2025-2026学年北京市通州区高三（上期）期末考试数学试卷（含答案）

2026北京通州高三(上)期末

数学

2026年1月

本试卷共4页，共15()分。考试时长120分钟。考生务必洛答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。

考试结束后，请将答题卡交回。

第一部分(选择题共40分)

一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

(1)已知全集为R,集合A={xeZ|-2WiW4),B={x-W3},则=

(A){-2,4}(B){-2,—1,3,4}(C){-1,0,1,2,3}(D){x|-1W—43}

(2)已知复数z满足(1—i)z=l+i§,则|z-2|二

(A)1(B)&(C)75(D)5

(3)设S“为等差数列{《,}的前〃项和.若q=14,S5=S10,则q°=

(A)-4(B)-2(C)25(D)32

(4)已知半径为1的圆经过(2J),则其圆心到直线3x+4.y+IO=O的距离的最小值为

(A)2(B)3(C)4(D)5

(5)“ae(l,3)”是“函数/。)=1082工一工+〃在(2,8)上存在零点”的

(A)充分而不必要条件(B)必要而不充分条件

(C)充分必要条件(D)既不充分也不必要条件

414ax

(6)若(2x—3)=a4x++生/+\+4)，贝U/+g+4=

(A)-313(B)-312(C)312(D)313

(7)已知a,尸是两个不同的平面，〃>〃是两条不同的直线.下列四个命题：

①若aLpymLanLp.则ni_L〃

②若a_L£,rn±a,"?_Ln，则〃_L£

③若a///7,m/la>mlInf则〃///?

④若aI0=m,m!In>则〃//a或〃////

其中所有真命题的序号是

(A)①②(B)③④(C)①③(D)①④

(8)已知抛物线©:丁=2〃氏(〃>0)的焦点为「，准线/与x轴交于点£>,点A是抛物线C上一点，AM±l

于若AD为线段ME的套直平分线，|AD|=&，则抛物线方程为

(A)r=8x(B)y2=4.r(C)y2=lx(D)y2=x

(9)已知数列A：%M2，L，4,q=l,g=13,设加=q5-&(1WZW7,4eN*),若6=1或2,则满足条

件的不同数列的个数为

(A)7(B)21(C)35(D)70

7riiirIIiiu,IImuIuuUHtiuu

(10)已知点P为△A5C所在平面内一点，NA=q,|P/\|=|PB|=|PC|,若PA=2PB+〃PC,则4+〃的

取值范围是

(A)(B)1-V2J](C)[-⑸)(D)(-1,72]

第二部分(非选择题共11()分)

二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。

(II)已知双曲线C:撩-捺=1("。力＞0)的离心率为2,则该双曲线的渐近线方程为

(12)已知角a,夕的顶点与坐标原点重合，始边与工轴的非负半轴重合，终边分别交单位圆(圆心在原

点)于A,B两点，点人坐标为号,-|),则tana=—；若点B在第一象限，且网=，2,则

COSP~_.

(13)有两台光刻机生产同一型号芯片，假设第1台生产的次品率为5%,第2台生产的次品率为4%.现将

两台光刻机生产出来的芯片混放在一起，已知第1、2台光刻机生产的芯片占比分别为40%、60%.现

任取一枚芯片，则它是次品的概率为一:如果取到的芯片为合格品，则该合格品是第一台光刻机

生产的概率为一.

91

(14)已知函数f(x)=)+sinx,若而＞0,且/'(2。-1)+/(〃)=/(0),则一+—的最小值为

ab

(15)已知曲线C：/+),2一芍二直线/：)，=丘与曲线c交于成小,，2)两点.给出下

列四个结论：

①V”?＞0,2eR,总有N+々+*+%=0：

②当〃7=2时，|A8|W2应；

③曲线C所围成区域的面积为生画；

3

④当〃z=2时，T&wR,总有-"”.

33

其中正确结论的序号是—.

三、解答题共6小题，共85分。解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程。

(16)(本小题13分)

a

在△ABC中，角4,8，。所对狗边分别为a,4c,已知a-从osC=t/inC.

3

(I)求角3：

(H)若〃=屈，c=3,求△A3C的面积.

(17)(本小题14分)

如图，在三棱柱ABC-A4G中，侧面8CG与为矩形，AC=CB=2,A8=A4=2夜，£为的

中占

(I)求证：BC、〃平面4CE；

(II)从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为己知，

求直线M与平面4CE所成角的正弦值.

条件①：侧面4CGA为矩形；

条件②：ACA.BQ.

注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答诂分.

(18)(本小题13分)

开封占称汴梁、汴京，作为北宋都城长达168年，是当时世界上最大的都市，《清明上河图》描绘的正

是当年汴河两岸的繁华盛景.如今的开封，依托深厚的历史文化底蕴，打造了以清明上河园、开封府、大

相国寺、龙亭公园为代表的宋文化景区群，让游客穿越千年，感受“东京梦华”的独特魅力.为深化游客

对宋代文化的体验，开封旅游局推出了“宋文化深度游”项目.某旅行社组织了一个20人的“宋文化研学

团”，其中12人购买了景点联票(深度体验游客)，8人只购买了部分景点门票(精选游览游客).为增强

文化体验，旅行社准备从20人中班机抽取3人，赠送珍贵的《大宋御河夜游》船票，并可在船上自愿参与

北宋蹴鞠体验活动.

(I)求抽到的3人中恰有1人为“深度体验游客”的概率；

(II)如果游客参加“蹴鞠体验”活动的概率为0.6,且是否参与相互独立.设X="抽到的3人中实际参

加蹴鞠体验的游客人数”，求X的分布列及数学期望E(X).

(Ill)该旅行社对某天1000位精选游览游客的游览情况进行统计，得到如下数据：

景点编号一二三四

景点名称清明上河园开封府大相国寺龙亭公园

游览人数(人)829653499347

假设每个景点得到人们喜欢的概率与该景点的参观率相等，月&=1表示第k个景点得到游客喜欢，用

4=0表示第太个景点没有得到游客喜欢(2=123,4).结合上表数据，写出方差%，抬,。或的

大小关系.(结论不要求证明)

(19)(本小题15分)

已知椭圆氏£+*■=13>八0)的离心率为LA,8分别为E的左、右顶点，\AB\=4.

(()求椭圆E的方程；

(II)若O为坐标原点，过点P(-2,2)且斜率为女的直线/交椭圆E于不同的两点M,N(M,N异于点、B),

直线BM,8N分别与直线。尸交于点C,D试判断四边形ACBO是否为平行四边形，并说明理由.

(20)(本小题满分15分)

已知函数7⑴二％3-3alnx,〃>0.

(I)若〃=2,求曲线)，=/(x)在点A(1J⑴)处的切线方程；

(II)若存在％w(0,+oo),使/(/)<1，求。的取值范围；

(HI)若。«1,2),求证：对任意N，x,c["+8),当占时，不等式一」，一/(W』>_!.恒成立.

2苦一石3

(21)(本小题15分)

已知S是由N，W，L，工(〃wN*,〃22)这〃个数构成的所有排列组成的集合，例如：

若$=5,々=7,则5={(5,7),(7,5)}.

定义：①A与B的差A-8=(|%-々|,|a2-b2|,L,|可一2I).

②A与8的距离d(A,B)=|4-向|+1%一仇|+L+1凡一”|,

其中A=(q,a?,L,a“)wS,8=(4也,L也)eS.

(I)若a=i(i=1,2,3),写出集合S；

(1【)若耳=i(i=1,2,3,L,〃)，且q工々(i=1,2,3,L,〃)，求d(A,B)的最小值.

(HD若{见〃2+1},/neN,A,B,CwS,求证：d(A,B),d(A,C),d(B,C)三个数中至少有一个偶

数.

参考答案

第一部分

一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.

题号1245678910

答案ACABADDCBC

第二部分

二、填空题共5小题，每小题5分，共25分.

(11)y=±y/3x(12)--,-(13)0.044,—(14)9(15)①，④

45239

注：第(12),(13)题第一空3分，第二空2分；第(15)题全部选对得5分，不选或有错选得。分,

其他得3分。

三、解答题共6小题，共85分.

(16)(本小题满分13分)

解：(I)因为a-〃cosC=^7?sinC,

3

由正弦定理一夫=刍=三=27?，

sinAsinBsinC

得sinA-sinBcosC=—sinBsinC.

3

因为A+B+C=TT,所以sinA=sin(8+C)=sin3cosC+sinCcosb.

所以sinCeosB=—sinAsinC.

3

因为。为△ABC的内角，所以sinCwO,tan3=G.

所以B=..................8分

(H)因为〃=旧，c=3,

由余弦定理。2=a2+c2-2accos8得，a2-3a-4=0.

解得a=4,a=-l(舍去).

所以S=；acsinB=3\/5...................13分

(17)(本小题满分14分)

(I)证明：连接AG，交AC于。，连接£0,

由三棱柱的定义可知ACGA为平行四边形，

所以有o为AG的中点.

又因为E为八3的中点,

所以EO//BQ.

因为BGa平面£0u平面4。七，

所以8G〃平面ACE.5分

(H)解：选择条件①

因为人CG4为矩形，BCC】B［为矩形，

所以CC|_LAC,CC.1BC.

又因为AC=C8=2,AB=2y/2,

所以ACJ_8C.

如图建立空间直角坐标系C-冲2,

则C(0,0,0),A(2,0,0),4(2，。，2及)，E(1,1,O).

uuuuiai_uuu_

所以CE=(1,1,O),=(2,0,2V2),AA=(0,0.2&).

urn

mCE=O,x+j=0,

设平面4CE的法向量为旭=",），,z）,则IRW即

m-C4,=0,2x+2\［2z—0.

令y=l,则x=一］,z=^■.于是m=(-1,1,^^)......................................12分

设直线4A与平面ACE所成角为a,则

UULT)

Iuuirm-

sina=cos<7/I,A4114分

|w|

选择条件②

因为AC=CB=2,AB=2也,

所以ACJ_8c.

因为AC_LBC1,

所以ACL平面BB|GC.

所以AC_LCC「

以下同条件①.

（18）（本小题满分13分）

解：（I）设人="抽到的3人中恰有1人为“深度体验游客"”.

从20人中抽取3人的方法种数共有以种，

抽到的3人中恰有1人为“深度体验游客”的种数共有c：2c

所以抽到的3人中恰有1人为“深度体验游客”的概率P(A)=害=!|.……4分

C2G95

UI)X的所有可能取值分别为0,1,2,3

由题意X:例3,6・

所以P(X=0)=《($(3°=白，

JJ1/>J

"x=D=c*(|y=募

P(X=2)=Cq)G=卷,

JJ1乙J

户3=3)=。(令。(|)3=:

所以X的分布列为

9分

9

E(.¥)=0x—+lx—+2x—+3x—=10分

1251251251255

(III)。刍1V。刍.•,15分

(19)(本小题满分15分)

2a=4,

c_I

解：(由题设，

I)~a~2,

a2=b2+c2.

解得a=2,b=+.

椭圆E的标准方程为K+反=1.……

…5分

43

(ID由题意，直线/的方程为)，—2=©x+2).

)=2一y+2),得(3+软21+]6*伏+以+]6(&+1)2_]2=0.,

由《

3丁+4旷=12

由△>(),得太<-!

8

、“]，/、2,\hiii—\()k{k+1)16(A:+1)2—12

设拉即乂)，Ng%),人J%+&=3+4-'3+4^

直线BM的方程为y=(x-2),

%一2

直线BN的方程为y=」一(x-2),

x,-2

直线OP的方程为y

则C(2y一_肛r，D(2.一_生r

X1+yt-2N+y-2x2+y2-2x,+y2-2

所以2y+2.=4y%一+必)+2,与+2y

N+y-2x2+y2-2(A-+y,-2)(^+y2-2)

96%+4848攵+48TZ

因为4My-4(>',+y)+2yv+2yM==0»

223+4A?3+4公+3+小

所以|OC|=|OD|.

因为10Al=|08|,

所以四边形AC8。为平行四边形...................15分

(20)(本小题满分15分)

解(I)当〃=2时，f(x)=x3-61nx,

所以r*)=3^——2.

x

所以/⑴=1，f(D=-3.

所以切线方程为y=-3x+4...................4分

(U)r(x)=3d—网=3二令/'(x)=0,则户也，

XX

当Ovxv%?时，/"(x)＜0,/(工)单调递减；

当”〉妫时，r(x)〉O,〃力单调递增;

则f(工)取得最小值/(阪)=a-alna；

令g(a)=a-a\na,a＞0，则g'(a)=-\na,令g\a)=0得a=1.

当Ovavl时,g'(a)〉O,g(a)单调递增,

当。＞1时,g\d)＜0,g(a)单调递减,

所以以。)2=8⑴=1•

所以ae(O,l)U-..................9分

(III)当时，父＞%3,由第(2)问,/㈤在(而+O0)单调递增.

因为ae(l,2),则妫＜啦＜?则/⑴在［看+⑹单调递增.

—华)|/(土牛).

苦一巧X—苍

即证/(刈一/伍)>，片一只)，

即证/(%)-；M〉/仁)一

I72

即证人⑺=f(x)-Lv5=二Y-3alnX在[工+00)单调递增.

332

3

因为ae(l,2),.re[-,+<x>),

2(—-3)

w、今z3ar，62(/_3)幺§-

则h\x)=2r——>2x2一一=-------2-------->0，

XXXX

所以/©)在g，+8)上单调递增.

所以不等式"(V"」恒成立...................15分

3

(21)(本小题满分15分)

»：(I)S={(1,2,3),(1,3,2),(2,1,3),(2,34),(3,2,1),(3,1,2)}...................3分

(II)(1)当〃为偶数时：”(A,8)=j6—4|+1%-&I+L+1cin—bn\2”.

/4=(4吗1M“)中含有3■个整数对。其中"2=2左一1,14攵&gkGZ,

将所有这样的整数对交换位置变为组成4=应也,L也)，此时每•个整数对中对应数字之差均为1,

那么c