高考数学考点复习：导数与不等式（练）【解析版】

第一篇热点、难点突破篇

专题05导数与不等式(练)

【对点演练】

一、单选题

I.(2022•宁夏六盘山高级中学高三期中(文))已知。=学，b=-t。=苧，则a,b,c的大小关系为

7e5

()

A.c<b<aB.c<a<b

C.a<c<bD.a<b<c

【答案】C

【分圻】由题意，构造函数，利用导数研究其单调性，可得答案.

【详解】由6=1=皿，令，=处，则"=上触，令了=0,则％=6,

eexx

当xe(0,e)时，/>0；当xw(e,+8)时，/<0,

故)，=叱在(03)上单调递增，在(e,+8)上单调递减,

X

nilInehi5In7

由7>5>e,则「行T即力>e>a,

故选：C.

2.(2022海南•高三阶段练习)设"立,b」c=10sin0.01,则()

209

A.b<a<cB.c<b<aC.c<a<bD.b<c<a

【答案】B

【分析】用作差法可得a>6,令/(x)=Asinx,xd0,5)可得x>sinx,xe(0,]｝进而可推出b>c,从而得

解

【详解】因为〃——1=9'-20,

20918C

又。括了-202=405-400=5>0,所以96-20〉0,

所以二型>0,所以"入

180

令/(x)=x—sinx,xe(0,q,则=l-cosx>0恒成立，

所以/(x)=.・sinx在(0目递增，所以/(%)>/(0)=。，

所以x>sinx,xe0,—

\2,

又—ef0,7t

100I

所以击”皿击'所以310sin+,

又

910

所以：>10sin卷=10sin0.01,即力〉c；

所以c<b<a,

故选：B

3.(2007•江西•高考真题(理))若。<x<5,则下列命题中正确的是()

3「.3.42.4

A.sinx<—xB.sinx>—xC.s\nx<-xD.sinx>-x^2

兀717rir

【答案】D

【分析】设/(x)=sinx」x,取x=?可判断AB选项；构造函数g(x)=sinx-2x,其中o<x</利用导数

7T6兀Z

分析函数g(x)的单调性，推导出sin.r>Wx,再结合不等式的性质可判断CD选项.

71

【详解】对于AB选项，设/(x)=sinx「x,,因为外=：-!=0,故AB均错；

7C16，2人

对「CD选项，设g(x)=sinx-其中0<x<3，则短(外=cosx-2,

九27C

因为g'(0)=l-j>0，故存在不€(0身，使得g'(.%)=0,

且当0cx时'g'(x)>0,此时函数g(x)单调递增，

当时，g'(x)<0,此时函数g")单调递减，

因为g(0)=g[])=0,所以，对任意的xefog),g(x)>0,

当xe0,1]时，0<2工<1,所以，sinx>-x>—x,C错D对.

\2；7tnynJ

故选：D.

4.(2022•山东聊城•高三期中)已知a=l.lLZ>=e°",c=l+l.llnl.l,下列说法正确的是().

A.a>b>cB.b>c>aC.b>a>cD.a>c>b

【答案】C

【分析】令/(x)=ei-x,x>l,利用导数研究单调性可比较八"，g(x)=l+lnx-x,x>l,利用导数研究单调

性可比较即可求解

【详解】设/(x)=ei-x,x>l,则/'(工)=尸-1>0在(l,+oo)上恒成立，

所以/”)在(1,+8)单调递增，

所以/⑴=0・

所以/(力在(1，+℃)单调递增，

所以BPeo,-l.l>e°-l=O,

所以

又)，=』」在(0,+8)单调递增，

所以卜。」厂>(1.1-，即e°">Llu,

所以A>。：

设g(x)=l+lnx-,则g'(x)=:-l<0在(1,+8)上恒成立，

所以g'(x)在(1,+8)单调递减，

所以g'(x)<g'⑴=0,

所以g(x)在(1，m)单调递减，

所以g(l1")<g(l)=。，即l+

所以1+lnl.f」<1/」,即1+LllnLlvLl"

所以。>。；

综上所述：b>a>c,

故选：C

5.(2022・河南•驻马店市第二高级中学高三阶段练习(理))已知函数〃(X)=(〃L1『-2e(〃-l)i+e%若对任

意的加eR,当x>0时，〃(x)20恒成立，则。的最小值是()

A.-B.0C.1D.2

c

【答案】D

【分析】，(x)NO,可看作关于〃L1的二次函数大于等于。恒成立,则判别式小于•等于0恒成即+

X

在x>0时恒成立，记/(x)J+2h丝,利用导数求出/(x)最大值即可.

X

【详解】“(X)之0,即(m一1)2-2。(加一1)》+产20,

算式可看作关于〃[-1的二次函数大于等于()恒成立，

则判别式A=(-2av)2一4e“x40恒成井.即a>平!丝在x>0时恒成立.

2+21nx],-21nx

记/。)=-------，则/(》)=­L，

Xx~

ffM>0,解得Ovxvl,f\x)<0,解得X>1,

/(X)在(0,1)上单调递增，在(1,+8)上单调递减，/(用2=/(|)=2,

/.t?>2,则4的最小值是2,

故选：D

6.(2022・湖北•荆门市龙泉中学高三阶段练习)若不等式e'+“之Inx-。恒成立，则实数〃的取值范围是()

A.[。,+8)B.

C.--,+coJD.[-e,+oo)

【答案】B

【分析】根据/(x)=e'+x在R上递增，利用同构法求解即可.

【详解】解：构造/(x)=e，+x,

则/(x)在R上显然递增，

由e"021nx-a得

e'+<,+a+x>lnx+x,

即e'M+a+xNeMx+lnx,

:.x+a>Inx,

>Inx-x,

4-g(x)=lnx-x(x>0),

11_

贝Ijgl'x)J—1=」r，

XX

由g[x)>0得0<x<1,g(x)递增,

由g'(x)<0得x>l,g(x)递减,

•.gOOmJg⑴=T，

a2—1

二、多选题

7.（2022・湖南咛乡一中高三期中）设函数/'（X）是函数/（X）的导函数，且满足/'（力-《詈=lnx,

（|1

/一=一，则（）

⑹e

A.〃x）有极大值B.4/（2）<3/（4）C./⑴"（e）D.

e

【答案】BD

【分析】利用构造函数法，由卜:求得结合导数确定正确答案.

【详解】依题意可知x>0,

广⑴一"Lln”'（x）?㈤二皿,

XXX

'组］=止设&）=，5力2+/>"为常数，X>0）

I一xx2

所以+队1+2力1,1

/(x)=gx(lnxy(x>0)------=-»b=—

2ee2

所以,(xhTMlnxy+gx,

/(x)=；(lnx)~+gx・(21nx),+J=；(lnx)~+lnx+J

=—(lnx+1)2>0,

所以f(x)在(0，+8)上递增,没有极大值,A错误.

/(1)=1r(e)=2./(l)<r(e)，C诜项错误.

D选项正确.

2e

/(2)=(ln2)2+l,/(4)=2(ln4)2+2=8(ln2)2+2,

4/(2)=4(ln2『+4,3/(4)=24(ln2『+6=4(ln2『+4+20(ln2『+2>4/(2),B选项正确.

故选：BD

8.(2022•浙江・绍兴一中高三期中)定义在(0,+8)上的函数/(x)的导函数为/'(%),且/(x)-(V+x)/”(x)>0

恒成立，则()

A.”⑴<3/(2)B.9/⑵>8/(3)

C.3/(1)>2/(3)D.16/(3)>15/(4)

【答案】BCD

【分析】因为可得/(力一矿(x)—<T(x)〉0o于(x)—/(工)+//，3<0

o才(?；入切+/，(“<0。［平］+/，")<()。［乌+〃工)<o=0+£|/(力<0,故设

g(x)=(l+£)/(H，然后求导，判断单调性，分别求解每一个选项即可.

【详解】令g(x)=(l+£|/(x)

所以4)=二小)+仁%丁隈)

X\^7X

因为/(X)-(x2+x)/(x)>0,xe(0,+co)

zxf(x)-(x2+x)fix)

所以g^x)=-'2)\'<0

X

故g(x)在(0，+8)单调递减

所以g⑴〉g⑵，得2/(l)>y(2),即"⑴>3/⑵，故A错误；

g(2)>g(3),得T〃2)>g/(3),即9/⑵>8/⑶，故B正确；

g⑴ag(3),得2〃1)>“(3),gp3/(1)>2/(3),故C正确；

g(3)>g(4)得*/•"A；，")，即16〃3)>15/(4),故D正确.

故选：BCD

三、填空题

9.(2022•河南•汝阳县一高高三阶段练习(理))若关于x的不等式e“；21nx-丁+公之。在@+8)上恒成立,

则实数a的取值范围是.

【答案】2，内)

【分析】不等式转化为e"+atNe3+ln/,构造函数/(x)=e，+x,判断函数单调递增得到In.d,转化为

型，构造函数g(x)=也，根据函数的单调区间计算最大值即得到答案.

XX

【详解】ettr-21nx-x2+av^0,"+orNIn/+/=e、*?+lnf,

设/(x)=e'+x,/'(x)=e、l>0恒成立，故/(x)单调递增.

原不等式转化为/(ax)N/(lnY),即公之心/,UPa>—,

X

设g(x)=劲X，g(r)=2.上学，

JVX

当x«O,e)时，g\x)>0,函数单调递增；

当x«e,«o)时，g'(x)<0,函数单调递减;

故蛔2=乖)=：，故

故答案为：［：”).

1().(2022・四川资阳•一模(理))若Y-Zacd/inx,则。的取值范围是.

<2

【答案】一炉，5

【分析】令/(x)=x2-2ox-4/lnx,求导得到导函数，讨论。=0,。>0,。<。一：种情况，分别确定函数的单

调区间，计算函数的最小值，通过最小值大于0得到不等式，解得答案.

【详解】令/(%)=/—2ax-4/lnx,依题意/(x)>0对Vx>0恒成立，

-c4a22(x-2a}(x+a)八、

/'(x)=lx-2a----=-------------(zX>0),

XX

若a=0,则〃x)=x2>0对Vx>0恒成立，符合题意；

若。>0,则当0<xv2〃时，/Xx)<0,/(x)为减函数，

当x>2。时，/'«>0,为增函数，

所以［/(x)］mm=/(24)=-4/ln(2a)>0,所以八，解得

\n(2a)<U2

若”0,则当O<X<F时，八外<0,/(X)为减函数;

2

当》＞一“时，八幻＞0,/(x)为增函数，[/(X)]min=f(-a)=a[3-4ln(-a)]＞0.

所以3-41n(-a)>0,所以所以。〈一〃一工所以

士1

综上所述：〃的取值范围为-e，,]

(11

故答案为：

【点睛】本题考查了利用导数求参数的取值范围，意在考查学生的计算能力，转化能力和综合应用能力，其中

构造函数将题目转化为函数的最小值是解题的关键，忽略。=0的情况是容易犯的错误.

【冲刺提升】

一、单选题

1.(2022•四川•川大附中高三期中(理))不等式二之的+1对任意工€。，+8)恒成立，则实数〃的取值范围

X-X

为()

A.<-cc,l-e]B.(-a),-4]C.(-e,l-e]D.(一汽一2]

【答案】B

【分圻】由导数构造不等式后求解，

【详解】设洋x)=e、-x-l,ra)=e-T,

当x<0时fM<0,当x>0时f\x)>0,

故人工)在(y,0)单调递减，在(0,内)单调递增，

/(x)>/(0)=0,得不等式e'Nx+1,当且仅当X=O时等号成立，

/ide，alnx-4x-i-4.nx_

xe(l,+8)时，—>----+1口“匕为---------x-,

xxInx

«-i-iiii.t—„Y—1—41nt+1—x

而^-------->=-4,当且仅当x-l-41nx=0时等号成立，

\nxInx

设g(T)=x_]_41nx,g(e2)=e2-9<0,g(eA)=e?-13>0,

故q(x)=0在xwdl)上有解，故a的取侑范围是(-8,-4]

故选：B

2.(2022•陕西•宝鸡中学高三阶段练习(理))已知。>01>0,。+6=2,则下列结论中不正确的()

A.6+力的最大值是gB.2“+22的最小值是4四

4

C.a+sin/)<2D.6+lna>l

【答案】D

【分析】根据条件可得/)=-。+2,结合二次函数的值域即可判断A；根据基本不等式即可判断B：根据

/(x)=sinx-x.xe(0,2)单调递减艮|.可判断C；

根据，(x)=x-lnx,xw(O,2)的最小值为/⑴=1,即可判断D.

g9

【详解】对于A,因为。>0/>0a+b=2,则JJ+6=-a+C+2=-故A正确;

44

,_____3I

对于B,因为2。+=2"+2"。N247.2…=4近,当且仅当2"=2”"，即。力二,时等号成立，故B正确;

对「C,令/'(x)=sinx-x.xe(0,2),则/'(x)=cosx-l<0,

所以函数/(x)在xe(O,2)单调递减，即/(x)</(0)=0

即sinbvb,所以a+sinb<2,故C正确；

对于D,设/'(x)=x-lnx,xe(0,2),则/(工)=1__!_,

当xe(O,l)时,/'(x)<0,则函数/(x)递减；

当x«l,2)时，J\x)>0,则函数f(x)递增；

则当工=1时，函数/(x)有极小值，即最小值/"僵=1

所以/(x)〉/(l)=l，即〃。)>1

BPa-Ina>1=>2-A-Ina>1,所以6+Ina<1,所以D错误.

故选:D.

z\

x

3.(2022•江苏南通・高三期中)若；+1y=e\n^-t其中x>0,y>2,贝ij()

A.e>yB.Q->yC.4e?<yD.2e>y

【答案】D

1+ln二

(x+l)+l令/(x)=(x>0),

【分析】由题意得ex25nx

y_

2

则上式可转化为e-/,利用导数研究单调性，寻利用单调性即可求解

【详解】由［5+iJy=e、lny»得V；+1y=e、.1+畔,

乙k-2

(x+l)+l1+呜

所以exf—=—^，

令/(x)=l112A(x>o),

X

则上式可转化为e/(e-)=/仁)，

又/'M=-号(x>0)，

A

令/1弓>0,解得O<X<1,

令ra)<o,解得x>i,

所以，(X)在(0,1)上单调递增，在(1,+8)上单调递减，

又/(6=受<手=€・/(尸)，

所以小)</(£],

乂x>0)>2,

所以八g>1,

所以e、>5,即2e'>y,

故选：D

二、多选题

4.(2023•山东潍坊•高三期中)定义在R上的函数/*)的导函数为/(x),对于任意实数%,都有

f(-x)=e27(x),且满足2/(x)+/'(♦)=2x+l-e"，则()

A.函数/(x)=eV(x)为偶函数

B./(0)=0

C.不等式e'/(x)+3<e的解集为。,+8)

e

D.若方程这一(X一〃)2=0有两个根玉外，则$+工2>2。

X

【答案】ABD

【分析】由已知条件结合选项内容，分析函数性质，对选项逐一判断.

【详解】F(x)=e\f(x),函数定义域为R,

由f(-x)=e2V(x),有e-V(-x)=eV(x),

即2-x)=&x),函数尸(x)为偶函数，故选项A正确；

由2f(x)+fXx)=2x+\-c2x,得2e2V(x)+c2xfM=(2x+l)e2^-l,

gP[e：VU)]，=(2x+l)e2jt-l，・•・"(r)[=(2x+l)针—1.

有-f(-x)=(2.r+l)e2x-l.得一/'(/=(1-2x)e-2*-1.

.・.2/(x)=2x+\-e-2x-/(x)=2x(l-e-2x),

得/(x)=x(l-e-2、)，/(O)=0,故选项B正确；

当xw(l,+oo)时，函数g(x)=xe、单调递增，且以D=e,有口刈>41),即e、/(x)+^>c，不合题意，故C选

e’

项错误；

方程3—(工一4)2=0,即e-2、=l—(x—4)2,

X

方程有两个根，等价「函数y=C%与函数》=1—(%一。)2的图像有两个交点，其中函数、二0为单调递减，函数

y=l-(x-a)2的图像是开II向下的抛物线，对称轴方程为x="，时函数单调递减，

若方程“。—。-。了二。有两个根入,占，则有玉<。<X2，

X

2

此时e->C%,即]_&一〃)2>l-(x2-a),

若毛<。<&且为+七=2”,则有=1_伍一4丫,

22

l-(x3-a)>l-(x2-«),.\x3<x2,得玉+工2>24,故选项D正确.

故选：ABD

【点暗】1.导函数中常用的两种常用的转化方法；一是利用导数研究含多函数的单调性，常化为不等式恒成”

问题.注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值

问题处理.

2.利月导数解决含参函数的单调性问题时，一般将其转化为不等式恒成立问题，解题过程中要注意分类讨论和

数形结合思想的应用.

3.•证明不等式，构造一个适当的函数，利用它的单调性进行解题，是一-种常用技巧.许多问题，如果运用这种思

想去解决，往往能获得简洁明快的思路，有着非凡的功效.

5.(2022•吉林•东北师大附中模拟预测)已知函数〃x)=x"nx,若=〈芭<与，则下列结论正询的是()

e

A.^2/(Ji)<XJ2/(X2)B.X+"J，<5+-)

X\X2

C.“*)—小)<。D,当时，也让出J>2

X1一/Cx2Xj

【答案】ABD

【分析】对于A,构造函数g(x)=§,利用导数判断得g(x)的单调性即可；

对于B,构造函数Mx)=x+丝！，利用导数判断得力(工)的单调性即可；

X

对于C,对/(X)求导，利用导数与函数的单调性即可判断其正误：

对「D,构造函数p(x)=/3,利用导数判断得。(x)的单调性，再结合题设条件变形后的结果，即可证得结

A

论.

【详解】对于A,令g(x)=&L±l?=lnx,则由对数函数的性质易知g(x)在(0,+。)上单调递增，

XX

因为1<西<%2，所以8(演)<8(》2)，即2学所以X；f(xJ<x"(X2),故A正确：

eX]X)

对于B,令A(x)=x+/(立=x+xh)x,则〃(x)=lnx+2,

X

令〃'(X)>0,得X*,故“彳)在I/,+8)上单调递增，

因为1<石<%2，所以〃(8)<力(工2)，即7+/(JV£+♦(~),故B正确；

eX]x2

对于C,因为/(x)=x」nx,所以J"(x)=x(21nx+1),

令/?x)>0,得%>白，+，+8)上单调递增,

所以当《〈-^"〈与时，/«)</(X2)，则"“)二"生)>0.故C错误;

eVeXj-x2

对于D,令e(x)=/(")=xlnx,则e'(x)=lnx+l,

令内x)>0,得x>L故e(x)在J,+8)上单调递增，

ele)

因为Lxi巧，所以e(xjv0(xj,故(玉7。[夕(xj-,即

内。(再)+X2(p(x2)-x2(p(xl)-xi(p(x2)>0,即x«a)+X2(p(x2)>x2^(xl)+xt(p(x2),

由选项A知，故'2'",—-"»即七夕(再)V%e(%2)»

X]x2

所以$*(为)+》29(々)>2/9(K)，即/目)+/(.)>2占^^,故/(X)+/(“」>2/(%),故D正确.

王勺王

故选：ABD.

三、境空题

6.(2022•河南•高三阶段练习(理))已知〃=e03Tb=lnl.2,c=tan0.3,其中e=2.71828L为自然对数的底数,

则a,b,c由大到小依次为.

【答案】a,c,b

【分析】构造函数/(x)=e，一1一tanx,h(x)=\n(x+\)-x,〃?(x)=x-lanx,由单调性得出力<c<〃.

【详解】令_/(x)=c'_[_tanx=------------------,0<x<-,

cosx4

令g(x)=cosxex-cosx-sinx,g'(x)=(-sinx+cosx)e*+sinx-cosx=(e'-I)-(cosx-sinx),

当0<x<£时，g\x)>0,g(x)单调递增，又g(0)=l—1=0,所以g(x)>0

4

T1-V

Xcosx>0,所以/W>0,在(0,丁)成立，所以令Mx)=ln(x+1)T,h\x)=---1=-贻)在

4x+1x+1

xw(0()为减函数，所以人(幻。(0)=0

g|Jln(x+l)<x,令〃?(x)=x-tanx,m\x)=1----,加(x)在xc(0,£)为减函数

cosx2

所以Mx)<〃?(0)=0,即xvtanx,所以ln(x+l)<x<tanx,xe(0,')成立

令x=0.3,则上式变为ln(0.2+l)<In(0.3+l)<0.3<tan0.3所以6<0.3<c.

所以b〈c,所以8vc〈a.

故答案为：。，c，6

【点睛】关键点睛：在比较大小时，有时可以构造函数，利用导数得出其单调性，进而得出大小关系.

7.(2023•江西•贵溪市实验中学高三阶段练习(理))设函数/(x)在R上存在导函数/'(X),对任意的实数x都

有/(》)=/(—x)-3x,当l>0时，若/(6a-4)+21”6.J(—8a),则实数。的取值范围是

【答案】-2,1

3

【分析】构造函数8。)=/口)+5工，整理出其奇偶性和单调性，得到不等式|6。-4闫-8”|,解出即可;

【详解】Q/(X)=/(-x)-3X,•・J(x)+3x=f(-x)

•••/(x)+2/(T)一"

乙乙

33、3、3

^g(x)=fM+-x,g(-x)=f(-x)--x=f(x)+3x--x=/(x)+-x=^(x)

且其定义域为R，・•・g(x)为偶函数，

Q当x>0时，/(x)>-|,.-.g(x)=/(x)+->0,

所以函数g(x)在(0,+8)上单调递增，

/(6a-4)+21“-62/(-8a),即/(6a-4)+9a-6>/(-8a)-12a

即/(6a-4)+-(6a-4)>/(-8a)+-(-8«)

即g(6"4)2g(-8。)，Qg(x)为偶函数，，g(|6a-4|)..g(|-8a|),

Q函数g(x)在(0，+e)上单调递增，q6a-4|W-8a|,两边同平方得

2

36a2+16-48a264/,7a2+12a-4<0,

'2'

故答案为：-2,-.

3

【点睛】关键点睛：本题的关键点在于构造出函数ga)=/a)+ax,然后结合奇偶函数的证明，以及导数与函

数单调性之间的关系，从而得到其为偶函数，且在(0,+8)上单调递增，那么对于函数/(x)=/(-x)+G,定义

域为R,我们可以得到/口)-卧=/(-%)+“，从而构造函数g(x)=/(x)=x,使其为偶函数.

四、解答题

8.(2022•湖北襄阳•高三期中)已知困数/(x)=4ae'+(2-4ae)x-2lnx(q>0).

(1)求/(x)的单调区间；

(2)证明：/(A)...(2-4ae)x+Ina+3.

【答案】(1)增区间为(L+8),减区间为(0,1)

(2)证明见解析

【分析】(1)对函数求导，利用函数导数的性质求解出/(X)的单调区间；

(2)结合分析法证明，构造新函数，对函数求导，然后分类讨论，从而就可以证明不等式了.

【详解】(1)因为/(x)=4ae'+(2-4ae)x-2lnx,且a>0

2

所以f'(x)=4acx——+2-4ac.

x

2

令函数g(x)=4ae'--+2-4ae,

x

2

则g'(x)=4aet+=>0,

x

所以g(x)即/'(x)在(0,+oo)上单调递增.

又/'")=0,所以当xe(OJ)时，八x)<。；

当xe(l,+oo)时，

故八。的单调递增区间为(1,+8)，单调递减区间为(0』).

(2)证明：要证/(x)之(2-4ae)x+lna+3,即证4ae“-21nx-lna-3...0.

令函数力(q)=4e、a-lna-21nx-3,a>0,

则〃⑷=4e*」，

a

当QW(0,工)时，"⑷<0,力(。)单调递减；

4e

当。€(」,内)时，h\a)>Q,力(G单调递增.

4e

故〃("Ln=A(±)=x-21nx+21n2-2.

4e

2r-2

令函数。(x)=x-21nx+21n2-2,工>0,则w，(x)=l--=----.

XX

当xw(0,2)时，e'(x)<0,以口单调递减；

当xe(2,+oo)时,夕'")>0,以乃单调递增.

故。(X)min=。⑵=。

故x-2Inx+21n2-2...0,

则4。3V-21nx-In。-3...0,

即/(-V)...(2-4〃e)x+In〃+3.

【点睛】本题作为压轴题出现常常有以下几种考法：

①函数(不含参)单调区间(或判断单调性)

②函数(含参)单调区间(或判断单调性)

③求函数的极值，最值

④求函数的切线方程

⑤证明不等式

解决问题的关键：对函数求导；分类讨论；构造新函数

9.（2022•四川南充•高三期中（理））已知函数/（力=24卜-1）。'-犬（其中aeR,e=2.71828L是自然对数的

底数）.

（1）讨论/（》）的单调性；

⑵设g（x）=/（x+l），对任意不等式g（x）-lnx+f+x>0恒成立，求〃的取值范围.

【答案】（1）答案见解析

*"I

【分析】（1）对/（⑼求导，利用导数与函数的单调性的关系，分类讨论0<«<1,。=1与。>1四种情况,

从而得到〃x）的单调情况；

（2）根据题意，将问题转化为2四>出炉恒成".问题，构造函数〃（彳）=王也尹，利用导数求得

xexe

“x）皿=M/），其中Xo+lnx0=（），再利用同构造可得〃（x）a=l,由此可得。的取值范围•

【详解】（1）因为〃x）=24x—1）/—/,所以/（幻=2%（那一1],

当。40时,c/e'-l<0恒成立，

令r（x）<0,得x>0；令/心）>0,得x<0；

故在（-8,0）单调递增，在（0,+8）单调递减：

当a>0时，令/'（x）=0,得x=0或X=ln」=_ln4,

a

当0<a<l时，—Ina>0,

令得0<x<-ln〃；令/,x）>。，得x<（）或x>-ln”；

所以/（X）在（一叫。）和（jna,+co）上单调递增，（0,-Ina）上单调递撼；

当a=l时，/'a）=2x（e、-l）,

当x>0时，e'>1,则当xvO时，e、<l,财，”）>。；当x=0时，/'（x）=0；

故f［x}N0恒成立,所以/(x)在R上单调递增;

当”>1时，-In«<0,

令/。)<0，得-InavxvO；令>0,得x<-lnq或x>0；

所以/(x)在(-8,Tno)和(0,+a)上单调递增，在(-卜皿0)单调递减；

幺宗卜：当时./(x)在(-8,0)单调递增.在(0,+8)单调递减：

当0<〃<1时，所以〃x)在(-8,0)和(-lna,+8)上单调递增，(0,-Ino)上单调递撼；

当〃=1时，/(%)在R上单调递增；

当”>1时，/(%)在(-8,-hw)和(0,+8)上单调递增，在(-hw,0)上单调递减；

(2)因为g(x)=f(x+l)=2axer，］-(x+1)2,

而对任意xe(0,*o),不等式g(x)-lnx+—+x>0恒成；/：,将g(x)代入整理可得2qe>匕坐±2恒成立,

-VC

.,、x+Inx+1z八、,,,,,(x+l)(-x-lnx)

令A(zx)=----；—(x>0,贝ij/(X)=~——L,

xtx2e

/1\1

令P(x)=-x-lnx,易知p(x)=-x-lnx在(0,+力)上单调递减，而p-=一一+1>0,/?(1)=-1<0,

⑹e

所以P(x)存在唯一与£(，,1,使得，(Xo)=-(x(,+lnxo)=(),即%+lnXo=O,

故在l：O"o)-L，〃(x)>0,则"(x)>0；在(x0,+oo)J_,p(x)<0,则〃(x)<0,

所以Mx)在(0,x。)上单调递增，在(%,内)上单调递减，

故〃(x)»x=〃(%)=%罢/I="联+1=1，则2熊>Mx%'=1

所以即aw(5,+8).

【点睛】方法点睛：导函数中常用的两种转化方法：

一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题.注意分类讨论与数形结合思想的应用；

二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理.

10.(2022•天津市南开中学滨海生态城学校高三阶段练习)已知函数/(*=xlnx.

⑴求尸/(4)的极值；

(2)若2/(x)—左(/一］)«0在上内)上恒成立，求卜的取值范围;

⑶证明：皿向)耳"扁(〃cN)

【答案】(1)极小值T，无极大值：

(2)A:>1；

(3)证明见解析.

【分析】(1)求出函数的导数，解不等式可得函数的单调性，据此可求函数极值；

(2)原不等式可转化为21nx-ka」)W0,设«r)=21nxd(x」)，求导后分类讨论，分析函数的单调性,

xx

即可求出女的取值范围：

(3)由(2)可知左=1时，2日门-，一1)工()在[1,+00)上恒成立，化为lnx4；(x-g),

取x=5可得:(』+一1)>1n四，由同向不等式累加后即可得证.

n2/7n+ln

【详解】(1)Q/(x)=xlnx,x>0,r(x)=lnx+x」=l+lnx,

x

令八x)=0,解得x=L

e

当0<x<1时，f\x)<0,当x>!时，f\x)>0,

ee

所以函数/(X)在(0,1)上递减，在d，+8)上递增，

ee

所以当x=:时，函数有极小值/di=,ln'=-,，无极大值.

eeeee

(2)Qxe[l,+oo),

原不等式可化为21nx-%(x-L)40，

x

设/?(x)=21nx-k(x-L)，

x

如)二2一女(1+与=(]+4)]'■1

XX'X\x~+\)

因为上74空^=1,当且仅当X=1时等号成立，

X+1x-+1

①当上21时，A(x)<0,所以人(x)在[1,+»)上单调递减，

故秋的(1)=0,满足题意;

2-

②当0<女<1时，令〃(X)=0,可得,1一，设方程的解为/W(l,+8),

X4--

X

2

因为y=X+'在。,*0)上单调递增，所以V=―T在(1,+8)上单调递减,

XX+-

X

则当xe(l,.%)时，h\x)>0,当X£(/,+oo)时,h'(x)<0,

所以函数力(x)在xw(1,%)上增，在xw(与,+8)上递减，

又〃。)=0,所以xe(L%)时，〃。)〉0,不满足题意;

当攵40时，h\x)>0,故力。)在［L+OO)上单调递增，所以6(x)2M1)=0,不符合题意;

综上，上的取值范围为％21.

(3)由(2)知,当〃=1时，2工加-，-1)«0在［L+oo)上恒成立,

即Inx43(x—f在[1,+oo)卜.恒成立，当x=1等号成立,

.〃+1,­1/?+l〃、,〃+1

令X———>1,可得，-(z----------)>ln——,

n2〃〃+1n

即兴+〃+11、[〃+1

)>In---

n

由同向不等式相加可得,

1,II34]n+\.....

-[(1+-+-+L+-)+(-+-+L+)]>ln(2x—x—xLx---)=.n(〃+l)

223n23n+\23n

.•.-[2(l+-+-+.s+-)+—--l]>ln(//+l)

223nn+\

.•.(1+-+-+L+-)——-->ln(n+l),

23n2(/?+1)

即ln(〃+l)<£»^^(〃eN)

jt-iK十

【点睛】关键点点睛：原不等式转化后，构造函数3--他-卜求导后分类讨论是解题的关键点；在

不等式的证明中，合理利用(2),恰当对左赋值，同向不等式的累加，都是证明的关键.

11.(2022・浙江•绍兴一中高三期中)设函数/(力=讹2，-2e'+2.

(1)设/W有两个不同的零点，求实数。的取值范围;

⑵若函数83=:获2，+(〃-2卜'-2/有两个极值点"1,X?,证明：g())-g(K)>2」

2x2~x}a

【答案】⑴(0，；

⑵证明见解析

【分析】（1）利用换元法，将问题转化为一元二次方程必存在两个正根的问题，建立不等式组，可得答案：

（2）根据极值点的必要条件，求导，可得极值点为方程，可得解，并写出韦达定理，化简不等式，代入韦达定

理，整理构造函数，利用导数，可得答案.

【详解】（1）令/=廿，则/"）有两个不同的零点，等价于方程“2_2£+2=0有两个不同的正根.

A=(-2)2-4X2^>0

所以2.W0<(7<-,

—>02

所以使得/（X）有两个不同的零点的实数〃的取值范围是

（2）g'（x）=ae"+（a-2）e'+2e-x=e-*（e*+l）（«e2x-2er+2）

因为r>0,e'+1>0,且g（x）有两个极值点％,x2,所以不，&是方程。/'-2炉+2=0的两个根.

122

结合（1）可知Ova〈二，旦9+b=一，e"e与--,不妨设々>玉，

2aa

则包止/w

x2-x}x2-X]

士.刿人叫（小+小）+（”2代一炉）-2。^1

(―)飙e"+e』)+(a—2)+*

—________________________________

Xz一再

(ex：-ev')^a--+(a-2)+a

(2a-l)-

X2f再一王

要证明g（x>g⑺〉2」,只需证三巴（2。7）>2,

x2-x}ax2-x{a

因为Ovav；,所以2a-l