浙江省杭州市2025-2026学年高一数学上学期期末模拟测试数学试卷（解析卷）

浙江省杭州市2025-2026学年高一数学上学期期末模拟测试

数学试卷

(时间：120分钟满分：150分)

一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四

个选项中，只有一项是符合题目要求的.

一一八,A=Lr||x-2|<5)=X2-5x-6>0)门，“A、

i,已知集合1II।IJ,则4n8=()

A.(-1,6)B.(-3,-l)u(6,7)

C.[-3-l)u(6,7]D.[-3,7]

【答案】C

【解析】

【分析】求出集合A、B,利用交集的定义可求得集合

【详解】由|62区5得一5。一2K5,解得—3WxK7,即4=[—3,7],

B=1x|x2-5%-6>0}=(-«?,-1)u(6,+co),所以ACB=[-3,T)D(6,7].

故选：C.

2.已知/(x)=W是集合4到集合8的函数，如果集合3={2},那么集合4不可

能是()

A.{-2,2}B.{-2}C.{-1,2}D.{2}

【答案】C

【解析】

【分析】根据函数的概念即可求解.

【详解】若集合A={-1,2},WJ-le/A,但|一1|=1e3,故选：C.

3.函数/")=里上。的定义域为()

x+2x

A.[—l,+oo)B.(-l,0)u(0,+co)C.(一1,y)D.

[-1,O)U(O^)

【答案】B

【解析】

【分析】结合对数与分数性质解不等式即可.

【详解】仆)=空3满足八，解得.俎-1,0)5。，网.

X+2x[X+2XWU

故选：B

/、f41og(x-l),jc>1/、

4,若函数小)=位蒜72)&，则m)

A.2B.4C.8D.16

【答案】D

【解析】

【分析】将变量依次代入变量相应范围所定义的解析式即可求解.

【详解】由题

/(-l)=2/(-l+2)=2/(l)=2x2/(i+2)=4/(3)=4x41og2(3-l)=161og22=i6

故选：D.

5.如图，某景区欲在两山顶A,。之间建缆车，需要测量两山顶间的距离•己知

山高43=1（切?），CO=3（切?），在水平面上E处测得山顶A的仰角为30,山顶

。的仰角为60,ZAEC=150,则两山顶A,C之间的距离为（）

A.25(奶?)

B.3\[3

C.4&(k〃)

D.3石(k〃)

【答案】A

【解析】

【分析】利用直角三角形的边角关系，求得AE和CE的长，再利用余弦定理求

得AC的长.

【详解】AB=1,CD=3,

ZAE8=30,ZCEZ）=60,ZAEC=150,

CD36

CE=--------==2V3

,,AE=2AB=2,sin60也；

T

dACE中，由余弦定理得

AC2=/1E2+C£：2-2X.4EXCEXCOSZAEC=44-12-2X2X2X/3X||=28,

:.AC=2不；

即两山顶A,C之间的距离为2/h〃.

故选A.

【点睛】本题考查了三角形的边角关系应用问题，也考查了解三角形的应用问题,

是基础题.

6.已知向量〃=（加一3,〃），/?=（2,-1）（其中小>0,n>0）,若a与b共线，则

,+二的最小值为（）

m2〃

946

A.-B.3C.—D.9

415

【答案】B

【解析】

41

【分析】本题首先可以根据。与共线得出2〃+机=3,然后将一十丁转化为

m2n

1/Q.jm\

--+—+5,通过基本不等式即可得出结果.

312nJ

【详解】因。与Z?共线，。=（m一3,〃），/?=（2,-1）,

所以・（'〃-3）=2〃,即2〃+小=3,

5।411（411八\1（8/?m1f_际_.

则一十丁=鼻、—+—x（2/?+/n）=--+—+5>-2—.—+5=3,

m2n31in2/?）3\m2n）31vm2nJ

当且仅当〃=g、相=2时等号成立，

41

故一十丁的最小值为3,

m2n

故选：B.

7.若」.....-=4,则实数〃z=()

sin10°cos10°

A.73B.2C.1D.72

【答案】C

【解析】

【分析】直接利用三角函数的二倍角公式以及两角差的正弦对原式进行变换即可

求出■的值.

［详解］解：」正=〃由10一/sinlO

sin10cos10sin10cos10

即〃2cos10->/3sin10=4sin10cos10=2sin20

=2sin(30-10)=2sin30cos10-2cos30sin10

=cos10->/3sin10.

故〃?=1.

故选：C

8.已知函数的定义域为RJ(x)-1为奇函数，〃x+2)为偶函数，则

f(l)+〃2)+L+f(16)=()

A.0B.16C.22D.32

【答案】B

【解析】

【分析】由/(幻-1为奇函数得对称中心为(04)，结合/(工+2)为偶函数，求周

期为8,从而求出/(1)+〃2)+-+/(8),即可得到〃1)+〃2)+…+”16)的值.

【详解】因为/(力-1为奇函数,则/(。)=1,且函数/(幻的图象关于(。,1)中心

对称，即/("+/(—*=2,

因为/(x+2)为偶函数，所以/(X+2)=〃27),则/(x+4)=/(-x),

所以/(x)+〃x+4)=2,/(x+4)+/(x+8)=2,所以〃x)"(x+8),故〃力

的周期为8,

因为/⑴+/(5)=2J(2)+/(6)=2J(3)+/(7)=2J(4)+/(8)=2,

所以f⑴+f(2)++/(16)=2[/(1)+/(2)+...+/(8)1=16,

故选：B

【点睛】关键点点睛：

由〃耳-1为奇函数，f(x+2)为偶函数，求对称中心和对称轴，推函数/(工)的

周期，关于抽象函数考查对称性和周期性的综合题，一般都是借助题中的条件找

到对称中心和对称轴再推周期.

二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个

选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分，有选错

的得0分.

9.已知关于x的一元二次不等式ox?+法+CNO的解集为{x|x4-2或xNl},则

()

A.且c<0B.4a+2/?+c=0

C.不等式乐+c〉0的解集为例为>2}D.不等式+的解集

为产|-1<工<2-

【答案】AC

【解析】

【分析】根据一元二次不等式解集与方程的根的对应关系可得即A

-2a=c

正确，B错误，再代入解不等式可判断C正确，D错误.

a>0

b[a=h

【详解】由题意可知-2+1=-一，则,

a[-2a=c

（如《

对于A,所以〃>0且c<0,故A正确，

对于B,44+2/?+c=4a+2^-2a=4a>0,故B错误；

对于C,不等式bx+c>0u>or-2a=a（x-2）>0=x>2,故C正确；

对于D,不等式以2—方x+a<0o—加/一依+〃=一4（2工一1乂%+1）<0,又4>0,

可得（2x—l）（x+l）>0,所以或x<—l,故D错误.

故选：AC.

10.设函数/（x）=2sin[2x-外则下列结论正确的是（）

A./（幻的最小正周期为兀B./（幻的图象关于直线x二1

对称

C./（幻的一个零点为工=-?D./（幻的最大值为1

6

【答案】AB

【解析】

【分析】根题意结合正弦型函数性质逐项分析判断即可.

【详解】对于选项A：函数/3)最小正周期为r=弓=兀，故A正确;

对于选项BD：因为/—=2时工-彳=2sin彳=2为最大值，

\o3)2

可知/")的图象关于直线X=/对称，故B正确，D错误；

对于选项C：因为/1_m]=2sin(_g_g]=2siM_4]=_百=0,

161V33J\3J

所以犬=-3不为/(幻的零点，故C错误；

6

故选:AB.

2*—1x<2

11.已知函数/(力='"，a<b<c<df且/(〃)=/(〃)=〃d)<〃c),

5-x,x>2

则下列说法正确的是()

A.a<0B.c>l

C.22v5D.2。+28+2”的取值范围为

(18,34)

【答案】ACD

【解析】

【分析】作出函数图象，结合图象可得。力/的范围，再由2“=d-4,2'=6-d,

即可求得2“乩2"+2b+2"的取值范围。

【详解】根据题干可画出函数图象，如下图:

根据图象可知，,根据avhvcvd得不出cNl,

所以选项A正确，B错误；

由于|2"-1|=5-4，所以］_2"=5—Q,即2"="一4,

所以22/=力〃-4)=/一44,又8(")="2一々/在(4,5)单调递增，

因此储—4dvg(5)=5,所以选项C正确；

由于26-1=5-"，所以2。=6-5,所以2“+2"+2"=2+2"，

又〃(")=2+2〃在(4,5)上单调递增，所以2+2屋(18,34),所以选项D正确。

故答案为：ACD

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

12.已知扇形的半径为2,圆心角为2弧度，则该扇形的面积为.

【答案】4

【解析】

【分析】由弧长公式和扇形的面积公式计算即可.

【详解】根据扇形的弧长公式可得/=ar=2x2=4,

根据扇形的面积公式兀得S=gx2x4=4.

故答案：4.

13.已知函数〃x)=e'-尸，则不等式〃工一3)>/(1-力的解集为

【答案】(2,48)

【解析】

【分析】根据函数的单调性化简不等式/(X-x),由此求得不等式的

解集.

【详解】•.・y=e'在R上单调递增，广r在R上单调递减，.■J(x)=e=eT在R

上单调递增，

则由“1-3)>,“17)得x-3>lr,解得X〉2,即不等式的解集为(2,转).

故答案为：(2,T8)

14.已知函数〃力=配2才，g(x)=gx，若对任意X£［a，+8)，总存在两个

使得g(O/&)=i,则实数〃取值范围是_______.

【答案】［2,+8)

【解析】

【分析】由己知可得，/(XO)<-,画出““在仁，4］上的函数图象，可得出

a/

0<^<1,进而求得实数。的取值范围.

127

【详解】/(xo)=-7-j=-,vxe［a,+o>),

作出/(“在4］上的函数图象如图:

y

对任意R£[a,+e）,总存在两个小£；,4,使得g（x）・/（%））=l,

2

0<—<1,解得422.

故答案为：[2,18）.

四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算

步骤.

15.己知。=（4,3）/=（-1,2）.

（1）求〃与〃夹角的余弦值；

（2）若-砌乂2.+〃），求实数％的值.

【答案】（1）正

25

⑵|

【解析】

【分析】（1）根据题意，利用向量的夹角公式，准确计算，即可求解；

（2）根据题意，结合,-4b）・（2a+b）=0,列出方程，即可求解.

【小问1详解】

解：由向量4=(4,3),〃=(一1,2),可得卜=5炳=石且々./?=4*(一1)+3乂2=2,

/.\ah226

则小叫=丽=荻FIT

【小问2详解】

解：由向量。=(4,3)力=(-1,2),可得助=(4+%3-2㈤,2〃+〃=(7,8),

因为(。一％〃)JL(2o+〃)，可得(。一义方)(24+〃)=0,

5?

BP(4+2)x7+(3-22)x8=0,解得4=三.

13

16.已知集合A=1x|x--<-sB={x|3-2m<x<2w+1).

(1)当m=1时，求4^8；

(2)若AU3=A,求实数机的取值范围.

【答案】(1)3-l<x<3)

(2)(-xl]

【解析】

【分析】(1)由〃?=1,得到5=31"«3},再利用集合的并集运算求解；

(2)由A|J8=A,得到8qA,再分8=0和8工0求解.

【小问1详解】

不等式x—；工[解得一1<”2,集合A={x|T6W2},

当加=1时,集合3={疝<工<3},

所以AUB=｛乂-l<x<3｝；

【小问2详解】

由A|J3=A,得BqA,

当8=0时，3-2m>4-1,即〃?<!，符合题意；

2

3-2m<26+1

当时，\3-2m>-\,解得〃z=L

2

2m+1<2

综上：实数，〃的取值范围（y,g].

17.已知锐角。的顶点与原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，终边过点

*3,4）.

（1）求sin万+2。）值；

（2）若锐角夕满足cos（a+/?）=-得，求si”的值.

【答案】⑴（2）ff.

2565

【解析】

【分析】（1）由角°的终边过点P（3,4）得sina=1,cosa=|,利用诱导公式和

二倍角公式可得结果；

51?

（2）由cos（a+夕）=一不得sin（a+〃）=n，由/=（a+/）-a,利用两角差的

正弦公式可得结果.

【详解】（1）由角。的终边过点尸（3,4）得如。=$8$。=|

所以sin—+2a-cos2tz=2cos2cr-1=2x—1-17

121525

S12

(2)因为锐角,满足cos(a+,)=_j,所以5m(2+4)=工.由尸=(a+/)-a

JLJJLJ

得

sin/?=sin[(a+/7)—a]=sin(a+/?)cos6Z—cos(a+/?)sina

5、456

__x——__

135I13j5-65'

所以siM=w.

65

18.已知函数函(x)=log”(1+2x)-loga(l-2x)(a>0,ah1).

（1）求）（力的定义域;

（2）判断/（x）的奇偶性并给予证明；

（3）求关于x的不等式〃支）＜0的解集.

（11、

【答案】（1）卜了2

（2）奇函数，证明见解析

（3）答案见解析

【解析】

【分析】（1）根据函数的解析式，列出不等式组，即可求得答案;

（2）根据函数奇偶性的定义即可判断和证明；

（3）讨论。的取值范围，结合函数单调性，即可求得答案.

【小问1详解】

l+2x>011

由题意知函数满足।。八，解得-：<上<7,

1-2A>022

(iiA

即函数〃尢)的定义域为一不行;

【小问2详解】

/(另为奇函数，证明如下:

关于原点对称,

/(—x)=log“(1-2x)-logu(1+2力=一/(x),故/(/)为奇函数;

【小问3详解】

/(力<0即log“(l+2x)<log“(1-2x),(〃>0,。工1),

l+2x>0

有2尤>0,解得—JvxvO；

当。>1时,上单调递增,

l+2x<l-2x一

1+2x>0

当0<”1时，/⑴在(-/,；)上单调递减，有"-2x〉0,解得℃<；；

l+2x>l-2x

,、(I

故当。>1时，关于工的不等式/(“<0的解集为一弓,。

当0va<l时，关于x的不等式/(x)<0的解集为(0,g

19.俄国数学家切比雪夫(1821—1894)是研究直线逼近函数的理论先驱.对定

义在非空集合/上的函数/(尢)，以及函数g(x)=h—b(七〃cR),切比雪夫将函

数y=|/("r(工)|，“/的最大值称为f(x)，g(x)的“偏差”.

(1)函数/(力二9k£[04]),且(力=_工一1,求/(x),g(x)的“偏差”;

(2)函数/(1)=l+1卜«1,2]),g(x)="+l(k>0),若/(x),g(x)的“偏差”为2,

JC

求k的值；

(3)函数/(力=/一工(工£[0,3]'(工)=2工+/?,若/(工),屋”的“偏差”取最小值,

求力的值，并求出“偏差”的最小值.

【答案】(1)3(2)1

4

OQ

(3)b=_三时,函数f(x)与g(x)的“偏差”取最小值片

oO

【解析】

【分析】(1)写出)，=|/(x)-g(x)|解析式，结合xw[O』，求出值域y«l,3],

可得偏差为3；

(2)>'=|/(x)-^(x)|=-+l-(h;+l)=--AX,XG[1,2],利用"，一履和)=W

XXX

的函数性质，通过分类讨论，由“偏差”值得到%的值；

(3)结合所给条件，可得函数/(x)与g(x)的喘差”为)需=max.瓦力+羽,

结合绝对值不等式，求出(丫曲)疝「即可得.

【小问1详解】

(1)，二|/(x)-8(力|二产+工+1卜(x+g)+1,xe[O,l],

因为XE[0,1],所以，+■1+-G[1,3],

k2)4

则丁=1+£+(w[L3],

所以函数〃x)与g(x)的“偏差”为3.

【小问2详解】

^t=f(x)-g(x)=-^\-(kx+\)=--kxxe[\,2]