二次函数的应用问题六大题型（专项训练）-华东师大版九年级数学下册【含答案】

微专题03二次函数的应用问题六大题型

题型一二次函数的应用之增长率、销售问题

方眩-、解题方法总结（2点）

1.增长率问题：核心模型为尸。（1±X）〃（。为初始量，X为平均增长率/降低率，〃为

次数），根据“初始量X（1士变化率）〃=最终量”列方程，求解后舍去负根.

2.销售问题：依据“总利润=（售价-成本）X销量“，设涨价/降价为x,转化为二次函数

y=ax2+bx+c,通过配方法或顶点公式求利润最值.

二、解题技巧总结（2点）

I.简化变最设定：增长率直接设销售问题设“涨/降金额无初始量时将基数看

作1,减少复杂计算.

2.结合实际验根：变量需符合实际（增长率为正、销量非负），顶点横坐标超出取值范

围时，取端点值为最优解.

（25-26九年级上•甘肃庆阳•期中）

1.文旅发展促进经济增长的同时，也带动了电器销售.一电器商场销他:某品牌空调，该空

试卷第1页，共18页

调每台进价为2500元，已知该商场6月份售出75台空调，8月份售出108台空调.

(1)求该商场7,8两个月售出空调数的月平均增长率：

(2)调查发现，当该空调售价为3000元时，平均每天能伐出8台；售价每降低50元，平均

每天能多售出4台，该商场如何定价能使每天的利润最大？最大利润是多少？

(25-26九年级上•天津河北•阶段练习)

2.近年来越来越多的商家向互联网转型发展，“直播带货”已经成为商家销售产品的重要途

径，为了在店庆期间扩大销量，某商家在直播间销售一种高档水果，将售价从原来的每千克

40元经两次降价后，调至每千克32.4元.

(1)若该商家两次降价的百分率相同，求每次降价的百分率；

⑵现在店庆结束了，商家准备适当涨价，如果现在每千克盈利10元，每天可售出500千克,

经市场调查发现，在进货价不变的情况下，若每千克每注价1元，日销展将减少20千克，则

商品涨价多少元时，商家每天•销售该商品获得的利润卬最大？最大利润是多少元？

(25-26九年级上•黑龙江佳木斯•期中)

3.某超市销售一种商品，每件成本为30元，经调查发现：销售单价为40元时，每月可售

出200件：销售单价每上咪1元，每月少售出10件.设销售单价为x元(x240),每月销

售量为V件.

(1)求y与x的函数关系式：

(2)求每月利润卬与x的函数关系式；

(3)当销售单价定为多少元时，每月利润最大？最大利润是多少？

(25-26九年级上•四川眉山•阶段练习)

4.某水果商场经销一种高档水果，原价每千克50元，连续两次降价后每千克32元，若每

次下降的百分率相同.

(1)求每次下降的百分率；

(2)若每千克盈利15元，每天可售出1000T克，经市场调查发现，在进货价不变的情况下,

商场决定采取适当的涨价措施，若每千克涨价1元，日销售量将减少4()千克.

①现该商场要保证每天盈利15000元，每千克应涨价多少元；

②设每天的总利润为少元，当每千克应涨价多少元时，每天的利润最大？最大利润是多少

元？

(25-26九年级上•黑龙江牡丹江•期中)

5.喜迎元旦，杲中学开展“摊”玩计划，万事大“集''校园创意巾集活动，小华负责的摊位主

试卷第2页，共18页

题是：“探趣科学•科技改变未来”.活动开展前，小华到科技园区了解到一款独特的4交互

功能智能摆件，根据以卜.素材，完成探索任务：

素材每个智能摆件的成本为60元，当售价为100元时，平均每天可以售出20

件.

背景素1

材

素材

当售价每降低1元时,平均每天就能多售出2件.

2

任务当降价8元时，填空：平均每天售出智能摆件_____件，每天的利涧是

1______元；

问题解任务当每天获得的利润达到1050元并且优惠力度最大时，求智能提件的俏售

决2单价；

任务若智能摆件的销售单价为偶数，在保证盈利的前提下，当优惠力度最大时，

3求此时每天获得的利润.

题型二二次函数的应用之拱桥问题

方^-、解题方法总结（2点）

1.建立坐标系：以拱桥顶点为原点（或桥面中点为原点），竖直方向为），轴、水平方向

为工轴，将已知点坐标代入二次函数产奴2+以+0（或顶点式尸山），求出函数解析式.

2.求解实际问题：根据所求问题（如求高度、跨度），代入对应x值求y值，或代入），

值求x值，结合坐标系含义转化为实际答案.

二、解题技巧总结（2点；

I.巧选原点简化计算：优先选顶点为原点，使解析式为产。好，减少未知数，降低运算

难度.

2.精准转化坐标：将实际长度（如跨度、拱高）准确转化为坐标值，注意单位统一，避

免因坐标错误导致结果偏差.

（25-26九年级上•黑龙江佳木斯•期中）

6.如图，一座古桥的桥拱截面为抛物线，AO,AC是桥1敦，桥的跨径.48为16m,水位在

试卷第3页，共18页

0C处时，桥拱最高点〃岗水面6m,水面以上的桥墩力。，4c都为3m.以。。所在真线

为x轴、力。所在直线为y轴建立平面直角坐标系.

(I)求此桥拱截面所在抛物线的表达式；

(2)当水位上涨2m时，一艘宽8m的游船能否从桥洞下通过？请说明理由.

(25-26九年级上•陕西商洛・期中)

7.如图是某个拱型彩灯门的横截面示意图，其由抛物线和垂直于地面的两条相等的线段48,

8构成”以地面所在直线为x轴，过抛物线的最高点M且垂直于8c的直线为)，轴，

建立平面首角坐标系.已知8c=12m.OM=7m,J5=CZ)=3m,。为8c的中点.

(1)求该抛物线的函数解析式；

(2)为支撑拱型彩灯门的结构，在抛物线上的点£,F处,制作三条撑杆EG,FH,EF,

且EG=FH,EG,户H均垂直于地面8C,求这三条撑杆长度和的最大值.

(25-26九年级上•北京延庆•期中)

8.小明遇到这样一个问题：

如图，一个单向隧道的断面，隧道顶MCN是一条抛物线的一部分.经测量，隧道顶的跨

度MV=4m,最高处到地面的垂直距离CO=4.2m,两侧的墙高4M=3m,BN=3m.今

有宽为2.4m的卡车在隧道的正中间行驶，如果卡车载物后的最高点E到隧道顶面对应的

点。的距离应不小于0.6m,那么卡车载物后的限高应是多少？(精确到0.1m)

试卷第4页，共18页

(1)点例的坐标是」

(2)求隧道顶MCN的抛物线表达式;

(3)求卡车载物后的限高应是多少？(精确到0.1m)

(25-26九年级上•河南商丘♦阶段练习)

9.某市•处十字路口立交桥的横断面如图所示，桥拱的。GQ'部分为•段抛物线，顶点G

的高度为8米，它两侧力。和是高为5.5米的支柱，。力和OH为两个方向的机动车通行

AnA'D'I

区，宽都为15米，线段CD和C'。'为两段对称的上桥斜坡，且哭=嗤=：.以CC所在

ACAC4

(1)求桥拱。G。所在抛物线的解析式及OC的长;

(2)8£和*/为支撑斜坡的立柱，其高都为4米，相应的和为两个方向的行人及非

机动车通行区，若然二桨，求力△的宽度;

“CAC

试卷第5页，共18页

（3）按规定，汽车通过该桥下时，载货最高处和桥拱之间的距离不得小于0.4米.今有一大型

运货汽车，装载某大型设备后，其宽为4米，车载大型设备的顶部与地面的距离均为7

米.它能否从桥下区域安全通过？请说明理由.

（2025九年级上•全国•专题练习）

10.某校想将新建图书楼的正门设计为一个抛物线型门，并要求所设计的拱门的跨度与拱高

之积为48m2,还要兼顾美观、大方，和谐、通畅等因素，设计部门按要求设计出了两个设

计方案，现把这两个方案中的拱门图形放入平面直角坐标系中，如图所示：

方案一，抛物线型拱门的跨度ON=12m,拱高PE=4m其中，点N在x轴上，

PE1ON,OE=EN.

方案二，抛物线型拱门的跨度OW=8m,拱高PE=6m其中，点M在》轴上，

PELON,OE=EN.

要在拱门中设置高为3m的矩形框架.其面积越大越好（框架的粗细忽略不计）.方案一中,

矩形框架力8C。的面积记为点/、。在抛物线上，边8C在ON上；方案二中，矩形框

架彳*CO的面积记为$2,点O'在抛物线上，边"C在OV上，现知，小华己正确求

2

出方案二中，当H*=3m时，52=1272m,请你根据以上提供的相关信息，解答下列闰题:

（I）求方案一中抛物线的函数表达式;

（2）在方案一中，当力8=3m时，求矩形框架48CO的面积S并比较S，色的大小.

题型三二次函数的应用之投球问题

方注-、解题方法总结（2点）

1.建立函数模型：以抛出点或地面为原点，水平为x轴、竖直为y轴，设二次函数为

y=ax2+bx+c（或顶点式），代入已知点（如抛出点、最高点、落地点）坐标，求出解析式.

2.解决核心问题：求最大高度用顶点纵坐标，求飞行时间/水平距离代入厂0解方程，

试卷第6页，共18页

求特定高度对应的水平位置代入y值求x值.

二、解题技巧总结(2点；

I.优先用顶点式：已知最高点时，设顶点式尸a(x-6)2+上快速求出。值，简化计算.

2.注意实际意义：舍去负的x值(时间/水平距离非负)，统一单位，避免因坐标含义混

淆出错.

(25-26九年级上•广西南宁•阶段练习)

11.投壶，源于射礼，是中国古代宴饮时做的一种投掷游戏.投壶的规则：由游戏者轮流站

在离壶一定距离的地方，用手把箭投向壶中并计算得分.箭在空中飞行的轨迹可以近似看成

抛物线.同学们受游戏启发，将箭抽象为一个动点，并建立了如图所示的平面直角坐标系

(单位长度为1m).某同学将箭从/(0J5)处抛出，箭的飞行轨迹为抛物线乙：》=仃2+&+。

的一部分，旦当箭的最大高度为2m时，距离投出点的水平距离为1m.把壶近似看作矩形

DEFG,已知壶口的宽度G"=0.2m,壶的高度政=0.72m.

(1)求抛物线上的表达式;

(2)若箭刚好由点G处擦边投入壶中，求人离壶的距离OE.

(25-26九年级上•吉林长春・期中)

12.掷实心球是长春市初中学业水平体育与健康学科考试的选考项目一男生在抛掷实心球的

过程中，实心球行进路线是一条抛物线，行进高度J(m：l与水平距离x(m)之间的函数关系

如图所示，已知该男生掷球时的起点高度是gm,当水平距离为4m时，实心球行进至最高

点3nl处.

(1)求丁关于x的函数表达式.

试卷第7页，共18页

(2)根据长春市2025年初口学业水平体育与健康学科考试项目评分标准(男生)，投掷过程

中，实心球从起点到落地点的水平距离不小于9.6m,则此项考试得分为满分，按此评分标

准，该生在此项考试中能否得满分，请说明理由.

(2024•陕西•模拟预测)

13.在一次足球训练中，小明练习射门，球射向球门的路线呈抛物线.如图所示，小明从

球门底部。正前方8m的4处射门，现以。为原点，以W所在直线为x轴，以球门高08所

在直线为轴建立平面直角坐标系.当球飞行的水平距离为6m时，球达到最高点，此时球

离地面3m.已知球门高04为2.44m.

(1)求抛物线的函数表达式，并通过计算判断球能否射进球门(忽略其他因素)；

(2)对本次训练结果进行分析，若球射向球门的路线的形状、最大高度均保持不变，则当时

他应该带球向正后方移动多少米射门，才能让足球经过点O正上方2.25m处射进球门？

(25-26九年级上•广东广州•阶段练习)

14.如图I为北京冬奥会“雪飞天”滑雪大跳台赛道的横截面示意图.取水平线OE为x轴，

铅垂线为y轴，建立平面直角坐标系.运动员以速度v(m/s)从。点滑出，运动轨迹近

似抛物线^=-。/+2'+2()(〃工0).某运动员7次试跳的轨迹如图2.在着陆坡CE」：设置点

K(与。。相距32m)作为标准点，着陆点在K点或超过K点视为成绩达标.

图I图2图3

(1)求线段CE的函数表达式(写出x的取值范围).

(2)当。="时，着陆点为P,求尸的横坐标并判断成绩是否达标.

试卷第8页，共18页

（3）在试跳中发现运动轨迹与滑Hl速度y的大小有关，进一步探究，测算得7组。与卢的对

应数据，在平面直角坐标系中描点如图3.

①猜想。关于一的函数类型，并用一个比较接近的函数关系式来表达它们的函数.

②当y为多少m/s时，运动员的成绩恰能达标？

（25-26九年级上•北京•阶段练习）

15.如图，小林和小伟在玩沙包游戏.沙包（看成点）抛出后，在空中的运动轨迹可看作抛

物线的一部分，小林和小伟分别站在点。和点4处，测得0力距离为8m.若以点。为原点,

。力所在直线为x轴，建立如图所示的平面直角坐标系，小伟在距离地面1m的点8处将沙包

抛出，小林在点C处接住，运动轨迹如图中G；然后小林跳起将沙包回传，运动轨迹如图

中C2.轨迹G中，测得沙包的水平距离x（单位：m）与竖直高度p（单位：m）的凡组

数据如下:

图1图2

水平距离

02468

x/m

竖直高度

1.02.53.02.51.0

y/m

请根据以上数据，解决问题：

（1）①抛物线G中，沙包运行的最高点距离地面的高度是m；

②求歹与x满足的函数解析式（不要求写出自变量的取值范围）：

（2）已知小林跳起将沙包回传的运动轨迹G近似满足函数关系式：y=瓜+2.小伟在

x轴上方1m的高度上，且到点力水平距离不超过1m的范围内接到了沙包，则的取值范围

是.

题型四二次函数的应用之喷水问题

试卷第9页，共18页

G方依-、解题方法总结（2点）

I.构建函数解析式：以喷水起点或地面中点为原点，水平为X轴、竖直为J，轴，设二次

函数为产d+Ox+c（或顶点式），代入已知点（如起点、最高点、落地点）坐标，求解解

析式.

2.解决实际问题：求最大喷高用顶点纵坐标，求喷水最远距离代入尸0解方程，求特

定高度的喷水宽度则代入y值求x值，计算两点间距离.

二、解题技巧总结（2点：

1.巧选坐标系简化计算：优先以喷水起点为原点，使c=O,解析式简化为尸ad+灰，减

少未知数.

2.聚焦关键数据：重点提取“起点高度、最大高度、落地点距离”等核心条件，忽略无关

信息，避免干扰：结果需统单位.

（2025•陕西・模拟预测）

16.某公园要修建一个喷泉景观，喷射水柱呈抛物线型，如图所示，线段。8表示水平地面,

以0为坐标原点，以08所在直线为X轴，以过点。且垂直于X轴的直线为y轴，建立平面

直角坐标系.已知：。力为安装的1.25m高的花形柱子，并在柱子顶端力处安置喷头向外喷

水.为使水流形状较为美观，设计成水流在距。4的水平距离为1m时达到最大高度，此时

（I）求满足设计要求的抛物线的函数表达式；

（2）若李师傅计划在线段0B上的点C处竖立一座雕像，雕像高CQ=1.76米，若想雕像不碰

到水柱，请求出线段。。的取值范围.

（25-26九年级上•陕西安康•阶段练习）

17.小红观察到一处喷水景观喷出的水柱呈抛物线形状，她对此展开研究：喷水装置0P竖

立在地面上，建立如图所示的平面直角坐标系，其中一条水柱距地面的高度y（m）与水柱

距喷水头的水平距离x（m）之间满足关系式y=-0.1（戈-4『+2.

试卷第10页，共18页

（1）求喷头P与地面的距离OP；

（2）已知身高1.6m的小红现直立在距离喷水装置OP3m的水柱正下方的点B处，此时她的头

顶并未接触到水柱，小红想要继续沿H4方向直立行走，当她的头顶恰好接触到水柱时，距

离点、B多远?

（2026九年级•贵州,专题练习）

18.综合与实践：为了提升高楼火灾灭火技能，某消防大队选择了一个废弃的高楼进行演练,

以大楼起火侧面所在直线为p轴，水平地面为x轴建立如图所示的平面直角坐标系.已知消

防车喷水口在距离大楼起火侧面16米、高4米的点G处，喷出的水流形状是抛物线

⑵若该楼距离地面21米处出现一个起火点，此时喷出的水流能否灭掉该起火点？若不能,

则消防车需再向前（靠近高楼）行进多少米才能快速灭掉这个起火点？

（3）由于火势蔓延到距离地面36米处，于是消防车打算采用伸长伸缩臂G”的方法灭火，阻

止火势进一步蔓延，已知伸缩臂与水平方向的夹角为。，且tana=2,伸缩臂伸长后不超过

10米，且喷出的水流形状与原来一样，则仲缩臂伸长后应为多少米？（提示：伸长仲缩臂

相当于将喷水口G先向左平移，再向上平移）

（25-26九年级上•广东东莞•阶段练习）

19.随着生活水平发展，小车已进入千家万户.洗车时喷水器喷出的水抽象而成抛物线，如

图，抛物线力8,力。是某喷水器喷出的水抽象而成（48是最近点，/1C是最远点），抛物线48

4

由抛物线4C向左平移得到，把汽车横截面抽象为矩形。ER7,其中。£=§米，DG=2米，

试卷第11页，共18页

3=力米，抛物线力。表达式为》=a（x-2『+〃+g,且点4伐。,伉。均在坐标轴上.

（1）若〃=4],求抛物线4C表达式，并指出x的取值范围;

（2）求抛物线AB表达式并指出x的取值范围；

（3）在条件（1）下，要使喷水器喷出的水能洒到整个汽车，记。。长为4米，4的取值范围

（直接写出结果）.

（25-26九年级上•湖北•阶段练习）

20.小明家新买了一个高度为30cm的长方体玻璃鱼缸，为打造流水景观，他在鱼缸侧面连

续注水，保讦鱼缸始终盛满水（水而离住缸底部高度即为鱼缸高度）.当在鱼缸侧面离水面

竖直距离为力（单位：cm）的位置开一个小孔时，从小孔射出水的射程（水流落地点离小

孔的水平距离）$（单位：cm）与力的关系满足关系式：s2=4/M〃-〃），其中〃为水面离

地面的高度（此处即鱼缸高度）.

（1）请写出/与力的函数关系式，并回答：当才为何值时，射程$达到最大值？最大射程是多

少？

（2）小明想在鱼缸侧面开两个小孔，使得两个小孔射出水的射程相等.若第一个小孔离水面

的竖直距离为。，第二个小孔离水面的竖直距离为/）,求。与〃之间的关系式；

（3）为了让流水景观更美观，小明打算在鱼缸下方垫一个木质底座.若垫窗后，射出水的最

大射程比原来增加了10cm,则垫高后小孔离水面的竖直距离为.

题型五二次函数的应用之图形问题

试卷第12页，共18页

G方依-、解题方法总结（2点）

I.构建函数解析式：设图形中关键边长、高或平移距离为X,结合面积、周长、体积等

公式，用x表示所求量（如面积、长度），转化为二次函数尸。产Wx+c.

2.求解实际问题：求最值（最大/最小面积）用顶点坐标，求特定值（面积相等、边长

相等）代入函数列方程，结合图形边长非负取舍答案.

二、解题技巧总结（2点）

1.数形结合分析：画出图形标注已知条件，直观梳理线段、面积关系，避免抽象思维偏

差，快速找到等量关系.

2.限定变量范围：根据图形边长、长度非负，确定自变量x的取值范围，顶点若超出范

围，取端点值作为实际最优解.

（24-25九年级上•湖北省直辖县级单位♦阶段练习）

21.如图某农场要建一个矩形的养鸡场，鸡场的一边靠墙（墙长18m）,另外三边由36m长的

栅栏围成.设矩形力4。。空地中，垂直于墙的边=面积为）仞2（如图）.

（1）求V与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围：

（2）若矩形空地的面积为160m2,求x的值.

（25-26九年级上•全国•期中）

22.如图，在△ZBC中，8c=2,S=8c=l.2是8c上任意一点（点2与点8,。不重合）,

047方的顶点/，£分别在4。上.设=o/QE的面积为九

（1）求V关于x的函数表达式.

（2）上述函数有最大或最小值吗？若有，求当x取何值时，7有最大或最小值；若没有，请说

试卷第13页，共18页

明理由.

（25-26九年级上•北京延庆•期中）

23.如图所示，有一直角梯形的苗圃，它的两邻边借用了成135。的墙角（墙足够长），另外

两边由总长为60m的篱笆围成.

（1）苗圃的面枳y（单位：m?）是8C的长x（单位：小）的函数，求该函数的表达式，并写

出自变量x的取值范围；

（2）判断苗圃的面积能否达到660m2,并说明理由.

（25-26九年级上•安徽合肥•期中）

24.在美化校园的活动中，某兴趣小组想借助如图所示的直角墙角（两边足够长），用20m

长的栅栏围成一个矩形花园45CQ（栅栏只围4c两边），设44=花园的面积为

Sm2.

（1）当x为何值时，花园面枳S有最大值？最大值为多少？

（2）若在墙角P处有一棵树与墙C。，力。的距离分别是】2m和6m,要将这棵树围在花园内

（含边界，不考虑树的粗细），当花园面积S最大时，的长为多少？

（25-26九年级上•湖北武汉•阶段练习）

25.如图，为美化环境，某小区计划在一块长为80m,宽为50m的长方形空地上修建一个

长方形花圃，并将花圃四周余下的空地修建同样宽的通道，设通道的宽为

（2）若通道面积与花圃面积之比等于3:7时，求此时通道的宽.

（3）已知杲园林公司修建通道的造价为X0元力或，花圃的造价为100元/nf,如果小区物业

试卷第14页，共18页

决定由该公司承建此项目，并要求修建的通道的宽度不少于2米且不超过6米，则通道宽为

多少米时，修建通道和花圃的总造价最低，最低总造价为多少元？

题型六二次函数的应用之图形运动问题

方4-、解题方法总结（2点）

1.建立函数关系：设运动时间为"用，表示图形中线段长度（如边长、高），结合图形

面积、周长等公式，转化为二次函数产ad+bx+c.

2.求解核心问题：求最值（最大/最小面积）用顶点坐标，求特定值（面积相等、线段

相等）代入函数列方程，结合运动范围取舍答案.

二、解题技巧总结（2点；

I.动态转化静态：截取运动中关键时刻（起点、终点、顶点对应时刻），画出静态图形,

直观分析线段关系，减少思维难度.

2.明确变量范围：根据图形边长非负、运动时间非负，确定，的取值范围，避免因忽略

范围导致错解.

（24-25九年级上•甘肃酒泉•阶段练习）

26.如图，。中，ZC=90°,AB=5,BC=3,S、。两点同时分别从力、。出发，

点S以每秒2个单位的速度沿着jC向点。运动，点。以每秒1个单位的速度沿着。8向点8

运动，当其中•点到达终点时，另•点也随之停止运动.

（1）求经过几秒，S。的长为2；

（2）设小。。的面积为y,点s、。的运动时间为％秒，求了与x的函数解析式，并写出x的

取值范围：

（3）当点S、。的运动时间为1秒时，求AS。。的面积.

（25-26九年级上•吉林,阶段练习）

27.如图，在中,乙4OB=90°，AO=RC）=8cm,矩形UOE歹的边在边OB上,

试卷第15页，共18页

边W在边力。上，点。与点。重合，。力=4cm,。尸=2cm,矩形CO£尸从点。的位置出发,

以每秒1cm的速度沿着的方向做匀速直线运动，当点。与点“重合时停止运动.设矩形

CQE/运动的时间为/s(,>0),矩形CO"'与ABO重叠部分的面积为Sen?.

(1)当点E落在边45上时,求f的值;

(2)求S与，之间的函数关系式；

(3)当S=7时，直接写出，的值.

(25-26九年级上•吉林白城•阶段练习)

28.如图，在。中，ZBAC=90°,AB=AC=2cm,动点、P,。同时从点力出发，分

别沿射线45和射线4c的方向均以lcm/s的速度匀速运动，连接尸。，以尸。为边向下作正

方形PQMN,设点。运动的时间为瓷(x>0),正方形PQMV与重叠部分的面积为

.yen?.(注：无重叠时，重叠部分面积看作0cm?)

(1)当点"落在线段8c上时，求x的值.

(2)求N关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围.

(2024九年级下•广东•专题练习)

29.综合运用

在RtZ\48C中，ZC=90°,。为边4c上一点，CD=0,动点尸以每秒1个单位长度的

速度从点C出发，在三角形的三边上沿CfBf力匀速运动，到达点力时停止，以。。为

边作正方形。P£7L设点产的运动时间为/S,正方形。PM的面积为S,试探究S与/的关

系.

试卷第16页，共18页

(I)如图1,当点P由点C运动到点E时，求S关于/的函数表达式.

(2)当点P由点8运动到点4时，经探究发现S是关于，的二次函数，并绘制成如图2所示

的图象.请根据图象信息，求S关于，的函数表达式及线段48的长.

(3)若存在3个时刻乙，G，G(4<4)对应的正方形。P即的面积均相等.

①求八，2的值;

②当4=4乙时，求正方形。的面积.

(2025•江苏南京•一模)

30.在平面直角坐标系中，ADOE是等腰直角三角形，/。。£=90。，。。=。£=3,点。

在x轴的负半轴上，点E在第二象限，矩形48。。的顶点〃(4,2),点C在x轴的正半轴上,

点力在V轴的正半轴上.将AOOE沿1轴向右平移，得到点DO,E的对应点分

别为。，O,E.

⑴如图1,当？。'经过点力时，求直线4的函数表达式；

(2)设=z,△OOE与矩形重叠部分的面积为S；

①如图②，当△力'。史与矩形48co重叠部分为五边形时，与4?相交于点"，E'O'

分别与4B,BC交于点N,P,用含有，的式子表示S—:直接写出/的取值范围」

试卷第17页，共18页

②请直接写出满足s=（的所有/的值

试卷第18页，共18页

1.(1)20%

(2)空调定价为2800元时，每天的利润最大，为7200元

【分析】(I)设月平均增长率为x,列出方程即可求解.

(2)列出利润关于降价金额的二次函数，利用顶点式即可求解.

【详解】(I)解：设月平均增长率为x,

依题意，得：75(l+x)2=108,

解得：^=0.2=20%,x,=-2.2(舍)，

「•商场7、8两个月售出空调的月平均增长率为20%.

(2)设该商场每台空调降价“元，则每天可多售黑台，每天的利润为w元，

JV*

H-=(3000-W-2500)(8+=-^w2+32m+4000=-^(w-200)2+7200,

当刀=200时,w最大=7200,

••・空调定价为2800元时，每天的利润最大，为7200元.

【点睛】本题考杳了一元.二次方程与二次函数的应用，解题关健是理解题意，正确列出方程

和函数关系式，会利用顶点式求出函数的最大值.

2.(1)10%

(2)商品涨价7.5元时，商家每天销售该商品获得的利润最大，最大利润是6125元

【分析】本题考查一元二次方程的应用、二次函数的应用，运用方程思想和二次函数性质是

解题的关键.

(1)通过设降价百分率列一元二次方程求解；

(2)设商品涨价〃?元，根据题意列出卬与加的函数关系式，再利用二次函数的性质即可解

答.

【详解】(1)解：设每次降价的百分率为

根据题意得，40(1-x)2=32.4,

解得$=0.1=10%,X2=I.9(不符合题意，舍去)，

答：每次降价的百分率为10%:

(2)设商品涨价〃?元，则每千克盈利(1。+加)元，日销量为(500-20机)千克.

根据题意得，H-=(10I^)(50020〃?)=20(/«7.5)2I6125,

答案第1页，共32页

因为-20<0,

所以当〃?=7.5时，卬有最大值6125,

答：商品涨价7.5元时，商家每天销包:该商品获得的利润最大，最大利润是6125元.

3.(l)^=-10x+600

(2)vv=-10x2+900.r-18000

(3)当售价定为45元时，月销售利润最大，最大利润是2250元.

【分析】本题考查了二次函数的应用，理解题意，正确得出二次函数的解析式是解此题的关

键.

(1)根据售价每上涨1元，月销量减少10件，原来月销量为200件，设销售单价为x元,

即可得月销量V=200-10(x-40)(件以

(2)设售价上涨x元，则单件利润为(x-30),销量为(600-IOx),再根据月利润=每件商

品的利润x每月销售量即可得解；

(3)根据二次函数的性质即可得解..

【详解】(1)解：已知售价每上涨1元，月销量减少10件，原来月销量为200件，销售单

价为1元，

所以月销量y=200—10(x-40)=-10x+600(件)

(2)解：由题意得W=(X-30)(600-10X)=-10F+900I-18000；

(3)解：vw=-1Ox2+900x-18000=-10(x-45)2+2250,-10<0,

.•.当x=45时，卬有最大值为2250,

故当售价定为45元时，月销售利润最大，最大利润是2250元.

4.(1)每次下降的百分率为20%；

(2)①该商场要保证每天盈利15000元，每千克应涨价0元或1()元；②当每千克应涨价5

元时，每天的利润最大，最大利润是16000元

【分析】本题考查一元二次方程的应用、二次函数的应用，解答本题的关键是找到等量关系，

列出相应的方程和写出相应的函数解析式，利用二次函数的性质求最值.

(1)设每次下降百分率为x,得50(1-幻？=32,求解跳可.

(2)①根据销售盈利=销售量x每千克盈利，列出方程求解即可.

②根据题意，可以写出利润和涨价的函数关系式，然后利用二次函数的性质，即可求得当

答案第2页，共32页

每千克应涨价多少元时，每天的利润最大，最大利润是多少元.

【详解】(1)解：设每次下降的百分率为X,

由题意可得:50(1-x)2=32,

解得石=0.2,野=1-8(舍去),

答：每次下降的百分率为20%；

(2)①设每千克应涨价。元，

由题意可得：(15+a)(IOOO-4O4)=15OOO,

解得4=0,出=10,

答：该商场要保证每天盈利15000元，每千克应涨价0元或10元；

②设每千克应涨价〃1元，

由题意可得，力=(15+”"(1000-40w)=-40(W-5)2+16000,

・•・当m=5时，力取得最大值,此时%=16000,

答：当每千克应涨价5元时，每天的利润最大，最大利润为16000元.

5.任务1：36,1152；任务2：75元；任务3：1248元

【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，找准数量关系，正确列出一元二次方程是解

此题的关键.

任务1根据降价8元计算销售量和利润；

任务2通过建立一元二次方程求解利润为1050元时的降价额，并选择降价额最大的解；

任务3在销售单价为偶数的条件下，选择优惠力度最大(即销售单价最低)时的利润.

【详解】解：任务1：降价8元，售价为100-8=92元.销售量增加2x8=16件，

故销售量为20+16=36件.

每件利润为92-60=32元，

总利润为32x36=1152元.

任务2：设降价x元，则售价为(I。。-x)元，销售量为(20+2、)件，每件利润为

(100-x)-60=40-x元.则

(40-x)(20+2x)=1050.

解得x=5或x=25.

答案第3页，共32页

而优惠力度最大即降价最多，则x=25,

所以，售价为100-25=75元.

任务3：设降价x元，每天的利润为y元，则

y=(100-x-60)(20+2x)

=-2x2+60x+800

=-2(X-15)2+1250

va=-2<0,

二次函数图象开口向下，在对称轴X=15处取得最大值，

又因为销售单价为偶数，销售单价为100-x，所以100-x为偶数，则x为偶数，

要优惠力度最大，即X尽可能大,且无为偶数，所以取工=16,

当x=16时，y=-2(16-15『+1250=1248元，

即当优惠力度最大时，每天获得的利润为1248元

3、3

6.⑴卜二-17/+,+3；

644

(2)能，理由见解析

【分析】本题主要考查了二次函数的实际应用，正确理解题意求出抛物线解析式是解题的关

键.

(1)先求出点4点从点尸的坐标，再设出抛物线解析式代入求解即可得到答案；

(2)将水位上涨2m时的y代入解析式求出当时x的值，然后计算出两个时应的x的值之间

的差值即可得到答案：

【详解】(1)解：设抛物线表达式为)，=&，+以+以

由题意得40,3),5(16,3),尸(8,6),

64a+88+c=6

代入得”=3.

256a+16b+c=3

3

a=------

64

解得c=3,

答案第4页，共32页

33

二表达式为k一/+/3；

(2)解：水位上涨2m后y=2,

得2=+:*+3，

644

解得$=8+竽，匕=8一竿，

则水面宽为项-/一8+竿-6-号3=告叵＞8,

•••故游船能通过.

7.(1»=千+7

37

⑵

【分析】本题主要考查了二次函数的应用，待定系数法求二次函数解析式，解题的关键是正

确求出二次函数解析式.

(1)由题意可知，顶点时(0,7),设抛物线的函数解析式为》="2+7,将4(-6,3)代入求

解即可；

(2)设£(〃?,一"〃/+7),则曰7="7=-"〃/+7,EF=GH=-2m,然后表示出这三条

撑杆的长度和，然后根据二次函数得性质求解即可.

【详解】(1)解:由题意可知,顶点”(0,7),

•")为8c的中点，8C=12m,AB=CD=3m,

工点4(-6,3),

设抛物线的函数解析式为y=ad+7,

将4(—6,3)代入，得364+7=3,解得。二一"，

故该抛物线的函数解析式为V=-#+7；

(2)解：设石,则£G=尸〃+7,EF=GH=-2m

则这三条撑杆的长度和/=2x(-L/J+7-2m=--/«+—1+—»

I9)9l2；2

.•・当加=-彳9时，所需撑杆长度和的最大值为3号7m.

8.(1)(-23)

答案第5页，共32页

(2)隧道顶MCN的抛物线表达式为y=-0.3x2+4.2(-2W2)

⑶卡车载物后的限高约为3.1米

【分析】本题主要考查了二次函数图象和性质，待定系数法求函数表达式，求函数值，解题

的关键是掌握二次函数的图象和性质.

(1)根据建立的坐标系以及线段的长度求出点的坐标即可；

(2)利用待定系数法求解即可：

(3)利用自变量的值求出函数值即可.

【详解】(1)解：根据所建坐标系，

,:MN=4m,AM=3m,

二点M的坐标是(-2,3),

故答案为：(-2,3)；

(2)解：•••">=4.2,

,设抛物线的表达式为卜=尔+4.2("0).

•••它经过点M(-2,3),

.•.3=4(-2)2+4.2.

•••〃=-0.3.

•••隧道顶MCN的抛物线表达式为y=-0.3X2+4.2(-2SXS2)；

(3)解：当x=1.2时，>=-0.3xl.22+4.2=3.768,

.••3.768-0.6=3.168.

根据实际情况，当大于3.168时，点E到隧道顶面对应的点。的距离小于0.6m,

•••精确到0.1,取值为3.1,

二卡车载物后的限高约为3.1米.

9.⑴桥拱QG。'所在抛物线的解析式为l/k,力8的宽为6米：

(2)48的宽为6米；

(3)该大型运货汽车可以从桥下区域安全通过，理由见解析.

【分析】本题考查/二次函数的应用，待定系数法求解析式，掌握知识点的应用是解题的关

键.

答案第6页，共32页

（I）设桥拱QGO所在抛物线的解析式为尸加+c,由题意得G（0,8）,0（15,5.5）,然后

代入即可求解；

（2）根据题意求出“C=I6米，然后通过线段和差即可求解；

11

（3）在抛物线中当x=4时，J---X42+8=--X164-8=7^,然后与7.4比较即可.

909045

【详解】（1）解：设桥拱OGO所在抛物线的解析式为），=&/+。，

由题意得,G(0,8),0(15,5.5),

1

225。+。=5.5a=---

c=8，解得90,

c=8

二桥拱DGD'所在抛物线的解析式为y=-+8,

竿jAD=5.5,

=4x5.5=22(米),

••.OC=O/+4C=15+22=37(米),

答：0C的长为37米:

（2）解：•••黑=年=:，〃七=4米,

AC-4

:.BC=16(米),

：.AB=AC-BC=22-\(>=()(米),

答：的宽为6米:

（3）解：该大型运货汽车可以从桥下区域安全通过，理由,

137

当x=4时，y=--x42+8=--x!6+8=7—,

9045

371Q

•••7---(7+0.4)=—>0,

451745

•••该大型运货汽车可以从桥下区域安全通过.

124

io.(i)y=--x+-x

2

(2)^=18m,S]>S2

【分析】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，拱桥问题（实际问题与二次函数），解题

的关键是读懂题意，求出函数关系式.

（1）山题意知抛物线的顶点尸（64）,设顶点式用待定系数法可得方案一中抛物线的函数表

答案第7页，共32页

达式；

2

(2)令y=3可得％=3或x=9,故8c=6m,Si=ABBC=18m；再比较E、S2的大小即

可.

【详解】(1)解：由题意知，PE=4m,O£=；ON=gxl2=6m,

•••方案一中抛物线的顶点打6,4),

设抛物线的函数表达式为尸。(x-6『+4,

把0(0,0)代入，得，()="0-67+4,

解得：a=--,

y=--(x-6)2+4=--x2+—.r,

9V793

124

X+X

二•方案一中抛物线的函数表达式为y9-3-

1i4

(2)在/=-^一+天中，

令y=3得：3=_#+不；

解得x=3或x=9,

/.4C=9-3=6m,

/.S,=/l^C=3x6=18m2,

•/18>125/2，

।)3

11.(1]y=--x2-x+-

(2)2.4米

【分析】本题考查二次函数的图象及性质，待定系数法求二次函数解析式，掌握相关知识是

解题的关键.

(1)由题可知抛物线的顶点为(7,2),则y=〃(x+l)2+2,将点40J5)代入，即可求函数

的解析式即可;

(2)令-山-工+3=0.72,求出工=-2.6,则OE=2.6-0.2=2.4米.

22

【详解】(1)解：丁箭的最大高度为2〃?时，距离投出点的水平距离为4,

答案第8页，共32页

「•抛物线的顶点为（T2）,

y=a（x+1）2+2,

•••抛物线经过点40J5）,

a+2=1.5,

解得a=45,

/.y=-0.5（r+1尸+2=r2-r+^.

（2）令」x2-x+3=0.72,

22

解得x=-2.6或x=0.6（舍），

/.OE=2.6-0.2=2.4（米），

•••人离壶的距离。笈为2.4米.

12.（1）^=-—（x-4）+3

（2）能得到满分，理由见解析

【分析】本题考查二次函数的实际应用，待定系数法求二次函数解析式，解题的关键是正确

求出二次函数解析式.

（5、

（1）根据题意设二次函数的表达式为顶点式，代入起始点（）G的坐标即可求解；

（2）令y=o,求出落地点坐标与9.6m进行比较,从而作出判断.

【详解】（1）解：由题可知抛物线的顶点为（4,3）,

・••设）'关于x的函数表达式为y=a（x-4『+3,

把起始点",代入表达式，得在“。1）：？，解得

•••y=_［（x-4y+3；

（2）解：该男生在此项考试中能得到满分.

理由如下：

令尸=0,即0=一'（工一4『+3,

解得％=10,占=-2<0（负值舍去）.

•/10>9.6

・••该男生在此项考试中能得到满分.

答案第9页，共32页

13.(l)y=-《(x-2)2+3,不能射进球门

⑵Im

【分析】(1)由题意可知抛物线的顶点坐标为(2,3),设抛物线的表达式为y=o(x-2)2+3,

利用待定系数法可得)，=-]('-2)2+3,再把x=0代入求出y的值即可判断求解；

1乙

(2)小明带球向正后方移动,则移动后的抛物线为)=-\(一2-〃)2+3,把点(0225)

代入计算即可求解；

本题考查了二次函数的应用，理解题意，列出函数解析式是解题的关键.

【详解】(1)解：由题意可知，抛物线的顶点坐标为(2,3),

设抛物线的表