第八讲 求通项公式归类（学生版）

第八讲求通项公式归类【知识梳理】一、递推数列1.概念：数列的连续若干项满足的等量关系称为数列的递推关系．由递推关系及k个初始值确定的数列叫递推数列．2.求递推数列通项公式的常用方法：构造法、累加(乘)法、归纳猜想法．二、数列递推关系的几种常见类型1.公式法：形如或或2.累加法：形如且当时.3.累乘法：形如且当时,.注意:不一定满足上述形式,所以需要检验.4.倒数法：（构造等差数列）形如整式或分式整式：两边同时除以分式：两边同时取倒数5.待定系数法①形如且方法:化为的形式，令,即得为等比数列,从而求得数列的通项公式.②形如且方法:两边同除,得,令,得,转化为利用累加法求若为常数,则为等差数列,从而求得数列的通项公式.题型01观察法、周期数列【解题思路】先写出数列的前几项，观察发现规律，找到周期【例1】若数列满足，则（

）A．1 B．2 C．-1 D．-2【例2】数列，，，，的一个通项公式是an=（

）A． B． C． D．【变式1-1】已知数列满足且，则（

）A．3 B． C．-2 D．【变式1-2】已知一列数如此排列：，则它的一个通项公式可能是（）A． B．C． D．【变式1-3】在首项为1的数列中，满足，则（

）A． B． C．0 D．1题型02累加累乘法【解题思路】累加法：形如且，当时.累乘法：形如且，当时,.注意:不一定满足上述形式,所以需要检验.【例3】已知数列，，，…，，…是首项为1，公比为2的等比数列，则下列数中是数列中的项的是（

）A．16 B．128 C．32 D．64【例4】已知数列满足：，则（

）A．21 B．23 C．25 D．27【变式2-1】已知，则数列的通项公式是．【变式2-2】在数列中，，且，求数列的通项公式．【变式2-3】（1）已知数列满足，，求的通项．（2）数列中，，（n为正整数），求．题型03证明等差等比数列【解题思路】1.若满足定值或定值，则数列为等差数列，则求出对应的首项即可求得通项公式；2.若满足定值或定值，则数列为等比数列，则求出对应的首项即可求得通项公式；【例5】已知数列，满足，，记.(1)试证明数列为等差数列；(2)求数列的通项公式．【例6】已知数列满足：，．(1)求证：为等比数列；(2)求的通项公式．【变式3-1】已知数列满足，(1)求证：数列为等差数列;(2)求数列的通项公式与最大值.【变式3-2】非零数列满足，且．(1)设，证明：数列是等差数列；(2)设，求的前项和．【变式3-3】已知正项数列的前项积为，且满足．求证：数列为等比数列．题型04待定系数法，取倒法【解题思路】1.形如为常数,:可用“待定系数法”将原等式变形为,由此构造出新的等比数列,先求出的通项,从而求出数列的通项公式;2.分式为常数)的数列,可通过两边同时取倒数的方法构造新数列求解【例7】已知数列满足，则的通项公式（

）A． B． C． D．【例8】已知数列，则数列的通项公式．【变式4-1】（多选）设数列满足，（），则（

）A．为等比数列 B．的通项公式为C．为递减数列 D．的前n项和【变式4-2】已知数列满足，，则满足的最小正整数．【变式4-3】数列满足且，则数列的通项公式是．题型05同除法【解题思路】1.同除指数法：形如且方法:两边同除,得,令,得,转化为利用累加法求2.形如整式，两边同时除以【例9】在数列中，，．求数列的通项公式.【例10】已知数列满足，，则数列的通项公式为【变式5-1】已知数列的前项和为，，，则数列的通项．【变式5-2】（多选）数列满足，若，则（

）A． B．C．的前n项和为 D．的前n项和为【变式5-3】已知数列满足，，则.题型06公式法消【解题思路】用消的3个步骤：①先利用求出;②用替换中的得到一个新的关系，利用便可求出当时的表达式;③注意检验时的表达式是否可以与的表达式合并.【例11】（多选）已知数列的前项和公式为，则（

）A．，，成等差数列B．，，成等差数列C．数列是递增数列D．数列是递增数列【例12】（多选）已知是数列的前n项和，若，，则下列结论正确的是（

）A． B．数列为等差数列 C． D．【变式6-1】已知数列的前项和为，满足.(1)求数列的通项公式；(2)设，求数列的前项和.【变式6-2】已知数列的前项和为，且满足．(1)证明：数列是等比数列；(2)求数列的前项和． 【变式6-3】已知数列各项非零．前项和为，，且，则题型07公式法消【解题思路】设直线的方向向量分别为，平面的法向量分别为，【例13】设数列的前项和为，，，，则数列的前项和为（

）A． B． C． D．【例14】各项非零的数列中，首项，且，求数列的通项公式.【变式7-1】已知数列是正项数列，是数列的前项和，且满足.若，是数列的前项和，则.【变式7-2】已知正项数列的前项和为，且.(1)证明：数列是等差数列；(2)若数列满足，且，求数列的前项和.【变式7-3】设是数列的前项和，，.(1)求；(2)求数列的通项公式.题型08“和”型和“积”型【解题思路】“和”型式子可看做前n项和，然后用即可求解；“积”型式子可看做前n项和，然后用即可求解；【例15】已知数列满足，，若数列为单调递增数列，则的取值范围为（

）A． B．C． D．【例16】已知数列的前项和为，且，首项为1的正项数列满足，则数列的前项和．【变式8-1】（多选）已知数列满足，，则（

）A． B．C． D．【变式8-2】已知数列满足．(1)求数列的通项公式；(2)设，数列的前项和为，证明：．【变式8-3】已知数列的前n项积，数列为等差数列，且，．(1)求与的通项公式；(2)若，求数列的前n项和．题型09因式分解型【解题思路】遇到二次，可尝试平方差公式，完全平方公式和十字相乘法【例17】设各项均为正项的数列满足，，若，且数列的前项和为，则（

）A． B． C．5 D．6【例18】设数列的前项和为，，，且，则的最大值是．【变式9-1】已知正项数列中，，前项和为，且__________.请在①②中任选一个条件填在题目横线上，再作答：①，②.(1)求数列的通项公式；(2)设，数列的前项和为，证明：.【变式9-2】已知正项数列的前项和为，且满足：，.（1）求数列的通项公式；（2）设，求数列的前项和.【变式9-3】已知各项均为正数的数列，满足，．(1)求数列的通项公式；(2)记，试比较与9的大小，并加以证明．课后作业一、单选题1．已知数列满足，，则（

）A． B．2 C．12 D．332．在数列中，，，，则（

）A． B．15 C． D．103．已知数列的首项为，前项和为，若，（），则的值为（

）A． B． C． D．4．在各项均为正数的数列中,,,为的前项和,若,则（

）A． B． C． D．5．设，在数列中，，则下列说法正确的是（

）A．当时，B．当时，C．当时，D．当时，6．已知数列的前项和为，且满足，则下列结论正确的是（

）A． B．C． D．数列的前100项的和为7．已知数列满足，，，则．8．已知数列满足，，且数列的前项和为．若的最大值为，则实数的最大值是．9．已知数列的前项和为，且，则．10．记数列的前n项和为，对任意满足：，且．(1)求数列的通项公式；(2)若，，求的值．11．已知数列满足，．(1)求数列的通项公式；(2)设（表示不超过的最大整数），求数列的前1