解直角三角形（知识清单）原卷版-2026学年九年级数学下册（浙教版）

解直角三角形

思维导图

正弦sin

余弦cos

正切tan

三角函数的定义

cosA=科边

tanA=N4的*1边

解直角三角形

特殊角的三角函数值：30。、45°和60°

锐角三角函数的计算用计算器计算说角的三角函数值

在几何图形中计算一般角的三角函数值

解直角三角形中边和角元素—知三求三

用锐角三角函数值求几何图形中的边与角

解直角三角形

仰俯角问题和测高问题

方位角问题

解直角三角形的实际应用

坡度与倾斜角问题

生活中物体结构的数学建横

知识清单

1.锐角A的正弦、余弦、正切都叫做NA的锐角三角函数.

2.正弦、余弦、正切的定义

如右图、在RSABC中，ZC=90°,如果锐角A确定:

正弦sinsinA==B

rx

余弦coscosA==

Cb人

正切tantanA==

3.sinA、cosA、tanA是一个整体符号，即表示NA三个三角函数值，书写时习惯上省略符号“N”，但不能写

成simA,对于用三个大写字母表示一个角时，其三角函数中符号不能省略，应写成sin/BAC,而不能

写出sinBAC.sin2A表示(sinA)2,而不能写成sinA2.三角函数有时还可以表示成sina,cosQ等.

4.锐角三角函数之间的关系：

(1)余角三角函数关系：“正余互化公式”如NA+NB=90。，那么：sinA=：cosA=：

*(2)同角三角函数关系：sin2A4-cos2A=；tanA^^

----cosA

5.30。、45。、60。角的三角函数值

ZA30。45°60°

sinA

c辰B

A

cosA

lx

tanA

CKB

6.在直角三角形中，由已知元素求出未知元素的过程，叫做解直角三角形.

解直角三角形的依据是直角三角形中各元素之间的一些相等关系，如图：

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(1)角角关系两锐角互余即ZA+ZB=90°；

（2）边边关系勾股定理即a2+b2=c2；

（3）边角关系锐角三角函数，即

.a.b.a

sinA=—,cos-4=—,tan力二一

ccb

b°b

sin5=-,cos5=—,tan5=—

7.解直角三角形，可能出现的情况归纳起来只有下列两种情形：

（1）已知两条边（一直角边和一斜边：两直角边）；

（2）已知一条边和一个锐角（一直角边和一锐角；斜边和一锐角）.

这两种情形的共同之处：有一条边.因此，直角三角形可解的条件是：至少已知一条边.

和解法

已知条件解法步骤

三角形类

由求NA,

两直角边（a,b）ZB=________,

两c=____.

边由求NA,

斜边，一直角边（如c,a）ZB=________,

RtAABCb=____.

B

ZB=90°-ZA,

锐角、邻边

a=____,

/（如NA,b）

一直角边c=____.

月N---1c和一锐角ZB=900-ZA,

0边锐角、对边

c=____,

（如NA,a）

b=____.

角

NB=90°-NA,

斜边、锐角（如c,ZA）a=___,

b=___.

8.常见应用问题常识

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⑴弄清题中名词、术语的意义，如仰角、俯角、坡度、坡角、方向角等概念，然后根据题意画出几何图

形，建立数学模型.

(2)将已知条件转化为几何图形中的边、角或它们之间的关系，把实际问题转化为解直角三角形的问题.

(3)根据直角三角形(或通过作垂线构造直角三角形)元素(边、角)之间的关系解有关的直角三角形.

(4)得出数学问题的答案并检验答案是否符合实际意义，得出实际问题的解.

1()用解直角三角形的知识解决实际问题的基本方法是：

抽象

实际问题建模转化＞数学问题(解直角三角形)

解决求解

实际问题的解-

L源淆锐角三角函数sin、cos和tan的定义

错误：对锐角三角函数的定义不熟悉，导致做题时张冠李戴。

注意：锐角的三角函数是锐角所在直角三角形三边中其中两边的比的值，因此容易混淆。在平时要多使用,

多练习，记忆并熟练。

例I(24-25九年级下・甘肃•课后作业)分别求出下列直角三角形中N4的正弦值、余弦值和正切值.

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图1

2.特殊锐角的三角函数值不熟悉或混淆

错误：特殊的锐角函数值一共有三组9个，在使用时混淆。

注意：熟练记忆特殊的锐角三角函数值，并能在遇到特殊角时在行运用。

例2（25-26九年级上•山东淄博•阶段练习）计算：

（I）cos300-tan600-4sin300+tan45°；（2）tan300-sin600-cos450sin45°.

3.勾股定理结合锐角三角函数解直角三角形

错误：在计算直角三角形中的边时，只使用刚学习的锐角三角函数知识，不能结合勾股定理求解。

注意：回顾勾股定理，已知直角三角形的两条直角边a,b和斜边c,则有：a2+b2=c2,W-bBWdW

其可以通过已知两边求第三遍。

例3（25-26九年级上•山东聊城•阶段练习）如图，A/18。中，HDLBC于点D,8c=14,AD=12,tanZBAD

W，求sinC,cosC的值.

4.结合已知条件求直角二角形的其他元素（边或角）

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错误：常见的错误：①错误使用勾股定理；②当已知（除直角这个条件外）一边一角时，不能使用合适的

锐角三角函数来求出更多的边长

注意：参考知识清单中第7条，已知不同情况的一边一角时，使用合适的锐角三角函数来求其他边长。

例4（25-26九年级上•江苏苏州阶段练习）如图，已知在△/8C中，力。是边8c上的高，石是边力。的中点,

BC=AD=2（）,cosB方.求：

（1）线段8。的长；

⑵/的正切值.

5.作垂线构成直角三角形求角的三角函数值

错误：不能掌握在没有直角三角形的环境下求一个锐角的三角函数值，或已知一个锐角的三角函数值求边

长时求线段长的方法。

注意：通过合适的方式做垂线，构成直角三角形。在直角三角形中，可以结合线段长求出锐角三角函数值,

也可以结合已知的锐角三角函数值就可以求出其他的线段长。

例S（25-26九年级上•山东聊城•阶段练习）如图，将△力8C放在每个小正方形的边长为1的网格中，点4

B,C均在格点上，则tanC的值是.

例6（2025九年级•浙江•学业考试）如图，在菱形力BCD中，点E为边CD上一点,连结力反“，点。关于力上

的对称点尸在8E上.若4D=6,DE=2,则的长为,sin/D4E的值为.

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AD

E

\/F\

6.通过几何性质中的等角关系间接求角的三角函数值

错误：对几何图形的性质不熟悉，需要求三角函数值的角找不到己知条件和直角三角形的环境。

注意：在我们已经学习的几何图形的知识中，可以通过图形的性质找到所求角的等角，如通过平行线的同

位角、内错角的性质；通过全等三角形、相似三角形的性质；通过特殊四边形的性质：圆周角的性质等。

要根据所给的已知条件使用合适的性质来转移所求角所在的位置。

例7（25-26九年级上•江苏淮安•阶段练习）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长为1,点4,B,

C,。都在这些小正方形的顶点上，力8与CO相交于点P,则tan/4PC的值是.

例8（2021•湖南株洲•三模）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都是1,。。是△/AC的外接圆,

点4B,。均在网格线的交点上，则cos4C8的值是.

7.坡度的概念

错误：认为坡度i=l：m是坡角的对边比斜边的结果。

注意：坡度i-1：川表示的是在以坡角为a的斜坡直角三角形中，对边比上邻直角边的结果。

例9（25-26九年级上•江苏苏州•阶段练习）如图，扶梯的坡度为4:3,滑梯CO的坡度为1:2.滑梯的高

BE=CF,设4E=3米,8c=3米，一男孩从扶梯走到滑梯的顶部，然后从滑梯滑下，他经过的路程为

米.（结果保留根号）

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AEFD

8.根据方位角的描述或根据仰角俯角的描述作图探究

错误：不熟悉方位角的描述或仰角俯角的描述，也不能根据题意作图，构成三角形并解直角三角形。

注意：一般关于方位角的数学问题，或关于仰角俯角的数学问题，需要进行作图，或连结关键点，或作垂

线构成直角一角形。比如如下方式，这些都是解决此类问题常见的方式。

例10（2024九年级上•山东青岛•专题练习）如图，•艘轮船位于灯塔尸的南偏东60。方向，距离灯塔45海

里的4处，它沿北偏东30。方向航行一段时间后，到达位于灯塔尸的北偏东67。方向上的8处，此时与灯塔尸的

距离约为海里.（参考数据：sin37%4,cosB;。^,tan37og）

北

例11（2025•甘肃武威•模拟预测）如图，某翼装飞行员从离水平地面高500米的4处出发，沿着俯角为30度

的方向直线滑行16（）米到达。点，然后打开降落伞以6（）度的俯角降落到地面上的8点.求他飞行的水平距离二

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9.数学建模解决生活中的实际问题

错误：实际生活中的物体，不能解构成简单的几何图形，然后根据解直角三角形的知识解决实际问题。

注意：解构实际应用中的几何图形，然后作必要的辅助线（一般是连结线段或作垂线），结合求解直角三

角形的知识求出必要的线段长，解决实际问题。

例12（24-25九年级下•甘肃武威•期中）随着多媒体教学的普及，很多教学场景都引入了投影仪（如图1）,

如图2是投影仪安装截面图，某数学课题研究小组打算对投影屏幕下边沿C离教室顶部的高度进行测量，具

体过程如下：

方案设计：投影仪垂直于地面，先测展出吊臂力。、投影屏幕8c的长度，再选取点儿C两处分别测得N8/IC

和NZC8的度数（£,B,C,尸在同一条直线上）.

数据收集：通过测量得知：投影仪的光线夹角/历1045。，Z/iCB=30°,吊臂力。为0.5m,投影屏幕的高8c

为1.6m.

问题解决：求屏幕下边沿。离教室顶部的高度”（结果保留一位小数）.参考数据：序1.73

根据上述方案及数据，请你完成求解过程.

图1图2

例13（2025•山东泰安・模拟预测）如图1是某小车侧面示意图，图2是该车后备厢开启侧面示意图，具体

数据如图所示（单位：cm）且4。=8。AF//BE,sin/板£=0.8,箱盖开起过程中，点4C,户不随箱盖

转动，点8,D,E绕点片沿逆时针方向转动相同角度，分别到点B,Z的位置，弹簧活塞杆CO随之伸

长CD'.已知直线CD=2CD.

图1图2

（1）求力4的长度.

（2）求CO.的长度.

易错训练

I.（25-26九年级上•江苏常州•阶段练习）sin30。的值是（）

A.1B.乎C.|D.VI

2.（25-26九年级上•山东•阶段练习）如图，在RtAJBC中，ZC=90°,BC=2,AC=3,则taM=（）

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3.（25-26九年级上•广东揭阳•阶段练习）如图，在菱形488中，AB=5,Z5CD=120°,则/）的长度为

()

A.5V3B.|C.5D.平

4.（2024九年级上•山东青岛•专题练习）在如图所示8x8的网格中，小正方形的边长为1,点,4、B、C、D

都在格点上，48与CO相交于点£则N4E。的正切值是（）

A.2B.|C.1D.李

5.（2024・安徽・模拟预测）如图，是一辆小汽车与墙平行停放的平面示意图，汽车靠墙一侧08与墙平

行JL距离为a,一辆小汽车车门宽/。为儿当车门打开角度N40"为a时，车门边缘的点力处与墙的距离

A.a-bsinaB.a-htanaC.a-^,—D.a--

sinatana

6.（25-26九年级上•山东•阶段练习）构造几何图形解决代数问题是“数形结合思想”的重要应用，小康在计

算tan22.5。时，构造出如图所示的图形：在Rl△力CQ中，ZC=90°,ZABC=45°,延长C8到。，BD=AB,连接

AD,得/。=22.5。.根据此图可求得lan22.5。的结果（）

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A

A.V2+1B.V2-1C.卓D.晋

7.（25-26九年级上•山东淄博•阶段练习）河堤横断面如图所示，斜坡48的坡度=1:6,止6m,则8c的

长是

8.（25-26九年级上•山东聊城•阶段练习）在RtAJ8c中，NC=90。，若siM=|,则cos4的值为.

9.（24-25九年级上•云南曲靖•阶段练习）如图，无人机于空中/处测得某建筑顶部笈处的仰角为45。，测

得该建筑底部。处的俯角为17。.若无人机的K行高度4。为62m,则该建筑的高度8C为m.（参考数

据：sin1730.29,cos17归0.96,tan17^0.31）

10.（25-26九年级上•江苏无锡•阶段练习）如图，在RtZMAC中，ZACB=90°r8c=4,cosB二，点、M是AB

的中点，则CM的长为.

II.（25-26九年级上•山东东营•阶段练习）计算、化简求值：

（1）sin60o+cos300-tan60°：

（2）先化简，再求值：玛-淄石），其中a满足a2_Q）/.〃+6cos6（）o=（）.

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12.（25-26九年级上•吉林长春•阶段练习）图①、图②、图③均是5x5的正方形网格，每个小正方形的顶点

称为格点，小正方形的边长均为1，线段48的端点在格点上，在图①、图②，图③中，只用无刻度的直尺

按下列要求画图，只保留作图痕迹，不要求写出画法.

4-L-L-L.JiX-L-L-i-iiX-i-L-i

图①图