一元二次方程与新定义问题-2024-2025学年八年级数学下册【含答案】

27.9一元二次方程与新定义问题

（特色专题培优专练）

一.选择题（共10小题）

2

1.定义一种新运算：a®b=2a+b,a^b=ab，则方程（x+1"2=（3㊉x）-2的解是（）

A.$=0.5,x2=-2B.x,=0.5,x2=-1

C.X]=-0.5,X2=2D.X）=-0.5,x2=1

2.给出一种运算：对于函数歹二/，规定V=〃x£“.若函数y=x4,则有y'=4x/,己

知函数），=/,则方程，'=12x的解是（）

A.x=4B.x=-4

C.$=0,x2=4D.玉=0,x,=-4

3.定义新运算对于任意实数〃，b,都有a*b=M+3,其中等式右边是通常的

加法和乘法运算.例如：3*4=3x4+3=15.若关于x的方程x*（京+2）=0有两个实数根,

则实数%的取值范围是（）

A.〃<§B.%«§

C.k<；,且AHOD.k<^,且KHO

4.将关于X的一元二次方程x2-px+g=0变形为f=px-g,就可以将/表示为关于X的一

次多项式，从而达到“降次”的目的，又如N=x・x2=x（p.”q）=...,我们将这种方法称为“降

次法”，通过这种方法可以化简次数较高的代数式.根据“降次法”，已知：x2-x-\=0,且

x>0,则X3-2J2+2X+1的值为（）

A.1->/5B.1+75C.3-石D.3+6

5.定义运算：-1.例如：4☆2=4x22-4x2-1=7,则方程（-1）☆、=（）

的根的情况为（）

A.有两个不相等的实数根B.有两个相等的实数根

C.没有实数根D.只有一个实数根

6.对于实数4,定义运算“◎'为4合/）=/-2",例如：3®2=32-2X3X2=-3,则关

试卷第1页，共4页

于X的方程X③(A+l)=-〃的根的情况，下列说法正确的是()

A.有两个不相等的实数根B.有两个相等的实数根

C.没有实数根D.无法确定

7.定义：若两个•元二次方程有且只有一个相同的实数根，我们就称这两个方程为“同伴方

程”.例如/=4和(x-2)(x+3)=0有且仅有一个相同的实数根x=2.所以这两个方程为

“同伴方程”，若关于x的方程ax2+Z?x+c=O(a0)的参数同时满足a+b+c=0和

a-b+c=0,且该方程与(x+2)(x-〃)=0互为“同伴方程”，则〃的值为()

A.1或-1B.-1C.1D.2

8.对于任意实数〃，/),规定4*6=4+〃+外,已知〃产(切+1)=-1,则实数〃？的值为()

A.-1或2B.1或-2C.1或2D.一1或一2

9.若关于x的一元二次方程：6。-加)2+”=。与的口-")2+〃=0,称为“同族二次方程”.如

2(*-3)2+4=0与3(x-3r+4=0是“同族二次方程”.现有关于X的一元二次方程：2(x-l)2-l=0

与(“+2)/+(力-4坟+8=0是、，同族二次方程，那么代数式江+m+2018能取的最小值是()

A.2011B.2013C.2018D.2023

10.定义：关于x的一元二次方程：-〃?丫+〃=()与%(工-小)~+〃=()，称为“同族二次

方程”.如2(x-3/+4=0与3(x-3)2+4=0是响族一次方程”.若关于x的一元一次方程:

2(x—1)2+1=0与(。+2)X2+优-4)》+8=0是“同族二次方程，，.则代数式一口，+展+2()]9的

最大值是()

A.2024B.2023C.2022D.2021

二.填空题(共6小题)

11.小明设计了一个魔术盒，当任意实数对(。，3进入其中时，会得到一个新的实数加+2人

一3.例如把(2,—5)放入其中就会得到2?+2x(—5)—3=-9.现将实数对(〃?，-3〃?)放入其中，

得到实数4,则〃?=.

12.对于实数加，〃，定义新运算加*〃为：〃=(m+〃)W+2〃)+l.如果关于x的方程

、*4=、有两个相等的实数根，则。=—.

13.已知关于x的一元二次方程尔+云=0(。工0)的一个根为x=2024,则关于x的方程

试卷第2页，共4页

。（》-1）2+必=/＞的两个根分别为.

14.如果关于x的一元二次方程ad+云+,=（）有两个实数根，且其中一个根为另外一个根

的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”，若关于x的方程〃¥+3》+夕=0是倍根方程.则p,

夕需满足pq=.

15.定义新运算“※”：对于实数加，〃,P,q,有[见川※国,川=加〃+夕夕，其中等式右边

是通常的加法和乘法运算，如：[2,3]X[4,5]=2x5+3x4=22.若关于x的方程

+1,可※卜-2k,k]=0有两个相等的实数根，则k的值是.

16.新定义：[a,b]为一次函数y=ar+b（存0,a,b为实数）的“关联数”,若“关联数”[1,

m-2]的一次函数是正比例函数，则关于x的方程N+3Am=0的解为.

三.解答题（共7小题）

17.在实数或闱内定义运算“㊉”,其法则为:a0b=a2-h2.求方程（403）㊉x=24的解.

18.如果一元二次方程加+8+。=0（。工0）满足〃-/＞+c=0,那么我们称这个方程为“凤凰

方程”.

（1）判断一元二次方程3——4戈-7=0是否为凤凰方程，说明理由.

（2）已知2/_侬+5=0是关于x的凤凰方程,求〃?的值.

19.如果一元二次方程的两根相差1,那么该方程称为“差1方程”.例如』+工=0是“差1

方程”.

（1）判断下列方程V-7x+l2=0是否为“差1方程”？

⑵已知关于x的方程/+（2-加卜-2,〃=。（加是常数）是“差1方程”，求〃？的值；

⑶若关于x的方程尔+岳+1=0（。，b是常数，。＞0）是“差1方程”，设/=12°-加，求

Z的最大值.

20.定义：如果关于x的一元二次方程仆2+加+°=（）有两个实数根，且其中一个根是另一

个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”.

⑴请判断关于x的方程/-仆+。-1=0根的情况，并说明理由.

（2）若（1）中的方程两个实数根都是整数，且该方程是“倍根方程”，请求出。的值.

21.请阅读下列材料，并完成相应的任务.

如果关于x的一元二次方程/+瓜+。=0（"0）有一个根是1,那么我们称这个方程为“方

正方程

试卷第3页，共4页

⑴判断一元二次方程3/-5x+2=0是否为“方正方程”，请说明理由.

⑵已知关于x的一元二次方程5./-bx+c=O是"方正方程”，求2c的最小值.

22.定义：如果关于x的一元二次方程加+6+。=01》0)满足b+c=O,那么我们称

这个方程为“黄金方程

(1)判断一元二次方程41+15+7=0是否为“黄金方程”.并说明理由.

⑵己知3--心+〃=0是关于k的“黄金方程”，若切是此方程的一个根，贝卜〃的值为多少？

23.在一元二次方程/一2公+8=0中，若/—/>>(),则称。是该方程的中点值.

(1)方程/一8x+3=0的中点值是.

(2)已知/-〃犹+〃=0的中点值是3,其中一个根恰好等于〃，求〃的值.

试卷第4页，共4页

1.A

【分析】本题主要考查了新定义运算与一元二次方程的求解，熟练掌握新运算的定义并将其

转化为常规方程是解题的关键.

根据新运算的定义，将方程左右两边分别转化为代数表达式，得到一元二次方程，然后求解.

【详解】•••〃㊉b=2a+/),a^b=a2b,

，方程(X+1)^2=(3GT)-2的左边：(X+1)^2=(Y+1)2X2=2(Y+1)2,

方程(x+l)^2=(3㊉x)-2的右边：(3㊉x)-2=2x3+x-2=x+4,

•••方程化为2(J+1)2=X+4,

展开：2(.d+2x+l)=x+4,

即2/+4x+2=x+4,

移项：2/+3x-2=0,

解方科x「3±132-4x2x(-2)二一3±后二-3±5.

2x244

2八4-8

x=—=0.5,x,=—=-2n,

4-4

故选：A.

2.C

【分析】本题考查定义新运算及解一元二次方程，注意利用题中所给新定义把新运算转化为

所学函数是解决问题的关淀.

根据题中所给定义得到y'=3x2,得到一元二次方程31-12%=0,利用因式分解法解方程即

可.

【详解】解：:函数y=方程y'=12x,

3x2=\2x,

3--12x=0,

3x(x-4)=0,

3x=0,x-4=0,

玉=0,X2=4,

故选：C.

答案第1页，共13页

3.D

【分析】根据新定义运算法则列方程，然后根据一元二次方程的概念和一元二次方程的根的

判别式列不等式组求解.本题属于新定义题目，考查一元二次方程的根的判别式，一元二次

方程加+队+。=()口工0)的根的判别式=廿—，加：当判别式>0,方程有两个不相等的实

数根；当判别式=0,方程有两个相等的实数根；当判别式<0,方程没有实数根.

【详解】解：门*®十2)=0,

x(kx+2)+3=0,

整理可得kx~+2x+3=0,

又•••关于》的方程》*(依+2)=0有两个实数根，

k。。

"22-4itx3>0，

解得：喝且女工0,

故选：D.

4.B

【分析】由题可知/=升1,将所求式子变形为x(x+1)-2(x+1)+2r+l再求解即可.

【详解】解：•.•Nr7=0,

•中=1+1,

­-X3-2x2+2x+\

=x(x+1)-2(x+1)+2x+\

=x2+x-lx-2+2r+l

=x2+x-1

=(x+1)4-X-1

=2x,

,-x2-x-i=0,

/.a=\,b=-l,c=-1,

:.b=F-4t/c=l-4xlx(-l)=5,

解得工=匕@或工=匕正，

22

vx>0,

答案第2页，共13页

・X—1+石

・・X--------9

2

•••--2X2+2A-+1=1+V5,

故选：B.

【点睛】本题考查高次方程的解，理解题中所给降次的方法，灵活降次，准确求一元二次方

程的根是解题的关键.

5.C

【分析】按照新定义将所求方程转化为一元二次方程，求出△值，根据△值判断方程根的情

况.

【详解】由新定义知:(-1)☆x=(-l)«x2-(-l)»x-l=-x2+x-l=0

解得△=/_=I?_4x[-1)x(_1)=-3

•/A<0

•••此方程没有实数根

故答案为：C

【点睛】本题考查新定义运算、一元二次方程根的判别式，熟练利用△值判断根的情况是解

题关键(A<0,没有实数根：A=0,有两个相等的实数根：△〉()，有两个不相等的实数

根).

6.A

【分析】本题考查实数新定义运算和一元二次方程的知识，解题的关键是理解实数新定义运

算，把x③仕+1)=-2左化简，再根据根的判别式进行判断，即可.

【详解】-a®b=a2-2ah,

+\)=x2-2x[k+\]=-2k,

：.x2-2x(k+\)+2k=0,

vA=Z>2-4ac,

.••△=(24+2)2-4X1X2A=4〃2+8A+4-8A=4A2+4>(),

••・关于x的方程x®(k+\)=-2k有两个不相等的实数根，

故选：A.

7.A

答案第3页，共13页

［分析］由。+6+c=0和"/?+c=0可.得关于x的方程a/+bx+c=0(a。0)两个实数艰为

%=1,x2=-\,由(x+2)(x-〃)=0,可得(x+2)(x-〃)=0的根为x=-2或X=〃，根据

江+版+c=()(a/0)与(x+2)(x-〃)=0互为“同伴方程”，即得〃=1或〃=-1.掌握“同伴方

程”的定义是解题的关键.

【详解】解：••・同时满足。+6+。=0和a-b+c=0,

・•・关于x的方程。工2+瓜+。=0(。工0)两个实数根为占=1,x2=-\

v(x+2)(x-n)=0,

x+2=0或x-〃=0,

.,.(x+2)(x—〃)=0的根为x=-2或X=n,

•/ax21队Ic=0(qK0)与(xI2)(x")=0互为“同伴方程”，

〃=1或〃=-1.

故答案为：I或-1.

8.D

【分析】先根据所给新定义得到关于〃?的一元二次方程〃广+3阳+2=0,解方程即可得到答

案.

【详解】解：vw*(w+l)=-l,

二加+〃？+1+机("7+1)=-1,

•••nr+3m+2=0,

+1)(/7/+2)=0,

解得用=-1或加=-2,

故选D.

【点睛】本题主要考杳了新定义和解一元二次方程，正确理解题意得到〃/+3〃?+2=0是解

题的关键.

9.B

【分析】此题考查了新定义，配方法的应用，解二元一次方程组的，理解同族二次方程的定

义是解答本题的关键.根据同族二次方程的定义，可得出。和人的值，从而解得代数式的最

答案第4页，共13页

小值.

【详解】解：•••2(1)2+1=0与(a+2*+(Z>-4)x+8=0为同族二次方程，

(a+2)x2+(b-4).r+8=(a+2)(.r-l)z+l,

(a+2)x2+(h-4)x+8=(a+2)x2-2(a+2)x+a+3,

b-4=-2(a+2)

\=〃+3*

解得：ka=.5o

a.d+限+2018=5.d-10x+2018=5(x-If+2013,

.•.当X=1时，ar2+加+2018取最小值为2013.

故选：B.

10.A

【分析】本题主要考查了配方法的应用，解二元一次方程组，先将(。+2)/+(人-4■+8=0

变形为(〃+2)"—1)2+伽+。户+6—〃=0,再利用“同族二次方程”定义歹拙关系式，得至

与力的值，进而利用非负数的性质确定代数式的最小值.理解“同族二次方程”的定义是解题

的关键.

【详解】解：•♦•(4+2)/+S-4)X+8=0,

.♦.(a+2)(x2-2x+l)+2(a+2)x-(a+2)+伍―4)x+8=0,

S|J(«+2)(x-l)2+(2t7+Z))x+6-6r=0,

•.•2(%一1)2+1=0与(。+2)/+(/,一4)工+8=0是“同族二次方程”，

•••2(x-l)'+1=0与(4+2)[x-iy+(2a+b)x+6-a=0是“同族二次方程”，

.'.2a+h=0,6-a=1,

解得：。=5,Z)=-10,

贝lj-o¥2+8x+2019

=-5x2-10.r+2019

=-5(x2-2x+l)+5+2019

答案第5页，共13页

=-5(X-1)2+2024<2024,

当工=1时-，-G2+及+2019取最大值2024,

故选A.

11.7或一1##-1或7

【详解】根据题意得,〃“+2x(-3m)-3=4,

解得〃〃=7,"『-I，

•••〃?的值为7或

故答案为：7或-1

12.

3±2百

【分析】利用新运算的规定将原方程变形，再利用八=0列出关于。的方程解答即可.

【详解】''x*a=x,

.-.(x+«)(x+2a)+l=x,

即：x2+(3tz-l)x+2tf2+1=0,

・••关于1的方程工*。=工有两个相等的实数根，

-4(2/+1)=0,

整理得：/-6a-3=0,

解得：a=3±26.

故答案为：3±2>/J.

【点睛】此题主要考查了实数的运算，一元二次方程的根的判别式，本题是新定义型，理解

新定义的规定并正确应用是解题的关键.

13.1或2025

【分析】本题考查了换元法解一元二次方程.先移项，合并同类项得出

“x—炉+b(x—1)=0,再分别讨论x—1=0和x—1=2022的情况.

【详解】解：vtz(x-l)2+bx=b,

a(x-l)2+/)(x-l)=0,

答案第6页，共13页

即x-l=O时方程有根x=l,

・•,一元二次方程aP+/xr=O（Q/0）的一个根为x=2024,

•.1=2024,

此时x=2025,

故答案为：1或2025.

14.2

【分析】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程的根与系数的

关系是解题关键.设关于x的一元二次方程用2+3x+q=0的两个根分别为孙2〃?，再利用

一元二次方程的根与系数的关系求解即可得.

【详解】解:由题意,设关于1的一元二次方程.2+3/+.=0的两个根分别为办2册,

,且〃工（），

2m-m=幺■②

P

由①得：’〃二一万，

«G

将〃?二一一代入②得：—

ppP

则pg=2,

故答案为：2.

⑸i

【分析】由新定义的运算法则可得出关于X的方程为h2+（5-2A）x+k=0,由该方程有两

个相等实数根可得△=/『-4w=0,即（5-24）2-4公=0且4工0,解出〃的解集即可.

【详解】由新定义的运算法则可得出：

[x2+l,句※[5-2hjt]=fc（x2+l）+（5-2jt）x=Ax2+（5-2A）x+^.

v[x2+L小[5-2左，A]=0,

.-.kx2+（5-2k）x+k=0.

•••该方程有两个相等实数根，

.•.^=b2-4ac=（5-2k）1-4k2=0^k^0,

答案第7页，共13页

.

4

故答案为：-j.

4

【点睛】本题考查新定义下的实数运算，一元二次方程的定义，根据一元二次方程根的情况

求参数.掌握一元二次方程&+6+c=0(a*0)的根的判别式为△=〃-4ac,且当A>0时,

该方程有两个不相等的实数根；当△=()时，该方程有两个相等的实数根；当△<()时，该方

程没有实数根是解题关键.

16.x1=~1,%2=-2.

【分析】利用题中的新定义求出m的值，代入一元二次方程，运用因式分解法解方程，即

可求出解.

【详解】解：由“关联数”定义得一次函数为y=x+a-2,

又•.•此一次函数为正比例函数，-2=0.

解得：m=2,

•,・关于x的方程为/+3升2=0,

因式分解得：(x+l)(x+2)=0,

•••x+l=0或x+2=0,

•••x/=-1,x2=-2：

故答案为x/=-1,x2=-2.

【点睛】本题考查新定义“关联数”、一元二次方程的解法以及一次函数的定义，弄清题中的

新定义是解本题的关键.

17.x=±5

【分析】按照题中给出的计算法则进行运算，其中有小括号的要先算小括号.

【详解】解：想㊉b=a27,

(4㊉3)©x=ST?)㊉x=7㊉x=7?-x2

.-.72-x2=24

.,•x2=25.

.•.x=±5.

【点睛】本题属于新定义题，根据新的定理掌握新的运算法则是解答本题的关键.

18.(1)一元二次方程3/-4x-7=0是凤凰方程，理由见解析

(2)w=-7

答案第8页，共13页

【分析】本题主要考查•元二次方程的解，准确理解“凤凰方程''的定义是解题的关键.

(1)根据凤凰方程的意义进行计算即可：

(2)根据凤凰方程的意义得到关于〃7的方程计算即可.

【详解】(1)解：由题意得："3力=-4,c=-7,

〃-人+c=3—(—4)—7=0,

故一元二次方程3/一41-7=0是凤凰方程；

(2)解:由题意得：a=2,b=-m,c=5,

,*-2x2-mx+5=0是关于x的凤凰方程,

：.a-b+c=2-(-m)+5=0,

即2+m+5=0,

解得：〃?=-7.

19.(1)是

⑵-1或-3

(3)16

【分析】本题考查了解一元二次方程，一元二次方程根的判别式.熟练掌握因式分解法，公

式法解•元二次方程是解题的关键.

(1)因式分解法求得R=3,X2=4,然后根据“差1方程”的定义进行判断作答即可；

(2)因式分解法得X=〃7,x2=-2,由“差1方程”的定义可得加=-2+1或加=-2-1,计算

求解即可；

(3)由题可得，^=b2-4ac=b2-4ax\=b2-4a>(),公式法解方程得x=一"±''一,。

____________2a

由“差1方程”的定义得一"+整理得，/=/+4〃，即

2a2a

22

z=8a-t7=-(^-4)+16,然后求解即可.

【详解】⑴解:f-7X+12=0,

(x-3)(x-4)=0,

解得X=3,x?=4,

v4-3=l,

-7x+12=0是“差1方程”；

答案第9页，共13页

(2)解：X2+(2-W)X-2W=0,

(x-w)(x+2)=0,

解得，阳二机，x2=-2,

...方程/一(2一间x—27〃=o(机是常数)是“差1方秋，，

•••=-2+1或川=-2-1,

解得〃？=一1或，〃=一3；

•••加的值为-1或-3；

(3)解：由题可得，^=b2-4ac=b2-4ax\=b2-4a>0，

.••解方程得x=1b±J"—4a,

2a

;关于x的方程ad+6x+l=0(。，/>是常数，a>0)是“差1方程”，

；.-[)+介-4a_-b7b二4a=i，整理得，〃二二+而，

2a2a

・"=12。-〃，

•••/=8a-a2=-((7-4)~+16,

，。=4时，，的最大值为16.

20.(1)。工2时，该方程有两个不相等的实数根，。=2时，该方程有两个相等的实数根，理

由见解析

(2)a的值为3

【分析】本题考查了解一元二次方程，一元二次方程根的判别式的意义，熟练掌握一元二次

方程的解法以及一元二次方程根的判别式的意义是解题的关键；

(1)根据一元二次方程根的判别式的意义分析，即可求解；

(2)根据因式分解法解方程解得占=1,々=〃-1，然后根据“倍根方程’'的定义且方程两个

实数根都是整数，分类讨论，即可求解.

【详解】(1)。了2时，该方程有两个不相等的实数根，。=2时，该方程有两个相等的实数

根，理由如下：

解：因为△=(一。)2-4(4-1)=伍-2)2,

则当a±2时，△>(),

所以该方程右两个不相等的实数根.

答案第10页，共13页

当〃=2时，△=(),

所以该方程有两个相等的实数根.

(2)由方程工2一ax+a-1=0得，

(X-1)(X-6Z+1)=O,

解得XI=l,x2=47-1.

囚为该方程是“倍根方程〕

①当l=2(a-l)时,

解得a］，

则=；因为方程的根为整数，故舍去.

②当a-l=2xl时，

解得a=3.

则。-1=2为整数，符合