第8章 成对数据的统计分析（公式、定理、结论图表）-高考数学必背知识手册

第八章成对数据的统计分析(公式、定理、结论图表)

「、思维导图

样本相关系数

数值变量

相关性

-----------------J［一元线性回归模型

成对数据

分类变量

2X2列联表独立性检验

「、知识梳理

一、成对数据的统计相关性

1.变量的相关关系

(1)函数关系

函数关系是一种确定性关系，常用解析式来表示.

(2)用关关系

两个变量有美系，但又没有确切到可由其中的一个去精确地决定另一个的程度，这种美系称为相关为

系.与函数关系不同，相关关系是一种非确定性关系.

2.散点图

(1)散点图

成对样本数据都可用直角坐标系中的点表示出来，由这啖点组成的统计图叫做散点图.

(2)王相关和负相关

如果从整体上看，

当一个变量的值增加时，另一个变量的相应值也呈现增加的趋势，我们就称这两个变量正相关；

如果当一个变量的值增加时，另一个变量的相应值呈现减少的趋势，则称这两个变量负相关.

°正相关X°负相关”

3.线性相关

一般地，如果两个变量的取值呈现正相关或负相关，而且散点落在一条直线附近，则称这两个变量线性相关.

4,样本相关系数

(1)对于变量x和变量y,设经过随机抽样获得的成对样本数据为(汨,凹),…，利用相关

系数「来衡量两个变量之间线性关系的强弱，相关系数r的计算公式:

乂，处，…，的均值分别为x和y）.

①当，〉0时，称成对样本数据正相关.这时，当其中一个数据的值变小时，另一个数据的值通常也变小；当

其中一个数据的值变大时，另一个数据的值通常也变大.

②当zo时，称成对样本数据负相关.这时，当其中一个数据的值变小时，另一个数据的值通常会变大；当

其中一个数据的值变大时，另一个数据的值通常会变小.

二、一元线性回归模型及其应用

1.线性回归方程：

（1）最小二乘法：使得样本数据的点到I可归直线的距离的平•方和最小的方法叫做最小二乘法.

（2）回归方程：两个具有线性相关关系的变量的一组数据：（内，）［）,（Z，%），・・,，（%，%），其回归方程

^x^-nxy

b=上-----------,/____、

v=bx+a,贝।卜注意：线性回归直线经过定点口，），）.

a=y-bx.

2（%-无）（乂-歹）ZX/一，而7

（3）相关系数：r=/=,---------归一

图―）济（—）2MMteM

【方法归纳】

（1）利用散点图判断两个变量是否有相关关系是比较直观简便的方法.如果所有的样本点都落在某一函数

的曲线附近，变量之间就有相关关系.如果所有的样本点都落在某一直线附近，变量之间就有线性相关关

系.若点散布在从左下角到右上角的区域，则正相关.

（2）利用相关系数判定，当上|越趋近于1相关性越强.当残差平方和越小，相关指数R?越大，相关性越

强.

（3）在分析实际中两个变量的相关关系时，可根据样本数据作出散点图来确定两个变量之间是否具有相关

关系，也可计算相关系数厂进行判断.若具有线性相关关系，则可通过线性回归方程估计和预测变量的值.

（4）正确运用计算的公式和准确的计算，是求线性回归方程的关键.并充分利用回归直线），=

过样本点的中心（7,5）进行求值.

2、回归分析：对具有相关关系的两个变量进行统计分析的一种常用方法。

建立I可归模型的基本步骤是：

（1）确定研究对象，明确两个变量即解释变量和预报变量;

（2）画出散点图，观察它们之间的关系：

（3）由经验确定回归方程类型（若呈线性关系，选用线性回归方程）；

（4）按一定规则估计回归方程中的参数（如最小二乘法）；

（5）得出结果后分析残差图是否有异常（个别数据对应残差过大，或残差出现不随机的规律性，等等），若

存在异常，则检查数据是否有误，或模型是否合适等。

三、列联表与独立性检验

1.2x2列联表

设x,y为两个变量，它们的取值分别为｛%,%｝和｛^，必｝，其样本频数列联表（2x2列联表）如下：

总计

y2

aba+b

Cdc+d

总计a+ch+da-\-b+c+d

2.独立性检验

利用随机变量K"也可表示为72）=_Md其中〃=0+8+。+〃为样本容量）来

（a+0）（c+d）（a+c）（b+d）

判断“两个变量有关系”的方法称为独立性检验.

3.独立性检验的一般步骤

⑴根据样本数据列出2x2列联表；

（2）计算随机变量K2的观测值亿查下表确定临界值&o：

P(K2>k.)0.500.400.250.150.1000.0500.0250.0100.0050.001

k。0.4550.7081.3232.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828

⑶如果就推断“X与丫有关系”，这种推断犯错误的概率不超过。（犬2之〃0）；否则，就认为在犯错

误的概率不超过P（K?之照）的前提下不能推断“X与y有关系”.

典例1;研究某灌溉渠道水的流速y与水深X之间的关系，测得一组数据如下：

水深x/机1.401.501.60i.701.801.902.002.10

流速y/(m-s')1.701.791.881.952.032.102.162.21

（1）求），对的回归直线方程;

（2）预测水深为1.95加时水的流速是多少？

分析：本题考查如何求回归直线的方程，可先把有关数据用散点图表示出来，若这些点大致分布在通过散点

图中心的一条直线附近，说明这两个变显线性相关，从而可利用我们学过的最小二乘估计思想及计算公式求

得线性回归直线方程。

【解析】(1)由于问题中要求根据水深预报水的流速，

因此选取水深为解释变量，流速为预报变量，作散点图:

由图容易看出，x与y之间有近似的线性关系，

或者说，可以用•个回归直线方程》=小一。来反映这种关系，

A1I

由计算可求得〃0.733、0.694,

15

对"勺回归直线方程为亍=0.733汇+0.694：

(2)由(1)中求出的回归直线方程，把工=1.95代入，易得：

y=0.733x1.95+0.694«2.

计算结果表示，当水深为1.95〃时可以预测渠水的流速为2.12m/so

典例2：电容器充电后，电压达至UlOOV,然后开始放电，由经验知道，此后电压U随时间，变化的规律公

式U=A・表示，观测得时间f(s)时的电压U(V)如卜表所示：

1012345678910

U100755540302015101055

试求电压U对时间/的回归方程。

【分析】由于两个变量不呈线性相关关系，所以不能直接利用线性回归方程来建立两个变最之间的关

系，我们可通过对数变换把指数关系变为线性关系，通过线性回归模型来建立U与，之间的非线性回归方程。

【解析】对0=两边取自然对数得：In(7=\nA+bt,令y=lnU,a=\nA,UPy=bt+a,

由所给数据可得:

012345678910

y4.64.34.03.93.42.92.72.32.31.61.6

其散点图为:

由散点图可知y与，具有线性相关关系,可用$=力+4来表示.

经计算得：7=5、7=3.1、6之0.3、4“4.6,

・•・y=-0.3/+4.6,即InU=-0.3/+4.6,：.U=力+46。

【评注】一般地，有些非线性回归模型通过变换可以转化为线性回归模型，即借助于线性回归模型研究

呈非线性回归关系的两个变量之间的关系：

（1）如果散点图中的点分布在一个直线状带形区域，可以选用线性回归模型来建模；

（2）如果散点图中的点的分布在一个曲线状带形区域，要先对变量作适当的变换，再利用线性回归模型来

建模。

典例3：为了探究患慢性气管炎是否与吸烟有关，调查了339名50岁以上的人，调查结果如下表所示：

患病不患病合计

吸烟43162205

不吸烟13121134

合计56283339

试问：50岁以上的人患慢性气管炎与吸烟习惯有关吗？

【分析】最理想的解决办法是向所有50岁以上的人作调查，然后对所得到的数据进行统计处理，但这

花费的代价太大，实际上是行不通的，339人相对于全体50岁以上的人，只是一个小部分，已学过总体和

样本的关系，当用样本平均数，样本方差去估计总体相应的数字特征时，由于抽样的随机性，结果并不唯一。

现在情况类似，我们用部分对全体作推断，推断可能正确，也可能错误。如果抽取的339个调查对象中很多

人是吸烟但没患慢性气管炎，而虽不吸烟因身体体质差而患慢性气管炎，能够得出什么结论呢？我们有95%

（或99%）的把握说事件A与事件A有关，是指推断犯错误的可能性为5%（或1%）,这也常常说成是“以

95%（或99%）的概率”是一样的。

【解析】根据列联表中的数据，得339143x121-162,3）2=7469,

205x134x56x283

•••7.469>6.635，，我们有99%的把握说50岁以上的人患慢性气管炎与吸烟习惯有关。

【评注】对两个分类变量进行独立性检验，要对样本的选取背景、时间等因素进行分析。

典例4：为考察某种药物预防疾病的效果，进行动物试验，得到如下的列联列表：

药物效果与动物试验列联表

患病未患病总计

服用药104555

没服用药203050

总计3075105

请问能有多大把握认为药物有效？

【解析】假设“服药情况与是否患病之间没有关系“，则片的值应比较小，

如果K?的值很大，则说明很可能“服药情况与是否患病之间有关系”，

由题目中所给数据计算，得K?的观测值为攵才6.110，

而25.024”0.025，，有97.