高考数学复习专项练：复数小题综合 （新高考）解析版

2023届新高考题型模拟训练】

专题02复数小题综合（新高考通用）

一、单选题

1.（2023春•江苏扬州•高三统考开学考试）若复数z满足i（z+i）=2+i（i为虚数单位）,

则复数z在复平面内所对应的点在（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

【答案】D

【分析】先将复数z化简为复数的标准形式，然后判断其在复平面内的所在象限即可.

【详解】已知i（z+i）=2+i,得z+i=%=l-2i,所以z=l-3i,所以其在复平面内对

1

应的点为在第四象限；

故选:D

2.（2023春・江苏苏州•高三统考开学考试）记i是虚数单位，复数z满足zS-3iz=4-6i，

则2=（）

A.-2或2-3iB.2+3i或2-3iC.2+3i或2D.2-3i或2

【答案】D

【分析】设2=。+加，根据复数的运算得出Z.

【详解】设Z=4+加且4、小£R,则5二。一加，

因为z•z—3iz=4-6i,所以a2+〃+3b—3ai=4—6i

即,"二"一4,解得。=2]=0或人=一3.

-3a=-6

即z=2—3i或2.

故选：D

3.（2023春•广东•高三校联考阶段练习）若复数z满足（l+i）・z=7+i,则（）

A.z的实部为3B.z的虚部为4

C.z在复平面对应的点在第四象限D.z的模长为不

【答案】C

【分析】利用复数的除法化简复数z,利用复数的概念与几何意义逐项判断，可得出合

适的选项.

【洋解】因为复数z满足0+»=7V则,得=琮耦=空=4-3"

22

所以，z的实部为4,虚部为-3,z在复平面对应的点住第四象限，|2|=A/4+（-3）=5.

ABD错，C对.

故选：C.

3-i

4.（2023•湖南邵阳•统考二模）在复平面内,复数（i为虚数单位）对应的点位于

-1+i

()

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

【答案】C

【分析】先化简复数为代数形式，再判断对应的点所在的象限即可.

【详解】依题意磊=黑皓号"2-i,对应的点为在第三象限.

故选：C.

a+3i

5.（2023山东威海•统考一模）若（awR）是纯虚数，则〃)

3+i

A.-1B.1C.-9D.9

【答案】A

【分析】先将复数化简,再根据纯虚数列出方程组求解即可.

a+3i(〃+3i)(3-i)3a+31(9-啖

【详解】3+i-(3+i)(3-i)-10+10

3。+3八

-----=u

〃+3i10殂一

因为是纯虚数，故(9〃)'得"

3+i

10

故选：A.

6.（2023・湖南娄底•高三涟源市第一中学校联考阶段练习）设复数2=三，则卜+2目=

)

3&

B,包rD

22-I

【答案】C

【分析】由复数乘除法法则、共规复数及复数的模计算公式可得结果.

由题意2-知i局（2-i）旨（l-i）亍1A3.所以

【详解】

渭i，所以33?二逑

z+2z=---i+2

225

X一J2)2

故选：c.

试卷第2页，共12页

7.（2023秋•辽宁葫芦岛•高三统考期末）设2（z+1）+5（z-1）=4+10i,则2=（）

A.1-iB.1+iC.l+2iD.l-2i

【答案】B

【分析】设z=a+bi,利用共规复数的定义以及复数的加减法可得出关于。、b的等式，

解出这两个未知数的值,即可得出复数z.

【详解】设z=a十历，则N=a—bi,则2（z+2）+5（z—5）=〃+10M=4+10i,

4。=4

所以，c，解得a=〃=l，因此，z=l+i.

10/2=10

故选：B.

8.（2023•江苏泰州•统考一模）在复平面内，复数卬与对应的点关于直线、-），=0对称，

若Z1=1-i,则|z「Z2|二（）

A.y/2B.2C.2\f2D.4

【答案】C

【分析】根据对称性得到Z2=-l+i,从而计算出Z-Z2=2-2i,求出模长.

【详解】马=1对应的点为（1,-1）,其中（1,-1）关于无一丁=0的对称点为（T1）,

故z?=-l+i,

22i2

M|z1-z2|=|l-i+l-i|=|-|=^+4=V2.

故选：C

9.（2023春・广东揭阳•高三校考阶段练习）已知复数4，z?满足：4在复平面中对应的

点为（-1,2）,且|马4|=石，则Z?不可能是下列的（）

A.1B.1+iC.iD.---\

22

【答案】B

【分析】设Z2=“+〃，根据题意，得到关于。，〃的方程，再结合选项判断即可.

【详解】设£2=4+历（qbwR）,由题意,可知z=T+2i,

所以4z=（-a-2b）+（2a-b）'\,又匕乌仁石，

所以（一。一诩+3-初2=5,所以片+〃2=],

根据选项，可知Z2不可能是1+i.

故选：B.

10.（2023秋•江苏无锡•高三统考期末）“a=l”是“复数4（〃cR）为纯虚数”的（）.

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】A

【分析】4=J+〃=1时上是纯虚数，占是纯虚数，则。=±1,

1-i221-i1-i

得到答案.

［详解］〃~+i（"+i）0+i）a~+a~i+i—11十〃~+1.

1-i2-2-2.2”

〃=1时"I是纯虚数，充分；"1是纯虚数，则。=±1,不必要.

1-i1-i

故选：A

II.（2023秋・江苏苏州两二统考期末）已知—T=x-yi（x,yeR,i为虚数单位）.则

y/x2+y2=（）

A.-B.当C.&D.75

【答案】B

【分析】根据工=X-W（x,）*R,i为虚数单位），利用复数相等求得苍y,代入

2-1

正彳7求解.

【详解】解：因为一一二x-yi（xyeR,i为虚数单位），

2-1

ii(2+i)12

所以'一)仁17r■^^=^+7,

故选：B

12.（2023春・江苏南通・高三校考开学考试）若（1+厂2=1-i,则2=（）

1i1i八1i

A.----B.-----C.-+-D.--

222222

【答案】B

【分析】根据题意，由复数的运算即可得到结果.

试卷第4页，共12页

,1-i1-i(l-i)xii+11i

【详解】因为(")11i,则2=而广元=^^=二=-5-5

故选:B

13.（2023春•广东•高三校联考阶段练习）若复数z满足（l+3i）z=2+4i（其中i是虚数

单位），复数Z的共枕复数为三，则同二（）

A.至B.述

C.V2D.2

84

【答案】C

【分析】根据复数的运算得出z=（7-：1i,根据共辄复数的概念求出共规复数，进而求

J0

解.

【详解】因为复数z满足Q+3i）z=2+4i,则2=悬」；:黑

7I

所以复数z的共枕复数为三="-点，则0，

故选：C.

14.（2023•浙江嘉兴•统考模拟预测）若复数z满足2z+Z-i3=3,则2=（）

A.l-2iB.l+2iC.1-iD.1+i

【答案】C

【分析】设z=〃+历3，》wR）,根据复数运算化简后，由复数相等求解即可.

【详解】设2=々+勿（。力eR）,则W=a-加，

由2z+Z-i3=3，可得2a+劝i+〃一8i+i=3,即3a+（b+l）i=3,

所以3a=3,且b+l=0,解得。=1力=-1,

所以z=1-i.

故选：C.

15.（2023秋・浙江湖州•高三安吉县高级中学校考期末）设复数z满足5=4+2i（其中i为

虚数单位），则:三=（）

4+21

3-4i八3+4i-3-4i八3+4i

A.----B.----C.----D.----

3355

【答案】C

【分析】由共辗复数的蹴念求z=4-2i,再根据复数的运算求解.

【详解】・・・乞=4+2"则z=4—2i,

.z_"2i_（2-i）2_3_4i

-4+2i-4+2i-（2+i）（2-i）5

故选：c.

16.(2023秋・浙江嘉兴•高三统考期末)若复数z满足z+i=4i为虚数单位)，则|z|二()

A.-B.1C.D.2

2

【答案】A

【分析】先根据条件求出复数z的代数形式，进而直接求模即可.

【详解】vz+i=1,

.z=-i=T二一i(lT)=1：

■■■…(l+i)(I)22，

故选:A.

17.(2023春•湖南•高三校联考阶段练习)欧拉恒等式©加+1=()(i为虚部单位，e为自

然对数的底数)被称为数学中最奇妙的公式，它是复分析中欧拉公式

特例：当自变量工=兀时，e-MCOSTi+isin兀=7,得e'x+l=0.根据欧拉公式，复数Vei-f

的虚部为()

A,正

B.c

22--T

【答案】C

【分析】根据欧拉公式得到复数的代数形式，结合诱导公式计算即可得答案.

r、必她,，等2023兀「.2023兀7K..7式(..(.兀］

【详解】e4=cos-----+isin------=cos—+isin——=cos2n—+isin27c—

444414yzi4J

x/2V2.

-1

22

则虚部为-也.

2

故选：C.

18.(2023・湖南・模拟预测)设1是虚数单位，已知复数2满足(1-山=1+(〃-1>("1<),

且系数z是纯虚数，则实数()

A.—B.!C.1D.2

22

【答案】D

【分析】根据爱数的四则运算及纯虚数的定义可求.

试卷第6页，共12页

【详解】山(1〉川得二堂^二明^

(l+(«-l)i)(l+i)l-(«-l)+(l+(«-l))i2-aa.

-----------------------=-------------------------------=-------+-],

2222

又因为z为纯虚数，所以。=2,

故选：D.

19.(2023•湖北•统考模拟预测)若z(l+i)=3z-i,则忖=()

A.@B.巫C.石D.VlO

55

【答案】A

【分析】由复数除法法则求得z,再由复数模的定义计算.

【详解】由z(l+i)=3z-i,得2=」一=乂出=土2，

2-i55

所以忖=卜凯+守邛.

故选：A.

20.(2023春・湖北•高三统考阶段练习)若f4=l+2i(i为虚数单位)，则|z-l|二()

1-1

A.2X/2B.VlOC.y/5D.夜

【答案】B

【分析】先利用复数的四则运算求出复数z,然后利用复数求模的公式即可计算.

2—1

【详解】由1=l+2i可得z-l=(l+2i)(l-i)=3+i,

1-1

所以|z—l卜仔丁=血，

故选：B.

21.(2023春・山东济南•高三统考开学考试)已知复数z=i(l+i),其中i是虚数单位，

则三在复平面内所对应的点在()

A.第一象限B.第二象限

C.第三象限D.第匹象限

【答案】C

【分析】根据复数运算求复数z的代数形式，再求其共辗复数及其对应的点所在象限.

【详解】因为z=i(l+i),所以z=-l+i,

所以z=-I—i»

故4在复平面内所对应的点的坐标为(T，T)，在第三象限.

故选：c.

22.（2023•山东淄博•统考一模）设复数2=二+4「则忖=（）

1+1

A.0B.1C.2D.3

【答案】D

【分析】求出复数z的代数形式，进而可求模.

【详解】7=号+4匚黑百+4iJ+4i=3i,

•,Jz|=3.

故选：D.

23.（2023・山东・潍坊一中校联考模拟预测）已知复数z在复平面内的对应点为（2,1）,则

10.、

z+~=（）

A.6+3iB.6+iC.6-3iD.6-i

【答案】D

【分析】由题知z=2+i,再根据复数四则运算求解即可.

【详解】解：因为复数z在复平面内的对应点为（2,1）,

所以z=2+i,

101010（2-i）

z+—=2+i+-^—=2+i+~\f=2+i+4-2i=6-i

z2+i（2+i7）（2-i）z

故选：D

24.（2023春・河北・高三校联考阶段练习）复数2=（1+2320，是虚数单位，则囱=（）

A.5B.x/5C.3D.小

【答案】B

【分析】根据虚数单位的性质得产期=_i,再结合复数的乘法运算及复数模的概念即可

得到答案.

【详解】复数zHl+^i^Ml+Z）产。3+3=（1+方*（7）=2_［「.忖=尔1=宕，

故选：B.

25.（2023・江苏南通,统考模拟预测）若复数7满足旗1+。=2-方3为虚数单位）,则五二

（）

A.2B.V2C.2aD.4

试卷第8页，共12页

【答案】D

【分析】由行=|zf,已知条件中解出|z|即可计算结果.

【详解】复数Z满足z(l+i)=2—2i,M|z||l+i|=|2-2i|,.・.忘目=2夜,

.\|z|=2,可得疗=|z5=4.

故选：D.

26.（2022秋・江苏南京•高三校考期末）设〃为实数，若存在实数/,使得黑+（『-）为

21

实数（i为虚数单位），则。的取值范围是（）

A.a>-2B.a<0C.a>-\D.-2<6Z<-1

【答案】C

【分析】由题知关于，的方程有实数根，进而得『=?之0,再解不等式

即可得答案.

【详解】解：由题知，，+（--l）i=9瞿+（/-l）i=卜-"-1，

因为存在实数乙使得M+（「-l）i为实数，

21

所以关于，的方程--铝-1=0有实数根，

所以，/=等有实数根，

所以产一誓NO,即4?一1

所以，。的取值范围是

故选：C

27.（2023春・浙江•高三校联考开学考试）复数4二」一直i,复数々满足44=1,则

22

下列关于Z?的说法错误的是（）

A.Z2=《+争B.|z2|=l

C.Z2的虚部为在iD.Z?在复平面内对应的点在第二象限

2

【答案】C

【分析】由已知求出Z?=-』+无i，根据复数的概念，即可判断各项.

22

z-1-122（1-⑸

【详解】对于A,由己知可得，2z,1+>/31=--^7=-7~，厂\

———1+611+4）|一百）

。竽T十多故A正确.

对于B,因为Z2=_g+当i，所以同={-gj+悍=1，故B正确;

对于C,根据复数的概念可知句的虚部为多故C错误；

对于D,根据复数的概念可知Z?在复平面内对应的点为故D正确.

故选：C.

二、多选题

-I+；

28.（2023•广东惠州•统考模拟预测）已知复数2=—,则下列选项正确的是（

1

A.z的虚部为1

B.目=2

C.z?为纯虚数

D.5在复平面内对应的点位于第一象限

【答案】AC

【分析】根据复数的运算法则进行化简后，再对选项一一验证即可.

【详解】z=—=—=l+i,

ii

则z的虚部为1,选项A正确；

|z|=V2,选项B错误；

z?=2i为纯虚数，选项C正确；

5=1-i在熨平面内对应的点位于第四象限，选项D错误；

故选：AC.

29.（2023秋•浙江宁波•高三期末）已知且片=夜,区+马|=10,则（

A.当Z]=]-i,Z2=x+W（x,ywR）时,必有（4+1尸+（/_1尸=]0

B.复平面内复数4所对应的点的轨迹是以原点为圆心、半径为正的圆

C归-必、=1+&

D.2=1+5加

max