初中数学九年级下册《28.1 锐角三角函数（第2课时）：余弦与正切》教案

初中数学九年级下册《28.1锐角三角函数（第2课时）：余弦与正切》教案

一、课程基本信息

项目

内容

课题名称

28.1锐角三角函数（第2课时）：余弦函数与正切函数

授课教材

人民教育出版社《义务教育教科书·数学》九年级下册

授课年级

初中三年级（九年级）

授课课时

1课时（45分钟）

授课教师

[资深教师/专家]

课程类型

新授课

核心素养指向

数学抽象、逻辑推理、数学建模、直观想象、数学运算、数据分析

二、教学深度分析

（一）课程标准分析

本节课内容严格遵循《义务教育数学课程标准（2022年版）》对第三学段（7~9年级）“图形与几何”领域的要求。课标明确指出，学生应“探索并认识锐角三角函数（sinA,cosA,tanA）”，并“知道30°，45°，60°角的三角函数值”。本节课承接第一课时正弦函数的学习，旨在引导学生运用类比迁移的数学思想，自主构建余弦（cosA）和正切（tanA）的概念，理解其数学本质是直角三角形中边与边的比值，与三角形的大小无关，只与锐角的大小有关。这不仅是三角学体系的初步建立，更是函数思想在几何领域的深化应用，为学生未来学习任意角三角函数、解三角形及高中阶段的数学、物理课程奠定坚实的认知基础。

（二）教材内容解析

本节教材在人教版九年级下册第二十八章《锐角三角函数》中处于核心地位。第一课时学习了正弦（sinA）的概念，学生已经历了从特殊到一般、从具体到抽象的概念形成过程，初步掌握了在直角三角形中，给定锐角，其对边与斜边的比值是固定不变的这一核心性质。

本节课教材的编排逻辑清晰，采用“类比-发现-定义-应用”的结构：

1.类比迁移：以正弦概念为认知锚点，引导学生自然发问：在Rt△ABC中，锐角A的邻边与斜边的比、对边与邻边的比是否也是固定值？

2.实验探究：通过几何画板动态演示或学生动手画图计算，验证上述两个比值的确只随锐角A的变化而变化，从而引出余弦(cosA)和正切(tanA)的定义。

3.概念统整：将sinA,cosA,tanA统称为锐角A的三角函数，揭示三者之间的内在联系（如sin²A+cos²A=1，tanA=sinA/cosA），初步构建三角函数的知识网络。

4.初步应用：运用定义进行简单计算，并引入∠A的余角三角函数关系（sinA=cos(90°-A)），体现三角函数的应用价值。

教材的编排体现了知识生长的连续性和思想方法的统一性，是培养学生逻辑推理能力和数学抽象素养的绝佳载体。

（三）学情现状诊断

认知基础：授课对象为九年级学生，他们已具备以下知识与能力：

1.牢固掌握了直角三角形的性质（勾股定理、两锐角互余）。

2.熟练掌握了相似三角形的判定与性质，深刻理解“相似三角形对应边成比例”。

3.在第一课时中，已成功建构正弦函数的概念，理解了“比值确定性”这一核心思想，初步接触了函数观念。

4.具备一定的自主探究、合作交流的能力和利用计算器进行运算的技能。

潜在困难与障碍：

1.概念混淆：三个三角函数定义涉及“对边”“邻边”“斜边”，在具体图形中，尤其是非标准位置的直角三角形中，学生容易混淆对应关系。

2.符号记忆：“sin”,“cos”,“tan”等符号的识记与意义关联可能存在困难。

3.抽象理解：从“边的比值”到“角的函数”的抽象飞跃，部分学生可能仍停留在机械记忆层面，未能真正内化其函数本质——每一个确定的锐角对应着唯一确定的三角函数值。

4.关系复杂化：对三个三角函数之间存在的多种关系（平方和关系、商数关系、余角关系）可能感到信息过载，难以融会贯通。

（四）跨学科关联与前沿视野

锐角三角函数绝非孤立的数学知识，它是连接数学与真实世界的桥梁。教学设计中应渗透跨学科视野：

1.物理学：力学中的力的分解与合成、斜面问题、简谐振动；光学中的入射角、折射角计算。

2.工程学：土木建筑的坡度计算（tanA=i）、测量学中的高度与距离测量、电气工程中的相位计算。

3.地理学：太阳高度角的计算。

4.信息技术：计算机图形学中的旋转、缩放等变换，游戏开发中的角色移动轨迹计算。

本设计将引入“坡度”这一工程概念作为理解正切函数的现实原型，并简要探讨其在数字化建模中的意义，体现STEM教育理念，提升学生的综合素养和解决复杂问题的能力。

三、教学目标

基于以上分析，确立如下三维教学目标：

（一）知识与技能

1.理解并准确表述锐角三角函数余弦（cosA）和正切（tanA）的概念，能正确识别直角三角形中锐角的对边、邻边与斜边。

2.能根据余弦、正切的定义，在已知直角三角形的两边时，求出指定锐角的余弦值、正切值；反之，已知锐角的三角函数值及一边，能求出其他边长。

3.初步了解锐角A的三角函数值随其度数增大而变化的基本规律。

4.理解并初步应用同角三角函数的平方关系（sin²A+cos²A=1）与商数关系（tanA=sinA/cosA），以及互余两角的三角函数关系（sinA=cos(90°-A)）。

（二）过程与方法

1.经历从特殊到一般、从具体到抽象的探究过程，通过类比正弦概念，自主发现余弦、正切的存在性，发展类比推理和归纳推理能力。

2.在解决具体问题的过程中，体会数形结合、转化与化归的数学思想方法。

3.通过小组合作探究、信息技术工具（如几何画板）验证，增强探究意识和实践能力。

（三）情感态度与价值观

1.在探索和发现数学规律的过程中，体验成功的喜悦，激发学习数学的兴趣和求知欲。

2.感受三角函数来源于实际又服务于实际的科学价值，体会数学的严谨性与应用广泛性。

3.在合作交流中，学会倾听、表达与质疑，培养团队协作精神和科学态度。

四、教学重难点

项目

具体内容

突破策略

教学重点

1.余弦（cosA）和正切（tanA）概念的建立。

2.正确、熟练地运用定义进行边角关系的计算。

1.强化与正弦概念的类比，利用几何画板动态演示强化“比值确定性”的认知。

2.设计多层次、变式化的例题与练习，从标准图形到非标准图形，从求值到求边，逐步深化应用。

教学难点

1.理解三角函数是“角的函数”，其本质是比值，与三角形大小无关。

2.在复杂图形或实际问题中，灵活构造直角三角形并正确选择三角函数关系式。

3.对多个三角函数关系的整体把握与灵活选用。

1.通过系列追问和反例辨析，引导学生深入思考概念本质。

2.创设真实问题情境（如测量问题），引导建模。

3.利用思维导图或关系结构图，帮助学生构建知识网络，理解关系的内在逻辑。

五、教学准备

主体

准备项目

具体内容

教师准备

课件制作

使用PPT或希沃白板制作互动课件，内含：动态几何画板演示文件、概念生成流程图、典型例题与变式、课堂练习与即时反馈系统。

教具学具

三角板、量角器、实物投影仪；为部分探究小组准备已绘制好不同大小但含相同锐角的直角三角形网格纸。

资源整合

准备与坡度、测量相关的简短视频或图片素材。设计分层任务卡。

学生准备

知识复习

复习正弦函数的定义、相似三角形的性质。

学习工具

准备好数学课本、练习本、笔、直尺、科学计算器。

心理预期

预习教材P64-P65，思考“除了正弦，直角三角形中还有哪些固定的边比关系？”。

六、教学过程实施

阶段一：情境复现，温故引新（预计时间：5分钟）

教师活动：

1.展示情境，提问回顾：

1.2.课件呈现上节课引入的“绿化荒山需铺设水管”的问题背景图：在山脚下，为灌溉半山腰的点C，需要知道从山脚点B到点C的垂直高度BC。已知斜坡AB的长度和∠A的度数，上节课我们利用“∠A的对边与斜边的比（即sinA）”求出了高度。

2.3.提问1：“在上节课中，我们发现了直角三角形中一个关于锐角和边比的什么重要规律？”（引导学生回顾：在Rt△ABC中，当锐角A固定时，∠A的对边与斜边的比值是一个固定值，我们称之为∠A的正弦，记作sinA。）

3.4.提问2：“除了对边与斜边的比，直角三角形中还有哪些边的组合？它们的比值是否也具有类似的规律呢？”（自然引出邻边与斜边的比、对边与邻边的比。）

5.板书课题，明确目标：

1.6.在黑板中央板书课题：“28.1锐角三角函数（二）——余弦与正切”。

2.7.清晰陈述：“今天，我们将像发现sinA一样，去探索和定义锐角A的其他两个重要‘伙伴’——余弦(cosA)和正切(tanA)。”

学生活动：

1.观察情境图，迅速激活关于正弦函数定义的记忆。

2.回答教师提问，准确表述正弦概念。

3.跟随教师引导，产生认知冲突和探究欲望：锐角A的邻边/斜边、对边/邻边是否也是定值？

4.明确本节课的学习目标和探究方向。

设计意图：

1.从原有知识结构和问题情境出发，建立新旧知识的联系，符合学生的认知节奏。

2.通过设问，制造认知悬念，激发学生主动探究的内驱力，明确本节课的核心任务——类比正弦，发现并定义新的三角函数。

阶段二：类比探究，建构概念（预计时间：15分钟）

【活动一】实验猜想，验证规律

教师活动：

1.提出明确探究任务：

1.2.任务一：在Rt△ABC中，∠C=90°，当∠A大小固定时，∠A的邻边与斜边的比BC/AB

是否固定？

2.3.任务二：在Rt△ABC中，∠C=90°，当∠A大小固定时，∠A的对边与邻边的比BC/AC

是否固定？

3.4.将学生分成若干小组，发放画有不同大小但∠A均为30°（或40°等）的直角三角形网格纸。

5.组织合作探究：

1.6.引导学生小组合作：①测量各三角形中∠A的邻边、对边、斜边的长度（精确到毫米）；②分别计算邻边/斜边

和对边/邻边

的比值；③将各组数据汇总到黑板或课件的表格中。

7.信息技术深度验证：

1.8.利用几何画板进行动态演示。构造一个Rt△ABC，∠C=90°。

1.2.9.固定∠A的度数（如35°）。

2.3.10.动态拖动点B或点C，改变三角形的大小，但保持∠A不变。

3.4.11.实时显示AC/AB

（邻边/斜边）和BC/AC

（对边/邻边）的数值。

5.12.引导学生观察：尽管三角形大小在变化，但这两个比值是否变化？

学生活动：

1.小组合作，进行测量、计算、记录。

2.汇报数据，观察全班汇总的数据，发现对于相同的∠A，不同小组算出的邻边/斜边

比值非常接近，对边/邻边

比值也非常接近。

3.观看几何画板演示，直观、确信地看到两个比值在∠A固定的情况下是常量。

【活动二】抽象定义，规范表述

教师活动：

1.引导归纳定义：

1.2.基于实验和演示，与学生共同总结：“在Rt△ABC中，∠C=90°，当锐角A确定时，它的邻边与斜边的比、对边与邻边的比也都是确定的。”

2.3.给出规范定义：

1.3.4.∠A的邻边与斜边的比叫做∠A的余弦，记作cosA，即cosA=∠A的邻边/斜边=b/c。

2.4.5.∠A的对边与邻边的比叫做∠A的正切，记作tanA，即tanA=∠A的对边/邻边=a/b。

5.6.强调书写规范与读法。

7.辨析概念，深化理解：

1.8.关键追问1：“cosA和tanA的值由谁决定？与三角形的边长有关吗？”（深化“函数”本质：由角决定，与具体三角形大小无关。）

2.9.关键追问2：“比较sinA,cosA,tanA，它们有什么共同点？”（都是比值；都是∠A的函数；分子分母都是边长，且至少有一条边是斜边。）

3.10.辨析练习（即时反馈）：课件展示几个不同放置的直角三角形，标出各边字母，快速提问∠D的余弦、∠E的正切分别等于哪两边的比？强调“对边”“邻边”是针对所选锐角而言的。

学生活动：

1.跟随教师引导，用自己的语言尝试描述规律，最终理解并熟记余弦、正切的定义式。

2.思考并回答关键追问，从本质上理解三角函数的含义。

3.完成辨析练习，巩固对定义中“对边”“邻边”的准确识别。

【活动三】建立联系，形成结构

教师活动：

1.引导学生将三个定义写在一起观察：

1.2.sinA=a/c，cosA=b/c，tanA=a/b。

3.启发学生发现关系：

1.4.商数关系：tanA=(a/c)/(b/c)=sinA/cosA。

2.5.平方关系：sin²A+cos²A=(a/c)²+(b/c)²=(a²+b²)/c²=c²/c²=1。（此处自然联系勾股定理）

3.6.余角关系：sinA=cos(90°-A)，cosA=sin(90°-A)。（结合图形中∠A与∠B互余解释）

7.用结构化板书（如思维导图）呈现锐角三角函数的概念体系。

学生活动：

1.通过代数推导和几何解释，理解三个三角函数之间的内在联系。

2.感受数学知识之间的和谐、统一与简洁之美。

3.在笔记本上构建自己的三角函数知识网络图。

设计意图：

1.这是本节课的核心环节。通过“动手实验-技术验证-抽象定义-关系建构”的完整科学探究过程，让学生亲身经历概念的生成，实现知识的主动建构。

2.强调类比思想，降低学习难度，提升思维品质。

3.通过追问和辨析，直击概念本质，避免机械记忆。

4.建立知识联系，形成结构化的认知体系，为灵活应用打下基础。

阶段三：典例精析，深化理解（预计时间：12分钟）

例1：直接应用定义（基础巩固）

如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8。

(1)求∠A的正弦、余弦、正切值。

(2)求∠B的正弦、余弦、正切值。

教师活动：

1.引导学生先由勾股定理求斜边AB=10。

2.请学生口述(1)问，教师板书规范过程，强调先确定锐角，再找它的对边、邻边。

3.让学生独立完成(2)问，并请一名学生板演。

4.引导学生对比∠A和∠B的三角函数值，直观验证余角关系：sinA=cosB,cosA=sinB,tanA*tanB=1(非通用关系，但在此题中可观察)。

设计意图：最基本的定义应用，巩固识别“对边”“邻边”，熟练求值。通过一题两问，自然引出互余角关系。

例2：知值求边（逆向思维）

在Rt△ABC中，∠C=90°，cosA=3/5，BC=12，求AB和AC的长。

教师活动：

1.分析：已知cosA和BC（∠A的对边），求AB（斜边）和AC（∠A的邻边）。

2.引导学生设元：设AC=3k，则AB=5k（根据cosA定义）。

3.利用勾股定理或已知边BC=12（对边）列方程：(5k)²-(3k)²=12²或(12)²+(3k)²=(5k)²。

4.解出k，进而求出边长。强调“设k法”是处理比例关系的通法。

5.变式：若将条件改为tanA=3/4,BC=12，如何求解？

设计意图：训练逆向思维，学会已知三角函数值和一边长求其他边长。引入“设k法”这一重要技巧，并为后续解直角三角形做准备。

例3：联系实际，理解正切（跨学科渗透）

如图，一个山坡的坡度i=1:√3。

(1)坡角α的正切值是多少？

(2)若小明沿山坡上行走了100米，他上升了多少米？（精确到0.1米）

教师活动：

1.解释“坡度(i)”的工程学定义：坡面的垂直高度(h)与水平宽度(l)的比，即i=h:l=tanα。

2.引导学生将实际问题抽象为数学模型：山坡剖面是一个直角三角形，坡度i=1:√3即tanα=1/√3=√3/3。

3.求解：(1)tanα=√3/3。(2)设上升高度为h米，则水平前进距离为√3h米。根据勾股定理，(h)²+(√3h)²=100²，解得h≈50.0米。或直接利用sinα求解（可作为课后思考）。

4.拓展：介绍坡度还可以表示为百分比（如i=10%）或角度，体现数学在不同领域的应用。

设计意图：将正切函数与“坡度”这一重要的工程概念结合，体现数学的应用价值，实现跨学科学习。培养学生从实际问题中抽象出数学模型并加以解决的能力。

阶段四：分层练习，巩固提升（预计时间：8分钟）

课堂练习（采用即时反馈系统或小组互评）

【A组：基础达标】

1.在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=13，AC=12，则cosA=_____，tanB=_____。

2.在Rt△ABC中，∠C=90°，若sinA=4/5，则tanA=_____。

3.已知α为锐角，且cosα=1/2，则sinα=_____。（提示：利用平方关系）

【B组：能力提升】

4.如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，AD=6，∠B=45°，tanC=2，求BC的长度。

（本题需要作辅助线或利用两个直角三角形求解，综合性强）

教师活动：

1.巡视课堂，关注A组有困难的学生，给予个别指导。

2.对B组题目，可适当点拨思路：分别在Rt△ABD和Rt△ADC中，利用∠B和tanC的条件，求出BD和DC。

3.练习结束后，利用实物投影或点名方式，展示典型解答，组织学生互评、纠错。

学生活动：

1.独立完成练习。

2.积极思考，尤其挑战B组题目。

3.参与互评，反思自己的解题过程。

设计意图：通过分层练习，满足不同层次学生的学习需求，实现“保底不封顶”。A组题巩固双基，B组题发展综合运用能力和思维深度。即时反馈确保问题当堂解决。

阶段五：课堂小结，拓展延伸（预计时间：5分钟）

教师活动：

1.引导学生自主小结：

1.2.“今天我们学习了哪些新的数学概念？它们是如何定义的？”

2.3.“锐角三角函数sinA,cosA,tanA之间有哪些奇妙的关系？”

3.4.“我们在探索和运用这些概念时，用到了哪些重要的思想方法？”（类比、数形结合、从特殊到一般、建模等）

5.教师提炼升华：

1.6.用精炼的语言总结本节课的知识脉络和思想精髓。

2.7.强调三角函数是刻画直角三角形边角关系的强大工具，它的出现使我们从“定性”了解三角形进入“定量”研究的新阶段。

3.8.预告下节课内容：我们将学习特殊的锐角（30°，45°，60°）的三角函数值，并开始学习如何利用这些工具“解直角三角形”。

9.布置分层作业。

学生活动：

1.回顾、梳理、归纳本节课所学，积极发言参与小结。

2.完善笔记，形成知识体系。

3.明确课后任务。

七、板书设计

主板书（左侧）：

28.1锐角三角函数（二）

一、余弦（cosA）

定义：在Rt△ABC中，∠C=90°，

cosA=∠A的邻边/斜边=b/c

二、正切（tanA）

定义：在Rt△ABC中，∠C=90°，

tanA=∠A的对边/邻边=a/b

三、联系与结构

1.函数本质：∠A确定→比值确定

2.关系：

1.3.tanA=sinA/cosA