第五讲 求离心率和轨迹方程（学生版）

第五讲求离心率和轨迹方程【知识梳理】一、求离心率的值或取值范围1.利用图形的几何性质（1）特殊三角形与离心率:一般有边角相等、三角形相似、面积公式、正余弦定理、角平分线性质、高的性质、中线的性质等,通常数形结合,用几何法进行运算（2）平行四边形与离心率:可能存在四边形也可能利用圆锥曲线的对称性构造四边形,一般有:对边平行相等;两条对角线长度的平方和等于两倍的两个邻边的平方和等.（3）圆与离心率:一般利用弦的中点与圆心的连线与弦垂直,直径所对的圆周角是,半径相等,圆与圆的位置关系等.2.利用坐标运算:如果从题目中的条件难以发掘几何关系,那么可考虑将点的坐标用进行表示,再利用条件列出等式求解3.借助题目中给出的不等信息或者平面几何图形中的不等关系:（1）题目中某点的横坐标(或纵坐标)是否有范围要求:例如圆与双曲线对横坐标的范围有要求.（2）根据平面图形的关系,如三角形两边之和大于第三边、折线段大于或等于直线段、对称的性质中的最值等得到不等关系即可4.借助函数的值域求解范围：若题目中有一个核心变量,则可以考虑将离心率表示为某个变量的函数,从而求该函数的值域即可二、求轨迹方程1.直接法：如果动点运动的条件就是一些几何量的等量关系，这些条件简单明确，不需要特殊的技巧，易于表述成含的等式，就可得到轨迹方程，且要注意等量关系中的限制条件（三角形、斜率等）2.定义法：动点满足的几何条件符合基本轨迹（如圆、椭圆、抛物线和双曲线）的定义条件时，我们可以根据基本轨迹的方程写出轨迹方程，或设出标准方程，然后利用待定系数法求解3.相关点法：如果动点的运动是由另外某一点的运动引发的，而该点坐标满足某已知曲线方程，则可以设出，用表示出相关点的坐标，然后把的坐标代入已知曲线方程，即可得到动点的轨迹方程。4.点差法：圆雉曲线中与弦的中点有关的轨迹问题可用点差法,其基本方法是把弦的两端点的坐标代入圆雉曲线方程,然而相减,利用平方差公式可得等关系式,由于弦的中点的坐标满足且直线的斜率为,由此可求得弦中点的轨迹方程.题型01利用几何性质求解离心率【例1】设椭圆的左、右焦点分别为、，P是C上的点，，，则C的离心率为（

）．A． B． C． D．【例2】已知，分别是双曲线的左右焦点，A为双曲线的右顶点，线段的垂直平分线交双曲线于P，且，则双曲线的离心率为（

）A． B． C． D．【变式1-1】如图所示，椭圆的左焦点为F，A，B两点在椭圆上，且四边形为菱形，则该椭圆的离心率为．【变式1-2】已知双曲线C：的左、右焦点分别为，，点P是C上的一点，，的平分线与x轴交于点A，记，的面积分别为，，且，则C的离心率为（

）A． B． C． D．3【变式1-3】已知椭圆的左，右焦点分别为，，椭圆C在第一象限存在点M，使得，直线与y轴交于点A，且是的角平分线，则椭圆C的离心率为.题型02利用双余弦定理求解离心率【例3】已知双曲线E：1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，过F1的直线与E交于A，B两点（B在x轴的上方），且满足．若直线的倾斜角为120°，则双曲线的离心率为（

）A．2 B． C． D．【例4】已知椭圆的左、右焦点分别为，直线过与椭圆交于两点，若，则椭圆的离心率是（

）A． B． C． D．【变式2-1】已知为双曲线的右焦点，点，在上，，为坐标原点，，则的离心率为.【变式2-2】已知点，分别是双曲线的左、右焦点，为双曲线上一点，为上一点．若平分，且，，则双曲线的离心率为（

）A． B．2 C． D．【变式2-3】已知椭圆：（），、为椭圆的左右焦点，为椭圆上一点，连接并延长交椭圆于另一点，若，，则椭圆的离心率为.题型03与斜率乘积相关求解离心率【例5】已知双曲线的左顶点为，点均在双曲线上且关于轴对称，若直线的斜率之积为，则双曲线的离心率为（

）A． B． C． D．【例6】已知点是椭圆上一点，过点作椭圆的切线，则的方程为．若与（为坐标原点）的斜率之积为，则椭圆的离心率为（

）A． B． C． D．【变式3-1】双曲线的右顶点为A，点M，N均在C上，且关于y轴对称，若直线，的斜率之积为，则C的离心率为.【变式3-2】已知双曲线的两个顶点分别为，点P在双曲线上且异于点，若直线的斜率之积为8，则双曲线的率心率为.【变式3-3】椭圆：的左顶点为，点，是上的任意两点，且关于轴对称．若直线，的斜率之积为，则的离心率为（

）A． B． C． D．题型04利用坐标法求解离心率【例7】已知A、F分别为椭圆的左顶点和左焦点，B、C是椭圆上关于原点对称的点，若直线平分线段，则椭圆的离心率为（

）A． B． C． D．【例8】已知双曲线的左焦点为F，过F作双曲线C的一条渐近线的垂线，垂足为A，并与双曲线C交于点B，且有，则双曲线C的离心率为（

）A． B．2 C． D．【变式4-1】已知椭圆C：的左、右焦点分别是F1，F2，过右焦点F2且斜率为1的直线与椭圆相交于A，B两点，若满足，则椭圆的离心率为．【变式4-2】已知过原点的直线与双曲线交于两点，点在第一象限且与点关于轴对称，，直线与双曲线的右支交于点，若，则双曲线的离心率为（

）A． B． C． D．【变式4-3】已知椭圆：的左､右焦点分别为，，是椭圆的上顶点，直线与直线交于点A，若，则椭圆的离心率为.题型05利用不等关系求解离心率范围【例9】已知过点可作出双曲线的两条切线，切点都在双曲线的同一支上，则双曲线的离心率的取值范围是（

）A． B．C． D．【例10】点M是椭圆上的点，以M为圆心的圆与x轴相切于椭圆的焦点F，圆M与y轴相交于P，Q，若是钝角三角形，则椭圆离心率的取值范围是（

）A． B． C． D．【变式5-1】已知双曲线：的左、右焦点分别为，，倾斜角为的直线与双曲线在第一象限交于点，若，则双曲线的离心率的取值范围为.【变式5-2】已知椭圆的两个焦点为，，点，为上关于坐标原点对称的两点，，的面积记为，且，则的离心率的取值范围为（

）A． B．C． D．【变式5-3】已知双曲线的左､右焦点分别为.(1)该双曲线虚轴的一个端点为，若直线与它的一条渐近线垂直，求双曲线的离心率.(2)若右支上存在点，满足，求双曲线的离心率的取值范围.题型06利用函数的值域求解离心率范围【例11】设椭圆的左、右焦点分别为、，是椭圆上一点，，，则椭圆离心率的取值范围为（

）A． B．C． D．【例12】设，分别为椭圆与双曲线的公共焦点，它们在第一象限内交于点，，若椭圆的离心率，则双曲线的离心率的取值范围为（

）A． B． C． D．【变式6-1】已知椭圆的左、右焦点分别为是椭圆上一点，是以为底边的等腰三角形，且，则该椭圆的离心率的取值范围是．【变式6-2】设，分别为椭圆与双曲线的公共焦点，它们在第一象限内交于点，，若椭圆的离心率，则双曲线的离心率的取值范围为【变式6-3】已知双曲线C：的左、右焦点分别为，，P为双曲线C的右支上一点，且，，则双曲线C的离心率的取值范围为（

）A． B．C． D．题型07直接法求轨迹方程【例13】已知平面直角坐标系中，动点到的距离比到轴的距离大2，则的轨迹方程是.【例14】动点与定点的距离和它到直线的距离的比是常数，则动点M的轨迹方程是．【变式7-1】已知点与点，是动点，且直线与的斜率之积等于求动点的轨迹方程;【变式7-2】在平面内，已知动点M到两个定点，的距离的比值为2.(1)求动点M的轨迹方程，并说明其轨迹C的形状；(2)直线与轨迹C交于两点，求过该两点且面积最小的圆的方程.【变式7-3】如图，线段的两个端点分别在轴、轴上滑动，，点是上一点，且，点随线段的运动而变化.(1)求点的轨迹方程；(2)动点在曲线外，且点到曲线的两条切线相互垂直，求证：点在定圆上.题型08定义法求轨迹方程【例15】的坐标满足方程：，则M的轨迹方程为.【例16】已知动圆与圆外切，同时与圆内切；则动圆圆心的轨迹方程为.【变式8-1】已知圆：，圆：．(1)求经过点以及圆与圆交点的圆的方程；(2)若动圆和圆、圆均外切，求点的轨迹方程.【变式8-2】已知圆：，圆：.若动圆与外切，且与圆内切.(1)判断圆和的位置关系；(2)求动圆的圆心的轨迹方程.【变式8-3】平面上动点到定点的距离比点到轴的距离大，则动点的轨迹方程为（

）A． B．C．或 D．或题型09相关点法求轨迹方程【例17】已知椭圆上有一点，是轴上的定点，若有一点满足，则的轨迹方程为．【例18】△ABC的三个顶点坐标是A（0，1），B（2，1），C（3，4）；(1)△ABC的外接圆方程；(2)若线段MN的端点N的坐标为（6，2），端点M在△ABC的外接圆的圆上运动，求线段MN的中点P的轨迹方程．【变式9-1】已知圆．(1)直线l过点且与圆C交于A、B两点，若，求直线l的方程；(2)过圆C上一动点M作平行于x轴的直线m，设m与y轴的交点为N，若向量，求动点Q的轨迹方程．【变式9-2】已知在平面直角坐标系xOy中的一个椭圆，它的中心在原点，左焦点，离心率为．已知(1)求该椭圆的标准方程；(2)若P是椭圆上的动点，求线段PA中点M的轨迹方程．【变式9-3】已知圆和点，动圆M经过点A且与圆C内切，(1)求动圆圆心M的轨迹方程；(2)作轴于P，点Q满足﹐求点Q的轨迹方程．题型10点差法求轨迹方程【例19】直线l与椭圆交于A，B两点，已知直线的斜率为1，则弦AB中点的轨迹方程是．【例20】斜率为2的平行直线截双曲线所得弦的中点的轨迹方程是．【变式10-1】已知曲线上一动点到两定点，的距离之和为，过点的直线与曲线相交于点，．(1)求曲线的方程；(2)动弦满足：，求点的轨迹方程；【变式10-2】求过定点的直线被双曲线截得的弦AB的中点的轨迹方程.【变式10-3】已知抛物线，过点作一条直线交抛物线于，两点，试求弦的中点轨迹方程.课后作业一、单选题1．在椭圆（）中，，分别是左，右焦点，为椭圆上一点（非顶点），为内切圆圆心，若，则椭圆的离心率为（

）A． B． C． D．2．一个动圆与定圆：相内切，且与定直线相切，则此动圆的圆心M的轨迹方程是（）A． B． C． D．3．双曲线：（）的左、右焦点分别为，，焦距为，若直线与双曲线的一个交点满足，则该双曲线的离心率为（

）A． B． C． D．4．已知平面内一动点P到两定点，的距离之和为8，则动点P的轨迹方程为（

）A． B． C． D．5．不与坐标轴垂直的直线过点，，椭圆上存在两点关于对称，线段的中点的坐标为．若，则的离心率为（

）A． B． C． D．6．若动点在上移动，则点与点连线的中点的轨迹方程是（

）A． B．C． D．7．已知双曲线的左､右焦点分别为，过点作直线与的渐近线在第一象限内交于点，记点关于轴的对称点为点，若，则双曲线的离心率为（

）A． B．2 C． D．二、多选题8．过双曲线（，）的右焦点作渐近线的垂线，垂足为，且该直线与轴的交点为，若（为坐标原点），该双曲线的离心率的可能取值是（

）A． B． C． D．9．已知双曲线，点是直线上任意一点，若圆与双曲线的左支没有公共点，则双曲线的离心率可能为（

）A． B． C．2 D．3三、填空题10．已知圆，定点为，M为圆C上一动点，点P是线段的中点，点N在上，点N不在x轴上，且