2026年高考数学复习（全国）空间向量的概念与运算（讲义）解析版

专题7.5空间向量的概念与运算（举一反三复习讲义）

【全国通用】

1、空间向量的概念与运算

空间向量与立体几何是高考的重点、热点内容，其中空间向量的概念与

命题规律

运算是空间向量与立体几何的基础。从近三年的高考情况来看，空间向量的

概念与运算考查相对较少，主要以选择题的形式考查，主要涉及空间向量的

分析线性运算、数量积运算与空间向量基本定理等内容，难度较易，复习时要熟

练掌握空间向量的概念与运算相关内容。

考点2023年2024年2025年

高考真题

全国乙卷（文数）：

统计空间向量的第19题，12分上海卷（秋考）：第

概念与运算全国甲卷（理数）：15题，5分

第11题，5分

预测在2026年全国卷高考数学中，空间向量的概念与运算的考情将继

2026年续维持稳定态势，考查概率较低。最有可能在选择题中考察，主要考查空间

向量的坐标运算、空间向量的数量积，分值稳定在5分左右；侧重考查数学

命题预测运算能力和空间想象能力，要学会灵活求解。

定义：在空间，具有大小和方向的量叫做

空间向量

空间向量的c

表示方法：①几何表示法；②字母表示法

「有关概念I

空间向量的

概念零向量、单位向量、相反向量、共线向量

.几类特殊的（平行向量、相等向量

空间向量

空力⑪去二减法、数乘运算

空间向量的

间「线性运算运算津号换律;②结合律;③分配律

空间向量的

向

线性运算共线向量定理的用途：①判定两条直线平

彳叫②证明三点共线

量一共线向量定

理

的

空间向量夹利用空间回量的夹角公

概「角的计算

空间向量的

念

I空间向量数求空间向量数量积的步骤

与量积的计算

运

用基底表示a）定基底H2）找目标；（3）下结论

算向量的步骤

空间向量基

本定理（1）证明平行、共线、共面问题；（2）求夹

解决相关问角、证明垂直问题」（3）求距离（长度涧题

题

F

空间向量的力山去、减法、乘法、数量积运算

—坐标运算

坐标运算

知识梳理

知识点1空间向量的有关概念

1.空间向量的概念

(1)定义：在空间，具有大小和方向的量叫做空间向量.

(2)长度或模：向量的大小.

(3)表示方法：

①几何表示法:空间向量用有向线段表示；

②字母表示法:用字母a,b,C,…表示；若向量”的起点是儿终点是8,也可记作刀，其模记为同或|刘

(4)几类特殊的空间向量

名称定义及表示

零向量长度为()的向量叫做零向量，记为0

单位向量模为1的向量称为单位向量

相反向量与向量”长度相等而方向相反的向量，称为G的相反向量，记为一”

共线向量如果表示若干空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，那么这

(平行向量)些向量叫做共线向量或平行向量.规定：对于任意向量都有

相等向量方向相同且模相等的向量称为相等向量

知识点2空间向量的线性运算

1.空间向量的线性运算

加法a-^h=OA+=k

空间向减法a-b=OA—OC=CA0aA

量的线

当A>0时，)M=).OA=PQ-*/。/

性运算//\a(A>0)Aa(A<0)

数乘当2<0时，/M=AOA=加；

：

当2=0时，九i=00P

交换律：a+b=b+a；

运算律结合律：0+(b+c)=(a+b)+c,4々)=(加)〃：

分配律：a(o+b)=A«+劝.

2.共线向量定理

(I)共线向量定理

对于空间任意两个向量以好0)，〃〃力的充要条件是存在实数3使〃=乃.

(2)共线向量定理的用途：

①判定两条直线平行；

②证明三点共线.

知识点3空间向量的数量积

1.空间向量夹角的计算

求两个向量的夹角：利用公式cosG，》=a♦b求COS〈4,右〉，进而确定〈。力).

向同

2.空间向量数量积的计算

求空间向量数量积的步骤:

(I)洛各向量分解成已知模和夹角的向量的组合形式.

(2)利用向量的运算律将数量积展开，转化为已知模和夹角的向量的数量积.

(3)代入a­b=时,，cos〈a,/»求解.

知识点4空间向量基本定理及其应用

1.空间向量基本定理

如果三个向量mb，c不共面，那么对任意一个空间向量p，存在唯一的有序实数组(x，歹，z),使得p=m

+M+ze.

我们把｛a,b,c｝叫做空间的一个基底，叫b,c都叫做基向量.

2.用基底表示向量的步骤：

(1)定基底：根据已知条件，确定三个不共面的向量构成空间的•个基底.

(2)找目标:用确定的基底(或已知基底)表示目标向量，需要根据三角形法则及平行四边形法则，结合相等向

量的代换、向量的运算进行变形、化简，最后求出结果.

(3)下结论:利用空间的一个基底｛),2｝可以表示出空间所有向量.表示要彻底，结果中只能含有

7，九c,不能含有其他形式的向量.

3.证明平行、共线、共面问题

(1)对于空间任意两个向量m仇bWO),的充要条件是存在实数九使4=乃.

(2)如果两个向量〃，力不共线，那么向最p与向最〃，〃共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x,刃，使

p=xa-\-yb.

4.求夹角、证明垂直问题

/t•b

(l)e为G,。的夹角，WJcos0=......

I«l\b\

(2)若m力是非零向量，则力=0.

5.求距离(长度)问题

\a\=y/a-a(|力同=AB•AB).

6.利用空间向量基本定理解决几何问题的思路：

(1)平行和点共线都可以转化为向量共线问题：点线共面可以转化为向量共面问题：

(2)几何中的求夹角、证明垂直都可以转化为向量的夹角问题，解题中要注意角的范围：

（3）几何中求距离（长度）都可以转化为向量的模，用向量的数量积可以求得.

知识点5空间向量的坐标运算

1.空间向量的坐标

在空间直角坐标系Oxyz中，给定向量”，作.由空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组（x,y,z）,

使。=与+力+zA.有序实数组（x,z）叫做a在空间直角坐标系O-xyz中的坐标，上式可简记作〃=（戈，y,

2）.

2.空间向量的坐标运算

设a=（m,。2,。3），b=（b\,岳,方3），有

向量运算向量表示坐标表示

加法a+b=（m+①，/+岳，6+①）

减法

a-ba-b=（a\-b\t仅一岳，。3—九）

数乘Aa=（Xa\f2例，2a3），2ER

数量积ab+0262+4363

【方法技巧与总结】

1.三点共线:在平面中48,。三点共线方+y公（其中户产1）,0为平面内任意一点.

2.四点共面:在空间中P/4,。四点共面—3+z友（其中x+Hz=l）,。为空间中任意

一点.

举一反三

【题型1空间向量的线性运算】

【例1】（2025•黑龙江齐齐哈尔•二模）在三棱柱48C-4181cl中，设荏=AC=b,AA^=c,N为BC

的中点，则硒=（）

A.五+b+ZB.+b+EC.—cD.:方+

22222

【答案】C

【解题思路】由空间向量的线性运算法则即可求解.

【解答过程】连接4N,如图，

因为W为以；的中点,

所以审=A^A+AN=-AA^+^（AB+AC）=|a+|b-c.

故选：C.

【变式1-1]（2025・新疆喀什做拟预测）在任意四边形48。。中，£*分别是4。，8。的中点，指市+沅=定应

则4=（）

A.iB.1C.2D.3

【答案】C

【解题思路】根据向量加法法则，将而+反，而分别用而，反，而表示，再结合题意即可得解.

【解答过程】如图，AB+DC=AD-]-DC+CB+DC=AD+2DC+CB,

~EF=ED+DC+CF=-AD+DC+-CB,

22

:.AB+DC=2EF,A=2.

故选：C.

【变式1-2](24-25高二上•陕西咸阳•月考)三棱锥0-4BC中，雨二苍,而=元沆二K点M为8c中点,

点N满足而=2AM,则而=()

A1-»IT2fnITir,2-

A.-a——b——cB.-a——b+-c

233233

C.-a--b--^D.--H--S+-C

322232

【答案】C

【解题思路】由图形，题意，结合空间向量加减法可得答案.

【解答过程】而=雨+砺+而，又丽=2比5,M为8C中点,

112

MN=--(OB+06)+08+B0+ON=--(OB+OC)+08^-BO+-OA

乙乙。

2一1一1一2一1_

=-0A——OB——OC=—a——b--c.

322322

故选：C.

【变式1-3]（25-26高二上•天津静海•月考）如图，M,N分别是四面体。ABC的棱04BC的中点，点P在MN

上且满足而=[而，若=阳而=b,近=",则与而相等的向量是（）

A,软+如靛B.扣+笆+京

D-赳+挹+#

C软+笆+M

【答案】D

【解题思路】利用向量的线性运算，结合中线向量性质，即可求解.

【解答过程】由而二|而可得：OP-OM=^（ON-OM）=>OP=|0A?+^OM,

又因为M,N分别是四面体045。的棱。48。的中点,

所以而=1而+1或两二际,

222

又因为0A=a,OB=b,0C=c.

所以而=式项+为+gX旨=葩+顾+品

故选:D.

【题型2空间共线向量定理及其应用】

【例2】(25-26高二上・安徽滁州•期末)在空间直角坐标系中，若列(1,2,3),8(3,5,7),C(7,A15)三点共线,其

中幺€R,则2=()

A.11B.9C.7D.5

【答案】A

【解题思路】根据三点共线得出而=k而，应用平行坐标关系计算即可求解.

【解答过程】由题意知,AB=(2,3,4),=(6,2-2,12),

因为A,8,。三点共线，所以而二A而，

即(2,3,4)=k(6,4-2,12),解得A=g,/l=11.

故选：A.

【变式2-1](24-25高二下•福建龙岩•期中)设向量瓦，瓦,可不共面，已知而=可+或+瓦，

近二可+入与+石，而=4药+8与+4可，若A,C,D三点共线,则4=()

A.1B.2C.3D.4

【答案】C

【解题思路】根据题意，得到尤，根据4co三点共线得到前=15,再利用向量相等的条件求解参数即可.

【解答过程】因为而=可+瓦+可，灰=瓦+入瓦+瓦，而=4无+8祕+4可，

所以元=万+而=2可+(/1+l)ej+2瓦，

因为4C,D三点共线，所以存在唯一的实数又使得前=xCD,

所以解叱、

所以a=3.

故选：C.

【变式2-2](25.26高二上•江西南昌•期末)若时(1,2,3),做3,4,5)/(5,2通三点共线，则机一门=()

A.-1B.-2C.1D.0

【答案】A

【解题思路】由空间向量的坐标表示与共线定理，有市1=麻,即可解得m,ri的值，进而可求m-几的值.

【解答过程】而=(2,2,2),MP=i：4,7n-2,n-3).

2=4k(k=L

因为M,N,P三点共线，所以而=/c而，即2=k(m-2),解得《2，

(2=2-3)(n=7

则机-n=-1.

故选：A.

[变式2-3](24-25高二下•甘肃白果•期中)设心正,行不共面，已知府=2匹+2与+和丽=3可+2与+

点,而二33-2石+五，若4,C,〃三点共线，则入一〃=()

A.6B.12C.-6D.-12

【答案】C

【解题思路】首先表示出正，由43。三点共线，可得尼〃而，则则存在实数t使得尤=t而，根据空间

向量基本定理得到方程组，解得即可.

【解答过程】因为而=4可+2迹+可，无=3宙+2筱+〃瓦，而=3否一2器+瓦，

所以公=AB十BC=Ae7+2eJ十五十3元十2否十〃弓=(A+3)eJ+4遂十Q十1)可，

又4C,D三点共线，所以前〃而，

则存在实数t使得前=tCD,即(4+3)瓦+悠+(〃+1)可=£(3可-2可+瓦),

乂瓦,逵，可不共面，

p+3=3t(A=-9

所以4=-2t,解得t=-2,所以之一〃=一6.

,〃+1=tU=-3

故选：C.

【题型3空间共面向量定理及其应用】

【例3】(25・26高二上・江西萍乡•期末)已知空间中三个向量而=(1,2,3),衣=(2,-1,-1),而=(9,即一1)

共面，则实数%的值为()

A.1B.2C.-ID.-2

【答案】D

【解题思路】根据共面向量基本定理可求.

【解答过程】由题意可知，存在实数尢〃使得而=2而+〃冠，

即(9,x,-1)=入(1,2,3)+〃(2,-1,-1)=。+2〃,2A,3入一p),

则%+2〃=9,24-n=x,3X-n=-1,得x=-2.

故选：D.

【变式3-1](2025山西临汾•一模)在平行六面体AOCD-AMiGD]中，〃为CG的中点，而=AAU,A€(0,1),

若B,D,Ci，尸四点共面，则2=()

A.-B.-C.-D.-

2533

【答案】D

【解题思路】由四点B,D,G，F共面可得存在实数％y,使而=%西+、丽，用同一组基底向量表示出

BF.BCl.BD,根据系数对应相等列方程组求解.

[解答过程】由平行六面体的特征可得而=AB+BC-^CH=AB+AD+^AA^,

则方=AAH=AAB+AAD+g福,

所以前=而+希=赤+/1而+/1而+3可=。-1)而+痴+3标，

乂丽=AD-AB,西=丽+西=而+标，

又由8,D,G,F四点共面，可得存在实数x,y,使而=xBC[+yBD=x(AD+引)+y(AD-而)=-yAB+

(%4-y)AD+xAA^

M-1=-y

所以｛A=x+y，解得a=*

(-=x

12

故选：D.

【变式3-2】(2025・江西•模拟预测)已知四棱锥P—力BCD的底面48co为平行四边形，过点出的平面分别交

侧棱PC,PD,P4于E,F,G三点，若PG=GA,PE-2EC,则芸一()

FD

22「3「5

AA.-DB.-C.-D.-

5322

【答案】B

【解题思路】根据空间向量的线性运算表示丽，利用共面求出参数m,据此求出而而即可得解.

【解答过程】如图,

设竿=m（m>1）,

贝l」PB=PA+AB=PA+DC=PA+PC-PD=2PG+jPF-w.PF.

又6,E,F,G四点共面，所以2+；m=l,解得m=也

所以前二河，FD=PD-PF=^PF,得

故选：B.

[变式3-3]（2025•黑龙江齐齐哈尔•模拟预测）已知空间中有5个点E、力、B、C、D,若满足（1-X'）EA=：而+

^EC+AAD,且力、B、C、。四点共面，贝「的值为（）

4

A.—B.—C.—D.—

1212412

【答案】B

【解题思路】根据空间共面向量定理的推论可求/I的值.

（解答过程】由西-AEA=\EB+-FC+AAD^EA=:而+-EC+A（EA+而），

即瓦5=:丽+：前+4前，

34

由空间向量共面定理的推论可知，:+:+久一1,解得人一之.

3412

故选：B.

【题型4空间向量数量积及其应用】

【例4】（2026•辽宁大连•模拟预测）在棱长为3的正四面体力BCD中，点G是三角形4BD的重心，若空间内

一点P满足而=|诟一:蔗+：无，则方.近=（）

«5

A.3B.5C.7D.8

【答案】C

【解题思路】根据空间向量的线性运算可得而"荏+：而-彳而，PC=^AB+IAC+^AD,即可根据数

JDJOOO

量积的运算律求解.

【解答过程】由而=|而-[庶+|瓦可得，而=式正-;而-硝+式而-而)，

故间=[而+,而一g前，

]_1_22.]

PC=GC-GP=AC-AG-GP=AC--(AB+AD)>+PG=AC--(AB+AD)>+-AB+-AD--AC

OOOOO

=-AB+-AC+-AD,

333

又画=\AC\=\AD\=3,AB-AC=AB-AD=AD-AC=3x3x^=\

故正•PC=6荏+|ZD-萍)•QAS+浑+

=1AB2+-AB.^C=^x9+-x1=7,

99992

故选：C.

【变式4-1](2025•辽宁鞍山•一模)已知向量「=(3,5,1),b=(2,1,4),则0+E)%=()

A.36B.32C.56D.52

【答案】A

【解题思路】利用空间向量运算的坐标表示，列式计算即得•.

【解答过程】向量，=(3,5,1),b=(2,1,4),则五+石=(5,6,5),

所以①+b)・b=2x5+6xl+4x5=36.

故选：A.

【变式4-212025•山西•一模)如图，直三棱柱4BC-4B1G中"8=AC=BC==2,点尸为侧面4BB遇]

上的任意一点，则无•际的取值范围是()

A.[0,2]B.[1,3]C.[2,4]D.[3,5]

【答案】C

【解题思路】取＞18中点为原点O,建立空间直角坐标系，设P(x,O,z),由数量积的坐标表示得到正•画=/+

(Z-1)2+2,进而可求解.；

【解答过程】如图取力8中点为原点0,建立空间直角坐标系，设P(x,0,z),

PC=(-x,V3,-z),际=(一即、氏2-z),PC-=x2+3+z2-2z=x?+(z-I)2+2,

当人=±1，且Z=0或z=2时，玩•玩7取最大值4,

当％=0,且z=l时，正•瓦7取最小值2,所以玩•画的取值范围为⑵4].

故选：C.

【变式4-3](2025・山东枣庄・二模)已知三棱柱小比;一48£的各条棱长相等，且〃48=乙44。=48力。=

60。，则异面直线力B与BiC所成角的余弦值为()

近

AA.—Br..-1C.—D.—

6222

【答案】C

【解题思路】由题意可得瓦1=-诵+而-四，根据空间向量的数量积运算求C0S(瓦工丽)，即可得结果.

【解答过程】不妨设棱长为2,

由题意可知：I而I=\AC\=|祸1=2,而•而=而•诵=近.耐=2,

因为瓦？=瓦豆+~BC=-京+AC-AB,

222

则|函=^-AA^+AC-AB)=AA^+AC2+AB2+2AB•AA^-2ABAC-2AC-AA^

=4+44-4+4-4-4=8,

则瓦?|=2V2,

且瓦7^AB=-ABAA^+AB-AC-AB2=-4+4-4=-4,

可得cos(雨，近)=箭=亳=一圣

所以异面直线48与8】。所成角的余弦值为日.

故选：C.

【题型5空间向量基本定理】

【例5】(2025•湖北武汉•二模)在三棱柱48。-4当的中，设而=五，AB=b,AC='c,M,N分别为A3,

CCi的中点，则丽=()

A.|a+|b+cB.|a-1b+cC.a-^b+^cD.a+^+c

2222222

【答案】B

【解题思路】结合几何图形，利用给定的基底表示向量而•

【解答过程】在三棱柱48c-41当好中，MN=~MA+AC+CN=-^AB+AC++c.

【变式5-1】(2025・浙江温州•模拟预测)已知空间向量N=(l,0,0)范=(0,1,0),则下列向量可以与瓦方构成

空间向量的一组基底的是()

A.c=(0,0,0)B.c=(0,0,1)C.c=(1,1,0)D.c=(1,2,0)

【答案】B

【解题思路】根据基底的定义，判断丘石工是否共面即可逐一求解.

【解答过程】对于A,由于基底向量不能是零向量，故A错误，

对于B,由于下=(0,0,1)与五方不共面，符合基底要求，故B正确，

对于C,c=(1,1,0)=a4-5,故看,石工共面，不符合要求，C错误,

对于D,c=(1,2,0)=a+2b,故瓦瓦Z共面，不符合要求,D错误，

故选：B.

【变式5-2](25-26高二上•湖南岳阳•期末)如图，M,N分别是四面体048c的棱。力，8c的中点，Q是MN

上靠近点N的二等分点，OA=a,OB=~b,OC=~c,则而=()

o

A.B・须-转+品C.领+扛-某D.3+转+老

【答案】D

【解题思路】根据空间向量基本定理，以z,b,Z为基底表示出的即可.

（解答过程］易知的=OM+MQ=^OA+g丽=104+|（AL4+AB+丽）

=抑+:颜+肉一西+同=演1+|［颛+◎-西+*无一利

2

故选：D.

【变式5・3】（2025•湖北•二模）如图所示，在平行六面体48。。-48修山1中，AM=^MC,A】N2ND.

设而=a,AD=b,AAi=c,MN=xa+yb+zc,则x+y+z=（）

A.B,I

4

2D・1

c.3

【答案】D

【解题思路】根据空间向量的线性运算得市?=丽+而+而？=-52+35+3二则得到其和值.

【解答过程】因为4M=：MC,A"=2ND,

则标=瓦?+标+不?="/+祐+2不=-；（而+砌+标+式而一标）

JJJ«5

二一；五-^Z）4-c4-^b-^c=—:N++^c,

JJJJJJ

所以％=-[,y=z=g,故％+y+z=g.

故选：D.

【题型6空间向量平行、垂直的坐标表示】

【例6】(2025•江苏•模拟预测)已知空间向量五=(6,2,1),石=(2,%-3),若@一2为1五，则％=()

厂

..r>/23n一21

A.4B.6C.-4D.4

【答案】C

【解题思路】求得W-2石=(2,2—2箝7),进而可得12+4—4x+7=0,求解即可.

【解答过程】因为益-21=(6,2,1)-2(2,%,-3)=(2,2-2%,7),

因为(五一2石)_1五，所以12+4—轨+7=0,解得％=*

故选：C.

【变式6-1](25-26高二上•贵州铜仁・期末)已知2=(1,2,%),力=(2,4,6),且五II6,则％=()

A.0B.1C.2D.3

【答案】D

【解题思路】根据空间向量共线定理，代入公式，即可求解.

【解答过程】由力/及可知往二。，即(1,2,幻=乂2,4,6),

(2A=1

得卜4=2,解得：A=x=3.

(6A=x

故选：D.

【变式6-2](25・26高二上•青海•月考)若M(l,0,2)、N(2,l,l)、P(4,3,m)三点共线,则m=()

A.-2B.-1C.1D.2

【答案】B

【解题思路】求出向量而、而的坐标，分析可知而〃而，结合空间向量共线的坐标表示可求得实数m的

值.

【解答过程】因为M(1程,2)、N(2,l,l)、P(4,3,m),所以丽=(1,1,-1),MP=(3f3,m-2).

由M、N、P三点共线，可得而〃而，可得<=:==，解得比=一1.

33m—2

故选：B.

【变式6-3](25-26高二上•北京朝阳•月考)已知向量。=(一2,-3,1),6=(2,0,4),。=(一4,一6,2),则下列

结论正确的是()

A.alc,b1cB.a//c,albC.a//b,aleD.以上都不对

【答案】B

【解题思路】根据空间向量平行、空间向量垂直的坐标表示逐项;I•算判断即可.

【解答过程】因为向量之=(-2,-3,1),b=(2,0,4),c=(-4,-6,2),

所以=-2x(-4)+(-3)x(-6)+1x2=28H0,

所以32不垂直，选项A,C错误；

因为1=22,所以;〃工.

因为3b=-2x2+(—3)x0+1x4=0,所以展lb,B正确.

故选：B.

【题型7空间向量夹角、模长的坐标表示】

【例7】(2026•四川绵阳•二模)已知方=(1,2,3),1=(12,-1),若五1及贝昕|=()

A.瓜B.2V6C.3V6D.V14

【答案】A

【解题思路】根据2_L石求出％,再求同即可.

【解答过程】2=(1,2,3),1=(居2,-1),若五1瓦则豚•石=%+4—3=0,

解得％=-1,则|司="+4+1=遍.

故选:A.

【变式7-1](2025•广东惠州•三模)已知空间向量沅,元满足沆一元=(1,2,3),沅+元=(0,—2,1),则|丽2一同2=

()

A.-2B.IC.0D.-1

【答案】D

【解题思路】应用向最线性运算的坐标表示求出访，五坐标，再由模长的坐标公式求目标式的值.

【解答过程】由题设2记=(1,0,4)=沉=(；,0,2),2n=(-1,-4,-2)=>n=(--2,-1),

所以际|2_同2=y-Y=-1.

故选：D.

【变式7-2](2025•山东济南三模)已知在空间直角坐标系。一孙z中，做1,1,0),8(0,夜,1),。(2,1,—1),则

向量祀与砺夹角的余弦值为()

A_渔B--C—D—

66J656

【答案】A

【解题思路】根据给定条件，利用空间向量夹角公式求解.

【解答过程】依题意，m=(1,0,-1),丽=(0,四,1),

所以向显亚与布夹角的余弦值为黑黑=7T7=-T-

\AC\\OB\V3-V26

故选:A.

【变式7-3](25-26高二上•全国•期末)设%,y€R,向量4=(%,1,1)，b=(l,y,1),Z=(2,-4,2)且苍_L期

b/fc,则|五+同=()

A.3B.VWC.2V2D.4

【答案】A

【解题思路】由方13石//?求出4,y，再求出五十石，再用坐标求模即可.

【解答过程】因为运=(工,1,1),(二(2,-4,2)且为3_衣

所以a•c=2%—4x1+1x2=0,解得％=1,即五=(1,1,1),

乂因为刃=(l,y,1),c=(2,-4,2)且石〃?，

所以：=也=；,则y=-2,即6=(1,-2,1),

L—4L

故工+石二(2,—1,2),

所以怔+b\=J22+(-1)2+22=3.

故选：A.

高考真题练

考点一空间向量的概念与运算

一、单选题

1.(2024•上海•高考真题)定义一个集合。，集合中的元素是空间内的点集，任取Pi，P2，P3W。，存在不全

为o的实数;ii，az，%，使得入前1+入2两+入3西=0.已知(i,o,o)G。，则(ooi)e。的充分条件是()

A.(0,0,0)enB.(-1,0,0)eQ

c.(0,1,0)enD.(0,0,-1)en

【答案】c

【解题思路】首先分析出三个向量共面，显然当(1,0,0),(0,0,1),(0,1,0)时，三个向量构成空间的一个基底，

则即可分析出正确答案.

【解答过程】由题意知这三个向量而I，西，西共面，即这三个向量不能构成空间的一个基底，

对A，由空间直角坐标系易知(0,0,0),(1,0,0),(0,0,1)三个向量共面，则当(0,0,0),(1,0,0)EQ无法推出(0,0,1)C

。，故A错误；

对B,由空间直角坐标系易知(一1,0,0),(1,0,0),(0,0,1)三个向量为面，则当(一1,0,0),(1,0,0)EQ无法推出

(0,0,1)WC,故B错误；

对C,由空间直角坐标系易知(1,0,0),(0,0,1),(0,1,0)三个向量不共面，可构成空间的一个基底，

则由(1,0,0),(0,1,0)GC能推出(0,0,1)任O,

对D,由空间直角坐标系易知(1C0),(0,0,1),(0,0,-1)三个向量共面，

则当(0,0,-1)(1,0,0)e。无法推出(0,0,1)cc,故D错误.

故选：C.

2.(2023•全国甲卷•高考真题)已知四棱锥尸-48CD的底面是边长为4的正方形，PC=PD=3,LPCA=45。，

则aPBC的面积为()

A.2y[2B.3V2C.472D.6鱼

【答案】C

【解题思路】法一：利用全等三角形的证明方法依次证得△P。。三△PC。，APDBPCA,从而得

到P4=P8,再在△P4C中利用余弦定理求得24=g,从而求得PB=717,由此在APBC中利用余弦定

理与三角形面枳公式即可得解；

法二：先在△PAC中利用余弦定理求得P4=g,cos乙PCB=1,从而求得而•近=-3,再利用空间向量

的数量积运算与余弦定理得到关于P8,匕BP。的方程组，从而求得PB=g,由此在△P8C中利用余弦定理

与三角形面积公式即可得解.

【解答过程】法一：

连结AC,8。交于。，连结P。，则。为力&80的中点，如图，

R

因为底面ABCO为止方形，AB=4,所以AC=BD=472,则0。=CO=2<2,

又PC二PD=3,PO=OP,所以△。。。^△尸。。，则乙PDO=乙PC。，

又PC=PD=3,AC=BD=4V2,所以△PDB会△PC4,则PH=P8,

在△P4C中，PC=3,AC=4或/PC力=45°,

则由余弦定理可得PF=AC2+PC2-2AC-PCcosZ.PCA=32+9-2x4V2x3Xy=17,

故P4=V17,则PB=g,

故在△PBC中，PC=3,PB=A,BC=4,

PC2+BC2-PB29+16-17_1_

所以cosZ-PCB=

2PCBC2x3x4-3,

X0