中考数学一轮专项复习题汇编：最值问题（原卷版+解析版）

中考数学真题专题分类精选汇编（全国通用）

最值问题

一、选择题

1.（2024四川乐山）已知二次函数y=1）,当了=一1时，函数取得最大值：当

x=l时，函数取得最小值，则,的取值范围是（）

A.0<f<2D.0</<4C.2<t<4D.t>2

2.（2024四川南充）如图，在心△49。中，ZC=90°,ZS=30°,BC=6,4。平分/C4B交

BC于点D,EE为边AB上一点、,则线段OE长度的最小值为（）

A.72B.73C.2D.3

3.（2024四川南充）当2WxW5时，一次函数），=（〃7+1）/+加2+1有最大值6,则实数，〃的值

为（）

A.-3或0B.0或1C.一5或一3D.-5或1

4.（2024四川泸州）如图，在边长为6的正方形49CO中，点E,产分别是边8。二的动点,

且满足=AF与DE交于点、O,点M是。户的中点，G是边力5上的点，AG=2GB,

则OM+’FG的最小值是（）

2

5.（2024四川宜宾）如图，在。8。中，AB=3&AC=2,以BC为边作RL8CQ,BC=BD,

点。与点力在8C的两侧，则4。的最大值为（)

B

A

A.2+3aB.6+2x/2

6.（2024四川达州）如图，小3C是等腰直角三角形，ZJ5C=90°,AB=4,点、D,E分别在

AC,BC边上运动，连结AE,BD交于点F,且始终满足AD=—CE，则下列结论:①在=五；

2BD

②NQFE=135。；③△力打'面积的最大值是40.4；④C77的最小值是2版一2行.其中正确

的是（）

A.①③B.①②④C.®®®D.①②③④

缶EC

二、填空题

1.（2024四川广安）如图，在口力8。。中，AB=4,AD=5,N/4C=30。，点M为直线8。上

一动点，则A/4+MD的最小值为.

BMC

2.（2024四川成都市）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知4（3,0）,8（0,2）,过点5作N轴的

垂线/,P为直线/上一动点，连接P。，尸力，则尸O+P4的最小值为

3.（2024江苏扬州）如图，已知两条平行线/r12,点/是4上的定点，于点、B，点、C、D

分别是4、4上的动点，且满足4c=8。，连接CO交线段43于点£,BHLCD于点H,则当

最大时，sin/84〃的值为.

4.（2024四川广元）如图，在“8C中，48=5,tan/C=2,则力。+且8。的最大值为

5.（2024河南省）如图，在中，乙4cB=90°,CA=CB=3,线段CQ绕点C在平面

内旋转，过点8作ND的垂线，交射线4。于点E.若CO=1,则力E的最大值为,最小

值为.

6.（2024四川宜宾）如图，正方形ABCD的边长为1,M、N是边BC、CD上的动点.若/MAN=45°,

7.（2024四川内江）如图，在"8。中，ZABC=60°,BC=8,E是BC边上一点、,且8E=2,

点/是力占。的内心，8/的延长线交dC于点。，〃是Z?Z）上一动点，连接收、尸C,则PE+尸C

的最小值为

三、解答题

1.（2024河南省）从地面竖直向上发射的物体离地面的高度”m）满足关系式〃=-5"+匕八其

中，（s）是物体运动的时间，%（m/s）是物体被发射时的速度.社团活动时，科学小组在实验楼前从

地面竖直向上发射小球.

（1）小球被发射后s时离地面的高度最大（用含%的式子表示）.

（2）若小球离地面的最大高度为20m,求小球被发射时的速度.

（3）按（2）中的速度发射小球，小球离地面的高度有两次与实验楼的高度相同.小明说：“这两次

间隔的时间为3s.”已知实验楼高15m,请判断他的说法是否正确，并说明理由.

2.（2024广西）课堂上，数学老师组织同学们围绕关于x的二次函数），=/+2以+。一3的最值问

题展开探究.

【经典回顾】二次函数求最值的方法.

（1）老师给出。二一4,求二次函数y=X2+2〃4+。一3的最小值.

①请你写出对应的函数解析式；

②求当x取何值时，函数y有最小值，并写出此时的y值；

【举一反三】老师给出更多。的值，同学们即求出对应的函数在x取何值时，y的最小值.记录结果，

并整理成下表：

a•••-4-2024•••

X•••*20-2-4•••

y的最小值•••*-9-3-5-15•••

注：*为②的计算结果.

【探究发现】老师：“请同学们结合学过的函数知识，观察麦格，谈谈你的发现.”

甲同学：“我发现，老师给了。值后，我们只要取4,就能得到y的最小值.”

乙同学：“我发现，y的最小值随。值的变化而变化，当4日小变大时，y的最小值先增大后减小,

所以我猜想_＞，的最小值中存在最大值.”

(2)请结合函数解析式y=f+2外+。-3,解释甲同学的说法是否合理？

(3)你认为乙同学的猜想是否正确？若正确，请求出此最大值；若不正确，说明理由.

3.(2024江苏连云港)【问题情境】

(1)如图1,圆与大正方形的各边都相切，小正方形是圆的内接正方形，那么大正方形面积是小正

方形面积的几倍？小昕将小正方形绕圆心旋转45。(如图2),这时候就容易发现大正方形面积是小

正方形面积的__________倍.由此可见，图形变化是解决问题的有效策略;

图1图2

【操作实践】

(2)如图3,图①是一个对角线互相垂直的四边形，四边。、6、c、d之间存在某种数量关系.小昕

按所示步骤进行操作，并将最终图形抽象成图4.请你结合整个变化过程，直接写出图4中以矩形内

一点P为端点的四条线段之间的数量关系:

图3

【探究应用】

(3)如图5,在图3中“④”的基础上，小昕将△PQC绕点尸逆时针旋转，他发现旋转过程中尸

存在最大值.若PE=8,PF=5,当ND4P最大时，求仞的长；

(4)如图6,在Rt△力中，=点力、E分别在边力C和4C上，连接。瓜AE.BD.若

JC+CZ)=5,BC+CE=8,求4E+8Q的最小值.

B

图6

4.（2024山东烟台）每年5月的第三个星期日为全国助残日，今年的主题是“科技助残，共享美好

生活”，康宁公司新研发了•批便携式轮椅计划在该月销售，根据市场调查，每辆轮椅盈利200元时,

每天可售出60辆；单价每降低10元，每天可多售出4辆.公司决定在成本不变的情况下降价销售，

但每辆轮椅的利润不低于180元，设每辆轮椅降价x元，每天的销售利润为y元.

（1）求y与x的函数关系式；每辆轮椅降价多少元时，每天的销售利润最大？最大利润为多少元？

（2）全国助残日当天，公司共获得销售利润12160元，请问这天售出了多少辆轮椅？

5.（2024山东枣庄）在平面直角坐标系xOy中，点P（2,-3）在二次函数y=a丫2+旅一3（。〉0）的

图像上，记该二次函数图像的对称轴为直线工=胆.

（1）求〃？的值；

（2）若点。（〃7,-4）在〉=如2+反一3的图像上，将该二次函数的图像向上平移5个单位长度，得

到新的二次函数的图像.当0VxW4时，求新的二次函数的最大值与最小值的和；

（3）设y=a/+/＞-3的图像与x轴交点为（玉,0）,（w，0）（玉＜々）•若4＜々一七＜6,求”的

取值范围.

6.（2024天津市）已知抛物线）=办2+队+c（mb,。为常数，0）的顶点为尸，且2G+/?=0,

对称轴与x轴相交于点。，点M（机,1）在抛物线上，相＞1,。为坐标原点.

（1）当。=1,c=—1时，求该抛物线顶点尸的坐标；

（2）当OM=OP=巫时，求。的值；

2

（3）若N是抛物线上的点，且点N在第四象限，/MDN=90。,DM=DN,点、E在线段MN上,

点9在线段QN上，NE+NF=6DM，当0E+M/7取得最小值为后时，求。的值.

7.（2024安徽省）已知抛物线歹=^^+云（〃为常数）的顶点横坐标比抛物线y=—,d+2x的顶

点横坐标大1.

（1）求b的值；

(2)点力(王，必)在抛物线歹=一了2+2%上，点6(玉+，,必+〃)在抛物线y=上.

(i)若〃=37,且玉20,/>0,求〃的值：

(ii)若玉二/一1,求〃的最大值.

8.(2024四川凉山)如图，在菱形力BCO中，/4BC=6()c,AB=2,E是BC边上一个动点,

连接力E,4E的垂直平分线MN交4E于点M,交8。于点N.连接EN,CN.

(1)求证：EN=CN、

(2)求2A7V+AN的最小值.

中考数学真题专题分类精选汇编（2025年中考复习全国通用）

最值问题

一、选择题

1.（2024四川乐山）已知二次函数y=2x（-1WxWE—1）,当了=一1时，函数取得最大值：当

x=l时，函数取得最小值，则/的取值范围是（）

A.0<f<2D.0</<4C.2<t<4D.t>2

【答案】C

【解析】本题考查了二次函数的图象与性质，二次函数的最值等知识.熟练掌握二次函数的图象与性

质是解题的关键.

由9=/-2x=（x-l）2-l,可知图象开口向上，对称轴为直线x=l,顶点坐标为（1，-1），当x=—l

时，y=3,即（一1,3）关于对称轴对称的点坐标为（3,3）,由当尸一1时，函数取得最大值；兰x=l时,

函数取得最小值，可得计算求解，然后作答即可.

【详解】・・・y=x2_2x=（x_i）2—],

・••图象开口向上，对•称轴为直线x=l,顶点坐标为（L-1）,

当工=-1时，y=3,

・•・（-1,3）关于对称轴对称的点坐标为（3,3）,

•・•当x=-l时，函数取得最大值：当x=l时，函数取得最小值，

解得，2W/W4,

故选：C.

2.（2024四川南充）如图，在中，ZC=90°,ZB=30°,BC=6,4。平分/C48交

6c于点。，点E为边力8上一点，则线段。石长度的最小值为（）

A.41B•百C.2D.3

【答案】C

【解析】本题主要考查解直角三角形和角平分线的性质，垂线段最短，根据题意求得/8力。和4C,

结合角平分线的性质得到和。C,当。时，线段。石长度的最小，结合角平线的性

质可得DE=OC即可.

【详解】,・•/，=90。,NB=30。,

:.4/C=60。，

ACr-

在RIAABC中，tan/B=---.解得AC-25/3»

CB

•••力。平分/C48,

・•・ZCJZ）=30°,

DC

：.tanZCAD=-解得OC=2,

CA

当时，线段。E长度的最小，

VAD平分ZCAB,

:,DE=DC=2.

故选：C.

3.（2024四川南充）当时，一次函数y=（m+l）x+〃/+i有最大值6,则实数皿的值

为（）

A.-3或0B.0或1C.-5或一3D.-5或1

【答案】A

【解析】本题主要考杳了一次函数的性质，以及解一元二次方程，分两种情况，当〃7+1〉0时和当

机+1<0,根据一次函数性质列出关于〃?的一元二次方程，求解即可得出答案.

【详解】当加+1>0即机>一1时，一次函数y随x的增大而增大，

・•・当x=5时，y=6,

Bp5（m+1）+/n2+1=6，

整理得：加2+5〃?=0

解得：〃？=0或加=一5（舍去）

当机+1<0即m<一1时，一次函数y随x的增大而减小，

・•・当x=2时，y=6,

即2（〃?+1）4-m2+1=6,

整理得：加2+2，%-3=0

解得：加=-3或〃7=1（舍去）

综上，"？=0或〃?=3,

故选：A

4.(2024四川泸州)如图，在边长为6的正方形48co中，点£,尸分别是边4C.二的动点

且满足=4F与DE交于点、O,点例是的中点，G是边上的点，AG=2GB,

则产G的最小值是()

2

A.4B.5C.8D.1()

【答案】B

【解析】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的性质与判定，直角三角形的性质，与股定理等

等，先证明也△比1厂(SAS)得到4。石=/切石，进而得到ZD。尸二90。，则由直角三角

形的性质可得。收=,。/7,如图所示，在43延长线上截取8，=AG,连接尸H，易证明

2

AFBG&FBH(S的,则FH=FG,可得当〃、D、尸三点共线时，+H尸有最小值，即此

时OM+'QG有最小值，最小值即为。〃的长的一半，求出4〃=8,在中，由勾股定

2

理得DH=JAD?+4〃2=1(),责任OW+；尸G的最小值为5.

【详解】解：•••四边形48。是正方形，

・•・AD=AB,NDAB=ZABC=90°,

又,：AE=BF,

・•・△4〃石也△/M〃(SAS),

・•・NADE=NBAF,

・•・ZDOF=ZADO+ZDAO=ZBAF+ADAO=ZDAB=90°,

丁点M是。尸的中点，

：.OM=>DF；

2

如图所示，在力A延长线上截取4〃=4G,连接卬/,

VZFBG=AFBH=90°,FB=FB,BG=BH,

:.AFBGAFBH代

・•・FH=FG,

・•.OM+=FG==DF+'HF==（DF+HF）,

2222V7

・•・当〃、。、月三点共线时，+//E有最小值，即此时有最小值，最小值即为。〃的

2

长的一半，

VAG=2GB>AB=6,

・•・BH=BG=2,

・•・AH=8,

在RsZOH中，由勾股定理得=+=10,

・•・OM+'/G的最小值为5,

2

故选：B.

5.（2024四川宜宾）如图，在中，AB=3&AC=2,以4c为边作Rt^BCQ，BC=BD,

点。与点力在8C的两侧，则力。的最大值为（）

A.2+3&B.6+2>/2C.5D.8

【答案】D

【解析】如图，把“BC绕6顺时针旋转90°得至ij丛HBD,求解AH=\lAB、BH?=6,结合

ADWDH+AH，（4〃,。三点共线时取等号），从而可得答案.

【详解】解:如图,把“8C绕5顺时针旋转90。得到△HB。,

B

A

:・AB=BH=36,AC=DH=2,Z.ABH=90°,

•*,AH=\lAB2+BH2—6，

•:ADWDH+AH，（4〃,。三点共线时取等号），

・•・力。的最大值为6+2=8,

故选D

【点睛】本题考杳的是勾股定理的应用，旋转的性质，三角形的三边关系，二次根式的乘法运算，做

出合适的辅助线是解本题的关犍.

6.（2024四川达州）如图，是等腰直角三角形，ZABC=90°,AB=4,点D,E分别在

AC,BC边上运动，连结AE,BD交于点、F,且始终满足40=注CE,则下列结论:①一=V2；

2BD

②NO庄＜=135。；③△力B厂面积的最大值是4x万一4；④。厂的最小值是2J历一2公.其中正确

的是（）

A.①③B.①②④C.②@④D.①②③④

【答案】D

【解析】过点“作_L/C于点例，证明根据相似三角形的性质即匕判断①；

得出/84£=乙W8。，根据三角形内角和定理即可判断②：在的左侧，以为斜边作等腰直

角三角形4OB,以04为半径作0O,根据定弦定角得出厂在。。的薪上运动，进而根据当

时，^力8尸面积的最大，根据三角形的面积公式求解，即可判断③，当F在0C上时，

尸C最小，过点O作。交CB的延长线于点〃，勾股定理，即可求解.

【详解】如图所示，过点8作JL/C于点

/8C是等腰直角三角形，//8c=90。，48=4,

:・AB=BC,NC=J次+如=6BC，

AD=—CE

2

:・DM=-AC-AD=-xy/2BC--CE=—(BC-CE}=—BE

2222v72

.DMADV2

又•・•/DMB=NEBA=90。

：."BESABMD，

AEABrz../、十M

:.----=------=>J2,故①正确；

BDBM

•••"BES^BMD，

・•・/BAE=ZMBD，

・••/BAEZABD=4MBD+ZABD

即180。一(/BAE十ZABD)=180°-(NMBD+ZABD)

在△WBb中，ZJ/7?=180°-(ZBAE+AABD)

即NAFB=180°-(4MBD+ZABD)

•「是等腰直角三角形，BMLAC

•••BM平分NABC

・•・ZABM=4cBM=-/ABC=45°

2

・••NAFB=180°-(4MBD+NZ8。)=180。—ZABM=135°

・•.NAFB=180°-(ABAE+ZJ5D)=135°,

：・NDFE=135。，故②正确，

如图所示,

在48的左侧，以为斜边作等腰直角三角形403,以。力为半径作。。，且48=4

AZAOB-90°,OA=OB.AB=>]OA2±OB2=410A=4

VZ/4F5=135°

••・N。—』408=180。

2

・••夕在OO的前上运动，

:，OF=AO=—AB=—x4=2x/2，

22

连接。户交43于点G,则4G=GB=2,

・••当OF148时,结合垂径定理，0G最小,

•・•OF是半径不变

・・・此时C尸最大

则△IB尸面积的最大，

,•S^ABF=2s4AGF=2(S“o--S”0G)

=2f-xf?FxJG--OG21

【22J

=23x2-2?

二4右一4，故③正确;

如图所示，当尸在OC上时，尸C最小，过点。作交C3的延长线于点〃，

/.是等腰直角三角形,

=HB=—0B=—0A=2^

22

在Rt^O，C中，HC=HB+BC=6,

•*-OC=V22+62=2x/10，

・•・的最小值是2师一2JL

故选：D.

【点睛】本题考查了相似三角形的性质与判定，圆内接四边形对角互补，求圆外一点到圆上的距离最

值问题，勾股定理，等腰直角三角形的性质与判定，熟练掌握以上知识是解题的关键.

二、填空题

1.（2024四川广安）如图，在odBCQ中，力8=4,AD=5,N/3C=30。，点.”为直线8c上

一动点，则A/%+MD的最小值为.

【答案】向

【解析】如图，作A关于直线8C的对称点H,连接4。交5。于“，则彳"=/'〃，AH1BC,

当重合时，K4+A/O最小，最小值为47）,再进一步结合勾股定理求解即

可.

【详解】解：如图，作A关于直线3。的对称点连接4。交8c于则力"二4",

AHVBC,AM'=AM'.

・•.当重合时，+最小，最小值为H。，

力'

VAB=4,Z.ABC=30°,在口力8co中,

AAH=^AB=2tAD//BC,

AAAf=2AH=4^AA1AD,

*/AD=5,

**•A'D=J4?+5?=V5T，

故答案为：V41

【点睛】此题考查了平行四边形的性质，勾股定理，轴对称的性质，求最小值问题，正确理解各性质

及掌握各知识点是解题的关键.

2.(2024四川成都市)如图，在平面直角坐标系xOy中，己知4(3,0),3(0,2),过点8作N轴的

垂线/,尸为直线/上一动点，连接P。，PA,则夕。+4的最小值为.

【答案】5

【解析】本题考查轴对称一最矩问题以及勾股定理和轴对称图形的性质.先取点力关于直线/的对称

点H,连WO交直线/于点C,连/C,得到力C二HC，,4%J./,再由轴对称图形的性质和两点

之间线段最短，得到当O,P,4三点共线时，尸O+P4的最小值为HO,再利用勾股定理求H。即

可.

【详解】取点力关于直线,的对称点H,连40交直线/于点C,连4C,

则可知4c=HC,AALI,

・•・PO+PA=PO+PA'>AO.

即当O,P,H三点共线时，PO+PA的最小值为AO.

'/直线/垂直于y轴，

・•・轴，

•・・/(3,0),3(0,2),

/.力O=3,AA1—4,

・••在RtaHdO中，

AO=ylOA2+AA,2=V32+42=5»

故答案为：5

3.(2024江苏扬州)如图，已知两条平行线4,点力是4上的定点，/Bl/?于点从点C、D

分别是乙、乙上的动点，旦满足彳。=3。，连接CO交线段于点£,BH工CD于点、H,则当

N8/H最大时，sin/BZH的值为.

【解析】证明△4CE乡△BQE(ASA),得出BE=4E=^AB，根据8”J.CO,得出4BHE=90°,

说明点”在以4E为直径的圆上运动，取线段8f的中点O,以点。为圆心，OB为半径画圆，则点〃

在。。1-.运动，说明当"，与。。相切时NBAH最大，得出OH1.AH,根据

AO=AE+OE=3OE,利用sin/4/，=^=/,即可求出结果.

【详解】解：•・•两条平行线/rk，点力是4上的定点，45_L/2于点氏

・••点8为定点，43的尺度为定值，

•・•4〃。，

・•・ZACE=NBDE,NCAE=NDBE,

,:AC=BD,

.・."CEGABDE(ASA),

/.BE=AE=—AB,

2

•・•BH1CD,

・•・/BHE=90。,

・•・点〃在以BE为直径的圆上运动,

如图，取线段，？的中点O,以点。为圆心，为半径画圆,

则点，在。。上运动，

・•・当AH与。。相切时NBAH最大,

・•・OH1AH,

VAE=OB=2OE，

；.AO=AE+OE=3OE,

•・•OH=OE,

OI/

•,•si•nZ八.BAA1”I=----=--O---E-=—1

AO3OE3

故答案为：—.

3

【点睛】本题主要考查了圆周用定理，全等三角形的性质和判定，平行线的性质，切线的性质，解直

角三角形等知识点，解题的关筵是确定点”的运动轨迹.

4.（2024四川广元）如图，在△力BC中，4B=5,tan/C=2,则4。+且8C的最大值为

【答案】572

【解析】过点6作BD1AC,垂足为。，如图所示，利用三角函数定义得到

AC^—BC=AC+DC＞延长。。到E，使EC=CO=x，连接BE,如图所示，从而确定

5

AC+与BC=AC+DC=AC+CE=AE，NE=45°,再由辅助圆-定弦定角模型得到点E在

5

OO上运动，力E是。O的弦，求+的最大值就是求弦4E的最大值，即是直径时,

5

取到最大值，山圆周角定理及勾股定理求解即可得到答案.

【详解】解；过点Z?作占。_L.4C,垂足为。，如图所示:

.,.在中，设QC=x,则8O=2x,由勾股定理可得3C=底，

DCx号即生C/C，

■,■AC+—BC=AC+DC^

5

延长。。到E,HEC=CD=x,连接月E,如图所示:

•••AC+—BC=AC+DC=AC^CE=AE^

5

BD上DE，DE=2x=BD、

.•.△4OE是等腰直角三角形，则NE=45。，

在dBE中,AB=5,Z£=45°,由辅助圆-定弦定角模型，作△力BE的外接圆，如图所示:

••・由圆周角定理可知，点E在。。上运动，4E是。。的弦，求ZC+正的最大值就是求弦4E

5

的最大值，根据圆的性质可知，当弦4E过圆心O,即4E是直径时，弦最大，如图所示:

•・•力上是oo的直径，

NABE=90°,

•••NE=45°,

・•.△ABE是等腰直角三角形，

,/AB=5,

BE=AB=5,则由勾股定理可得AE=ylAB2+BE2=5桓，即AC+^BC的最大值为5J5，

故答案为：5A/5•

【点睛】本题考查动点最值问题，涉及解三角形、勾股定理、等腰直角三角形的判定与性质、圆的性

质、圆周角定理.、动点最值问题-定弦定角模型等知识，熟练掌握动点最值问题-定弦定角模型的解法

是解决问题的关键.

5.（2024河南省）如图，在RtZ\/15。中，4c8=90。，CA=CB=3,线段CO绕点C在平面

内旋转，过点8作力。的垂线，交射线力。于点£若8=1,则4E的最大值为,最小

值为.

【答案】①.2及+1##1+2&②.2V2-1^-1+272

【解析】根据题意得出点。在以点C为圆心，I为半径的圆上，点E在以48为直径的圆上，根据

AE=ABcosZBAE,得出当cos/84E最大时，AE最大,cos/84£最小时，力E最小，根据

当力E与。。相切于点。，且点。在&内部时，NBAE最小,AE最大,当力E与。C相切于

点。，且点。在△4BC外部时，/BAE最大,4E最小，分别画出图形，求出结果即可.

【详解】•:/ACB=90。,CA=CB=3,

・•・ABAC=ZABC=1x90°=45°,

2

•・•线段C。绕点。在平面内旋转，CZ)=1,

・••点。在以点。为圆心，1为半径的圆上，

,/BE1AE,

・•・=90°,

・••点E在以48为直径的圆上，

在RtzMBE中，AE=ABcos/BAE,

为定值,

・••当cosNA4后最大时，力E最大，cos/B4£*最小时，4E最小，

・•・当力E与。C相切于点D,且点。在△45。内部时，/BAE最小,AE最大,连接CO,CE,

如图所示：

则。J.4E,

・•・ZADC=ZCDE=90°,

・••AD=yjA^-CD2=V32-l2=2V2，

，：AC=ACf

・•・/CED=/ABC=45°，

•・,NCDE=90°，

•••△CDE为等腰直角一角形，

・•・DE=CD=\,

工AE=AD+DE=26+1,

即AE的最大值为2及+1；

当力E与0c相切于点。，且点。在“8。外部时，/BAE最大,4E最小，连接。。，CE＞如

图所示：

则C0_L4E，

，ZCDE=90°,

AD—\lAC2—CD1—J??-F=2>/2,

•••四边形/5CE为圆内接四边形，

・•・/CEA=1X0°-/ARC=135°.

••・/CED=180°-NCEA=45°，

•・,ZCDE=90°,

•••△CDE为等腰直角三角形，

DE=CD=1,

：・AE=AD-DE=26-1，

即/E的最小值为2人一1：

故答案为：2及+1：2V2-1-

【点睛】本题主要考查了切线的性质，圆周角定理，圆内接四边形的性质，勾股定理，等腰三角形的

性质，解直角三角形的相关计算，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握相关的性质，找出NE取最大

值和最小值时，点。的位置.

6.（2024四川宜宾）如图，正方形ABCD的边长为1,M、N是边BC、CDU勺动点.若4MAN=45c,

则MN的最小值为.

【答案】-2+272^272-2

［解析】将ZX4ON顺时针旋转90°得到“8P,再证明AMAPMAMAN（SAS），从而得到

MN=MP=BM+BP=BM+DN,再设设CN=。，CM=b,得到MV=2-。-6,利用勾股

定理得到。储+。02=/川，即/+/=（2-。一人）2,整理得到（2-。）（2-勾=2,从而利用

完全平方公式得到MN=2-a-b>-2+2^2-a］（2-b）.从而得解.

【详解】解：•・•正方形45C。的边长为1,

；・AD=AB=BC=CD=\,ABAD=AABC==AD=90°,

将△NON顺时针旋转90°得到"BP，则MDN知ABP,

:・/DAN=4BAP,/D=ZABP=90。,AN=AP,DN=BP,

:•点P、B、M、C共线，

,：/MAN=45。,

・•・NM4P=4MAB+B4P=/MAB+DAN=9（F-/MAN=45°=AMAN,

VAP=AN,4MAp=/MAN,AM=AM，

△W%M4N（SAS）,

:.MP=MN,

:.MN=MP=BM+BP=BM+DN,

设CN=。，CM=b,则。N=l—。，BM=l-b.

:・MN=BM+DN=2-a-b,

ZC=90°,

:・CN〜CM?=MN?，即/+〃=（2-a-b）2,

整理得：（2-硕2-6）=2,

：.MN=2-a-b

=-2+（2-t7）+（2-Z7）

=-2+（y/'Z—ci）-2J2-a•J2-b+（y/2,—b）+2\/2—ci,y/2—b

——2+（y/2,—ci—12-b）~+2J（2-4）（2-

N—2+21（2-a）（2-b）

=-2+2&，

当且仅当j2—〃=j2—b，即2—4=2-力=JL也即4=/?=2-及时，MV取最小值一2+2近，

故答案为：-2+2V2-

【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，正方形的性质，勾股定理，二次根式的运算，完全平方

公式等知识，证明MV=8M+DV和得到（2-。）（2-6）=2是解题的关键.

7.（2024四川内江）如图，在△力4c中，N/8C=60。，BC=8,E是BC边上一点、,且BE=2,

点/是△/AC的内心，8/的延长线交4C于点。，尸是8Q上一动点，连接尸£、PC,则PE+PC

的最小值为.

【答案】29

【解析】在48取点凡使BF=BE=2,连接尸尸，CF,过点尸作FHL8C于H,利用三角形

内心的定义可得出，利用SAS证明AAFP且△切部，得出尸b=则

PE+PC=PF+PC>CF,当。、P、/三点共线时，PE+PC最小,最小值为"，利用含30。

的直角三角形的性质求出84,利用勾股定理求出切，CF即可.

【详解】在43取点立使8尸=8E=2,连接PE，CF,过点/作尸〃_L8C于从

BIIEC

•・・/是&45c的内心,

・•・BI平分NABC,

・•・NABD=/CBD,

又BP=BP，

：.△5FP^A5£1P（SAS）,

・•・PF=PE,

:.PE+PC=PF+PC>CF,

当C、P、尸三点共线时，PE+PC最小,最小值为b,

,/FHIBC,ZABC=60°,

・•・NBFH=30°,

••・BH=-BF=1,

2

:・FH=NBF2-BH2=6CH=BC-BH=1,

；・CF=dCH'FH?=2/，

/.PE+PC的最小值为2JF.

故答案为：2回.

【点睛】本题考查了三角形的内心，全等三角形的判定与性质，含30。的直角三角形的性质，勾股定

理等知识，明确题意，添加合适辅助线，构造全等三角形和含30。的直角三角形是解题的关键.

三、解答题

1.（2024河南省）从地面竖直向上发射的物体离地面的高度”m）满足关系式〃+其

中f（s）是物体运动的时间，%（m/s）是物体被发射时的速度.社团活动时，科学小组在实验楼前从

地面竖直向上发射小球.

（1）小球被发射后s时离地面的高度最大（用含%的式子表示）.

（2）若小球离地面的最大高度为20m,求小球被发射时的速度.

（3）按（2）中的速度发射小球，小球离地面的高度有两次与实验楼的高度相同.小明说：“这两次

间隔的时间为3s.”已知实验楼高15m,请判断他的说法是否正确，并说明理由.

【答案】（I）

（2）20（m/s）

（3）小明的说法不正确，理由见解析

【解析】【分析】本题考查了二次函数的应用，解题的关键是：

（1）把函数解析式化成顶点式，然后利用二次函数的性质求解即可;

（2）把"布力=20代入力=—5"+%求解即可;

（3）由（2）,得〃=一5『+2（'，把力=15代入，求出/的值，即可作出判断.

【小问1详解】

解：h——5t~+v()Z

%

10

...当/噜时，/?最大,

故答案为：工;

10

【小问2详解】

解：根据题意.得

当/=去时，力=20,

/.-5x%+匕x曳=20,

lioj°10

，%=20（m/s）（负值舍去）；

【小问3详解】

解：小明的说法不正确.

理由如下:

由（2）,得〃=一5/+20小

当〃=15时，15=—5r+20/，

解方程，得4=1,4=3,

・•・两次间隔的时间为3-l=2s，

・•・小明的说法不正确.

2.（2024广西）课堂上，数学老师组织同学们围绕关于x的二次函数卜=/+2狈+。-3的最值问

题展开探究.

【经典回顾】二次函数求最值的方法.

（1）老师给出。=—4,求二次函数^二X2+2〃工+。一3的最小值.

①请你写出对应的函数解析式；

②求当X取何值时，函数y有最小值，并写出此时的y值；

【举一反三】老师给出更多。的值，同学们即求出对应的函数在x取何值时，y的最小值.记录结果,

并整理成下表：

a•••-4-2024•♦•

X•••*20-2-4•••

y的最小值•••*-9-3-5-15•••

注：*为②的计算结果.

【探究发现】老师：“请同学们结合学过的函数知识，观察表格，谈谈你的发现.”

甲同学：“我发现，老师给了。值后，我们只要取工=-。，就能得到y的最小值.”

乙同学：“我发现，y的最小值随。值的变化而变化，当〃曰小变大时，y的最小值先增大后减小，

所以我猜想)，的最小值中存在最大值.”

(2)请结合函数解析式、=/+2。二+。-3,解释甲同学的说法是否合理？

(3)你认为乙同学的猜想是否正确？若正确，请求出此最大值；若不正确，说明理由.

【答案】(1)®y=x2-8x-7：②当x=4时，歹有最小值为一23(2)见解析(3)正碓，一口

4

【解析】【分析】本题考查二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质，是解题的关键:

(1)①把。=-4代入解析式，写出函数解析式即可；②将一般式转化为顶点式，进行求解即可；

(2)将一般式转化为顶点式，根据二次函数的性质进行解释即可；

(3)将一般式转化为顶点式，表示出V的最大值，再利用二次函数求最值即可.

【详解】解：(1)①把。=7代入y=X?+241+。一3,得：

J；=X2+2(-4)X+(-4)-3=X2-8X-7；

/.=x2-8x-7：

@VJ；=X2-8X-7=(X-4)；-23,

.••当x=4时，V有最小值为一23；

22

(2)*/y=x+2or+。-3=(X+Q)2-A+^-3,

•・•抛物线的开口向上，

.••当工二一。时，V有最小值;

・••甲的说法合理;

(3)正确；

*.*y=x2+2QX+Q-3=(x+a)2-a2+«-3»

.•.当X=-4时，N有最小值为一/+4_3，

，当。二工时，Xnin有最大值，为一U.

24

3.（2024江苏连云港）【问题情境】

（1）如图1,圆与大正方形的各边都相切，小正方形是圆的内接正方形，那么大正方形面积是小正

方形面积的几倍？小昕将小正方形绕圆心旋转45。（如图2）,这时候就容易发现大正方形面积是小

1F方形面积的__________倍.由此可见,图形变化是解决问题的有效策略：

图1图2

【操作实践】

（2）如图3,图①是一个对角线互相垂直的四边形，四边八〃、°、1之间存在某种数量关系.小听

按所示步骤进行操作，并将最终图形抽象成图4.请你结合整个变化过程，直接写出图4中以矩形内

一点P为端点的四条线段之间的数量关系；

（3）如图5,在图3中“④”的基础上，小昕将△尸QC绕点尸逆时针旋转，他发现旋转过程中ND4P

存在最大值.若PE=8,PF=5,当/D4尸最大时，求力。的长；

图5

（4）如图