2026年高考数学二轮复习：圆锥曲线离心率归类（题型）（天津）原卷版

专题18因锥曲线离心率归类

!目录

i

i第一部分题型破译微观解剖，精细教学

i性]典例引领囱方法透视性）变式演练

j【选填题破译】

i题型01椭圆的离心率

I题型02求椭圆离心率或其取值范围的方法

!题型（）3双曲线的离心率

'题型04离心率的范围问题的求解方法

第二部分综合巩固整合应用，模拟实战

题型01椭圆的离心率

典例引

【例（2026•天津静海•月考）已知椭圆，■+，=1（”方＞（1）的离心率为9则（）

A.a2=2b2B.3a2=4b'

C.a=2bD.3a=4b

【例1-2]（2026.天津南开•月考）已知椭圆G：W+[=l（a-）与双曲线。2：£-4=电＞0也＞0）

q4电b；

有公共焦点百（左焦点），F?（右焦点），且两条曲线在第一象限的交点为乙若APG巴是以尸”为底边

且％=|,则下列结论中错误的是（）

的等腰三角形,C,,Cl的离心率分别为，和的,

cosN^PK=|

A.a；-b：=a：+b；B.

3

c四二D.e.=-

I叫318

方做遗视

椭圆的离心率

（1）离心率的定义：椭圆的焦距与长轴长的比标称为椭圆的离心率.用e表示，即e=?.

（2）寓心率的范围：0<e<l.

（3）椭圆离心率的意义：椭圆离心率的变化刻画了椭圆的扁平程度.

当e越接近于1时，c越接近于a,从而越小，因此椭圆越扁；当e越接近于0时，c越接近于

0,从而b-一°2越接近于张因此椭圆越接近于圆；当且仅当丁b时，c-0,这时两个焦点重合，图形

变为圆，它的方程为/+），2=/.

变式演依

【变式1・1】（2026•天津南开•月考）如图，直径为4的球放在地面上，球上方有一点光源?，则球在地面

上的投影为以球与地面切点E为一个焦点的椭圆，已知是44椭圆的长轴，垂直于地面且与球相切，

PA=5,则椭圆的离心率为（）

P

【变式1・2】（2026•天津静海•调研）已知椭圆/=片、月是A/的焦点，过月且垂直于x

轴的直线截椭圆所得弦长为：，P是"上一动点，。是圆N:/+（y_2）2=1上一动点，则下列正确的有（）

®\P^\+\PF2\=6②椭圆M离心率为当

③圆/+/=/与圆"相切④|P0|的最大值为4

A.①③B.①②③C.③④D.①③④

【变式1-3］（2026•天津和平•调研）已知椭圆［+^=1（〃>力>0）的左、右焦点分别为石（-。，0）,K（c,0）,

若椭圆上一点。满足尸鸟，片入，且助与圆./+/=与相切，则椭圆的离心率为（）

4

BG

C,在D.如

A-—2

233

题型02求椭圆离心率或其取值范围的方法

舞钠和小

【例2・1】（2026•天津•调研）设椭圆£+4=1（〃>力>0）的左、右焦点分别为片（-。,0）,6（c,0）,点

在椭圆的外部，点〃是椭圆上的动点，满足制+|"M«|旧周恒成立，则椭圆离心率e的取值范围是（）

A.B.C.D.

【例2・2】（2025・天津•模拟预测）阿波罗尼斯的《圆锥曲线论》中给出了椭圆的一个基本性质：如图.过

椭圆上任意一点P作长轴44的垂线（点P与点4,4均不重合），垂足为。，则亡照为常数々•若女之!，

|力。|・忸。|9

则该椭圆的离心率的取值范围是（）

一加2收一2应

C.D.

33丁'

方依透视

求椭圆离心率或其取值范围的方法

解题的关键是借助图形建立关于%b,c的关系式（等式或不等式）,转化为c的关系式，常用方法如下:

（1）直接求出a,c,利用离心率公式e=?求解.

（2）由a与b的关系求离心率，利用变形公式e=求解.

（3）构造a,c的齐次式.离心率c的求解中可以不求出a,c的具体值，而是得出a与c的关系，从而求得c.

交式值珠

【变式2・1】（2025•天津•调研）己知椭圆4+4=1（«>6>0）的左焦点为尸（-。,0）,上顶点为力,在

a~b~

以点F为圆心，，为半径的圆上存在点“，使得直线.的斜率为“则椭圆离心率的取值范围是（）

A.争）B.C愣""（曙।

【变式2-2】（2。25・天洛调研）已知椭圆1—的左、右顶点分别为4B,点P在椭圆上（异

于，4,8）,设直线力夕的斜率为占，直线4。的斜率为心，且&则椭圆的离心率的取值范围为（）

【变式2・3】（2025•天津南开•调研）已知平行四边形力8。内接于椭圆。:=+£=1（4>6>0）,且/18,力0

a~h'

斜率之积的范围为卜则梢圆。离心率的取值范围是（）

（2加2⑸

A.——,——B.-------,---

题型03双曲线的离心率

重例引横

【例3-1】（2026•天津蓟州•月考）双曲线C:[-/=l（q>0力>0）的左右焦点分别为过6的直线

与双曲线C的左、右两支分别交于",N两点，且直线MV倾斜角为三若因M="N|,则双曲线C的离心

6

率是（）

A.72B.6C.2口.专

【例3-2]（2026•天津河东•月考）若双曲线力>（））的一条渐近线方程为》=2x,则C的

a~b~

离心率为（）

A.RB.75C.—D.—

22

方依透视

双曲线的离心率

（1）定义：双曲线的焦距与实轴长的比［，叫作双曲线的离心率.

（2）双曲线离心率的范围：e>l.

（3）离心率的意义：离心率的大小决定了渐近线斜率的大小，从而决定了双曲线的开口大小.

因为5==所以e越大，5越大，则双曲线的开口越大.

（4）等轴双曲线的两渐近线互相垂直，离心率.

求双曲线离心率或其取值范围的方法

（1）直接求出a,c的值，利用离心率公式直接求解.

（2）列出含有a,b,c的齐次方程（或不等式），借助于〃=，-M消去b,转化为含有e的方程（或不等式）求解.

变式演族

【变式3・1】（2026•天津河北•月考）已知双曲线-a=1（。>0,6>0）的焦距为10,点尸（2,1）在C的

渐近线上，则双曲线。的离心率为（）

A,&B.3C.也D.1

2224

【变式3・2】（2026•天津•月考）已知圆C:/+y2=/和双曲线「:£一［=］（〃>0力>0）,过「的左焦点厂

与右支上一点。，作直线/交圆C于力，B,若|出|：|力邳:忸=则「的离心率为（）

A.3&B.乎C.萼D.半

22

［变式3・3】（2026•天津•调研）设双曲线C：S-g=l（a>0力>0）的左焦点为尸，O为坐标原点，尸为双

曲线。右支上的一点，PFOP=PFFO^防在而上的投影向量的模为|||而|，则双曲线。的离心率为

（）

「13

A.3B.V3+1C.5D.—

题型04离心率的范围问题的求解方法

【例4-1】（2025・天津•模拟预测）已知椭圆Z和双曲线S的对称中心均为坐标原点，且有公共焦点，左、

右焦点分别为百，凡，Z与S在第一象限有交点儿若归月|=2|4E|,则S与Z的离心率之差的取值范围

是（）

A.）B.（-,-K»）C.（―,1）D.（—,+<»）

【例4・2】（2025・天津•二模）若直线J，=2x与双曲线=1（°＞0力＞0）无公共点,则双曲线的离心率

a-b~

的取值范围为（）

A.(1,⑹B.(1,V5]C.(技+对D.[6+8)

方沐透规

1.不等式法求离心率的范围

（1）利用圆钺曲线的定义求离心率的范围：利用圆钺曲线的定义建立不等关系，结合离心率公式求解.

（2）利用圆锥曲线的性质求离心率的范围：利用圆锥曲线的性质，如：椭圆的最大角、双曲线渐近线的斜率、

通径、三角形中的边角关系、曲线上的点到焦点距离的范围等，建立不等式（不等式组）求解.

（3）利用题目条件中的不等关系，建立不等式（不等式组）求解.

（4）利用基本不等式求离心率的范围：把离心率的关系式转化为能利用基本不等式的形式，利用基本不等式

建立不等关系进行求解.

2.函数法求离心率的范围

（1）根据题干条件，如圆锥曲线的定义、性质、其他等量关系等条件建立离心率和其他•个变量的函数关系

式；

⑵结合圆锥曲线的离心率的范围，来确定所得函数的定义域；

（3）利用函数的性质求最值或值域，进而求解离心率的最值或取值范围.

3.坐标法求离心率的范围

根据所给条件，设出所求点的坐标，把点的坐标代入曲线方程，结合相关知识，进行求解即可.

变式演依

【变式4-1]（2025•天津•月考）已知鸟分别为双曲线C£一二=1（。＞0力＞0）的左、右焦点，点M

在C的左支上，且"耳与c交于另一点N,O为坐标原点，则下列结论错误的是（）

A.若点〃的坐标为卜1,6）,则。的离心率的取值范围为（2,+8）

B.若a=2,b=#＞，则|叫『一"3『之28

C.若百，则恒为定值

D.若。=2,6=1,则阿叫的最小值为1

【变式4-2]（2025・天津•调研）已知双曲线C:二-1=1（〃＞06＞0）,4为。的左顶点，抛物线/=16ax的

a，b,

准线与X轴交于8.若在。的渐近线上存在点P,使得乙4P8=90°,则。的离心率的取值范围为（）

【变式4・3】（2。25•天津・一模）设双曲线C：＞土叱。淮＞。）的右焦点为八双曲线。二的两点44

关于原点对称，且满足苏•而=0,|必|＜归川43r8|,则双曲线C的离心率的取值范围是（）

D.(a,+<»)

1.（2025•天津武清•模拟预测）双曲线二-£=1（〃＞0力＞0）的右焦点为24,0）,设力、8为双曲线上关

才b‘

于原点对称的两点，4”的中点为历，8户的中点为N,若原点。在以线段为直径的圆上，直线的斜

率为江，则双曲线的离心率为（）

7

2C4

A.2&B.2C.且D.-

33

/v2

2.（2025•天津北辰•三模）已知双曲线C:]-方=1（〃＞0力＞0）的右焦点、左顶点分别为尸,从过点尸且

倾斜角为150：的直线交C的两条渐近线分别于点M,N.若a/MV为等边三角形，则双曲线C的离心率为（）

A.2B.—C.石D.2x/3

3

3.（2025•天津南开•二模）已知双曲线。:「一，=1（〃＞0力＞（））的两个焦点分别为耳，工，尸是C渐近线上

一点，当归£|取最小值时，|「同=3|尸用,则C的离心率为（）

A.73B.V2C.—D.巫~

42

223

4.（2025•天津•二模）双曲线。：=r-「v=1（4＞0力＞0）的左右隹点分别为与月，过月且斜率为3的直线与

双曲线C的左、右两支分别交于M,N两点，若叵根=怩凶，则双曲线。的离心率是（）

A.V2B.&C.V?D.宇

r2v2

5.（2025•天津•一模）已知O为坐标原点，双曲线。：三一4=1（。＞0/＞0）的左右焦点分别为片，心，双

曲线上一点P满足|?用=6,且所•电=0,则。的离心率为（）

A.72B.6C.2D.J5

22

6.（2025•天津和平•一模）已知产是双曲线二-2=1（。＞0,6＞0）的右焦点，过点尸作垂直于x轴的直线

crb“

与双曲线交于s,r两点，44分别为双曲线的左、右顶点，连接4s交y轴于点A,连接取并延长交sr于

点〃，且4丽=万，则双曲线的离心率为（）

5

A.\B.3C.2D.

3

7.（2025•天津南开•一模）设双曲线C：£—£=1（。〉0力>0）的左、右顶点分别是4,4,点尸是C的一条

渐近线上一点，若卜,力+此则。的离心率为（）

6

A.—B.—C.V13D.4

23

8.（2024•天津河西•二模）已知双曲线C：5-/=1.>01>0）的左、右焦点为片、石，O为坐标原点,

过月作。的一条渐近线的垂线，垂足为M,且|「收|=3|。加|,则双曲线。的离心率为（）

A.及B.V6C.2&D.3

9.（2024•天津•二模）设双曲线C：8>0）的左、右焦点分别为片，F,过坐标原点O的

（Tb~2

直线与双曲线。交于4,4两点，忻网二2忻力|,可.用二%J,则C的离心率为（）

A.V7B.x/6C.75D.2

22

10.（2024•天津武清•模拟预测）双曲线C：*•告=|（a>o/>0）的左顶点为力,右焦点为八过点力且

倾斜角为9的直线/顺次交两条渐近线和。的右支于〃、N、B,且/I8_LOM,下列结论不正确的是（）

6

A.离心率为2B.|4W|=|MV|

C,SXOAM=S二°BND.SAABF=3u'

11.（2024•天津•二模）已知双曲线£一《=1（。>0,8>0）的左、右焦点分别为片，F2,且用与抛物

a­"

线/=2px（p>0）的焦点重合，双曲线的一条渐近线与抛物线的准线交于4点，若/月用彳=?,则双曲

6

线的离心率为（）

A.V13B.3C.V3口.殍

22

12.（2024・天津•一模）已知双曲线G：0-4=l（a>O力〉（））与抛物线C,:/=2px（p>0）,抛物线G的准