《锐角三角函数》同步练习-2025-2026学年北师大版数学九年下册

1.1锐角三角函数

一、单选题

1.某人沿着坡度为1:百的山坡前进了500m,则这个人所在的位置升高了（）

A.500mB.250mC.250GmD.

2.如图，在RsAAC中，ZC=90°,AC=8,AB=10,则sin8的值是（）

3.如图，在R12XA8C中，ZC=90°,sin4=1,BC=6,则AC的长为（）

J

C.10D.12

4.如图，在RtZVlBC中，ZB/1C=90°,ADJ.BC于悬D,则下列结论不正确的是（）

5.如图，在VA8C中，乙480=90'.若AC=5,3C=4,贝iJcosA的值为（）

A

44

c.D.

3

4

6.如图，在RtZ\A6C'中，ZC=90°,若AC=4,cosA=g,则AC'的长度为()

C.4D.3

7.如图，已知在RtZXA8c中，2B90?,贝UcosA=（

BCABBC

A.-----B.C.D.

BCAB~AC

8.如图，在RtZ\ABC中，ZC=90°,AB=4,BC=3,则cosB=)

3

CD.

-V4

二、填空题

9.如图，VABC的顶点是正方形网格的格点（网格线的交点），贝hanA的值为

10.如图，在菱形48C7）中，DEJ.AH,垂足是点E,D£=6,sinA=|,则菱形ABC。的周长是

面积是.

试卷第2页，共4页

2

11.如图，在VA3C中，ZC=90°,。为边8c上的一点，BD=2CD,AB=9,sinZ^=-.则AD=

12.如图，在油△ABC中，N4CB=90°,AB=\3tAC=12,McosA=

13.如图，在RtZSABC中，ZABC=90°,BD工AC于点D,AC=IO,cosC=-,那么4。=

三、解答题

14.如图，矩形人BCD中，BC=4,tanNAC8=4，求AC的长.

2

5如图，在Rt△枷中，「AC、"三边的长分别为〃、…'则Sin.jCOSA《tan^.我

们不难发现：sin260°+cos260°=1»…试探求sinA、cosA、tanA之间存在的一般关系，并说明理由.

B

CbA

16.如图所示，在RIA4C8中，ZC=90°,AB=3,BC=1,求NA的三角函数值.

4

17.如图，在VA3C中，AB=AC,BDJ,AC于D,若AC=15,cos4=一.求30、CO的长.

5

2

18.如图，在RtZ\A8C中，ZC=90°,AC=2,cosA=~.

3

⑴求3c的长;

(2)求sinA的值.

试卷第4页，共4页

<1.1锐角三角函数》参考答案

题号12345678

答案B0BCBDCD

I.B

【分析】本题考查的是解直角三角形的应用-坡度坡角问题，根据坡度比可求出坡角，然后利用坡角的正弦

值=垂直高度:坡面距离进行解答.

【详解】解：如图，AE=500m.

•・•坡度为1:百,

/.tanA=4=-=tan30°，

G3

/.ZA=30°.

:.EF=AEsiivA=50()x-=250m.

2

故选：B.

2.D

【分析】本题考查了锐角三角函数的定义，掌握锐角三角函数的定义是解题的关键;

根据正弦函数的定义求解即可.

【详解】•.•NC=90°,AC=8,A8=10,

AB105

故选：D.

3.B

【分析】先根据正弦函数得出sinA=gg=3,求出A8=10,再利用勾股定理求解即可.

AB3

【详解】解：vZC=90°,Sin4=|,BC=6,

AB5

AAB=1().

答案第1页，共7页

・•・AC={AB"-BC*==8,

故选:B.

【点睛】本题考查了正弦函数，掌握三角函数的定义是解题的关键.

4.C

【分析1利用余弦的定义即可判断A、B,根据同角的余角相等可得N84O=NC,再根据余弦的定义即可

判断C、D,即可得到答案.

【详解】解：TAOLBC,

/.ZA£>Z?=ZAZX?=90°,

CD

.•.在RtZsAC。中，cosC=—,故A正确，不符合题意；

AC

ZBAC=90°,

・•・在RlZ\A8C中，8sC=q,故B正确，不符合题意；

•.•Z«AD+ZC4D=90°,ZC4D+ZC=90°,

4BAD=/C,

An

・•・在RtZXABO中，cosZB4D=—=cosC,故D正确，不符合题意，C错误，符合题意；

AB

故选：C.

【点睛】本题考查了余弦的定义、同角的余角相等，熟练掌握以上知识点是解此题的关犍.

5.B

【分析】本题考查解直角三角形，勾股定理，熟记余弦的定义是解题的关键：先由勾股定理求出A8的长，

AD

再由cosA=—求解即可.

AC

【详解】解：在VA8C中，Z/ABC=90\AC=5,8C=4,

则AB=JAC2一pc?="52—42=3，

,AB3

cosA==—,

AC5

故选：B.

6.D

【分析】本题考查三角函数的定义，在直角三角形中，锐角的E弦是角的对边与斜边的比值；余弦是角的

邻边与斜边的比值；正切是角的对边与邻边的比值；熟练掌握二.角函数的定义是解题关健.根据余弦的定

义可求出A3的长，根据勾股定理即可求出4c的长.

4

【详解】解：vZC=90°,AC-4,COS/\-5,

答案第2页，共7页

AC4

/.cosA=-----=—,即AB=5»

AB5

BC=jAB?-AC?=3,

故选：D.

7.C

【分析】本题考查余弦的定义，根据余弦的定义即可解答.

AR

【详解】解：在RtZ\ABC中，cosA二^.

故选：C.

8.D

【分析】本题考查锐角三角函数的定义，掌握锐角三角函数的定义是解题关键.

直接根据锐角三角函数的定义求解即可.

【详解】解：根据锐角三角函数的定义，可得cos8====,

AB4

故选：D.

9.

2

【分析】本题主要考查了解直角三角形，掌握直角三角形的边角关系是解决本题的关键.构造直角三角形,

根据正切的定义计算得结论.

【详解】解—：如图,

在中,

VA0=2,BD=1,

・ABD\

••tnnA=----=—.

AB2

故答案为：y.

10,4060

【分析】在RtaADE中，根据。E=6,sin可算出AD的长，即可得到菱形周长；再利用底x高即可

得到面积

DE3

【详解】解；,**RtAADErb,DE=6,sinA==

AD5

答案第3页，共7页

/.AD=10

-ABCD为菱形

・•・周长为40

VAB=AD=IO

/.面积=10x6=60

故答案为(1).40(2).60

【点睛】本题考查利用三角函数解直角三角形以及菱形的性质，比较简单

II.而

【分析】本题考查解直角三角形，勾股定理.根据正弦函数的定义求出4C,利用勾股定理求出BC,再

求出C。，利用勾股定理求出4。即可.

【详解】解：・・・/。=90。，

..AC2

..sinDR==—,

AB3

AB=9,

AC=6,

；・BC=4AB2-AC?=如=3^5，

♦：BD=2CD,

:・CD=&

・•・AD=<5+AC?=75+36=>/41•

故答案为：曲.

12.U

13

【分析】本题主要考杳了余弦函数的定义，熟练掌握余弦函数的定义是解题的关键.根据余弦函数的应以

即可解答.在直角三角形中，余以为邻边比斜边.

【详解】解：在用△ABC中，

AAC12

cosA=---=—.

AB13

12

故答案为：—.

13%

5

【分析】本题主要考查了解直角三角形的应用，解题时要能紧扣问题，借助直角三角形去求解是关键.先

得BC=6,由5O1AC,从而求出CO,最后由AO=4C-C〃进行计算可以得解.

答案第4页，共7页

【详解】解：vcosC=-,AC=1(),

3

BC=/ACcosC=lOx—=6,

5

又BO_L4C,

3IX

CD=BCcosC=6x—=—,

55

1oa,

・•・AD=AC-CD=\0--=—,

55

故答案为：弓.

14.26

【分析】本题考查了矩形的性质，解直角三角形，勾股定理，根据矩形的性质，三角函数的定义，勾股定

理却可得到结论.

【详解】解：•・•四边形人BC。是矩形，

?B90?.

VtanZACH=-,

2

.AB1

••瓦一5'

•.・BC=4,

：.AB=2,

,AC=^AB2+BC2=y]22+42=245•

winA

15.sin2A+cos2A=l；tanA=--,理由见解析

cosA

【分析】利用勾股定理可得/+Z/=c2,用“，4c表示正弦，余弦的平方和，即可得出siifA+cos2A=1；

a

根据题意得出tan4===^=吗，即可得出tanA=吆

b"cosAcosA

sinA

【详解】存在的一般关系有：sin24+cos2A=ItanA=

cosA

证明：vsinA=—,cosA=-,2+b2=c2

cca

a2h11+加

/.sin2A+cos2A-r+-r=?吟=1

/.sin2A+cos2A=1,

4

vs.inA“=—。,cosA=—b,

cc

答案第5页，共7页

a

asinA

：.tanA=—=-c^-=------,

bbcosA

7

sinA

tanA=------.

cosA

【点睛】本题考查了同角三角函数的关系，勾股定理的知识，熟练应用锐角三角函数关系是解答本题的关

键.

.12V24.72

16...sinA=-,cosAx=-----,tanA=——.

334

【详解】试题分析：根据勾股定理求得AC的长，再由锐角三角函数的定义即可得NA的三角函数值.

试题解析：

在RSACB中，NC=90。，A5=3,BC=1,

,,AC=>/32—I2=2V2»

・・・加八=空48sA=必=逑，33区=也

AB3AB3AC4

17.B£>=9；CD=3

【分析】根据8£>_LA