反常二重积分敛散性的判定方法

反常二重积分敛散性的判定方法摘要：反常二重积分作为大学数学中重要的一类重积分类型，其应用非常广泛且重要.反常二重积分描述了一个二元函数的积分图像，对于研究二元函数的性质有着非常重要的作用.本文主要介绍了反常二重积分的几种定义，并分析了在某些条件下，这几种定义之间所存在的关系；同时给出了反常二重积分的几大定理；接下来，探究了反常二重积分的性质，了解了这一类重积分的特征；然后运用反常二重积分的定理去判定反常二重积分在什么条件下才有敛散性（是绝对收敛还是条件收敛）；最后熟练运用反常二重积分的判别法去证明无界区域上的二重积分转化为累次积分的定理,构造例子说明了反常一重积分收敛与反常二重积分收敛的本质区别。关键词：反常二重积分：二元函数；判定定理；绝对或条件收敛；无界区域。TheJudgmentMethodofConvergenceandDivergenceofAnomalousDoubleIntegralABSTRACT:AsanimportanttypeofdoubleintegralinUniversitymathematics,anomalousdoubleintegraliswidelyusedandimportant.Itdescribestheintegralimageofabinaryfunctionandplaysanimportantroleinstudyingthepropertiesofbinaryfunction.Thispapermainlyintroducesseveraldefinitionsofanomalousdoubleintegral,andanalysesthedifferencesbetweenthesedefinitionsundersomeconditions.Atthesametime,severaltheoremsofanomalousdoubleintegralaregiven.Next,thepropertiesofanomalousdoubleintegralareexploredandthecharacteristicsofthiskindofdoubleintegralareunderstood.Then,thetheoremofanomalousdoubleintegralisusedtodetermineunderwhatconditionstheanomalousdoubleintegralhasconvergence(absoluteconvergenceorconditionalconvergence).Finally,thejudgementofanomalousdoubleintegralisskilledinusingthecriterionofanomalousdoubleintegral.Themethodisusedtoprovethetheoremthatdoubleintegralsonunboundeddomainsaretransformedintocumulativeintegrals.Anexampleisgiventoillustratetheessentialdifferencebetweentheconvergenceofanomalousdoubleintegralsandthatofanomalousdoubleintegrals.Keywords:anomalousdoubleintegral:binaryfunction;decisiontheorem;absoluteorconditionalconvergence;unboundedregion.1引言本论文中的反常二重积分是大学本科数学课程[1]中的重要的内容，也是研究重积分性质的重要工具.重积分的定义非常多，而且各种定义间存在着某些关系，本文分析了反常二重积分所有的定义之间在某些条件下所存在的关系。要点组略地说，二重和三重反常积分与（一重）反常积分类似，被定义为“部分积分”的极限。部分积分是区域割去“反常部分”后在剩下部分上的积分。对无界区域上二重和三重反常积分就是分别用曲线，曲面割取（可求积的）的有限区域。计算其上的积分。然后令切口至原点的最短距离，取极限；对无界函数的反常积分，就是割去奇点和奇线（三重积分还有奇面）的邻近部分，计算积分，然后令切口至奇点集的最大距离，取极限。二重和三重反常积分类似地有Cauchy准则。若被积函数为非负的，则收敛与否取决于部分积分是否有界，从而反常积分亦有比较判别法，并且按特殊方式切割，当时，极限存在，可推出按任意方式切割极限也存在相同，从而积分收敛。敛散性只与反常点附近的函数有关。（Cauchy判别法）若用C表示某常数，对于二重积分，记，，，，，对于三重积分，记，，，，。那么Cauchy判别法指出：对无界区域上的反常积分而言，当无穷远点附近有，时，则反常积分收敛。当无穷远点附近有，则反常积分发散。对无界函数的反常积分而言，假若是它唯一的奇点，在附近有，，则反常积分收敛。若在奇点附近某个以位顶点的角形区域（角度大于零）内，有，。则反常积分发散。二重和三重反常积分跟（一重）反常积分有惊人的差别，这就是对二重和三重反常积分有：反常可积反常可积。2反常二重积分的几种定义及其关系2.1反常二重积分的几种定义反常二重积分是一种重要的重积分类，不仅在大学数学课程中有它的身影，在许多学科中都有着重要的应用.而且在研究生入学考试中也常能看到反常二重积分的考点，现在对反常二重积分的几种定义做一下简单的概述.定义1设为定义在无界区域D上的二元函数。若对于平面上的任一包围原点的光滑封闭曲线γ，在曲线γ所围的有界区域与D的交集（如图所示）上恒可积。令若极限存在有限，且与的取法无关，则称在D上的反常二重积分收敛，并记否则称在D上的反常二重积分发散，或简称发散。定义2：设P为有界区域D的一个聚点，在D上除点P外皆有定义，且在P的任何空心邻域内无界，Δ为D中任何含有P的小区域，在D-Δ上可积。又设d表示Δ的直径，即若极限存在且有极限，并且与的取法无关，则称在D上的反常二重积分收敛，记作，否则称在D上的反常二重积分发散。与无界区域上反常二重积分一样，对无界函数的反常二重积分也可建立相应的收敛性定理。定义3：无界限域的情形若二维的域Ω是无界的及函数在与域Ω上连续则定义：=其中为域Ω中可求积的有界封闭子域的任意序列，这个序列可以盖满域Ω，若在右端的极限存在且与序列的选择无关，则对应的积分称为收敛的；在相反的情况下称为发散的。不连续函数的情形若函数在有界封闭区域Ω内除了点而外处处是连续的，则定义其中是点P的ε邻域，当极限存在的情形，所研究的积分称为收敛的；在相反的情形称为发散的。定义4（无界函数广义二重积分————瑕积分）设f：在有界区域Ω内的某点（或某曲线段）附近无界，称之为瑕点（或瑕线）。用Ω中的光滑闭曲线隔开瑕点（或瑕线）。设所围区域为，当连续变化使收缩到瑕点（或瑕线）时，记为（或）。如果f在上可积，则称极限（或）为上无界函数的广义二重积分或瑕二重积分。若不论曲线形状如何，也不论收缩过程怎样，上式均存在同一有限极限值，则称瑕积分收敛，又称无界函数f在Ω上广义可积；若上述极限值不存在，或极限值为，或极限值依赖于曲线的形状或的收缩过程，则称瑕积分发散，或称无界函数f在Ω上非广义可积。与无界区域上广义二重积分一样，对无界函数的广义二重积分也可建立相应的各收敛性定理。定义5若当趋于无穷大，即趋于D时，的极限存在，且极限值与的取法无关，就称在D上可积，并记这个极限值称为在无界区域D上的反常二重积分，这时也称反常二重积分收敛。如果右端的极限值不存在，就称这一反常二重积分发散。定义6称可测集列为集合的竭尽增列，如果对任意n有且。引理若是可测集E的竭尽递增列，则；对任意的函数且2.2反常二重积分几种定义间的关系上面给出了反常二重积分的几种定义，接下来将要探究这几种定义间可能存在的关系.我们通过探究和分析得到了这样的结论：反常二重积分是在有界或无界二元含数区域上无穷次二重积分的值与极限的关系密切。3.反常二重积分的性质3.1反常二重积分的判定和收敛的判定定理定理1设在无界区域D上为一列包围原点的光滑封闭曲线序列，满足（i）（ii）I=<，其中为所围的有界区域与D的交集，则反常二重积分收敛，并且证设为任何包围原点的光滑封闭曲线，这曲线所围的区域记为，并记，=.因为。因此存在n，使得.由于所以有另一方面，因为I，对于任给的总有使得对于充分大的，区域又可包含，因而.由知在D上的反常二重积分存在，且等于I。定理2若在无界区域D上0，则反常二重积分 收敛的充要条件是：在D的任何有界区域上f（x，y）可积，且积分值有界。定理3函数f（x，y）在无界区域D上的反常二重积分收敛的充要件是 在在D上的反常二重积分收敛。证我们先证充分性.设收敛，其值为M。作辅助函数显然，及.因而在D的任何有界子区域上，恒有，。所以与在D上的反常二重积分收敛。由于，所以在D上的反常二重积分也收敛。定理4（柯西判别法1）设 在无界区域D的任何上二重积分存在，r为D内的点（x，y）到原点的距离 （i）若当r足够大时，其中c为正的常数，则当p>2时，反常二重积分收敛；（ii）若在D内满足，其中D是含有顶点为原点的无限扇形区域，则当时，反常二重积分发散。定理5（柯西判别法2）设在有界区域D上除点P外处处有定义，点P为它的瑕点，则下面两个结论成立：若在点P的附近有，其中c为常数，，则当时，反常二重积分收敛；若在点P的附近有，且D含有以点P为顶点的角形区域，则当时，反常二重积分发散。定理6(无穷区域上的反常二重积分收敛的Cauchy准则）设且在无界区域Ω上则有无穷区域上广义积分收敛对任意，记，则有3.2反常二重积分判定收敛的例子例1设=，证明反常积分收敛并求其积分值。证明设是以原点为圆心半径为R的圆片与Ω的交集，即该圆片的第一象限部分，因为，所以二重积分的值随R的增大而增大。由于所以，因此由定理1知得到例2讨论下列积分的敛散性，解因被积函数非负，不妨用矩阵方式割取，然后取极限，知故p,q>1时收敛，否则发散。4.与反常二重积分有关的几个个重要广义积分4.1反常积分定义：设函数在区间（或），有定义，符号（或，）称为函数的无穷积分。无穷积分收敛。是指在任意有限区间中可积，而且有有限的极限。如果记那么收敛，就是指有有限的极限。这里F（A）就相当于无穷级数中的部分和。4.2含参数积分1）含参数正常积分设[a,b]R是一有限闭区间，（X，d）是一度量空间。f：[a,b]XR是任一连续函数。函数，在上连续，于是积分存在。从而我们得到一个定义在度量空间上的函数:。含参量反常积分设[a,b]（），（X,d）是一度量空间。是任一连续函数。当时b是的瑕点。我们假设关于x的广义积分收敛。于是我们可以定义一个函数4.3反常三重积分反常三重积分的性质与反常二重积分性质类似。常积分区域延伸到无穷远或积分号下的函数在一些奇点，线或面附近不为有界时，从常义积分出发，借一个附加的极限过程之助可得到反常三重积分。多维情况与线性情况相比较的特征已经在研究反常二重积分时讲过了，而现在不要再添加什么。反常三重积分同样必须是绝对收敛的，这一情况就将这种积分的存在及计算的全部文体化为正的（非负的）积分号下函数的情形。总结：反常二重积分及其相关性质是整个大学数学难点内容，有着非常重要而且广泛的应用.因为反常二重积分有着非常好的性质，包括它的相关广义积分反常积分,含参数变量积分和反常三重积分都是广义积分中的