天津市武清区某中学2025-2026学年高二年级上册第二次月考数学试题（解析版）

杨村一中2025〜2026学年度第一学期第三次学业质量检测

高二数学

第I卷（共45分）

一、选择题（本题共9小题，每题5分，共45分）

1.已知”二（2'-26）为直线/的一个方向向量，则直线/的倾斜角为（）

兀71-2兀5兀

A.-B.-C.—D.—

6336

【答案】C

【解析】

【分析】根据方向向量与直线的倾斜角的关系进行求解即可.

【详解】因为〃=（2,—26）为直线/的一个方向向量，

所以直线/的斜率为k=_巫=_瓜

2

所以直线/的倾斜角为」.

3

故选：C.

2.己知直线《or+2y+6=0与直线qa2x-2y-l=0,则乜〃「是“。=一1”的（）

A.充要条件B.充分不必要条件

C.必要不允分条件D.既不允分也不必要条件

【答案】C

【解析】

【分析】若4〃，2,则一2。=2/,即0=（）或〃=-1.检验4=0或4=一1时4〃4,故F〃?2”是

“。=一1的必要不充分条件.

【详解】若《〃，2,则一24=24,即0=（）或〃=-1.

当〃=0时，/|：）'=一3,/2：y=--t1]//12；

当〃=_]时，/,：x-2y-6=0,/2：x-2y-l=0,/）//Z2；

故乜〃，2”是“。=-1”的必要不充分条件.

故选C

3.设点A(2,3),B(-4,-l),则以线段AB为直径的圆的方程为()

2222

A.(x-l)+(y+l)=52B.(X-1)+(J+1)=13

C.(x+l『+(y-l)2=52D.(x+l)2+(>«-l)2=13

【答案】D

【解析】

【分析】根据圆的定义和方程进行求解即可.

【详解】因为4(2,3),8(-4,-1),AB为直径，所以其中点即为圆心，

那么圆心坐标为(与土?)=(-1,1),半径为3A耳=；,(2+盯+(3+if=至，

所以圆的方程为(x+l『+(y—l)2=13.

故选：D.

4.於G：f+y2-］2x-2)，-13=O和圆G：f+)，2+12x+16y-25=0的公共弦长是()

A.4B.5C.8D.10

【答案】D

【解析】

【分析】利用两圆方程相减可得公共弦方程，再利用一个圆心到公共弦的距离来求弦长即可.

【详解】由圆C』x2Iy212x-2y13=O=(x6『+(y-炉=50可得圆心G(6』)，半径

R1=5叵,

由圆a：V十V一］_2y-13=0和圆C2：x24-.y2+12x+l6y-25=0方程相减可得公共弦的直线

方程：24x+18y—12=0=4x+3），-2二0,

由圆心G(6,1)到公共弦距离为：d弋；:J,

所以公共弦长为2，50-25=10.

故选:D.

5.设空间向量］=(1』,0),1=(2,4"),不=(2,3,1).若［、1、4不能构成空间的一个基底，则

实数4=()

A.0B.V2C.2D.1

【答案】C

【解析】

【分析1分析可知4、1、.共面，设•二根冢+〃5根据空间向量的坐标运算可得出关于机、

〃、4的方程组，解之即可.

【详解】由题意可知，I、£、豕共面，

设©2=fne\+〃%（，〃，〃£R），即（2,4,2）=/??（1,1,0）+n（2,3,1）,

m+2n=2tn--2

即<〃z+3〃=4,解得<〃=2.

*un=A2=2

故选：c.

22

6.已知双曲线C：二一与二1（a>0,h>0）的焦距为46，焦点到渐近线的距离为逐，则该双曲

a2lr

线的渐近线方程为（）

A.1y=±xB.y=±^-xC.y=±\^2xD.y=±\/3x

【答案】A

【解析】

r2v2

【分析】设双曲线0-当=1焦距为2c,由条件可求c,求双曲线C的焦点坐标及渐近线方程，根据点

a1b1

到直线距离公式求焦点到渐近线的距离列方程求〃，由〃力，。关系求。由此可得结论.

【详解】设双曲线《一£=1的焦距为2c,则2c=46，

a~b-

22

故c=2石，所以双曲线二-1=1的焦点坐标为（土c,。）,

Tb~

又双曲线二一与二1的渐近线方程为bx±ay=0,

a~b~

22Q/Q»

所以双曲线=一当=1的焦点到渐近线的距离d==b,

///病7/

因为焦点到渐近线的距离为“.

所以Z?=\/6>所以〃=-b2=>/6，

所以双曲线C的渐近线方程为向土遥y=0,即产出，

故选:A.

7.已知数列｛4〃｝为等差数列，公差为d,S”为其前〃项和，若满足，5=0,516<0,给出下列说法:

①d<（）；②％=0；③Sg=S6：④当且仅当〃=7或8时，S”取得最大值.

其中正确说法的个数为（）

A.IB.2C.3D.4

【答案】D

【解析】

【分析】根据已知条件列方程和不等式，化简后对四个说法进行分析，从而确定正确答案.

4+阳xi5=0

6+4s=0=0

【详解】依题意，〈22a^

^^xl6<0q+《6<o'+a9<o

2

所以〃8=0，。9=〃8+d=d<。，所以①正确，②正确.

S9=S6+677+（78+=S6+3«8=S6,所以③正确.

由于%=0,c/<0,所以数列｛q｝的前7项都为正数，从第9项开始是负数，

所以当且仅当〃=7或8时，S”取得最大值，④正确.

所以正确的说法有4个.

故选：D

2

8.已知抛物线产=2/»（p>0）的焦点户是双曲线二一尸=1（。>。）的一个顶点，两条曲线的一个

a~

交点为4过人作抛物线准线的垂线，垂足为从若是正三角形，则〃的值为（）

A.巫BlC.旦D,空

3333

【答案】A

【解析】

【分析】根据抛物线的基本性质，和正三角形的基本性质，用参数〃表示出各点坐标，代入求得参数的值.

【详解】

依题意可知/8尸。=四，怛c|=〃，可知|BC=GP，忸耳=2〃，

不妨设A在第一象限，则A(|P，G〃)在双曲线上，

所以J—3P2=1,解得〃=2,

P~〃3

4

故选：A.

9.已知点A(2,()),圆。：V+)f=4,点8在圆。上运动，点M满足丽/=2耐，动点N在圆

+(y-4)2=l上，则|MN|的最4、值为()

8.10八711

C.-D・—

3333

【答案】A

【解析】

【分析】通过向量关系确定动点M的轨迹,判断与动点N所在圆的位置关系，再利用圆上点的距离规律求

出|MV|的最小值.

【详解】设3(用,%),则疯=(x-2,y),MB=(%T,%-y)，

)小一3x2-2

因为丽=2丽，所以王耳3y，

17=2(%-)，)Hr

…即92)+团

因为点5(毛,阳)在圆。上运动，所以玉；+=4(

整理得心一21+/=—,即点M的轨迹为以C信,()]为圆心，半径的圆.

I3J?9U)3

动点N在圆(X一日)+()，-4)2=1上，该圆圆心为。y,4,半径4=1.

因为=—+(4—0)2=5＞4+弓，所以两圆相离，

所以|MV|的最小值为两圆圆心距减去两圆半径之和，

/Ix

即WNk=|a)|f73=5-3-1=\

故选:A.

二、填空题(本题共6小题，每题5分，共30分)

10.已知实数2,小，8成等比数列且公比夕＜0,则圆锥曲线工+y2=]的离心率为.

m

【答案】75

【解析】

【分析】利用等比中项求出加，再利用双曲线的离心率公式求解.

【详解】由实数2,加，8成等比数列，得病=[6,而该数列公比乡＜0,解得机=T,

圆锥曲线工+)/=],即/一£二i为双曲线，其离心率0=，叵=6.

m41

故答案为：y[5

11.已知圆6':工2+),2一2工一2)、-2二0与直线/：工一丁+。=。，若直线/与圆C相交于A,6两点，且

VA4c为等边三角形，则〃=.

【答案】±y/6

【解析】

【分析】将圆C的方程转化为标准方程，求得其圆心和半径，根据△ABC为等边三角形可知|AB|等于圆

CH勺半径，由此求得圆心。到直线/的距离，结合点到直线的距离公式，即可求得〃的值.

【详解】由圆6\/+),2一21一2)，-2二0,得(x—1『+()，-1)2=4.

所以圆心。的坐标为(1,1),半径r=2.

因为VA8C为等边三角形，所以|的=|。却=|。|=2.

所以圆心C到直线/：工一丁+匕=0的距离为=J4-1=5/3•

|1-1+Z?|

即=,所以

故答案为：±J4.

12.在等比数列｛〃“｝中，4q,2%,生成等差数列，则g詈■=______.

06+08

【答案】4

【解析】

【分析】

根据等差中项的性质得出4牝=4%+%,由等比数列的性质得出统一4/+4=0,从而得出炉=2,再由

当二组乎二即可得出答案

【详解】设等比数列｛%｝的公比为4

因为4q,2a4当成等差数列,所以44=4《+%

所以4qq3=4q+〃u6,WJ-4^3+4=0,即（二-2丫二0

解得炉=2

小+6_Al/+〃|夕4_4g2+々q4JI

4+6%q』dd（"+aq4）/2

故答案为：j

【点睛】本题主要考杳了等比数列基本量的计算，涉及了等差数列的性质，属于中档题.

13.已知抛物线幺=—2〃），（〃>0）的焦点为尸，以点尸为圆心的圆与直线2工一），+3=0相切于点

A（—2,—1）,则〃=.

【答案】4

【解析】

【分析】由题意可得直线AF与直线21一)，+3=0垂直，进而可得出答案.

/\

【详解】F0,—与，

因为以点尸为圆心的圆与直线2乂一)，+3=0相切于点A(—2,-1),

所以直线AF与直线21一)，+3=0垂直，

则2'=1，解得〃=4.

0-(-2)

故答案为：4.

14.已知公差不为零的等差数列应｝的前〃项和为S“，且4,%，%成等比数列，若S§=64,则

q+〃3+a7+a9=.

【答案】36

【解析】

【分析】根据等差数列、等比数列及等差数列前〃项和公式列方程组求出等差数列的通项公式，计算出

%,%,%，相加求和即可.

【详解】设等差数列｛4｝的首项为q，公差为d.

因为外,生，生成等比数列，所以田=，即(%+-I4d),

整理得"2=2〃",又ChO,所以d=2q.

Qx7

又§8=64,所以8q+—^―d=64,即2〃]+7d=16.

联立解得q=l,d=2.

所以等差数列｛。”｝的通项公式为%=q+(〃-l)d=2〃-l.

所以〃3=2x3—1=5,a.j=2x7-1=13,=2x9-1=17.

因此4+/+%+/=1+5+134-17=36.

故答案为：36.

15.在1和11之间插入w个数，使得这根+2个数成等差数列.若这〃?个数中第1个为4,第〃?个为人,

125

则一十——的最小值是，

ab

【答案】3

【解析】

【分析】先利用等差数列的性质得到。+b=1+11=12[<。<6<11,然后利用基本不等式求解即可.

【详解】由题可知，«+/?=1+11=12,1<«</?<11,

7

当且仅当工=二幺，即匕=10,。=2时等号成立,

12〃12b

|25

此时。力满足1V4V〃V11,m=9,所以一+一的最小值是3.

ab

故答案为：3

三、解答题(本题共5个大题，共75分)

16.长方体A8CO-A8|GR中，AB=AD=2>/3^M=3,E、尸分别为A。1，G4中点，CG=2GC-

(I)求证：6尸_1_平面「8石；

(2)求直线AG与直线8G所成角的余弦值;

(3)求三棱锥。一尸BE的体积.

【答案】(I)证明见解析

3733

22

(3)6

【解析】

【分析】（1）根据题意，利用勾股定理，证得尸GJL8尸，由"G，平面BCQB],证得斯平面BCC^,

得到E/LFG,结合线面垂直的判定定理，即可证得Gb_L平面庞尸；

（2）以。为坐标原点，建立坐标系，求得祠二（-26,26,3）和肥=（一26,0,2）,结合向量的夹角

公式，即可求解；

（3）由（1）知：EF工平面BCGB],得到斯JLF8,求得S堤防=6,结合向量的距离公式，求得

。到平面班厂的距离为d=3,结合锥体的体积公式，即可求解.

【小问1详解】

因为F为BCi中点，且CG=2GC]，

在直角4G对中，可得FG2=GG?+G尸2=『+（、巧）2=4,

在直角△337中，可得BF2=BB；+4尸=32+（百产=12,

在直角ABCG中,可得BG2=BC2+CG2=（2石）2+（2）2=16.

所以8G2二/G2+8R2,所以FG_L3b,

在长方体ABCD-AAG。中，可得。C1平面8CG4，

因为G/U平面8CC4,所以AG，G/

又因为£尸分别为AA，4G的中点，可得EF//RG，所以砂_LG尸

因为尸Gu平面8。。石，所以EF上FG,

因为瓦，且ERBEu平面3所，所以GPJ_平面跳下.

【小问2详解】

以。为坐标原点，以。A。。,。。所在直线分别为MV*轴，建立空间直角坐标系，

如图所示，因为AB=AO=2g,AA=3，

B

可得A(2G,o,0),G(°，2瓜3),BQ瓜26,0),G(0,2瓜2),

则离二卜262瓜3),而二(一2后,0,2),

设直线4G与直线BG所成角为。，

则斌加西丽卜产典=4=避，

X1Z

Il\AC｝[\BG\733x422

所以直线AG与直线BG所成角的余弦值为圭叵.

22

【小问3详解】

由(1)知：Eb_L平面8CG片，且所u平面3CG4,所以斯_L阳，

在直角△887中，BF=JBB；+Bp=J32+(G)2=26，

可得SDBEF=；FF•RF=3x20=G，

又由r>(O,O,O),E(J5,O,3),/(J5,2G,3),G(O,2G,2),

可得屣=(6,0,3),FG=(->/3,0,-1),

由(1)知：GF上平面BEF，所以平面的厂的一个法向量为而二(一0,0,—1),

DEFG6

所以。到平面BEF的距离为d=_=-=3,

FG2

故三棱锥的体积为VD_BEE=15^.XJ=1X6X3=6.

17.已知公差不为0的等差数列｛勺｝的前〃项和为S“，且$4=20,成等比数歹IJ.

(I)求数列｛%｝的通项公式；

(2)记力“J+求数列｛3»的前〃项和；

(3)记%=|12—⑷，求数列｛cj的前〃项和[.

【答案】(1)an=2n

3n+2-9

(2)

2

e-〃2+1历,〃<6,〃£N*

（3）4=9.

n~-11/?+60,〃>6,〃£N

【解析】

【分析】（1）设等差数列｛q｝的公差为d,根据题意，列出方程组，求得4,d的值，即可求解；

（2）由（1）知％=2〃，利用等差数列的求和公式，求得。=〃+1,得到3a=3'用，结合等比数列的求

和公式，即可求解；

（3）由（1）知%=2〃，得到匕=|12-2〃|,分类讨论，结合等差数列的求和公式，即可求解.

【小问1详解】

设等差数列｛《,｝的首项为4,公差为“（4*0）,

4x3

由邑=20,可得4q+—^-"=20,所以+34=10,

因为q,生,4成等比数列，可得《二q・%，即（q+d）2=q（q+3d）,

即〃：+2qd+d2=〃：+3qd,即所以q=d,

（2“+34=10

联立方程组《」，解得生=2/=2,所以4=2+S—l）x2=2〃，

[q=d

所以数列｛an｝的通项公式为4=2〃.

【小问2详解】

由（1）知：数列｛4｝的通项公式为4,二2〃，

…〃（2+2〃）/

则％+%+…+an=---------=〃（〃+1），

所以a=」——2------2-=------=〃+1,所以3"=3"。

nn

则奈=.=3,所以数列｛3"｝是以3?=9为首项，以3为公比的等比数列，

所以数列｛32｝的前〃项和为9（1.3"）=9（3〃-1）;宜*.

（>1-322

【小问3详解】

由⑴知:an=2n,可得q7=|12-qj=|12-24，

设dn=12-2n,可得｛4｝的前〃项和为7；；=〃（>十12-2〃）=一〃2+11〃

2

当〃W6,n£N*时，可得c”=da=12-2/2，则Tn=-n+11〃；

当〃>6,〃wN*时，cn=-dn=2/2-12,

可得北=（q+G+・・・+q）+C+q+…+g）=北一（4+4+…+d“）

=7；/-（7；；-7；,）=27；,-7；；=60-（-H2+1bz）=n2-lbz+60,

综上可得，数列｛%｝的前〃项和7；=卜:*

n"-1b?+60,/?>6,/?GN

18.已知数列｛q,｝的前〃项和为S”,q=§,3。"+]=4“+2〃+3（〃eN'）.

⑴求证：数列也一科是等比数列，并求出数列｛q｝的通项公式；

（2）求数列｛q｝的前〃项和S”.

【答案】（1）证明见解析；/+〃

〃(〃+1)

9

【脩析】

【分析】（1）利用等比数列定义即可得证，进而求。”；

（2）利用分组求和即可求解.

【小问1详解】

12

由题意有：Cl=~^n+4〃+1，

n+[JJ

所以见+|一(〃+1)=:4+:〃+1_〃_1=;4一;〃=:(/一〃)，

又〃—j

所以数列｛q一〃｝是以;为公比，首项为:的等比数歹U,

JJ

1(1Y1-'f[、"

所以a-n—X—所以a=一+n；

n3⑴

【小问2详解】

由（1）有：an=—十〃，

+

1c丫小+i)

2⑴2

19.四棱锥P-A4CO中，2。_1_平面人8€7九AB//DC,AB1AL),DC=AD=\,AB=2.ZPAD=45°,

E是Q4的中点，点厂在线段A8上，且满足《不•而=（）.

（1）求证：DE//平面PBC；

（2）求平面bPC与平面3尸。夹角的余弦值；

（3）在线段Q4上是否存在点Q,使得尸Q与平面?巾所成角的余弦值是理，若存在，求出AQ的

3

长；若不存在，请说明理由.

【答案】（1）证明见解析：

⑵2

3

⑶IAQ$

【解析】

【分析】（1）取阳的中点用，连接EM和CM,推导出四边形COEN为平行四边形，从而

DE//CM.由此能证明DE/1平面BPC.

由题意可得D4，DC,DP两两互相垂直，以。为原点，DA,DC,0P分别为犬，）'，z轴建立空

间直角坐标系。-gz,利用向量法能求出平面WC与平面3PC夹角的余弦值.

（3）应用向量法即可求解.

【小问1详解】

(1)证明：取P4的中点仞，连接斜/和CM,

则EM//4B,且EM=，AB=1,

2

又A8//C£),CO=1,

:.EM//CD&EM=CD,四边形CDEM为平行四边形，

.•.OE//CM.;CMu平面。石仁平面/^^^,0^^/平面吕/5。.

由题意可得DA,DC,0P两两互相垂直，如图，以。为原点，

DA,DC,。尸分别为x,z轴建立空间直角坐标系。一冷2,

则,4(1,0,0),C(0,1,0),6(1,2,0),0(0,0,0),尸(0,0,1),

设F(l,y,0),则而=(1,y-1,0),BD=(-l,-2,0)

CbCF-=0»即一l-2y+2=°，得y=；，故F(l,；,0)

乙乙

设平面bPC的一个法向量为G=(5,y,4),PC=(0,l,-l),CF=(l,--,0),

2

y-Z|二0

\n-PC=0

则_,则1»令y=2,则芭=1,Z]=2,

n-CF=0玉一/=°

即平面尸PC的一个法向量为3=(1,2,2)；

设平面BPC的一个法向量为m=(孙y2,z2)，PC=(0,1,-1),而=(1,1,0),

m~PC=0

则[y葭2-z二2=0

则_令％=i，则々=Tg=i，

m-CB=0

即平面BPC的一个法向量为正=(一1』,1)；

故平面FVC与平面BPC夹角的余弦值为|FL|=|士什?”

【小问3详解】

尸0与平面PEC所成角的余弦值是如，所以其正弦值为立

33

设点。（三，°，4），则通二4Z?”£[0,1],

即（七一1，°，%）=丸（一1，0，1），故。（一九十1,0,2）,

FQ=（一九一±4）,又平面PFC的一个法向量为n=（1,2,2）,

2

二在

则只2与平面勿c所成角的正弦值为

"T

整理得20^2+84一1=0

2=­,2=——（舍去），

102

所以存在满足条件的点Q,而=（一5，°，±）且9。1=得.

20.已知椭圆C：W+与=x1〉人〉。）离心率为也，短轴长为2a.

a~