共面向量、空间向量基本定理高二下学期数学湘教版选择性必修二

2.3.1第1课时

共面向量、空间向量基本定理1.平面向量基本定理：

如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使

a=

．2.平面向量相等的充要条件：

如果e1，e2不共线，且a=λ1e1+λ2e2，b=μ1e1+μ2e2，那么

λ1e1+λ2e2对于空间中的任一向量，是否也有类似的结论呢？

方向相同或相反的非零向量叫做平行向量也叫共线向量．任一组平行向量都可以移动到同一条直线上，所以平行向量也称为共线向量.lABOC说一说：平面中的两个非零向量在什么情况下平行呢?为什么平行向量也称为共线向量呢？

类比以上过程，你认为空间中的任一两个非零向量存在怎样的关系？任意三个向量呢？问题1：空间中任意两个向量总是共面的，但空间中任意三个向量可能是共面的，也可能是不共面的，什么情况下三个空间向量共面呢?（一）共面向量

如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，A1B1=

AB，A1D1=

AD，而AB，AD，AC在同一平面内．

此时，我们称A1B1，A1D1，AC共面．

一般地，能平移到同一个平面内的向量叫作共面向量．

根据平面向量基本定理，存在唯一的有序实数组(x，y)，使得

p=x

e1

＋

y

e2

对于空间三个向量p，

e1，e2

（

e1，e2不共线），当p，

e1，e2

共面时，问题2：

平面内两个不共线向量

e1，e2，若平面内任意一个向量

p与

e1，e2共面，则

p，

e1，e2这三个向量之间存在怎样的关系呢?问题3：反过来，对于空间三个向量

p，

e1，e2

，其中e1，e2

不共线，如果存在有序实数组(x，y)，使得

p=x

e1

＋

y

e2

，那么

p，

e1，e2

共面吗？

这样，我们得到以下结论：

如果两个向量

e1，e2

不共线，那么

p与向量e1，e2

共面的充要条件是存在有序实数组(x，y)，使得

这就是说，向量

p可以用两个不共线的向量

e1，e2

线性表示．在三个向量a，b，c

中，某个向量为0，或者某两个向量平行，则这三个向量共面．如何理解

p=x

e1

＋

y

e2

在三个向量a，b，c

中，某个向量为0，或者某两个向量平行，则这三个向量共面．例1

如图，斜三棱柱ABC-A'B'C'中，设AB

=

a，AC

=

b，AA'

=

c

．在AC'和BC上分别取点M和N，使AM

=

k

AC'，BN

=

k

BC（0≤

k

≤1）．求证：向量MN与向量

a

和

c

共面．

你能发现什么？1.如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别在B1B，D1D

上，且

，

．求证：A

，E，C1，F四点共面．

证明空间三向量共面或四点共面的方法归纳总结(1)向量表示：设法证明其中一个向量可以表示成另两个不共线向量的线性组合，即若p=xa+yb，则向量p，a，b共面.

（2）已知A，B，C三点不共线，对空间任意一点O，OP=xOA＋yOB＋zOC(x＋y＋z=1)

P，A，B，C四点共面．（二）空间向量基本定理

类似于平面向量基本定理，我们能否将空间任一向量也表示成某几个向量的实数倍之和？如何证明(x，y，z)的唯一性

①空间向量基本定理设e1，e2，e3是空间中三个不共面向量，则空间中任意一个向量p可以分解成这三个向量的实数倍之和：p=

，上述表达式中的系数x，y，z由p唯一确定，即若p=xe1+ye2+ze3=x'e1+y'e2+z'e3，则x=x'，y=y'，z=z'.②基与基向量如果三个向量e1，e2，e3

，那么空间的每一个向量都可由向量e1，e2，e3线性表示.我们把{e1，e2，e3}称为空间的一组

，e1，e2，e3叫作

.(x，y，z)称为向量p=

在基{e1，e2，e3}下的坐标.xe1+ye2+ze3不共面基基向量xe1+ye2+ze3归纳总结注意：(1)空间任意三个不共面的向量都可构成空间的一组基.基选定后，空间的所有向量均可由基唯一表示；不同基下，同一向量的表达式也有可能不同.可用于判断向量是否可以作为基(2)由于零向量与任意一个非零向量共线，与任意两个不共线的非零向量共面，所以若三个向量不共面，就说明它们都不是零向量.

(1)判断一组向量能否作为空间的一组基，实质是判断这三个向量是否共面，若不共面，则能构成一组基.(2)判断基时，有时依托正方体、长方体、平行六面体、四面体等几何体，用它们从同一顶点出发的三条棱对应的方向向量为基向量，并在此基础上构造其他向量进行相关的判断.判断基的一般方法方法归纳例3

如图，在平行六面体中ABCD-A'B'C'D'中，G为三角形A'BD的重心，设AB

=

a，AD

=

b，AA'

=

c

，以

a，b，

c

为一组基．求AC'和AG在这组基下的坐标．(1)若基确定，要充分利用向量加法的三角形法则和平行四边形法则，向量减法的定义以及向量数乘运算的运算律.(2)若未给定基，首先选择基，选择时，要尽量使所选的基向量能方便地表示其他向量，再就是看基向量的模及其夹角是否已知或易求.用基表示向量的方法方法归纳1.对于空间的任意三个向量a，b，2a-b，它们一定是()A.共面向量B.共线向量C.不共面向量D.既不共线也不共面的向量A

AC3.设向量a，b，c不共面，则下列向量组可作为空间的一组基的是（

）A.{a-2b，3a-b，0} B.{a，b，a+b}C.{3a+b，a+b，c} D.{a+b+c，a+b，c}解：A中由于0与任意两个向量共面，不能作为一组基；B中a，b，a