高中数学北师大版 (2019)必修 第一册第五章 函数应用1 方程解的存在性及方程的近似解1.1 利用函数性质判定方程解的存在性教学设计

高中数学北师大版(2019)必修第一册第五章函数应用1方程解的存在性及方程的近似解1.1利用函数性质判定方程解的存在性教学设计学校授课教师课时授课班级授课地点教具教材分析一、教材分析。本节课是北师大版必修一第五章第一节，在学生掌握函数单调性、零点等知识基础上，探讨利用函数性质判定方程解的存在性。教材通过具体实例（如二次函数、分段函数）引导学生理解零点存在性定理，建立函数图像与方程根的联系，体现数形结合思想。内容承上启下，既巩固函数知识，又为后续用二分法求近似解奠定基础，是函数与方程思想的重要应用，培养学生逻辑推理与数学建模能力。核心素养目标分析二、核心素养目标分析。通过函数单调性、零点存在性定理的学习，发展数学抽象与逻辑推理素养，能抽象方程解存在的条件并严谨推导；结合函数图像，强化直观想象与数形结合思想；经历将方程解存在性问题转化为函数零点问题的建模过程，提升数学建模能力；通过分析函数值符号变化，培养数据分析意识。学习者分析三、学习者分析。学生已掌握函数单调性、零点概念、函数图像绘制及初步方程求解方法。学习兴趣浓厚，喜欢探究实际问题；能力上具备基本逻辑推理和图像分析能力；学习风格多样，部分学生偏好视觉学习。可能遇到的困难包括理解零点存在性定理的条件、将方程问题转化为函数问题、处理复杂函数图像时的计算错误，以及抽象概念的理解障碍。教学方法与策略四、教学方法与策略。采用讲授法讲解零点存在性定理，结合讨论法分析课本中的二次函数案例；设计小组活动，用图形计算器绘制函数图像并验证解的存在性，组织竞赛游戏快速判断方程解；使用PPT展示动态图像和例题，图形计算器辅助实验操作。教学实施过程五、教学实施过程

**1.课前自主探索**

教师活动：

-发布预习任务：推送课本P126-P127案例（如二次函数f(x)=x²-2x-3），要求绘制图像并标注零点。

-设计问题：①函数在区间[-1,3]上是否必有零点？②若f(-1)>0、f(3)>0，能否判定无零点？

-监控进度：通过班级群收集学生思维导图，标记共性疑问（如忽略连续性条件）。

学生活动：

-独立绘制函数图像，标注f(-1)=0、f(3)=12，记录疑问："若f(a)f(b)>0是否一定无零点？"

-提交手写图像与问题清单。

教学方法/手段/资源：

-自主学习法+GeoGebra动态绘图工具。

作用：暴露学生认知误区（如混淆"存在"与"唯一"），为课堂突破难点铺垫。

**2.课中强化技能**

教师活动：

-导入：展示函数f(x)=1/x在[-1,1]无零点的反例，引发对"连续性"的思考。

-讲解定理：结合课本定义，强调"连续不断+端点值异号"的充要性，用动画演示f(x)=x³+x-1在[0,1]的零点存在过程。

-组织活动：分组验证f(x)=lg(x-1)在(2,3)的零点存在性，要求说明连续性及f(2)f(3)符号。

-解疑：针对"分段函数是否适用"问题，分析f(x)=|x|-1在[-2,0]的零点存在性。

学生活动：

-观察反例后修正认知："连续函数在端点值异号时必存在零点"。

-小组讨论：通过计算f(2)=0、f(3)=lg2>0，发现端点值同号但存在零点（x=2），质疑定理条件。

-提问："若函数在区间内不连续，定理是否失效？"

教学方法/手段/资源：

-讲授法+GeoGebra动态演示+小组合作探究。

作用：通过反例和变式训练突破"连续性"难点，强化逻辑严谨性。

**3.课后拓展应用**

教师活动：

-布置作业：①课本P129习题1（判断f(x)=eˣ+x-2在(0,1)零点存在性）；②拓展题：若f(x)=ax²+bx+c在[0,1]满足f(0)f(1)<0，求a的取值范围。

-提供资源：推送"二分法求近似解"微课（课本P128引言）。

-反馈作业：标注典型错误（如忽略a=0时函数退化）。

学生活动：

-完成基础题，计算f(0)=-1<0、f(1)=e-1>0，判定零点存在。

-拓展题中讨论a≠0时判别式Δ>0，补充a=0时f(x)=bx+c需满足c(c+b)<0。

-反思：总结"连续性"是定理应用前提，分段函数需分段验证。

教学方法/手段/资源：

-分层练习法+微课资源+反思日志。

作用：通过逆向思维题深化定理理解，衔接后续"二分法"内容。知识点梳理六、知识点梳理

1.函数零点的定义

函数y=f(x)的零点是指使f(x)=0的实数x，即函数图像与x轴交点的横坐标。零点既是函数图像的交点横坐标，也是对应方程f(x)=0的实数根，三者之间存在一一对应关系（函数有零点⇔方程有实数根⇔函数图像与x轴有交点）。例如，函数f(x)=x²-1的零点为x=±1，对应方程x²-1=0的实数根，也是图像与x轴交点的横坐标。

2.零点存在性定理

定理内容：如果函数y=f(x)在闭区间[a,b]上的图像是连续不断的一条曲线，并且f(a)·f(b)<0，那么函数y=f(x)在开区间(a,b)内至少有一个零点。

定理的三个核心条件：

（1）闭区间[a,b]：函数定义域包含区间[a,b]，且区间端点取值有意义；

（2）连续不断：函数在[a,b]上无断点（如分母不为零、对数函数真数大于零等）；

（3）端点值异号：f(a)与f(b)的乘积小于0，即一个为正、一个为负。

定理结论：函数在(a,b)内至少有一个零点（“至少”说明零点个数可能多于一个，如f(x)=sinx在[0,4π]上有多个零点）。

3.零点存在性定理的注意事项

（1）“连续不断”是必要条件：若函数在[a,b]上不连续，即使f(a)·f(b)<0，也可能没有零点。例如，函数f(x)=1/x在[-1,1]上不连续（x=0处无定义），且f(-1)=-1、f(1)=1，满足f(-1)·f(1)<0，但在(-1,1)内无零点。

（2）f(a)·f(b)<0是充分非必要条件：端点值同号时，函数在(a,b)内也可能有零点。例如，f(x)=x²在[-1,1]上，f(-1)=1、f(1)=1，同号，但在x=0处有零点；而f(x)=x³在[-1,1]上，f(-1)=-1、f(1)=1，异号，在x=0处有零点。

（3）定理只能判断零点的存在性，不能判断零点的个数和具体位置。例如，f(x)=x³-x在[-2,2]上，f(-2)=-6、f(2)=6，f(-2)·f(2)<0，且函数连续，故在(-2,2)内有零点（实际零点为x=-1,0,1，共3个）。

4.零点存在性定理的应用步骤

（1）确定函数f(x)和区间[a,b]：根据方程或实际问题，选择合适的函数和区间，确保区间端点函数值有意义；

（2）验证连续性：判断函数在[a,b]上是否连续（如多项式函数、正弦余弦函数在R上连续，指数函数、对数函数在定义域内连续，分式函数需分母不为零）；

（3）计算端点值：求f(a)和f(b)的值，判断f(a)·f(b)的符号；

（4）得出结论：若f(a)·f(b)<0，则函数在(a,b)内有零点；若f(a)·f(b)=0，则a或b为零点；若f(a)·f(b)>0，不能确定，需进一步分析（如结合单调性）。

示例：判断方程x³+x-1=0在(0,1)内是否有解。令f(x)=x³+x-1，f(x)在R上连续，f(0)=-1<0，f(1)=1>0，故f(0)·f(1)<0，由定理知，f(x)在(0,1)内有零点，即方程在(0,1)内有解。

5.函数单调性与零点唯一性

若函数y=f(x)在闭区间[a,b]上单调（单调递增或单调递减）且连续，且f(a)·f(b)<0，则函数y=f(x)在(a,b)内有且只有一个零点。

理由：单调性保证函数值在区间内严格递增或递减，不会出现“增减增”导致多个零点的情况。例如，f(x)=eˣ+x-2在R上单调递增（导数f’(x)=eˣ+1>0），f(0)=-1<0，f(1)=e-1>0，故在(0,1)内有且只有一个零点。

6.方程解的存在性判定与函数零点的转化

方程f(x)=g(x)的解等价于函数h(x)=f(x)-g(x)的零点。通过构造辅助函数，将方程解的问题转化为函数零点问题，利用零点存在性定理判断解的存在性。

示例：判断方程2ˣ=x²-2的解的个数。令h(x)=2ˣ-x²+2，分别讨论区间：

（1）[-3,-2]：h(-3)=2⁻³-(-3)²+2=1/8-9+2=-55/8<0，h(-2)=2⁻²-(-2)²+2=1/4-4+2=-7/4<0，不满足；

（2）[-1,0]：h(-1)=2⁻¹-(-1)²+2=1/2-1+2=3/2>0，h(0)=2⁰-0²+2=3>0，不满足；

（3）[0,1]：h(0)=3>0，h(1)=2¹-1²+2=3>0，不满足；

（4）[2,3]：h(2)=2²-2²+2=2>0，h(3)=2³-3²+2=8-9+2=1>0，不满足；

（5）[4,5]：h(4)=2⁴-4²+2=16-16+2=2>0，h(5)=2⁵-5²+2=32-25+2=9>0，不满足；

（6）[-4,-3]：h(-4)=2⁻⁴-(-4)²+2=1/16-16+2=-223/16<0，h(-3)=-55/8<0，不满足；

再结合函数h(x)的单调性（h’(x)=2ˣln2-2x，需分析导数符号），可判断方程共有3个解（实际解为x≈-0.766,2,4）。

7.分段函数零点存在性的判定

分段函数需分段验证连续性和端点值异号条件。若分段函数在区间[a,b]上连续（各分段点处左右极限相等且等于函数值），且存在子区间满足零点存在性定理条件，则函数在该区间内有零点。

示例：判断函数f(x)=\begin{cases}x+1,&x<0\\x²-1,&x≥0\end{cases}在[-2,2]内是否有零点。

（1）连续性：在x=0处，左极限lim(x→0⁻)f(x)=1，右极限lim(x→0⁺)f(x)=-1，f(0)=-1，左右极限不等，故x=0处不连续；

（2）分段验证：

区间[-2,0)：f(x)=x+1，连续，f(-2)=-1<0，f(0⁻)=1>0，f(-2)·f(0⁻)<0，故在(-2,0)内有零点（x=-1）；

区间[0,2]：f(x)=x²-1，连续，f(0)=-1<0，f(2)=3>0，f(0)·f(2)<0，故在(0,2)内有零点（x=1）；

综上，f(x)在[-2,2]内有2个零点。

8.零点存在性定理的拓展应用——参数问题

若方程含参数，需结合参数讨论函数性质，确定区间和连续性后应用定理。

示例：若关于x的方程x²+2x+a=0在[-1,1]上有解，求实数a的取值范围。令f(x)=x²+2x+a，f(x)在R上连续，

（1）若在(-1,1)内有解，需f(-1)·f(1)<0，即(1-2+a)(1+2+a)<0，解得-3<a<-1；

（2）若解在端点，f(-1)=0⇒a=1，f(1)=0⇒a=-3；

综上，a∈[-3,-1]。

9.零点存在性与函数图像的关系

函数图像直观反映零点存在性：连续函数图像从x轴下方穿到上方（或上方穿到下方）时，必与x轴有交点（零点）；若图像始终在x轴一侧（端点值同号），则可能无零点。例如，f(x)=lnx在(0,1]上，f(1)=0，x=1为零点；在(1,+∞)上，f(x)>0，无零点。

10.零点存在性定理的数学思想

（1）函数与方程思想：将方程解的问题转化为函数零点问题，体现函数与方程的联系；

（2）数形结合思想：通过函数图像直观理解定理条件（连续、端点值异号）和结论（零点存在）；

（3）分类讨论思想：对函数单调性、参数范围、连续性等进行分类讨论，确保定理应用的严谨性。教学评价与反馈七、教学评价与反馈

1.课堂表现：学生能积极参与函数零点存在性定理的讨论，主动举例说明定理条件（如f(x)=x²在[-1,1]端点值同号但有零点），部分学生提出分段函数连续性疑问，体现对“连续不断”条件的深入思考。

2.小组讨论成果展示：各小组能正确验证课本P127案例f(x)=x³+x-1在[0,1]的零点存在性，计算f(0)=-1、f(1)=1，说明连续性及端点值异号；部分小组拓展分析f(x)=|x|-1在[-2,0]的零点，指出x=0处连续且f(-2)=1、f(0)=-1，满足定理条件。

3.随堂测试：完成课本P129习题1（判断f(x)=eˣ+x-2在(0,1)零点存在性）及拓展题（f(x)=ax²+bx+c在[0,1]满足f(0)f(1)<0时a的范围），85%学生能正确计算端点值并判断连续性，15%学生忽略a=0时函数退化情况。

4.课后作业反馈：提交的预习成果中，70%学生能绘制二次函数图像并标注零点，30%学生记录“端点值同号时是否有零点”的疑问，体现对定理条件的探究意识。

5.教师评价与反馈：肯定学生通过实例理解定理核心条件的能力，指出需重点强化“连续性”的判断（如分式函数分母不为零、对数函数真数大于零）及“至少一个零点”与“唯一零点”的区别（结合单调性），为后续二分法求近似解奠定基础。重点题型整理八、重点题型整理

1.判断函数f(x)=x³-3x+1在区间[-2,2]内零点个数。

解答：f(x)在R连续，f(-2)=-8+6+1=-1<0，f(-1)=-1+3+1=3>0，故(-2,-1)有零点；f(0)=1>0，f(1)=1-3+1=-1<0，故(0,1)有零点；f(2)=8-6+1=3>0，故(1,2)有零点。结合f'(x)=3x²-3，单调性为增减增，故有三个零点。

2.判断函数f(x)=\begin{cases}x+2,&x<1\\x²,&x≥1\end{cases}在[0,3]内是否有零点。

解答：x=1处左极限3，右极限1，不连续。区间[0,1)：f(0)=2>0，f(1⁻)=3>0，无零点；[1,3]：f(1)=1>0，f(3)=9>0，无零点。故[0,3]内无零点。

3.若方程x²+ax+1=0在[-1,1]上有解，求a的取值范围。

解答：令f(x)=x²+ax+1，连续。f(-1)=1-a+1=2-a，f(1)=1+a+1=2+a。

①若(-1,1)有解，需f(-1)f(1)<0，即(2-a)(2+a)<0，解得-2<a<2；

②若解在端点，f(-1)=0⇒a=2，f(1)=0⇒a=-2。综上，a∈[-2,2]。

4.证明函数f(x)=eˣ+x-2在(0,1)内有且只有一个零点。

解答：f(x)连续，f(0)=1+0-2=-1<0，f(1)=e+1-2>0，故(0,1)有零点。f'(x)=eˣ+1>0，单调递增，故零点唯一。

5.判断方程lnx=2-x的解的个数。

解答：令h(x)=lnx+x-2，定义域(0,+∞)。h(1)=0+1-2=-1<0，h(2)=ln2+2-2=ln2>0，故(1,2)有零点。h'(x)=1/x+1>0，单调递增，故只有一个零点。反思改进措施九、反思改进措施

（一）教学特色创新

1.动态工具直观化：用GeoGebra实时绘制函数图像，展示端点值变化与零点存在的对应关系，帮助学生直观理解“连续不断”和“端点值异号”两个核心条件。

2.逆向问题探究：设计“构造不满足定理条件的函数”任务，让学生主动发现连续性缺失或端点值同号时零点可能存在或不存在，深化对定理本质的理解。

（二）存在主要问题

1.连续性条件理解薄弱：学生对分段函数、分式函数的连续性判断易出错，如忽略f(x)=|x|在x=0处的连续性。

2.定理应用机械化：部分学生仅机械套用f(a)f(b)<0，未结合单调性分析零点唯一性，如对f(x)