在上

单调递增，且，则在上的�最�小值是R（）��−1−�3−�=0��0,1

A．�1=2B．��RC．D．

−4−3−2−1

【题型4函数的奇偶性及其应用】

【例4】（2025·陕西汉中·一模）若函数为奇函数，则实数（）

4

�

��=�+3−1�=

A．B．1C．2D．4

【变式4-−1】1（2025·安徽·二模）已知函数，下列函数中为偶函数的是（）

2

A．B．��C=．ln�−2�+2D．

【变式4-�2】�（+20125·四川内江�·�一模−1）设奇函数�的�定+义1域为，当�时�，−1，则当

时，（）��R�≥0��=�1+��<0

A�．�=B．

C．�1+�D．��−1

�1−�−�1+�

【变式4-3】（2025·安徽合肥·一模）已知是定义在上的偶函数，且，当时，

3

，则（）����4−�=��0≤�≤2

��A=．3−2��−2B0．251=C．3D．7

−1

【题型5利用函数的性质比较大小、解不等式】

【例5】（2025·黑龙江大庆·一模）已知函数的定义域为，且在上单

调递减，则不等式的解集是�（(�)）�,�(1+�)=�(3−�)�(�)[2,+∞)

A．�(2�B−．3)>�(3)C．D．

(−∞,3)(−∞,2)(3,+∞)(2,3)

【变式5-1】（2025·天津武清·模拟预测）已知定义在R上的函数，，，

�1

��=�⋅e�=�log35�=−�log32

，则a，b，c的大小关系为（）

�=�ln3

A．B．C．D．

【变式5-�2】>（�2>02�5·海南省直�>辖县�>级�单位·模拟预测�）>已�知>定�义在�>�>�上的偶函数，且当

时，单调递增，则关于的不等式1−3�的,4解�集−是2（）���∈

0,3�−1�����−1>�2�−3�

A．B．C．D．

475252

3,28,43,33,2

【变式5-3】（2025·重庆·三模）已知函数是R上的偶函数，对任意，且

1212

都有，若，�=�(�+，1)，则的大小�关,系�是∈（1,+）∞�≠�

ln4

12

�(�)−�(�)e2

�1−�232

A．b<a<c>0�B．=a�<blo<gc6�=�(lnC．)c<b�<=a�(e)�,D�．,�b<c<a

【题型6函数的周期性】

【例6】（2025·四川凉山·一模）已知是定义在上的函数，．当时，

，则（）�����+1=−��2≤�<3��=5−

�

2A．�2025=B．C．D．

【变式6-−1】5（2025·广西·模拟−1预测）已知定义在上1的函数满足4，，当

时，，则等于（）����−�=−����+4=���∈

3

0,1A．0��=�−3B�．1�2026C．2D．

【变式6-2】（2025·广东梅州·模拟预测）设是定义在上且周期为2的奇−函2数，当时，

2

，则（）���2≤�≤3��=�−

5�+A6．�−1=B．0C．2D．

1

4−1

【变式6-3】（2025·甘肃白银·三模）已知对于，，，

，且，则∀�∈��（�+）1+��−1=����+��−3=2

2025

�=0

�−3A．−�=�−3+�B．�−3=1C．�1�=D．0

13

22

【题型7函数的对称性】

【例7】（2025·江苏南通·模拟预测）已知函数的图象关于点对称，则

2

（）�(�)=(�+1)(�+��+�)(1,0)�+2�=

A．B．10C．2D．

【变式7-−1】1（02025·湖南·一模）已知均为定义在上的函数，−2

，若的图象关于直线��,��对称，且�，则��−1+的�值�是=（�,��）+1=�1−

30

�=1

�+A�．463�2�+1B．464�=−1C．465�0=1D．466��

【变式7-2】（2025·河北邢台·三模）已知定义在上的函数满足为偶函数，，

则下列说法错误的是（）R�(�)�(�+2)�(4+�)=−�(4−�)

A．的图象关于中心对称

B．�(�)的周期为8(4,0)

C．�(�)

D．�当(2025)=时�(，1)，则的值为

2

【变式7-3】�（∈2[02,25]·安徽�马(�鞍)山=·�模−拟2预�测）若�(函7)数−1的图象关于对称，且，则实数

�+�

（）�(�)=ln�+1+�(2,2)�≠1

�=A．B．C．D．

−5−105

【题型8函数的图象问题】

【例8】（2025·安徽合肥·模拟预测）函数的图象大致为（）

22

�(�)=4−�−4ln4−�

A．B．

C．D．

【变式8-1】（2025·广西柳州·一模）已知函数的部分图象如图所示，则的解析式可能为（）

����

．．

A�−�B�−�

2+22−2

��=4�−3��=3−4�

．．

C�−�D

2−2�

��=4�−3��=�−1

【变式8-2】（2025·四川成都·一模）已知定义在上的奇函数在上的图象如图所示，则不等式

的解集为（）��(�)[0,+∞)(�−

3)�(�)>0

A．B．

C．(−3,0)∪(3,3)D．(−3,0)∪(0,3)

【变式8-(3】−（∞,2−0235)·江∪西(0,·3三)模）函数(−∞,−3)∪的(部3分,3图)象大致为（）

�−�

��=�+e−ecos�

A．B．

C．D．

【题型9原函数与导函数的单调性、奇偶性】

【例9】（2025·海南海口·模拟预测）已知函数的定义域为R，其导数，且和

′

都为奇函数．若，则�(�)（）�(�)=�(�)�(�)�(�+1)

A．1�(−1)B=．10�(2024)+�(2C0．25)=D．

【变式9-1】（2025·四川巴中·模拟预测）已知−是1定义在上的偶函数−，2且函数也是偶函数，

′−�

其中表示函数的导函数，则（��）R��+e

′′

�．�����=．

A�−�B�−�

e−ee+e

22

C．D．

�−��−�

【变式9-e2】（−2e025·湖北·模拟预测）已知函数及其e导+数e的定义域均为在上单调递增，

′′′

为奇函数，若，则（��）���,����1+�

�4��

2=3,4=5,3=4

A．B．

C．��<��<��D．��<��<��

【变式9-�3】（�20<25�·湖�北<·模�拟�预测）已知函数和它�的�导<函�数�<�的�定义域均为，且，

′

为奇函数．若，则��（）��R��+2+�−�=2

′2025

�=1

��A+．21�B．02=0�(�)C=．2025D．2026

考点一函数的单调性与奇偶性

一、单选题

1．（2025·天津·高考真题）已知函数的图象如下，则的解析式可能为（）

�=����

A．B．C．D．

��|�||�|

22

�(�)=1−|�|�(�)=|�|−1�(�)=1−��(�)=�−1

2．（2024·全国甲卷·高考真题）函数在区间的图象大致为（）

2�−�

��=−�+e−esin�[−2.8,2.8]

A．B．

C．D．

3．（2024·天津·高考真题）下列函数是偶函数的为（）

．．．．

A�2B2C�D

e−�cos�−�e−�sin�−�

�22�2

e+��+1e+��+1

4．（20�2=3·北京·高考真题）�下=列函数中，在区间�=上单调递增的是�（=）

(0,+∞)

A．B．

1

�

�(�)=−ln��(�)=2

C．D．

1|�−1|

�(�)=−��(�)=3

．（全国乙卷高考真题）已知是偶函数，则（）

52023··�

�e

��

e−1

A．B．�(�)=C．1�=D．2

二、多选−2题−1

6．（2025·全国二卷·高考真题）已知是定义在R上的奇函数，且当时，，

2�

则（）�(�)�>0�(�)=�−3e+2

A．B．当时，

2−�

C．�(0)=0当且仅当D．�<0是�(的�)极=大−值�点−3e−2

三、填空�(题�)≥2�≥3�=−1�(�)

7．（2024·上海·高考真题）若函数是奇函数，则实数.

3

�(�)=�+�(�∈R)�=

8．（2023·全国甲卷·高考真题）若为偶函数，则．

2π

四、解答题��=(�−1