2026年高考数学复习 易错点17 极坐标和参数方程（解析版）

易错点17极坐标和参数方程

易错分析

易错点1.极坐标

1.极坐标与直角坐标的互化：

①互化条件：（1）极点与原点重合；（2）极轴与工轴正方向重合；（3）取相同的

单位长度。

②互化公式：设M是坐标平面内任意一点，它的直角坐标是（X,），），极坐标是

（夕,。）（夕20）,于是极坐标与直角坐标的互化公式如下表：

点、M直角坐标（x,y）极坐标（p,6）

P2=x2+y2

x=pcosO

互化公式

y=psin0tan#0)

说明：若把直角坐标化为极坐标，求极角。时，应注意判断点尸所在的象限（即

角。的终边的位置），以便正确地求出角利用两种坐标的互化，可以把不熟

悉的问题转化为熟悉的问题。

易错点2.参数方程

1.常见的参数方程：

（1）直线的参数方程：

x=xo+/cos«,

若直线过（％,%）,a为直线的倾斜角，则直线的参数方程为工.a

）=州十/sina

为参数），其中参数/的儿何意义是直线上定点B到动点P的有向线段PoP的数

量，若动点P在定点Po的上方，则/>0；若动点P在定点Po的下方，则《0；

若动点P与定点尸。事合，则z=0.定点外到动点P的距离是旧俨=|巾

（2）圆的参数方程：

①圆/+）,2=’的参数方程（。为参数）

[y=rsin0

②圆（…『+（i）2=/的参数方程为"Eo+ef（6为参数）

[），=.%+rsin8

（3）椭圆£+1=1的参数方程〃=：cosf（0为参数）

crb-[y=bsmO

（4）抛物线V=2px的参数方程，一'”（f为参数）

y=2Pt

2.关于参数几点说明：

（1）参数方程中参数可以是有物理意义，儿何意义，也可以没有明显意义。

（2）同一曲线选取的参数不同，曲线的参数方程形式也不一样

（3）在实际问题中要确定参数的取值范围。

（4）利用直线参数方程中参数的几何意义解题中经常用到结论：

经过点P（x°，No）,倾斜角为。的直线/的参数方程为F="°+'8sa（/为参

y=y0+rsincr

数）.若A,8为直线/上两点，其对应的参数分别为A,⑵线段A3的中点为M,

点M所对应的参数为；o,则以下结论在解题中经常用到：

①“牛；②|尸”|=|止|亨卜③陷土一小④附.附邛小

注意：直线的参数方程中，参数/的系数的平方和为1时，/才有几何意义，其

几何意义为：川是直线上任一点M（x,y）到%（x（），x））的距离，即眼％|=".

错题纠正

x=-2+5cos^

1已知圆C：（。为参数）,与圆C关亍直线工+），=0对称的圆的普通方程

y=3+5sin。

是().

A.(x+3)2+(y-2)2=25B.(x-2):+(y+3)2=25

22

C.(X+3)2+(}--2)2=5D.(x-2)+(y+3)=5

【答案】A

x=-2+5cos。

【详解】圆C：（。为参数）转化为普通方程为3+2）2+（y—3尸=25,

y=3+5sin。

圆心为（-2,3）,半径为5,设圆C关于直线x+广。对称的圆的圆心为（〃/）,半径为5,

匕+叱

2。=一3

所以点（-2,3）与点（/勿关于X+），=。对称，所以〈解得

b-3b=2

x(T)=—1

所以对称的圆的圆心为（一12）,半径为5,

故对称的圆的普通方程是（x+3）2+（），-2尸=25.

故选：A.

;二二；；/为参数）与圆G：夕=2交于A、3两点，当|A却最小时，a的

2.已知直线G：

取值为（

【答案】D

【详解】解：圆G：。=2化为直角坐标方程为：/+）：2=4

把直线C|：1=1十,，化为普通方程为：y+\=a（x+\）,

由于直线G过定点P（T，T）在圆的内部，

因此当OP1A8时，|八村取得最小值.

「.al=-1,

解得。=一1.

故选：D.

3.已知实数x,y满足丁+4），2=5,则％+2），的最大值是（）

A.MB.旧

【答案】A

【详解】因为实数x,y满足“2+4)，=5,

所以可设x=行cos0,2y=75sin8,9e[0,2元),

所^以x+2y=J5cos，+JSsingnJi^sinl^+—

所以Ny的最大值是限当日:取得等号

故选:A

4.在平面直角坐标系1。）'中，直线，的参数方程为1]/（/为参数），以坐标原点0

为极点，X轴非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C极坐标方程为：psin2^=6cos6>.

⑴求直线/普通方程与曲线C的直角坐标方程；

⑵过点M(2,0)的直线/与C相交于A,8两点，求•忸叫的值.

x=2-^t

2可得f，,代—争可得.=2-3,

【详解】(1)对，

故直线/的普通方程为：A+V3y-2=0；

对psin'e=6cos。两边同时乘以P可得：p?sin?^=6pcos^,即）1=6%,

故曲线C的直角坐标方程为：y2=6x.

(2)将/的参数方程代入V=6x,并化简得r+124-48=0，A=624>0,

设A,B对应参数为％,4，又也78,所以♦忸"|=卜也|=48.

x=-l+>/2cos^

5.在平面直角坐标系直力中，已知曲线C的参数方程为｛广.(。为参数)，以

y=\+\/2sin^

原点。为极点，X轴正半轴为极轴建立极坐标系.

(1)求曲线C的极坐标方程；

⑵设射线4：。=兀(020)和射线/2：0=]+。]夕之分别与曲线c交于A4两点,

求40B面积的最大值.

【详解】⑴易知曲线C的普通方程：(x+l)2+(y-l)2=2,

因为x=0cos6,y=psinO,

所以曲线C的极坐标方程为：Scos，+l『+(〃sin。-1『=2,即p=2sin。-2cos9.

(2)由题意及(1)知|O4=2sin/一2cos玉=2,

\OB\=2sin^-1+a-2cosg+a)=2cosa+2sina,

,S△人仍=J°A||O8|sinn一(g+a)]=(2cosa+2sina)cosa=2cos2a+sin2a

=sin2a+cos2a+l=&sin(2a+?)+l,

因为OWaW工，则工&2。+工£2，

2444

所以当2a+f=g,即a=g时，AO8的面积最大，最大值是夜+1.

42o

举一反三

1.参数方程"（其中，eR）表示的曲线为（）

[y=t

A.圆B.椭圆C.双曲线D.抛物线

【答案】D

【详解】由参数方程可得曲线普通方程为：）？=》,•・•曲线为抛物线.

故选：D.

I

x=t+-

2.已知双曲线C的参数方程为；（/为参数），则此双曲线的焦距等于（）

y=t--

t

A.2B.4C.25/2D.472

【答案】D

1

x=t+-、2

【详解】由可得，—-^-=1,所以/=/+从=4+4=8,即c=2&，所以双曲

I44

y=t--

线的焦距为2c=4&.

故选：D.

x=acost^

3.己知椭圆「:为参数，。＞（）,人＞0）的焦点分别耳（—2,0）、6（2,0）,点A为

y=bLs\nu

椭圆厂的上顶点，直线从尸2与椭圆厂的另一个交点为4.若[8£|=3|85l,则椭圆「的普通方

程为

【答案】—+^=1

128

x=acosOzv2

【详解】解:根据题意，椭圆「:一口@为参数，。＞0,。＞。），其普通方程为』r+2=1,

y=bsinOab"

若其焦点分别6(一2,0)、5(2,0),则c=2,则有〃=/八4,①

点A为椭圆「的上顶点，则A的坐标为(0/)，

又由［67"=3|85|,而|8的|+|8巴|=2a,则|8线|=手，吃吗,

又由团用1=%且A、B、尸2三点共线，则8的坐标为卜,-5)

又由|8GI=T，则有(3+2产+%=>2,②

244

联立①②，解可得：/=即，从=8；

故椭圆的方程为^+(=1;

故答案为：—+^=1.

128

4.在直角坐标系xOy中，C的圆心为。(2,1),半径为1.

(1)写出OC的一个参数方程；

(2)过点尸(4,1)作Q的两条切线.以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系,

求这两条切线的极坐标方程.

【详解】(1)由题意，0C的普通方程为(x-2>+(y-1>=1,

x=2+coscr

,.,(。为参数)

{j=I+sina

(2)［方法一］:直角坐标系方法

①当直线的斜率不存在时，直线方程为x=4,此时圆心到直线的距离为2>r,故舍去.

②当切线斜率存在时，设其方程为y=Mx-4)+l,即依-y-4攵+1=0.

故-J；+F-=L即1271=J1+/,软2=1+5,解得攵=±与.

所以切线方程为y=—(x-4)+1或y=(x-4)+1.

33

两条切线的极坐标方程分别为psin^=^y-pcos6>-^y^-+1和2sin”-程0cos夕+±^+1.

即psin（0+1）=2—日和/$访（0+专=2+*.

［方法二］【最优解】：定义求斜率法

如图所示，过点?作GC的两条切线，切点分别为A,B.

又B〃x轴，所以两条切线FA广8的斜率分别且和

3

一五

3

故切线的方程为），=且*-4）+1,）,=一走.*一4）+1,这两条切线的极坐标方程为

33

psin^=-pcos0-—yj3+\卬psin。=-且pcos9+±有+1•

即夕sin（8+葛）=2-当和0sin©+专）=2+孕

v=2+r

5.在直角坐标系X。），中，曲线C1的参数方程为'=-T（，为参数），曲线G的参数方程

y=4t

2+s

x=-----

为6（s为参数）.

y=-4s

⑴写出G的普通方程：

（2）以坐标原点为极点，X轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线G的极坐标方程为

2cos^-sin6>=0,求g与G交点的直角坐标，及G与G交点的宜角坐标.

【详解】（I）因为x=U，y=〃，所以4匚，即G的普通方程为丁=64一2（>20）.

6-6

（2）因为x=—券,），=-4,所以6x=-2—），。即g的普通方程为），2=-6x-2（yW0）,

6

由2cos。-sin。=0=2pcos0-psin8=0,即G的普通方程.为2x—y=0.

联立P'2=6x-2（70）,解得：X=5或=即交点坐标为用,（1,2）；

2x-y=0）,=][y=2。）

联立广产一2片），解得：卜彳或尸：即交点坐标为（_卜2）.

2x-y=0[y=-\yy=~2\^）

易借题通关

一、单选题

x-1反

2

I.下列点不在直线《（/为参数）上的是（)

-2

A.(-1,2)B.(2,-1)

C.(3,-2)D.(-3,2)

【答案】D

【详解】直线1的普通方程为x+y—1=0,因此点（一3,2）的坐标不适合方程x+y—1=0.

故答案为D

2.若“与），满足/+丁=4,则该轨迹上的任意一点可表示为（）

A.（siMcos/7）B.（x/isin/?,夜cos£）

C.（2sin4,2cos/?）D.（4sin"4cosm

【答案】C

【详解】设轨迹上的点的坐标为（%，y）,将选项的坐标依次代入方程中验证.

A：将（sin夕,cos0代入f+『中得],故A错误；

B：将（五sin拆反cos/?）代入f+产中得2,故8错误;

C：将（2sin〃2cos0代入f+），2中得%故C正确；

D：将（4si“,48S0代入f+y2中得]6,故。错误；

故选：C

x=1+cos0（x=/-sin30°

3.当曲线q（。为参数）的点到直线G：।为参数）的最短距离

y=sin。ly=1-r-cos120

时，该点的坐标是（）.

A.11-冬-用B.11-乎，用C.卜争一用D.隹语,

【答案】B

（=]+cos0

一.q（。为参数）的直角坐标方程为（工-1）2+尸=1,

｛y=sin8

x=/sin30°

直线G：,―“为参数）的直角坐标方程为》-k1=0，

y=l-/cosl20°

当直线过圆心（1,0）且垂直于直线x-y+1=0时，

直线的方程为y=_(x_i)=_x+i,即x+y-l=o,

1(­=1得x=1------x=1+——

由《厂2或HM(广2，

x+y-i=0x/241

y=­V=------

22

x=1+cosIj=/-sin30°

所以当曲线G：.八（。为参数）的点到直线G：.为参数）的最值距

y-sin。[3•-1-rcos120°

离时，该点的坐标是（1-等，'卷，

故选：B

4.在边长为3的正方形48co中，以点A为圆心作单位圆，分别交A8,AD于E,F两点、,

点P是用'上一点，则的取值范围为（）

「5

A.[l3拒，2]B.1,:

C.[-2,1-V2]D.[1-3立1-0]

【答案】A

【详解】根据题意画出图形，并建立平面直角坐标系，如图：

由题意可知A(0,0),8(3,0),0(3,3),。(0,3).

设点尸(cos。,sine)(()404；),

贝ijPB/£)=(3—cos，，一sin6>)-(-cos6>,3-sin0)

=-cos"(3-cos。)-sine(3-sin6)=l-3sin3cos。

=l-3V2sinf6>+-L又0K6K四，则四4。+色£龙，

I4；2444

所以正<sin(0+?]<1,所以1—3夜VI-3&sinje+£]《—2,

2I4；I4)

即P4的取值范围为[1-3立-2],

x=2cos。，I-I

5.设直线尸x与椭圆/.c交于八、〃两点，点夕在直线k&+3上.若回+期=2,

y=sin。11

则实数攵的取值范围是（）

A.（-2,2）B.[-272.272]

C.（Y,-2）U（2,+OO）D.（-oo,-2A/2|k?[2\/2,+oo）

【答案】D

【详解】椭圆方程为=十丁2=1,椭圆中心在原点，直线y=x与椭圆交于A、B两点，

则由对称性可知，A、6关于原点对称，所以|PA+P3|=|2PO|=2,

3

所以IPO1=1,故原点到直线y=履+3的距离d=-==<\,

Ji+F

解得我22夜或心-2&，

故选：D.

6.已知抛物线。：/=4），的焦点为尸，过尸点倾斜角为60。的直线与曲线。交于A,3两点

（A在8的右侧），贝1」郊\AF\=（）

\BF\

A.9B.1C.7+4#D.3

【答案】C

【详解】由已知抛物线的方程可得：/（0」），且直线/的斜率为/:=360。=6,

2

所以直线/的参数方程为:

)，=1+/

代入抛物线方程可得：--86-16=0,

解得乙=8+4技与=4痒8,

则叫3=7+46

也可8-473

故选：C.

x=1+3z,Ix=1+5cos0.

7.已知点P(4,M是直线/：(reR,/是参数)和圆C：u.八(，wR.e是

y=-5c+/[y=5sinJ

参数)的公共点，过点P'乍圆C的切线4,则切线4的方程是()

A.3x-4y-28=0B.3x+4y-28=0

C.3x-y-13=OD.x-3y-16=0

【答案】A

【详解】由l+3f=4得f=l,则尸-5+1=-4,所以P(4,-4),

圆C的普通方程为但-1)?+/=25,圆心为C(l,0),

-4-043

上P=H=-?，所以切线的斜率为々=：，

4—134

3

方程为y+4=—(x-4),即3x—4y—28=0.

4

故选：A.

8.已知实数〃，8满足。2+〃=6,则必的取值范围是()

A.(0,3]B.(—oo,3]C.3]0[3,+<20)D.[—3,3]

【答案】D

【详解】•:a?+b?=6，不妨设a=J^sin。，〃=>/Scos9

则=6sin6cos9=3sin2。c[-3,3]

故选：D.

二、填空题

x=2+/

9.设/tR,直线।'（，为参数）的倾斜角的大小为_____________

），=一］_/

【答案】¥##135

4

【详解】由题意，直线方程“+y=i,即、=-、+1斜率为-1,故倾斜角为一

4

故答案为：学

4

10.曲线上s：。丁伍里的焦点坐标为_________

)，=2tan61(22〃

【答案】(1,0)

【详解】解：因为sec2j-l=tan2，，又曲线户、彳；碇,

y=2tan八(22))

所以(fan*，即CJ=x，所以产=以，即2p=4,所以5二1,

即曲线表示焦点在％轴上的抛物线，且焦点为(1,0)；

故答案为：0,0)

三、解答题

11.在直角坐标系xQv中，圆G：(x-3)2+(y-2『=5,以坐标原点为极点，尤轴正半轴为

极轴建立极坐标系.

⑴求C的极坐标方程；

(2)若直线C?的极坐标方程为8=：(peR),设g,G的交点为A,B,求AB的面积.

【详解】(1)已知圆C：a—3y+(y—2『=5,得/+),2一64一4)，+8=。，

因为x=pcos6,y=psin6,

所以"-6pcos。-4psin。