新高考数学解答题核心考点预测：解析几何通解研究（解析版）

第12讲解析几何通解研究

高考预测一：向量搭桥进行翻译

类型一：以夹角为锐角、直角、钝角为背景的向量翻译

1.已知产为抛物线C：y2=2px(p>0)的焦点，过点尸的直线交抛物线于A,4两点，O为坐标原点.

(I)当抛物线C过点用(1,-2)时，求抛物线C的方程；

(]【)证明：0403是定值.

【解析】解：(I)因为抛物线。：丁=2*(〃>0)过点软1,-2),

所以4=2〃，〃=2，

所以抛物线C的方程)*=4x；

F(R.O),设直线/的方程为y=7x->),则〃="。一争…⑴

(II)讦明：当直线/有斜率时,

22卜=2后…⑵

将(1)代入(2)得，(点一g)2=2〃.j化简得去2一(/+2m?=o,

设A,Z?的坐标分别为(外，片)，(x>，%)，则中,=乙,

~~*4

22

因为点A,8都在抛物线X=2冲上，所以y；=2pX],y2=2px2,

所以乂2)/=2/%再,所以=p4,

因为点A,8分布在工轴的两侧，所以)[%<()，所以,力二-〃。

•―-3

2

所以OA=(X],y),OB=(x2,y2),所以CM・QB=XM+y%=-;〃，是定值.

当直线/无斜率时.，F(-^,0),设A,3的坐标分别为(内，(x2,y2),则％=七=^，代入抛物线方

程y2=2px得,y/=p2,q=p2,

所以凹2y2?=p4，因为点4，8分布在x轴的两侧，所以，为〈。，所以,乃二-，:

3

2

所以OA=(x,,)[),OB=(x2,%),所以OA*OB=内9+y[y2=--/?»是定值.

综上，0A»0B=———，是定值.

4

2.已知椭圆C:/+2/=36.

(1)求椭圆c的短轴K和离心率;

1

⑵过点(2,0)的直线/与椭圆C相交于两点M,N,设MN的中点为7,点尸(4,0),判断17Pl与|7M|的

大小，并证明你的结论.

22

【解析】解：(1)由题，椭圆C:/+2)，2=36可变形为C:二+工=1.・“=6,〃=3夜，c=3夜

3618

故短轴长为6虚，e=旦

2

(2)当/为x=2时，代入C:/+2y2=36可得)，=+4,

此时7(2,0),.J7;V/|=4,|TP|=2,：\TM\>\TP\,

当/为斜率左存在时,设/:)，=依K-2)

代入至ijC:x2+2y2=36,得寸+2女2(.”2y=36,

:.(2k2+l)x2-Sk2x+8犬-36=0,

令历(、，y),N(X2,y2)

8k2-36

则不+毛=——

1'2k2+\

此时PM=(%-4,y),PN=(&-4,%)，

1.PM-PN=(x}-4)(x,-4)+yty2=(A--4)(x2-4)+k?(%—2)(x,-2)

=(k2+1)苔％2—(4+2女*)(X[+占)+16+4攵?

(女2—36)(/+])转+3收

23+1

⑵：2一9)(如+1)软2(2+犬)(犬+4)(2公+1)

+]x4

2k2+12抬+12—+1

-6^-5

x4<0.

2公+1

.•.NM/W>90。，点尸在以MN为直径的圆内部.

所以17Ml>|TP|,

综上所述，|7N|>|7P|.

3.如图，椭圆£+工=13>〃>0)的一个焦点是F(l,0),O为坐标原点.

crh~

(I)已知椭圆短轴的两个三等分点与一个焦点构成正三角形，求椭圆的方程;

(II)设过点尸的直线/交椭圆于A、8两点.若直线/绕点/任意转动，值有|。4『+|。812vA

求口的取值范围.

2

【解析】解：（I）设M,N为短轴的两个三等分点，

因为AWN厂为正三角形，所以|。口=正|必7|,

2

即1=3•竺，解得〃=6."“2+1=4,因此，椭圆方程为上+工=1.

2343

（H）设4（耳，y）,B[X2,y2）.

（i）当直线/W与x轴重合时，

\OAf+\OBf=2a2,\ABf=4a2(a2>1),

因此，恒有|。4「+|。8『＜|48|2.

（ii）当直线AB不与x轴重合时,

设直线AA的方程为:x=my+1代入，A1，

整理得(a2+b2m2)y2+2lrmy+h2-a2b2=0,

2b2b2-a2b2

所以y+%=-

a2+b2nr，凹％=a2+b2m2

因为恒有I。412+10例2＜|AfiI2,所以NAQB恒为钝角.

即。人・。^=（芭，），1）・（々，），2）=工1工2+,）’2＜。恒成立•

百再+凹)'2=(呼+1)(〃少2+1)+X%=(〃、+1)^>2+切()'1+必)+1

(w2+1)(/?2-a2b2)2b2nr.

=--------------------------+1

/+从小/+从病

-nru2Lr+b2-u2b2+a2八

=-------f-------<0.

又a2+b2m2>0,所以-nfa2b2+b2-a2b2+a2<0对meA恒成立，

即02Mm2>a2—a2b2+b2对meR恒成立.

当mtR时,片尸而最小值为o,所以"一"〃2+〃<0

a2<a2b2-b2,a2<(a2-l)b2=b^,

囚为。>0,Z?>0,所以UP-67-1>0,

3

解得。＞匕正或上史（舍去），即。＞匕@,

222

（汕当与x轴垂直时，|。4『+|。例2=至笆=|402二竺（/＞］）,

a~G~

因此,恒有|OA|2+|OB|2＜|4B『.

4.已知椭圆•+方=l（a＞力＞0）过点尸（&/），片、死为其左、右焦点，且△至巴的面积等于日

（1）求椭圆E的方程；

⑵若M、N是直线上的两个动点，满足£M_L6N,问以为直径的圆。是否恒过定点？若

是，请给予证明；若不是，请说明理由.

【解析】解：（1）设椭圆的焦距为2c,则

△尸耳鸟的面积等于J5,gx2cxi=拒

/.c=＞/2

.•.耳(一虚,0)、6(&,0)

・・•椭圆过点P(0,1),「.2a=|刊"+|P6|=4,."=2

tr=a2-c2=2

.••椭圆石的方程为=+《=1；

42

(2)设M(-3,，〃)，则KM=(-?+&,〃?)，居N=(-3-&,〃)

222'2

RM1F?N,FiM・F?N=0

4

91

二.-2+mn=0,/.mn——

44

以MN为直径的圆C的圆心为（-2,丝上3,半径为正处

222

.•.【用C的方程为（x+|）2+（y—竽尸=若也1

即x2+y2+3x-(加+〃)y+2=0

令y=0,整理得V+3x+2=。

二.以MN为直径的圆C必过定点（-1,0）和（-2,0）.

5.已知椭圆嗒+却…>。）过点（。①且离心率喈

（1）求椭圆E的方程;

（2）过（-1,0）的直线/交椭圆E于4,“两点，判断点G（-2,（））与以线段.为直径的圆的位置关系，并

4

说明理由.

【解析】解：（1）椭圆E：W+W=l（a>A>0）过点（0,及），且离心率为也，则6=应，

a-2

e=—=Jl--T=—.则a2=4

a\a~2

椭圆后的方程》?I;

（2）方法一：当/的斜率为。时，显然G0）与以线段为直径的圆的外面,

4

当/的斜率不为0时，设/的方程为：工=冲-1,点43，y），B（X2,%），回中点为“（%，%）.

x=my-1

，

由y2得(M+2)),2一2股—3=0,所以y+)，2=ry\y2=?o*从而二=

—+—=1ni+2m'+2in~+2

142

5

所以|GHF=(%+苫)2+)，；=(〃7%-：)+)，：=(nr+Dy：+:wv0+，

442lo

_(Nr)2+(T-)'2)2_(〃/+1)(X-=)2_("l+DKy+%)2-4)M

=。〃2+1)()，；一)，心)，

4444

2222

MB|5/2「255m3(/M+1)2517m+2八

故—7—=-^>0+Q犷+4---=----；------------1=-----；---->0»

162(m2+2)m2+2--1616(m2+2)

所以|G”|2＞上曳匚，故G(-2,0)在以"为直径的圆外.

44

解法二：当/的斜率为0时，显然G0)与以线段49为直径的圆的外面,

4

当/的斜率不为。时，设/的方程为：x=my-1,设点4n，y),B(x2,y2),

oo

则G4=(X[+*X)，GB=(X2+-»y2),

x=my-l

由：f2，得(〃?2+2)V-2my-3=0,

,——+—=1

[42

3

凶+%=^7^，--r-r*

m+2m+2

G^GB=(%+\x2+g)+yty2=(wy,+[)(〃[%+[)+y％=(〃[2+1)到必++)‘2)+筌=J'/；>0

444441616(〃厂+2)

:.cos<GA,GB»0,

又GA,G4不共线，所以NAG8为锐角,

故点G(-2,0)在以AB为直径的圆外.

4

6.已知抛物线C:)，=g/,过点(0,2)的直线/交C与A、8两点，圆M是以线段为直径的圆.

(I)证明：坐标原点。在圆M上;

(II)设圆M过点P(2,4),求直线/与圆M的方程.

【解析】(1)证明：法一：由题意知直线斜率必存在，设的方程为)，="+2,AJ,M),B(x2,

%)，

J二

联立>=2A，消去y，整理d-2人-4=0,△=4*+i6>0,

y=kx+2

％+&=2攵，x}»x2=-4

x+y2=&(X]+/)+4=2%2+4,yJ、=左飞吨+2k5+x2)+4=4,

22

则以AB为直径的圆”的方程为(x-A-1)(A--x2)4-(y-y,)(y-y2)=(),即x+y-2京一(2公+4)y=0,

因此0(0,0)满足此方程，所以坐标原点O在圆M上.…(6分)

6

法二：OA-OB=N+y\y2=-4+4=0,

:.OAA.OB,

/.原点。在以A8为直径的圆M上.

综上，坐标原点O在圆”上.

（2）解：由（1）知以A3为直径的圆M的方程为：x2+y2-2lcx-（2k2+4）y=0,

由于尸（2,4）在此圆上，代入上述方程，可得：2公+攵_]=0,

得太=一1或4，

2

当k=-l时，直线/的方程为），=一式+2,即x+y-2=0,圆M的方程为：x2+/+2x-6y=0.

当人=g时，直线/的方程为y=gx+2,BPx-2y+4=0,圆加的方程为：x1+y2-x-^y=0.

类型二：以共线为背景的向星翻译

7.已知匕、居分别是椭圆二十与=1（。＞0乃＞0）的左、右焦点，其左准线与尤轴相交于点N,并且满足,

a'b~

耳）=2而,|耳臼=2.

（1）求此椭圆的方程；

（2）设A、8是这个椭圆上的两点，并且满足NA=/UV8,当九三[•!■，]时，求直线A8的斜率的取值范围.

53

2c=冗居|=2

【解析】解：（1）由于6K=2N6，IK居|=2,=N耳=1（3分）

c

a~=b-+c~.

解得[f=2,从而所求椭圆的方程为E+y2=].（5分）

[b2=12-

（2）NA=ANI3,「.A,〃，N三点共线，而点N的坐标为（一2,0）.

设直线AB的方程为y=k（x+2）,

其中后为直线AB的斜率，依条件知女工0.

ry=k（x+2）

由二消去x得，y—2f+2y2=2,

即&，9―3），+2=0.（6分）

k-k

7

_8.r£_Ll>o

根据条件可知k

kwO.

解得（WK冬（7分）

4k

设A（±,%）,B（X,y）,则根据韦达定理，得，

222k2

）‘通二际・

）'2）

又由NA=2NB,得(4+2,yt)=A(x2+2,

N+2=2(X+2)

2从而,

71=

消去为得“孚=筌一.（10分）

A2k+1

小_(1+团2】J11

令夕(㈤=--；—,AG[—,—]任取则

/C33:斓<4；

，八一、（1+4）2（1+4）2/0~1

。⑷-8区）二—尸-------「J=（4-4）（1一7T）>0..•.奴㈤是区间上的减函数，（12分）

44人乙

从而e（g）轰以力）旗g），

即日赧（⑷y,/.y^lj36

T

解得」皴一也或立领k适合O<RK巫.

26622

因此直线AB的斜率的取值范围是[_；/切序，权（14分）

8.已知”，入分别为椭圆上+上=1的左、右焦点，直线《过点”且垂直于椭圆的长轴，动直线垂直于

32

直线4,垂足为。，线段。鸟的垂直平分线交于点M.

（I）求动点M的轨迹。的方程;

（n）过点写作直线交曲线。于两个不同的点尸和Q,设KP=/l£Q,若/U[2,3],求入户的取值

范围.

【解析】解：（I）设M*,），），则。（一1,四，由中垂线的性质知|MD|=|g|

门工+11=J（x-1『+），化简得C的方程为）,2=4x（3分）

（另：由IMORM%|知曲线。是以X轴为对称轴，以巴为焦点，以6为准线的抛物线

8

所以‘f，则动点〃的轨迹。的方程为八4幻

*+1=3+1)①

(H)设P($,y),Q(X2,y2).由知'

又由P（N，y）,Q（X2,多）在曲线。上知

由①②解得1，所以有％七=1,y为=4.（8分）

I

F2PFyQ=(X)-l)(x2-1)+yty2=4q-x,-x2+l+y%=6-(2+；)(10分)

设〃=%+，,有“'=（4+3'=1--0=>"=%+'在区间［2,3］上是增函数,

2AAA

得2效儿+J_12,进而有色效6-（％+工）1,

2A3342

所以，的取值范围是自」］•（13分）

32

高考预测二：以弦长、面积为背景的条件翻译

9.已知点A（0,-2）,椭圆E:1+《=13>/?>0）的长轴长是短轴长的2倍，尸是椭圆E的右焦点，直线4/

a-b2

的斜率为竽，。为坐标原点.

（1）求椭圆E的方程;

（2）设过点A（0,-2）的动直线/与椭圆E相交于尸，Q两点.当AOPQ的面积最大时，求直线/的方程.

【解析】解：（I）设厂（c,0）,由条件知2=-^M=2%=>C=£

cN/3

又a?=A?+c?,可得=1,a2=4»

.•.椭圆石的方程：工+），2=1.

4

（2）依题意当/J_x轴不合题意，故设直线/:），="一2,设P（x,y）,Q{X2,y2）

将），=点一2代入椭圆后的方程：—+/=1.得（1+4F）/一16丘+12=0,

4

当△=16（4^-3）>0,BPk2>-.

4

16k12

…=由'

从而।PQ।=m71芭—七i=可*之心

4”4k2+\

9

又点O到直线PQ的距离d=-y==

I4J4.2

所以bOPQ的面积s^OPQ=弓・4,|PQ|=--j~~—

Z4K+1

4

2

必3=4/

2+44

+-

z

当且仅当,=2,一券等号成立，且满足△>。，

所以当AOPQ的面积最大时，/的方程为：y邛X-2或），=-今-2.

10.己知椭圆£=1的焦点在x轴上，椭圆E的左顶点为A,斜率为k（A>0）的直线交椭圆石于A、

8两点，点C在椭圆E上，ABA-AC,直线AC交y轴F点D

（I）当点〃为椭圆的上顶点，A48。的面积为2,而时，求椭圆的离心率:

（II）当。=G，214AH4cl时，求々的取值范围.

【解析】（本小题满分14分）

解：（I）直线钻的方程为y=+b

a

直线AC的方程为），=-g（x+a）,令x=0,y=-幺…（2分）

bb

12

=；・S+j）・4=24/?...（3分）

2b

于是。2+〃2=4〃2,/=3〃,e=£=.…（5分）

a3

（H）直线AS的方程为y=&&+〃），

x2y2_

联立滔"+并整理得，（3+Y公口2+2〃721+4%2一3〃2=0

y=k（x+a）

解得％或x=,…（7分）

3十a~A’

所以|人用=_a”?：3：+q=再正6a强分）

3+a~k~3+a~k~

同理|AC|=Jl+V•—J…（9分）

3k+-

因为2MBl=|AC|所以2.J+&2.一"方=J

3+h-3女+三

10

整理得，/=派3K....（］］分）

内-2

命一女

因为椭圆石的焦点在X轴，所以。2>3,即'.>3,...（13分）

k-2

整理得出+?伏一2）<o,解得巧<4<2.…（14分）

k--2

11.如图，已知点P是y轴左侧（不含），轴）一点，抛物线C:），2=4K上存在不同的两点A,B,满足必,

/归的中点均在抛物线。上

（1）求抛物线C的焦点到准线的距离；

（2）设42中点为M,且PC%,»）»M（XM,yM）,证明：yp=yM；

2

（3）若?是曲线f+2L=i@<0）上的动点，求AE4B面积的最小值.

.•・抛物线C的焦点到准线的距离为2；

-

（2）证明：P（xp»yp）t设A（3-,y），^（力，%），

49中点为M的坐标为W（均，加），则,江&）,

82

抛物线C：V=4x上存在不同的两点A,“满足PA,依的中点均在C上,

x+支x+4

可得号）』—，守二—

2

化简可得力,y2为关于y的方程y-2ypy+一yj=0的两根,

可得,+）‘2=2）>，凹为=际-）『，

可得治二X+%

2

11

2

(3)解：若p是曲线炉+匕=ia〈o)上的动点,

4

2

可得x/+-；=1,—1„xp<0,—2<yp<2»

由(2)可得凹+%=2",，7为=8Xp-)，J,

由PM垂直于y轴，可得A/V18面积为S=^\PMHy-乃।

=7('；片7P)、卬+力)2-4yM

，o

2

='正-16xp+2yp)--xf,-32x.,+4yj

=(〉'J-4x〃)JyJ-4x〃,

2

令1=Jyj_4x〃=^4-4xp-4x,,=J-4Q/,+；尸+5,

得xp=-g时，/取得最大值>/5.

琴=-1时，，取得最小值2,

即溺石，

则$=迪/在2和后递增，可得Sw[6应，生叵],

44

面积的最小值为6上.

高考预测三：斜率为背景的条件解译

2

12.设椭圆C:]+y2=i的右焦点为尸，过尸的直线/与C交于A,B两点、,点M的坐标为(2,0).

(1)当/与x轴垂直时，求直线AM的方程；

(2)设O为坐标原点，直线/不与x轴重合，求且竺的值.

40MB

【解析】解：(1)由已知得/(1,0),/的方程为x=l,

由己知可得，点A的坐标为(1,-^)或(1,--^).

所以AM的方程为y=_等x+血或y=#x_0；

(2)当/与x轴重合时，NOMA=NOMB=0。,

当/与x轴不重合也不垂直时，设/的方程为y=A(x-l)(kwO),A(%,y),B(X2,%)，

当.qv血,乂＜&,直线M4,MB的斜率之和为尤以+8俗=1_+》_,

%-2x2-2

12

由K二女（X—1），h=内9T）得Q+如8=2"23：,+义4A

-2）（占一2）

2

将y-）代入、+9=],得（2二+1*一4心+2公-2=0,

g.i4犬2k2-2

所以玉+/=五二，%电

NA।12k2+1,

4k3-4k-12k3+8k3+4k

则2Axi工2一3々（内+%）+4女二=0,

2k2+\

从而七八+2加=0,故M4,/处的倾斜角互补，所以NOMA=NOMB,

ZOMA,

所以------=1.

/OMB

13.设椭圆C:三+y2=\的右焦点为F,过F的直线/与椭圆C交于A,B两点，已知点M的坐标为（2,0）.

2

（I）当/与x轴垂直时，求点A、3的坐标及|八4|的值；

（II）设O为坐标原点，证明：NOMA=NOMB.

【解析】（I）解：由己知得/（1,。），，的方程为人=1.

由已知可得，点41,冷）或8（1,-等）.MB|=5/2

（H）证明：当/与x轴重合时，NOM4=NOMB=0。.

当/与x轴垂直时，OM为的垂直平分线，所以NQM4=NOM3.

当/与x轴不重合也不垂直时，设/的方程为y=攵（x-1）（4工0）,A（再，y）,B（x2,y2）,

则士<&,%<正，直线加4，MB的斜率之和为3A+4仍=」一+上一.

X)-2x2—2

由y,=kx「k,y2=kx2-k得kMA+kMl)=2"―3：,+x；1+4k.

(♦一2)(--2)

2

将y=&(x—l)代入、+)7=1得Q攵2+I)/-4代1+2--2=0.

_4左2_2公-2

所以，A；+X=—;——,XX,

2一2k2+1~2k2+T

4k*一女一12二+8^+4k

则2kx%-34(玉+x)+4左==0.

i22公+1

从而七八+82=0，故始，闻》的倾斜角互补，所以NOMA=NOMB.

综上，40MA=4OMB.

14.在直角坐标系xQy中，抛物线C:y='与直线/:y=Rr+4交于M、N两点.

4

（1）当人=（）时，分别求抛物线。在点例和N处的切线方程；

（2）），轴上是否存在点尸，使得当女变动时，总有/0?"=/0尸%?说明理由.

13

y=4

【解析】解：(1)由题意知攵=0时，联立，f,解得加(4,4),N(T4).

Qw

设在点M(4,4)的切线方程为y=A(x-4)+4,

y=kx+4-4k

联立，x2得：12_4日+164-16=0

由题意；△一16〃-4(162-16)-0,

即二一4k+4=0,解得2=2.切线方程：y-4=2(x-4),即2x-y-4=0.

根据对称性，在点N(T,4)的切线斜率为攵=一2.切线方程：y-4=-2(x+4),即2x+y+4=0.

(2)存在符合题意的点，证明如下：

设点P(0,加为符合题意的点，M®,y,),N(X2,y2),

y=kx+4

直线尸M,PN的斜率分别为人，公.联立方程V,

得产一416=0,故芭+/=4上，x(x2=-16,

从而4I卜二।=2处0+(43(1+。)4(4+.

x2x,x24

当b=-4时，有《+自=0,则直线PM与直线QN的倾斜角互补，

取/OPM=4OPN,所以点P(0,-4)符合题意.

15.已知曲线C上动点例与定点尸(虚,0)的距离和它到定直线小工=-2及的距离的比是常数弓，若过

P(0,l)的动直线/与曲线C相交于A,B两点、

(1)说明曲线C的形状，并写出其标准方程；

(2)是否存在与点尸不同的定点Q,使得制=需恒成立？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请

说明理由

【解析】解：(1)设动点M坐标为M(x,.y)

点M到直线/,:x=-2>/2的距离为d.依题意可知此妇=巫,

d2

y（x+5/2）­+y~_5/2

则

|x+2>/2|-2

14

化简若+%,

所以曲线。是椭圆，它的标准方程为»

（2）①当直线/与），轴垂直时，日椭圆的对称性可知|PAR

又氏|为得黑|=鉴・贝

III/oI

从而点Q必在），轴上.

②当史线/与x轴垂直时，则40,拉），B（0,-夜），由①可设Q（0,）b）,（州工1）,

由徐端哨关二湖’解™或….

则点Q的坐标只可能是Q（0,2）.

下面只需证明直线/斜率存在且00,2）时均有由踪二跋即可.

设直线/的方程为y=依+1,代入工+二=1得（2公+1）丁+4区一2=0.

42

设A(x，y),B(X2,y2),

4k2

"+巧=一为'两

11x+x.〜

•.—+—=-!-2=2k,

X]x2XxX2

设点3关于），轴对称的点坐标8,（-马,为）,

因为直线QA的斜率勺乂=上=检二1=k-L

X芭N

同理得直线。长的斜率%,二工二…1

一X、—X-,工2

二.A。、一kQB.=2k-(—+—)=2攵-2Z=0,

%占

15

kQA=kQB.,三点Q,A,夕共线.

他由IQA|JQAIJNI」小|

由IQ8||Q8'||x2|\PB\'

所以存在点Q(0,2)满足题意.

高考预测四：选用合适的方程形式或面积公式实现简化计算

16.(1)直线/过抛物线)，2=2pMp>0)的焦点，且与抛物线相交于A(再，y),B(X2,%)两点，证明：

心=-/)2；

(2)直线/过抛物线)2=2pMp>0)的焦点，且与抛物线相交于4(外，x),B*2,52)两点，点。在抛物

线的准线上，且ACV/x轴，证明：直线AC经过原点.

【解析】解Q)1。当斜率不存在时，直线x=^.此时八皮,〃),次多-p)，

2。当斜率存在，设直线方程为：)，=&(x-

”-2(x2)消元得：ky2-2py-kp1=0叩所以)，|必=-p2

)2=2px

综上所述=-//

(2)1。当斜率不存在时,直线工=2，此时A(旦,p),B(£,_p),C(-R,-p)

2222

所以直线AC的斜率为kAC=二纥2=2

_P_P

22

所以直线AC的方程为y-〃=2(1-^)ny=2x直线经过原点

2。当斜率存在，设直线方程为：y=k(x-^)

设4(小，y)，8(今，%)。(一§，％)

2〃2〃2

由卜T)

j2=2px

16

222

消元得：ky-2py-kp=0yiy2=-p；所以直线AC的斜率为心c=2P,=女

_P_A>i

22p

所以直线AC的方程：y—y=&（x-&）=y="x

M2P）1

所以直线经过原点.

综上所述，直线经过原点

22

17.设椭圆+直线/过椭圆左焦点£且不与x轴重合，/椭圆交于0、Q,左准线与

x轴交于K,|附|=2.当/与x轴垂直时，|PQ|=

（1）求椭圆T的方程;

（2）直线/绕着片旋转，与圆O:f+y2=5交于九8两点，若月4,M],求△鸟a。的面积S的取

值范围（入为椭圆的右焦点）.

【解析】解（1）设椭圆半焦距为c,|附|=4-。=眩=2

cc

C1

,将x=-c代入椭圆方程得），=土?，

2b24b22

・'.丁=耳’7=耳

所以一12a1-b21

a3

N2

/»•=一4~2

3

。2=3,〃=2所求椭圆方程为：—+—=1

32

(3)设直线/:x=-1即x-〃9+1=0,圆心O到/的距离d=/,

J1+〃/

由圆性质：|相|=2〃—/=2」5——二，

V1+nV

又|AB|e[4,M],得用%[0,3]

17

x=my-1

联立方程组x2V2，消去x得（2〃/+3）/一4/〃），-4=0

——+—=1

32

设P（X［，y），Q*2，%）

4〃7-4

则丛+%=

2〃?2+3'，、2-2〃?2+3

S=gI々尸2H>1->?21=1,—>21=>/。”月尸-4）\），2=16〃/16

（2/H2+3）2+2//r+3

18（加+1）—手一（令，=〃?2+ie[[,4]）,

\（2m1+3）2

4Z+-+4

14/2—1

/*（/）=4--=-^>0,对/e[l,4]恒成立,

/（。=4/+」在[1,4]上为增函数，4/+-G[5,—J»

tt4

所以,s点苧

高考预测五：利用计算的对称性避免重复计算

18.已知动点M到定点（1,0）的距离比例到定直线x=-2的距离小1.

（1）求证：M点轨迹为抛物线，并求出其轨迹方程；

（2）大家知道，过圆上任意一点夕，任意作互相垂直的弦Q4，PB,则弦顺必过圆心（定点）.受此启

发，研究下面问题：

①过（1）中的抛物线的顶点。任意作互相垂直的弦04、OB,问：弦AA是否经过一个定点？若经过，请

求出定点坐标，否则说明理由；

②研究：对于抛物线丁=2px（P>0）上顶点以外的定点是否也有这样的性质？请提出一个一-般的结论，并证

明.

【解析】（1）证明：动点M到定点（1,0）的距离比M到定直线x=-2的距离小1.

・・.动点M到定点（1,0）的距离与M到定直线x=-1的距离相等.

根据抛物线的定义可知：M点轨迹为抛物线，其轨迹方程为）3=4x.

（2）①过（1）中的抛物线的顶点O任意作互相垂直的弦。4、OB,弦是经过一个定点”（4,0）.下面

给出证明：

18

证明：当A3_Lx轴时，直线。4»08的方程分别为：y=-x>y=x,联立，,x/0,解得x=y=4.

旷=4x

8(4,4),同理A(4,-4),此时直线AB的方程为：x=4,经过定点M(4,0).

当AA与x轴不垂直时，设直线04,04的方程分别为：y=--x,y=kx,伏工0),

k

联立jU.XHO，解得呜•令，

同理可得A(4/,-4k).

直线AB的方程为：“软二丁^^一软?)，

令),=0,解得工=4.

••・直线AB经过定点"(4,0).

综上可得：直线/W经过定点M(4,0).

②对于抛物线)，2=2px(〃>0)上顶点以外的定点也有这样的性质：设点P*。，%)(为工0)是抛物线

>3=2川(〃>0)上的定点，过