2025高考数学二轮总复习：立体几何与空间向量（原卷版）

专题三立体几何与空间向量

第六讲空间的几何体的结构与度量

1.（2024♦天津）一个五面体ABC-Z）£F.已知AZ）//8E〃CV,且两两之间距离为1.并已知AD=1,BE=2,

CF=3.则该五面体的体积为（）

D¥4

2.（2024•昆明三模）某艺术吊灯如图1所示,图2是其儿何结构图.底座A8CD是边长为4五的正方形,

垂直于底座且长度为6的四根吊挂线A4.，BB、,CC,,一头连着底座端点，另一头都连在球O的表面

上（底座厚度忽略不计），若该艺术吊灯总高度为14,则球O的体积为（）

500万8644

I-—

3.（2024•贵阳一模）某圆锥的轴截面是一个边长为8的等边三角形，在该圆锥中内接一个圆柱，则该圆柱

的侧面积的最大值为（）

A.8乃B.4X/3.TC.8&兀D.16万

4.（2024•重庆模拟）已知三棱柱A8C-A4G，D,E,尸分别是棱AB,BC,C4的中点，记三棱柱

ABC-ABC的体积为V,则（）

A.棱锥A-。样的体积为如

B.棱锥A-ADEF的体积为:V

C.多面体.A班五的体枳为Q

D.多面体A4GOE”的体积为

5.（2024•山东模拟）如图，在正三棱柱ABC—A4G中，例=48=4,D是棱CQ上任一点，则（）

A.正三棱柱48C-A4G的表面积为48+86

B.三棱锥其一A3。的体积为竽

C.△0周长的最小值为8、历+4

D.三棱锥耳-A3。外接球的表面积最小值为与

【精选练习】

6.（2024•新高考I卷）已知圆柱和圆锥的底面半径相等，侧面积相等，且它们的高均为G，则圆锥的体

积为（)

A.2信B.3信C.65/LrD.9后

7.（2024•浙江模拟）已知圆锥了的母线长与底面圆的直径均为4G.现有一个半径为1的小球在丁内可向

各个方向自由移动，则圆锥「内壁上（含底面）小球能接触到的区域面积为_15乃_.

8.（2024•南京模拟）如图是两个底面半径都为1的圆锥底面重合在一起构成的几何体，上面圆锥的侧面积

是下面圆锥侧面积的2倍，APLAQ,则QQ=（）

9.12024•南昌一模）木桶效应，也可称为短板效应，是说一只水桶能装多少水取决于它最短的那块木板.如

果一只桶的木板中有一块不齐或者某块木板有破洞，这只桶就无法盛满水，此时我们可以倾斜木桶，设法

让桶装水更多.如图，棱长为2的正方体容器，在顶点C1和棱根的中点M处各有一个小洞（小洞面积忽

则用此容器装水，最多能装水的体积V=（）

6

3

10.（2024春•连云港模拟）如图，在棱长为2的正方体ABC。-A4CQ中，M,N,尸分别是CC,,

GA的中点，Q是线段RA上的动点，则下列说法中正确的是（）

A.存在点Q,使A,N,P、Q四点共面

B.存在点。，使PQ//平面MSN

C.三棱锥2-MAN的体积为二

3

D.经过C,M,B,N四点的球的表面积为％r

第七讲立体几何大题中的空间角与距离

1.：2024•武汉模拟）如图，在四棱锥尸-ABCD中，底面A8CZ）是平行四边形，PA=PB，DA=DB=O,

A8=2,PD=1,点、E,尸分别为A4和相的中点.

（1）证明：CFLPE；

（2）若PE=1,求直线C/与平面?如所成角的正弦值.

2.(2024•河北模拟)在三棱台AAG—AH?中，AAHC为等边三角形，48=24片=2,44,_1平面人BC,

M,N分别为A3,AC的中点.

(1)证明：平面8。。心//平面AMN；

(2)若A8_LAG，设。为线段BC上的动点，求4。与平面BCG旦所成的角的正弦值的最大值.

B

3.(2024•深圳一模)如图，在四棱锥尸-ABCD中，四边形A3CD是菱形，平面ABC£)_L平面皿＞，点M

在DP上，且=AD=AP,NRW=120。.

(1)求证：4Q_L平面ACM；

(2)若N/WX?=60°,求平面ACM与平面夹角的余弦值.

4.(2024•秦皇岛二模)如图，在四棱锥尸一人火刀中，BA=BD=BPf,CD=\,PA=PD=&,PA1PD,

石是棱24的中点，且5£//平面PCD,点/是棱PD上的一点.

(1)求证：平面。CD_L平面以。；

（2）若直线PC与平面说所成角的正弦值为小画，求。尸的长.

105

5.（2024•福建一模）如图，在正三棱柱/WC—AMG中，M=2A3=2,点。，E,尸分别是棱AC,CC,,

GA的中点，点。满足入户=4人月+〃八4，其中大£[0,1],/ZEfO,I].

（1）当4=〃=；时，求证：DP//平面AEF；

（2）当a=1时，是否存在点尸使得平面ACA与平面人所的夹角的余弦值是孚？若存在，指出点尸的

位置，若不存在，请说明理由.

6.12024•佛山模拟）如图，正三棱柱ABC-A4G中，A4=4,A4,=G,设点。为上的一点，过。,

A作平面8CC心的垂面a.

（1）画出平面a与正三棱柱48C-A,qG表面的交线，并写出作法；

（2）若A到平面a的距离为亭，求AC与平面a所成角的正弦值.

7.（2024•江苏模拟）如图，边长为4的两个正三角形ABC，86所在平面互相垂直，E,尸分别为国，

CZ）的中点，点G在棱相＞上，AG=2GD,直线AB与平面EFG相交于点”.

（1）从下面两个结论中选一个证明：①BD//GH；②直线//E,GF,4C相交于一点；

注：若两个问题均作答，则按第一个计分.

（2）求直线8。与平面EFG的距离.

8..（2024•东莞市三模）已知四棱锥力的底面八改7）是正方形，给出下列三个论断：①PC=PD；

②AC_L尸£＞；③平面八4C.

（I）以其中的两个论断作为条件，另一个论断作为结论，写出一个正确的命题，并证明；

（2）在（1）的条件下，若24=1,求四棱锥P-ABCD体积的最大值.

9.（2024•安阳三模）类比于二维平面中的余弦定理，有三维空间中的三面角余弦定理；

如图1,由射线24,PB,PC构成的三面角P—A4C,ZAPC=a,4BPC=0,ZA产8二y,二面角A—

的大小为。，则cosy=cosacos/?+sinasin/7cos0.

(1)当a、尸e(0,1)时，证明以上三面角余弦定理；

(2)如图2,四棱柱中，平面■平面A8CO,44,4。=60。，ZBAC=45°,

①求NAAB的余弦值;

②在直线CG上是否存在点尸，使8P〃平面％G?若存在，求出点尸的位置；若不存在，说明理由.

图1图2

【精选练习】

1().(2024•新高考口卷)如图，平面四边形ABCZ)中，AB=8,CD=3»AD=543,ZAZX?=90°,ZBAZ)=30。,

点、E,尸满足AE=2A/5,AF=-AB,将△A£b沿石厂对折至APE尸，使得尸。=46.

52

(1)证明：EF工PD；

(2)求面尸8q面尸B尸所成的二面角的正弦值.

11.(2024•福建模拟)如图所示为直四棱柱/3。。一44。0,/记=八。=2>/18=。£)=4,44=4,

N5C£>=60。，M,1％分别是线段3C,BC的中点.

(1)证明：8C_L平面仞/。；

(2)线段3c上是否存在点尸，使得d用//平面或阴，若存在，求出第的长，若不存在，请说明理由.

A

12.（2024•唐山一模）如图，三棱柱ABC-A4G中，侧面34GC为矩形，底面ABC为等边三角形.

（1）证明：入8=4。；

（2）若AA=A8=2,

①证明：平面A8CJ.平面A3C；

②求平面A8C与平面48G的夹角的余弦值.

13.（2024•宁波模拟）在菱形A8CD中，AI3=2,N8AO=60。，以4?为轴将菱形/WCO翻折到菱形48CQ,

使得平面A8GR_L平面A4c。，点E为边8G的中点，连接C£,DD1.

（1）求证：CE//平面A。%

（2）求直线CE与平面用）仅所成角的正弦值.

14.（2024•嘉兴二模）在如图所示的几何体中，四边形A4c。为平行四边形，R4_L平面A4C£>,PA//QD,

3c=2A8=2R4=2,ZABC=60°.

（1）证明：平面PCO_L平面Q4C；

（2）若PQ=2及，求平面PCQ与平面DCQ夹角的余弦值.

15.（2024•益阳模拟）如图所示，四边形A4CD为梯形，A13//CD，A4=2,AD=DC=CB=1,以AC为

一条边作矩形ACFE,且。/=1,平面AC小J■平面/WS.

（1）求证：BCLAF；

（2）甲同学研究发现并证明了这样一个结论：如果两个平面所成的二面角为a（0<av90。），其中一个平面

内的图形G在另一个平面上的正投影为G,它们的面积分别记为5G和SG，，则Sc=SG・cosa.乙同学利用

甲的这个结论，发现在线段Er上存在点M,使得^^=当.请你对乙同学发现的结论进行证明.

16.（2024•潍坊二模）如图I,在平行四边形A8CO中，A8=28C=4,ZABC=60°,石为CD的中点，

将AADE沿折起，连结班>,CD,且8。=4,如图2.

（1）求证：图2中的平面AD£_L平面A4CE；

（2）在图2中，若点F在棱BD上,直线Ab与平面A3CE所成的角的正弦值为叵，求点尸到平面DEC

10

的距离.

图2

17.（2024•温州I模拟）如图，以AD所在直线为轴将直角梯形A3CD旋转得到三棱台ABE-QCF,其中

AIi±BC,AB=2BC=2CD.

（1）求证：AD工BE；

⑵若㈤求直线4,与平面CDF所成角的正弦值.

18.（2024•南昌一模）如图，四棱锥尸-ABCQ中，底面AbC£＞是边长为2的菱形，ZABC=~,已知后为

3

棱AD的中点，P在底面的投影H为线段EC的中点，M是棱PC上一点.

（1）若CM=2MP,求证：PE//平面MBO；

⑵若PB工EM,PC=EC,确定点M的位置，并求二面角3—EM—C的余弦值.

微专题7“球”的问题与截面叵题

1.12024•烟台模拟）已知四面体A48的各顶点都在同一球面上，若AB=BC=CD=DA=BD=2g,平

面AM_L平面BC7）,则该球的表面积是（）

A.1004B.40乃C.20万D.164

2.（2024•深圳一模）己知某圆台的上、下底面半径分别为2且4=2%，若半径为2的球与圆台的上、

下底面及侧面均相切，则该圆台的体积为（）

.28%「40〃万564门1127r

A.------B.C.------D.-------

3333

3.（2023•嘉兴二模）已知菱形A8CZ）的边长为2,ZMD=60°,将沿对角线8。翻折，得到三棱锥

P-BCD,则在翻折过程中，下列说法正确的是（）

A.存在某个位置，使得PC_L3C

B.直线4c与平面所成角的最大值为60°

C.当二面角Q-4O-C为120。时，三棱锥P-AC力的外接球的表面积为陋

3

D.当PC=2时，分别以P,B,C,。为球心，2为半径作球，这四个球的公共部分称为勒洛四面体，

则该勒洛四面体的内切球的半径为2-亚

2

4..（2024•河南模拟）已知四棱锥P-/WCL＞的高为2,底面/WC7）为菱形，AB=AC=6E,尸分别为

PA,PC的中点，则四面体EF8D的体积为；三棱锥的外接球的表面积的最小值为.

5.（2024•南通模拟）已知正方体过点A且以防为法向量的平面为。，则a截该正方

体所得截面的形状为（）

A.二角形B.四边形C.五边形D.六边形

6.（2024•汕头一模）如图，在正方体中，石是棱CQ的中点，记平面ARE与平面A8CO

的交线为《，平面ARE与平面的交线为/?,若直线分别与乙、A所成的角为a、/，则tana=

tan(a+/7)=

7.（2024•浙江模拟）已知直三棱柱ABC-4再0，ZS4C=90°,AB=AC=AA.=\,AE=mA13（m>0）,

AF=nAC（n>0）tAG=tAA;（t>0）,平面瓦'G与直三棱柱人8C-4与£相交形成的截面为C,则（）

A.存在正实数机，n,t,使得截面。为等功三角形

B.存在正实数/〃，〃，/,使得截面。为平行四边形

C.当工+1=1,〃e（0,l）时，截面。为梯形

mt

D.当〃>1,0<«<1,0</<1时，截面O为梯形

8.（2024•三明模拟）在棱长为2的正方体A48-44G。中，E,F,G分别为旗,BC,G〃的中

点，则下列说法正确的是（）

A.若点尸在正方体的表面上，且尸巨匕=0,则点尸的轨迹长度为244

B.若三棱锥产-CCE的所有顶点都在球。的表面上，则球。的表面积为14万

C.过点石，F,"的平面截止方体人BCO-AACR所得截面多边形的周长为拒+2J将

D.若用一张正方形的纸把此正方体完全包住，不考虑纸的厚度，不将纸撕开，则所需纸的面积的最小

值为32

9.（2024•河北模拟）某正三棱锥的外接球的表面积为16乃，则当此三棱锥的体积最大时，底面所在平面截

球的截面面枳是（）

324

A.24B.44D.现

79

【精选练习】

1（）.（2024•临汾模拟）如图所示，在三棱锥尸-ABC中，PBtAB,PB=AB,围绕棱PA旋转60°后

恰好与AP4C重合，且三棱锥P-ABC的体积为之，则三棱锥尸-ABC外接球的半径尺为（）

A.1B.N/2C.V3D.2

11.（2024•洵泽一模）如图，在正四棱台A8CO-AACQ中，、B、=近,AB=2血,该棱台体积旷=1罟,

则该棱台外接球的表面积为.

12.（2024•衡水一模）某班级到一工厂参加社会实践劳动，加工出如图所示的圆台RO2,轴截面A4CO为

等腰梯形，且满足8=2AB=24）=28C=4a〃.下列说法正确的是（）

A.该圆台轴截面A8CD的面积为

B.该圆台的表面积为IbrcM

C.该圆台的体积为26万0/

D.该圆台有内切球，且半径为且5?

2

13.（2024•景德镇模拟）正方体4BCO-ABCR的校长为6,P,Q分别是棱A耳，AR的中点，过?，

Q，。作正方体的截面，贝心）

A.该截面是五边形

B.四面体CC/Q外接球的球心在该截面上

C.该截面与底面48CD夹角的正切值为逑

3

D.该截面将正方体分成两部分，则较小部分的体积为75

14.（2024•枣庄一模）在侧棱长为2的正三棱锥A-3CZ）中，点E为线段8。上一点，且AT>_LAE,则以A

为球心，V2为半径的球面与该三棱锥三个侧面交线长的和为（)

3叵冗3房

B.4171D.3岳

~7~~2~

15.（2024•漳州模拟）在正四棱柱ABC。-4用CQ中，AAi=2AB,E,产分别为棱AB,CG的中点，

过£,尸三点作该正四棱柱的截面a,则下列判断正确的是（）

A.异面直线EF与直线44所成角的正切值为当

B.截面a为六边形

C.若他=2,截面a的周长为2行+3小

D.若44=2,截面a的面积为口吐

6

微专题8空间中的动态问题

1.（2024•潍坊一模）如图所示，在棱长为1的正方体人BCD-AMGR中，点尸为截面AG8上的动点，若

DPLA.C,则点P的轨迹长度是（）

B.V2

2.（2024•广东模拟）已知正方体ABCO-AgGR的棱长为2,点“，N分别为棱。〃，ZX?的中点，点尸

为四边形AgGA（含边界）内一动点，且MP=2,则（）

A.AN//平面AMN

B.点尸的轨迹长度为鬲

C.存在点P,使得面力MN

D.点P到平面AMN距离的最大值为叵匕

3.（2024•安徽耀正优）已知直四棱柱的侧棱长为3,底面A3CD是边长为2的菱形，

ZBAD=-,M为棱。0上的一点，且MD=1,尸为底面A3CD内一动点（含边界），则下列命题正确的

是（)

A.若尸M与平面A4C。所成的角为王，则点尸的轨迹与直四棱柱的交线长为二

43

B.若点A到平面尸ZW的距离为G，则三棱锥M-%。体积的最大值为拽

3

C.若以。为球心的球经过点加，则该球与直四棱柱的公共部分的体积为例

D.经过8,C,M三点的平面截直四棱柱所得的截面面积为4

4.（2024•福建一模）在三棱锥。一A4c中，P4_L平面ABCAB_LBC,4A=8C=2,E4=26，点。是三角

形月内的动点（含边界），ADA.CD,则下列结论正确的是（）

A.。“与平面八AC所成角的大小为王

B.三棱锥C-A4D的体积最大值是2

C.。点的轨迹长度是丝

3

D.异面直线CO与A8所成角的余弦值范围是[法.m]

5.（2024•河南天一大联考）如图，将正四棱柱ABC。-A8cA斜立在平面a上，顶点G在平面。内，AGJL

平面a,/M,=2人8=6,点尸在平面a内，且PG=«.若将该正四棱柱绕八G旋转，则QC的最大值为（

）

B.而C.3瓜D.回

【精选练习】

6.（2024•盐城一模）在棱长为2d（a>0）的正方体ABC。-A8cA中，点”，N分别为棱AB,RG的中

点.已知动点尸在该正方体的表面上，且P”•PN=0,则点尸的轨迹长度为（）

A.⑵B.1InaC.24aD.24/ra

7.（2024•衡水模拟）如图，在棱长为2的正方体A8CD-A,4G〃中，已知M,N,尸分别是棱CQ,A4,,

8c的中点，点Q满足C0=4CC；,Ze[0,1],下列说法正确的是（）

A.PQ//平面AORA

B.若Q,M,N,尸四点共面，则4=，

4

C.若2=；，点尸在侧面BBCC内，且入尸//平面APQ,则点尸的轨迹长度为半

D.若％=（，由平面MNQ分割该正方体所成的两个空间几何体为Q和Q”某球能够被整体放入5或

。2，则该球的表面积最大值为（12-6百加

8.（2024•台州模拟）已知正方体ABC。-ABCR的棱长为I,P为平面A3CD内一动点，且直线。「与平

面A8C0所成角为（，石为正方形入人力R的中心，则下列结论正确的是（）

A.点尸的轨迹为抛物线

B.正方体ABCD-ABCR的内切球被平面A所截得的截面面积为-

6

c.直线。尸与平面C£）.G所成角的正弦值的最大值为史

3

D.点M为直线。出上一动点,则用P+M£的最小值为

9.（2024•南京模拟）如图，已知正方体ABCO-AgGA的棱长为2,点”为CG的中点，点。为正方形

/VCR上的动点，则（）

PtCl

4

A.满足M尸//平面8D4,的点尸的轨迹长度为四

B.满足的点P的轨迹长度为半

C.存在点P,使得平面4WP经过点5

D.存在点。满足24+尸〃=5

10.（2024•河北模拟）如图，在棱长为2的正方体A8CO-A4CQ中，点P是侧面AQRA内的一点，点七

是线段CG上的一点，则下列说法正确的是（）

A.当点?是线段A。的中点时，存在点石，使得平面

B.当点石为线段CG的中点时，过点A，E,A的平面截该正方体所得的截面的面积为:

C.点E到直线8R的距离的最小值为近

D.当点E1为棱CC的中点且尸£=2庭时，则点2的轨迹长度为日

11.（2024・T8联考）在正四棱台4BCO-AqCQ中，AB=2A^=443,M=加，点尸在四边形A4C。

内，且正四棱台ABC。-ASGA的各个顶点均在球。的表面上，AP=4,则（）

A.该正四棱台的高为3

B.该正四棱台的侧面面积是12万

C.球心。到正四棱台底面ABC。的距离为；

D.动点尸的轨迹长度是遥

2

12.（2024•江苏模拟）已知正四棱锥S-的所有棱长均相等，O为顶点S在底面内的射影，则下列说

法正确的有（）

A.平面夕U）_L平面SOC

B.侧面SBC内存在无穷多个点产，使得OP//平面SAD

C.在正方形A8CZ）的边上存在点Q，使得直线SQ与底面所成角大小为£

3

D.动点M,N分别在棱4?和上（不含端点），则二面角S-MN-O的范围是（?,］）

13.（2024•怀仁市校级三模）在三棱锥A—A3c中，4A_L平面ABC，ABLAC，AA,=AB=AC=3,P

为△人8c内的一个动点（包括边界），A尸与平面A3c所成的角为45。，则（）

A.A尸的最小值为后-6

B.AP的最大值为6+石

C.有且仅有一个点尸，使得APLBC

D.所有满足条件的线段相形成的曲面面积为九空

4

跨章节综合2立几与导数

1.（2024•温州二模）已知半径为,•球与棱长为1的正四面体的三个侧面同时相切，切点在三个侧面三角形

的内部（包括边界），记球心到正四面体的四个顶点的距离之和为〃，则（）

A.r