山东省聊城市2024届高三年级下册模拟考试（二模）数学试题

山东省聊城市2024届高三下学期模拟考试（二模）数学试

题

一、单选题

1.点夕在抛物线./=8x上，若点尸到点（2,0）的距离为6,则点P到轴的距离为（）

A.4B.5C.6D.7

2

2.已知集合用=《工一鼻<：X<1卜%={耳2_¥€2},则MflN=（）

3

A.{0,1}B.•,C.,J,—,D.---^-,0,—,1>

22J[22）122J

（2\

3.已知函数/（“为R上的偶函数，且当％>0时，/（A）=log4x-1,则/-V=（）

\/

2112

A.—B.—C.-D.一

3333

4.若圆G：V+）F=1与圆。2：*-，）2+（>-。）2=4恰有一条公切线，则下列直线一定不经

过点（。的）的是（）

A.2x+j-V2=0B.2x-y+2=0

C.x+y->/2=0D.x-y+2=0

5.班主任从甲、乙、丙三位同学中安排四门不同学科的课代表，要求每门学科有且只有

一位课代表，每位同学至多担任两门学科的课代表，则不同的安排方案共有（）

A.60种B.54种C.48种D.36种

6.已知双曲线。:£-4=1（〃>0力>0）的右焦点为人一条渐近线的方程为），=2x,若

a~b~

直线y=履与C在第一象限内的交点为且轴，则&的值为（）

&亚口石r4>/5n4G

2255

7.如图，在平面四边形A8CO中，AB=AD=2,ZB=2ZD=12（f,记△ABC与△4CD的面

8.已知圆柱。。的下底面在半球。的底面上，上底面圆周在半球。的球面上，记半球。的

底面圆面积与圆柱。的测面积分别为5,岳，半球0与圆柱。01的体积分别为匕匕，则当

SV

1的值最小时，彳的值为()

A.—B.75C.—D.及

34

二、多选题

9.已知向量=若人在〃上的投影向量为“，则()

A.2=3B.a//b

C.aV[b-a)D.〃与力的夹角为45。

10.已知四棱锥P-A8CQ的底面48CD是正方形，则下列关系能同时成立的是()

A."AB=PB”与"PB=BD"

B.“如_LPC”与_LFZT

C.“PB上CD”与"PC上AR”

D.“平面平面PBZ)”与“平面PCO_L平面尸8力”

11.已知函数/(x)=sin(2x+.)(qW引,g(%)=cos(2%+[)(4W总,则下列

结论正确的是()

A.若动直线＞，"与/V),g(x)的图象的交点分别为A4,则H却的长可为当

B.若动直线)=，〃与〃x),g(x)的图象的交点分别为AB,则|A网的长恒为?

C.若动直线'=±〃?与〃。屋力的图象能围成封闭图形，则该图形面积的最大值为

71

2

D.若/的)=1，则g(£福二当衿

三、填空题

2

12.己知aeR,且ai+——=1,则〃=.

4+1

2I

13.甲、乙两选手进行围棋比赛，如果每局比赛甲获胜的概率为：，乙获胜的概率为：，

采用三局两胜制，则在甲最终获胜的情况下，比赛进行了两局的概率为.

14.已知正方形A88的四个顶点均在函数/(x)=f-2夜,1+1的图象上，若AB两点的

横坐标分别为％，S，则|%%|=.

四、解答题

15.随着互联网的普及、大数据的驱动，线上线下相结合的新零售时代已全面开启，新零

售背景下，即时配送行业稳定快速增长.某即时配送公司为更好地了解客户需求，优化自身

服务，提高客户满意度，在其A8两个分公司的客户中各随机抽取10位客户进行了谨意度

评分调查(满分100分)，评分结果如下：

分公司A：66,80,72,79,80,78,87,86,91,91.

分公司B：62,77,82,70,73,86,85,94,92,89.

⑴求抽取的这2()位客户评分的第一四分位数；

⑵规定评分在75分以下的为不满意，从上述不满意的客户中随机抽取3人继续沟通不满

意的原因及改进建议，设被抽到的3人中分公司4的客户人数为X,求X的分布列和数学

期望.

16.如图，在几何体ABC-A由G中，四边形5CC石是边长为2的正方形，MBB「

AA=3,点E在线段AG上，且EG=2AE.

(1)证明：ME/平面人BG；

⑵若平面OCG4,且A3=2,求宜线AG与平面同片£所成角的正弦值.

17.已如数列｛〃“｝,｛"｝满足生1T+12也生”=岫”,，〃为常数，若｛叫为等差数列，且

b4-b2=2(4—4)=2(q+伪)=8.

⑴求机的值及｛4｝的通项公式；

⑵求也｝的前2〃项和$2”.

18.对于函数/(幻，若存在实数%,使/(/)/(*+4)=1，其中4工0,则称/*)为“可移

2倒数函数”，/为"/*)的可移2倒数点已知g(x)=e',〃(K)=x+«(〃＞()).

⑴设夕")=以刈〃23),若拒为“M幻的可移_2倒数点”，求函数例x)的单调区间；

g(x),x＞。

⑵设/(1)=1-C，若函数火工)恰有3个“可移1倒数点”，求。的取值范围.

W)

19.已知椭圆C:二+[=力＞0)的短轴长为2,离心率为四.

a'b’3

(1)求C的方程;

⑵直线/：），=U+MZ>0，，〃>0）与C交于M,N两点，与y轴交于点A,与X轴交于点6,

且4"=28M,AN=〃8N.

（i）当〃=J=2时，求k的值；

A.

（ii）当2+〃=3时，求点（0,-⑹到/的距离的最大值.

参考答案

1.【答案】A

【分析】由抛物线的定义知，点P到焦点的距离等于点P到准线的距离，结合点尸和准线

的位置，求点尸到y轴的距离.

【详解】抛物线丁=8.1开口向右，准线方程为x=-2,

点P到焦点的距离为6,则点P到准线的距离为6,

点/，在y轴右边，所以点，到y轴的距离为4.

故选A.

2.【答案】D

【详解】集合■|<X«1},N={X|2X€Z},则MCN={-;­.

故选D.

3.【答案】A

【详解】因为“I为偶函数,所以/（-幻=/（幻，

则/（-2彳）=H）=log4=log,,1=log,2:1=（-1=.

故选A

4.【答案】D

【详解】圆G：/+y2=i的圆心0（0,0）,半径。=1,圆。2：。一。尸+（）-勿2=4的圆心

C2（a,b）,半径弓=2,

若圆G与圆G恰有一条公切线，则两圆内切,

所以|CQ|二k-目,即后~万=1.所以点（〃,〃）的轨迹为圆？+/=[,

对于A,圆心（0.0）到直线2x+y-上=0的距离为10十°二一L®<1，则该直线过点

755

（«。），故A不符合;

对于B,圆心（0,0）到直线2x-y+2=0的距离为四二步=空<1

则该直线过点

>]55

（凡〃），故B不符合；

对于C,圆心（0,0）到直线x+,，一&=0的距离为I。十O二码=1,则该直线过点（。力），故

V2

C不符合；

/、|0-0+2|r-

对于D,圆心（0,0）到直线工-），+2=。的距离为七方」=&>1,则该直线不过点

（d〃），故D符合;

故选D.

S.【答案】R

【分析】分甲、乙、丙三位同学都有安排和甲、乙、丙三位同学中只有两人被安排两种情

况进行说明即可.

【详解】第一种情况，甲、乙、丙三位同学都有安排时.

先从3个人中选1个人，记他担任两门学科的课代表，有C；=3种结果，

然后从4门学科中选2门学科给同一个人，有=6种结果，

余下的两个学科给剩下的两个人，有A；=2种结果，

所以不同的安排方案共有3x6x2=36种，

第二种情况，甲、乙、丙三位同学中只有两人被安排时,

先选两人出来，有C；=3种结果，

再将四门不同学科分成两堆‘有|=3种结果,

将学科分给学生，有=2种结果，

所以不同的安排方案共有3x3x2=18种，

综合得不同的安排方案共有36+18=54种.

故选B.

6.【答案】C

【详解】因为双曲线。：鸟-¥=1(〃>0/>())的渐近线方程为'=±2'依题意有

ab'a

b

=2,

("

即〃=2anc=氐，又右焦点为尸(c,0)，且尸/_Lx轴，所以P。,一

ia

22

所以b=4a4x/5,

k=kop=—

cacy]5a25

故选C.

AB2BC2AC2

【详解】在△ABC中，由余弦定理得cos8=+-

2ABBC

g|J,l4+8C-C2，得心一4。2=一28。一4①,

4BC

222

在△ACQ中，由余弦定理得cos。AD+CD-AC

2ACCD

即：=4+£］右,得C加一AC2=2C。一4②，

XS.=-AB-8csin120°=—BC,S,=-ADCDsin600=—CD,

'22222

所以S2-SI=§CDTBC=*(CD-BCE，

由②一①，得5-叱=2(00+80，

由C£)+8C>(),得8-8C=2,代入③得&一$=々.

故选B.

8.【答案】A

【详解】设圆柱底面半径为一，高为人球的半径为R，

222

则R~=h+r>S=nR.St=2nrh.V二展,兀*=§兀叱.匕=nr'h,

cr-iqSitR2h2+r2hrfli~~

S12nrh2rh2r2hY2r2h

当且仅当r="时等号成立，此时R=&〃，

9.【答案】ACD

【详解】对于A,因为/；在”上的投影向量为“，即空•上■=

31/

所以—=1，即77^=1，解得义=3,故A正确；

|。「(V〉)

对于B,。=(一1,2)为=(1,3),所以(—1)X3-2XIH0,故B错误;

对于C,a•伍—〃)=(-1,2).(2/)=-2+2=0,所以〃_1仅一〃)，故C正确；

对于D,cos<〃力>=卫。=所以a与力的夹角为45。，故D正确.

\a\\b\V5xV102

故选ACD.

10.【答案】BC

【分析】利用正方形的特征可判定A,利用球的特征可判定B,利用面面垂宜的性质可判

定C,利用反证法可判定D.

【详解】对于A,显然48=总时，而底面A8CO是正方形，ABwDB,

所以不成立，故A错误；

对于B,设底面正方形中心为。，则P在以。为球心，以。4为半径的球面上时可符合题

意，故B正确；

对于C,当平面P8C_L底面A8C。时，

由面面垂直的性质可知AB_L平面P8C,£>C_L平面P8C,显然符合题意，故C正确;

对于D,先证两相交平面同时垂直于第三平面，则交线垂直第三平面，

ac/3=l、acy=a、/3cy=b

如图有a，/,取Awy,作A8_La,AC，

垂足分别为从C,由面面垂直的性质可知八

AC_LI

由线面垂直的性质可知/ua,/u〃,/.Q一，

ABLI

又A81nAC=A,AB,ACu九由线面垂直的判定可知/1/,

若“平面尸A8_L平面PAD”与“平面PCD_1_平面PAD”同时成立，

易知Pe平面R43c平面PCO,可设平面P48c平面尸C£>=/，则0金/,

则/_L平面

易知AB//CDA8S平面PC。，所以八8〃面PC。，则///人8,

则有A4_L平面尸况)，显然不成立，故D错误.

故选BC.

11.【答案】BCD

■、u，.11fI兀/a27t-7口冗一一it37r

【洋解】由》丁，可得G<2X+乙

632o2

所以/3在区间^,y上单调递减，

且/(%)</=sing=l,=sin^=-l,

16，2\o/2

所以

由一~—<x<—,可得()W2x+工工兀，

12126

所以函数g(x)在区间4用上单调递减，

且g(x)Wg(4=cosO=l,/(x)之/传)=COS7l=-l,

所以TWg(x)Wl,

由已知,

所以直线y="2与函数y=y=g(X)都只有一个交点,

设点AB的坐标分别为(x，M，(w，M,

贝I]sin(2$+^=cos2x2+2)=sin(1+2七)，

TT-c兀=3兀兀2兀，3冗

—<2x+—<—，—<2x+——4——，

2'622-y32

因为函数)，=sinx在翳上单调递减,

LLixic兀2冗c

所以2%+—=—+2X,

o32

所以再-%2=：，

所以14网=J(西一xJ+(加一〃?『二1%-W|=；，A错误，B正确,

g(x)=cos(2x+

设直线y=-加与函数y=f(x),y=g(力的交点为c,D,

则卬二(，又A6//CZ),

所以四边形A3OC为平行四边形，其面积S=；x2帆C正确;

g（x尸ocs（2x+-g-）

3

对于D,因为/（，%）=三，

J

所以sin（2/%+3）=],[工2，%+,工学,

I075262

兀4n,兀中1兀“j5"

所以cos+—歹犬2人+父＜兀，即7一拳，

6

又）717171.71.兀

cos2mo=cos2nh+[-[=cosf2/%+—COS—4-S1I1+sin—,

6666

所以cos2/=三新'

所以2cos*m0-1=3，又・工”4）-，

«2回一2x2届小十曲_2屈一小

所以13-4x/365-20V3

LUS，〃0一

201010

=cos/%=汉用芭，D正确;

所以g

故选BCD.

12.【答案】1

22(。一i)2a-2i2a2

【详解】勿+有=出+岛信pai+—......=—；—+a--

d+1。’+1a+\）

年4=1

所以《"，解得4=1.

a----=0

a2+\

故答案为：1

3

13.【答案】-/0.6

【详解】根据题意，设甲获胜为事件A,比赛进行两局为事件8,

22e21220

P(A)=-x一+C)x—x-x—=—,

33233327

P(AS)=C；x-x-=-,

一339

4

故P（B|A）=3=^=DJ.

P（A）20205

27

3

故答案为：

14.【答案】73

【详解】因为〃x)=F—2岳+1,所以"—)=［？+2岳+1,则/。)+/(一幻=2,得

函数/(x)关于点MOD中心对称，

显然该正方形A6C£>的中心为M，

由正方形性质可知，入。_2川)于用，且|4MRa”|=|CN|=|n"|,

不妨设直线AC的方程为y=依+1(£>0),则直线8。的方程为y=-+1,

k

设A(%,x),B(X2,%),则C(-Xj,2-y),D(-x2,2-%)，

y=ZLV+1

联立直线AC方程与函数y=/(x)得即/一伙+2近）x=0,

y=V-2&工+1'

（1+A2）（A+2拉）=（1+-4）（2\/2即公+《+2夜伏--）=0,

k~kk-k

化简得（女一二）~+2\/2（^——）+2=0,k-■-=—\/2>

Kkk

+7=2夜x（一闾+7=3,

',e巧|=>/3.

故答案为：\/5.

15.【答案】（1）75；

9

⑵E（X）=g,分布列见解析

【详解】（1）将抽取的这20位客户的评分从小到大排列为

62,66,70,72,73,77,78,79,80,80,82,85,86,86,87,89,91,91,92,94.

因为20x25%=5,

所以抽取的这20位客户评分的第一四分位数为笥卫=75.

（2）由已知得分公司A中75分以下的有66分，72分；

分公司4中75分以下的有62分，70分,73分，

所以上述不满意的客户共5人，其中分公司A中2人，分公司B中3人.

所以X的所有可能取值为1，2,3.

夕（X=l）年得;心2）窄=/（X=3）年=/

所以X的分布列如下:

16.【答案】（1）证明见解析

⑵答

【详解】（1）在线段AA上取一点M,使AM=；AA，

连结则M4=2AM,

又因为EG=2AE,所以MEAG，

因为平面Ag,AGu平面A8G，所以“石，平面A8C，

由AA=3,得加4=2,又8乃=2,且例B片,

所以四边形八B同M为平行四边形，所以用“AB,

因为用M（Z平面ABG，AEu平面ABCi所以用M，平面

乂B、MME=M,8|M，二平面3/W£,MEu平面线"后,

所以平面片“石'平面ABG，

又因为8£u平面与ME,所以用EJ平面ABC-

(2)因为45_L平面8CG4,8%,BCu平面BCG4,所以48_L8综A8_L3C,

乂四边形是正方形，所以△用_L"C,

所以BC,84,B与两两互相垂直.

所以以9为原点，以BCB4ABi所在直线分别为工轴,），轴,z轴，建立如图所示的空间直角

坐标系,由AS=BC=2,例=3,得A（020），A（0,2,3），4（0,0,2）,CQ0,2）,

于是AG=(2,—2,T),A5=(O,-2,2)，4A=(O,2,1),

1[3i'i3切M

n♦AB、=0

设平面的法向量为%=（x,y,z）,则,

〃•B|E=0

-2y+2z=0

y-z=O

得242八，即，

—x+—y+—z=0x+2y+z=0'

133'3

令y=l,得z=l,x=-3,所以平面A4£的一个法向量〃=（-3,1,1）,

设直线AG与平面所成的角为。，

财呼式”,时卜阖=辰志晨丁当.

所以直线AG与平面4与E所成角的正弦值为答.

17.【答案】⑴机的值为:，q=2〃+3

⑵6/+7〃

【详解】⑴由题意知（一4=8,意—々=4«+J=4,

q=4+l2m

a2-mb2

b1

因为生1=in-\+2m,aln=mbln,所以《/=仄+12m

a4=mb4

%+b[=2%-12m

%-q=勿一a=4=2d

设等差数列｛为｝的公差为d,则=m(b「b)=8w=2d,

%+4=2q-12m=4

d=2

解得2,所以4=5+(〃-l)x2=2〃+3,

4=T

4=5

所以〃?的值为],g“｝的通项公式为=2〃+3；

（2）由（1）知，4=2〃+3也„_]=%1-6也”=2的“,

所以$20=（4+4+4+…+%-）+（4+%+4+…+%）

二（“十的十出十…十电”_1_6〃）+2（•十%十%十…十%）

…,I)_6〃+2X小3=〃(5+4〃+l)_6〃+〃(7+4〃+3)

222v7

=6/z2+7〃.

所以也｝的前2〃项和§2.=6〃2+7/7.

18.【答案】(1)单调递增区间为(3,-3),(-1,田)，递减区间为(-3,-1)；

(2)(2,e).

【详解】(1)由Q为“人(力的可移-2倒数点”，得2)=1,

即(&+〃)(0-2+〃)=1,整理/+(2&—2卜/+1-20=0,即(〃+20_1)(〃-1)=0,

解得。=1,

由9(x)=e、(x+l)2的定义域为R,求导得。(力=43+1)2+2炉(1+1)=尊(1+((1+3),

当工«口,一3)时，"(x)>O，e(x)单调递增;xw(-3,-l)时,“(x)<(),>(”单调递减；

X6(-1,4-00)时,<ff(X)>0,9(x)单调递增,

所以。(力的单调递增区间为(-，-3),(-1,铉)，递减区间为(-3,-1).

ex.x>0

(2)依题意，co(x)=1,

----,x<0

,x+a

由。(力恰有3个“可移1倒数点”，得方程研力。(工+1)=1恰有3个不等实数根，

①当戈>0时，x+l>0,方程3(x)3(x+l)=l可化为e2m=1,解得工二一3，

这与x>0不符，因此在(0,+8)内/(x)Mx+l)=0没有实数根；

X+I

②当TvxvO时,x+1>0,方程0(x)<y(x+l)=l可化为----=1,

x+a

该方程又可化为。=©向--

设2(x)=eAJx,则/(»=/「］,

因为当xe(TO)时，％”)>0,所以&(力在(TO)内单调递增,

乂因为HT)=2M(O)=e,所以当工人7,0)时，W(2,e),

因此，当a«2,e)时,方程。(“研x+l)=l在(-1,0)内哈有一个实数根；

当。«0,2H叵+8)时,方程研力矶x+l)=l在(TO)内没有实数根.

③当4_1时，X+1=0M(X+1)没有意义,所以广-1不是。(x)矶x+l)=l的实数根.

④当x<-l时，x+lvO,方程0(力研工+1)=1可化为」-----!—=1,

x+ax+a+\

化为W+(勿+l)x+M+。-1=0,于是此方程在(-8,-1］内恰有两个实数根，

（2«+l）2-4（d2+r/-l）>0

2a+\,，解得一

则有〈------<-1

2

1—（2«+1）+^2+^—1>0

2

c=”-b_&