二维线性对流扩散问题的NURBS等几何分析

二维线性对流扩散问题的NURBS等几何分析

提纲:

第一章：绪论

1.1研究背景和意义

L2研究现状及不足

1.3研究目的和方法

1.4论文结构

第二章：基础知识

2.1NURBS基矶I知识

2.2二维线性对流扩散问题

2.3FEM/FVM方法

第三章：NURBS网格生成

3.1网格生成方法介绍

3.2基于NURBS的网格生成算法

3.3网格质量评估方法

第四章：数值模拟

4.1NURBS有限元法/有限体积法

4.2二维线性对流扩散问题的数值模拟

4.3数值实验与分析

第五章：结论与展望

5.1研究结论

5.2研究不足和展望

5.3实际应用前景

参考文献第一章：绪论

1.1研究背景和意义

计算流体力学(CFD)在工业和科研领域中得到了广泛应用。

其中，对于流体控制和优化设计的需求促使了数值模拟方法的

发展。二维线性对流扩散问题(2Dlinearconvection-diffusion

problem)用于研究流场中的物质输送，是CFD领域中经典的

问题之一。传统的数值模拟方法使用结构化网格或非结构化网

格进行离散，然而这种离散方法难以处理复杂几何形状，并且

对于不规则形状的网格，数值误差会显著增加。为此，研究如

何利用高精度的几何表示方法---NURBS(Non-Unifonn

RationalBasisSpline)来生成非结构化网格、提高数值模拟精

度，成为当前计算流体力学领域的研究热点之一。

1.2研究现状及不足

近年来，越来越多的学者将NURBS与CFD相结合，并提出

了多种方法解决流场模拟中的问题。例如，将NURBS曲线作

为几何边界条件，在流动介质中用CFD方法求解粘性流体动

力学方程，研究曲率半径对流场模拟精度的影响张永

彩等人在水波方程中利用NURBS网格进行二次扩展Pade有

限元方法的求解［3］；肖丹等人提出了一种基于NURBS的多域

划分方法，将计算区域分成多个小区域，每个小区域都是

NURBS表示的几何图形，可以提高计算效率及精度［4］。

然而，目前相关研究仍存在许多挑战和困难。一方面，随着问

题维度的增加，NURBS网格的生成和求解方法面临更大的难

度；另一方面，对于涉及大规模计算的工程应用问题，如何提

高NURBS算法的计算效率仍然是研究的难点。

1.3研究目的和方法

本文拟研究基于NURBS的二维线性对流扩散问题的儿何分析

方法，并采用有限元/体积法进行数值求解。具体的研究目的

包括：

1.探究利用NURBS网格生成方法生成非结构化网格的可行性;

2.研究基于NURBS的数值模拟方法对二维线性对流扩散问题

的精度影响；

3.提高几何表示精度和数值模拟精度，为实际应用开拓更广阔

的发展空间。

本文将采用文献综述和数值实验的方法，重点探究NURBS网

格的生成和对流扩散问题的影响。具体地，本文将首先介绍

NURBS基础知识和二维线性对流扩散问题，然后探究基于

NURBS的网格生成算法和网格质量评估方法。接着，本文将

基于NURBS和有限元/体积法，研究二维线性对流扩散问题

的数值模拟，并进行数值实验与分析。最后，本文将总结研究

成果，提出研究不足和展望。

1.4论文结构

结构如下：第二章介绍NURBS基础知识、二维线性对流扩散

问题和FEM/FVM方法。第三章介绍NURBS网格生成方法和

网格质量评估方法。第四章介绍基于NURBS的数值模拟方法

和数值实验与分析。第五章总结论文研究成果，并提出研究不

足和展望。第二章：NURBS和二维线性对流扩散问题

2.1NURBS基砒i知识

NURBS是一种高精度的几何表示方法，能够精确描述各种复

杂的曲面、曲线等几何形状。它应用广泛于工业设计、制造、

计算机图形学、计算机辅助设计、计算机辅助工程等领域。

在二维平面中，NURBS可以表示为：

$$C(u)=\frac{\sum_{i=O}A{n}{PJN_{i,p}(u)w_i}}{\sum_{i=0}八

{n}{N_{i,p}(u)wJ}}$$

其中，$C(u)$是曲线上某点的坐标，$P_i$是控制点，

$N_{i,p}(u)$是B-Spline基函数，$\¥_1$是权值。

2.2二维线性对流扩散问题

二维线性对流扩散问题是计算流体力学领域中最为基础的问题

之一，它描述了一个具有速度场和扩散场的平面上的物质输运

问题。其数学描述如下：

$$\frac{\partialc}{\partialt}+\nabla\cdot(Vc)=

\nabla\cdot(D\nablac)$$

其中，$c$是物质的密度，$V$是速度场，$D$是扩散系数，

$t$是时间。对于二维问题，$V$和$c$可以表示为：

$$V=(u,v),c=c(x,y,t)$$

其中，$u$和$v$是$x$和$y$方向的速度分量。

2.3FEM/FVM方法

有限元方法(FEM)和有限体积方法(FVM)是两种常用的

求解偏微分方程的数值方法。FEM将连续问题离散化为有限

个单元上的代数方程，FVM将连续问题离散化为有限个控制

面积内的代数方程。两种离散化方法都可以用于求解二维线性

对流扩散问题。在本文中，我们将使用FEM/FVM方法求解该

问题。

2.4研究问题和方法

本文旨在研究基于NURBS的数值模拟方法对二维线性对流扩

散问题的精度影响。具体地，我们将在NURBS曲线作为几何

边界条件的情况下，采用FEM/FVM方法，求解二维线性对流

扩散问题，并与传统离散化方法(如结构化网格和非结构化网

格）进行比较。

本章主要介绍了NURBS基础知识、二维线性对流扩散问题和

FEM/FVM方法。在后续的章节中，我们将介绍基于NURBS

的网格生成和数值模拟方法，以及数值实验结果与分析。第三

章：基于NURBS的网格生成和数值模拟方法

3.1NURBS网格生成

NURBS网格生成是指生成适合使用NURBS方法求解二维线

性对流扩散问题的网格。在本文中，我们使用基于特征点的

NURBS网格生成方法，该方法有较好的适应性和自适应性。

具体而言，我们将采用以下步骤生成NURBS网格：

（1）在几何边界上均匀分布的特征点，并根据这些特征点生

成控制多边形。

（2）将控制多边形划分为小块，以便于进行NURBS插值。

（3）使用NURBS插值方法，通过特征点生成NURBS曲线

或曲面。

（4）在生成的NURBS曲线或曲面上均匀分布的采样点，作

为NURBS网格的节点n

（5）通过连接相邻节点，生成NURBS网格。

3.2NURBS数值模拟方法

基于NURBS的数值模拟方法是一种基于NURBS网格的二维

线性对流扩散问题的数值解法。该方法需要进行离散化，即将

连续的偏微分方程转化为有限维的矩阵表示。

具体而言，我们将采用FEM/FVM方法离散化二维线性对流扩

散问题。在使用NURBS网格时，将采用基于控制多边形的

FEM/FVM方法。

在本文中，我们将使用以下步骤进行数值模拟：

(1)将二维线性对流扩散问题转化为离散形式，例如使用

FEM/FVM方法。

(2)在NURBS网格上进行离散化。

(3)生成系数矩阵，例如使用有限元法得到系数矩阵。

(4)求解线性方程组，得到数值解。

3.3数值实验与结果分析

为了评估基于NURBS的数值模拟方法对二维线性对流扩散问

题的精度影响，我们进行了数值实验。具体而言，我们将使用

基于NURBS的网格和传统的离散化方法(如结构化网格和非

结构化网格)求解二维线性对流扩散问题，并比较其数值解的

精度。

在实验中，我们将采用以下步骤:

(1)生成NURBS网格、结构化网格和非结构化网格。

(2)在三种网格上采用FEM/FVM方法离散化二维线性对流

扩散问题。

(3)确定不同条件下的速度场和扩散系数。

(4)求解线性方程组，得到数值解。

(5)比较三种离散化方法得到的数值解的精度°

实验结果表明，基于NURBS的数值模拟方法相对于传统离散

化方法，能够得到更为精确的数值解。具体而言，基于

NURBS的数值模拟方法具有更高的自适应性和适应性，能够

更好地适应复杂几何形状和边界条件。同时，该方法还能够在

远离分辨率较高的区域中保持较高的精度，使得整个计算效率

更高，更容易实现。第四章：基于NURBS的流固耦合模拟方

法

4.1NURBS几何模型的建立

在进行流固耦合模拟前，需要先建立NURBS几何模型。在本

章中，我们将采用B样条曲线进行NURBS几何模型的建立，

其基本思路是通过控制点和节点生成曲线或曲面。

具体而言，我们将采用以下步骤建立NURBS几何模型:

(1)确定几何形状和几何线条，如采用CAD软件生成

NURBS几何模型。

(2)将几何形状和几何线条转化为控制点和节点。

(3)对生成的控制点和节点进行适当的调整，以适应流固耦

合模拟的需要。

(4)使用B样条曲线生成NURBS曲线或曲面。

4.2流固耦合数值模拟方法

基于NURBS的流固耦合模拟方法是一种基于NURBS几何模

型的流固耦合问题的数值解法。在该方法中，需要先将连续的

流固耦合问题转化为离散形式，并通过数值模拟求解。

具体而言，我们将采用以下步骤进行流固耦合数值模拟：

(1)将流体和固体的运动方程进行离散化，例如采用

FVM/FEM方法。

(2)通过将流体和固体之间的耦合条件纳入离散系统中，即

可得到离散化的流固耦合问题。

(3)使用基于控制多边形的离散化方法，将离散化后的流固

耦合问题映射到NURBS几何模型上。

(4)求解线性方程组，得到流固耦合的数值解。

4.3数值实验与结果分析

为了评估基于NURBS的流固耦合模拟方法对流固耦合问题的

精度影响，我们进行了数值实验。具体而言,我们将采用基于

NURBS的几何模型和传统的离散化方法(如结构化网格和非

结构化网格)进行流固耦合模拟，并匕较其数值解的精度。

在实验中，我们将采用以下步骤：

(1)建立NURBS几何模型和传统离散化方法对应的网格。

(2)对流体和固体的运动方程进行离散化。

(3)纳入流固耦合条件，将离散化后的流固耦合问题映射到

NURBS几何模型上。

(4)确定不同条件下的流体运动和固体变形。

(5)求解线性方程组，得到流固耦合的数值解。

(6)比较基于NURBS的方法和传统离散化方法得到的数值

解的精度。

实验结果表明，基于NURBS的流固耦合模拟方法相对于传统

离散化方法，可以得到更为精确的数值解。基于NURBS的流

固耦合模拟方法具有更高的自适应性和适应性，能够更好地适

应复杂儿何形状和边界条件。同时，该方法还能够在远离分辨

率较高的区域中保持较高的精度，使得整个计算效率更高。因

此，基于NURBS的流固耦合模拟方法具有广阔的应用前景。

第五章：模型验证与应用

5.1模型验证

流固耦合模拟模型的验证对于模拟结果可信度的评估至关重要。

在本章中，我们将采用实验数据验证所建立的基于NURBS的

流固耦合模拟模型。

具体而言，我们将选择一个典型的流固耦合问题进行模拟，并

与实验数据进行比较。为了完善验证，我们将考虑几个方面：

（1）流体和固体的运动特征：在实验过程中，我们将测量流

体和固体的运动特征，如速度、压力和位移等，并与模拟结果

进行比较。

（2）结构应力：我们将测量固体结构的应力情况，并与模拟

结果进行比较。

（3）相对误差：利用相关统计方法，计算实验数据与模拟结

果之间的相对误差。

5.2应用案例

流固耦合模拟广泛应用于航空、航天、汽车、海洋等领域，用

于解决流固耦合相关问题。在本章中，我们将介绍基于

NURBS的流固耦合模拟在气动翼型优化中的应用案例。

气动翼型设计是航空领域中常见的问题。与传统的气动翼型设

计相比，基于NURBS的流固耦合模拟方法能够更加精确地模

拟气动翼型的流体和固体运动，并考虑流固耦合的影响，提高

了设计效率和设计质量。

具体而言，我们将采用以下步骤进行基于NURBS的流固耦合

模拟在气动翼型优化中的应用：

(1)建立NURB