广东省中山市四校2026届高三年级上册第一次联考 数学试卷（含答案）

广东省金山中学、中山一中、佛山一中、宝安中学四校

2026届高三上学期第一次联考数学试题

一、单选题

1.已知集合A=kl|x|,,2}l={x|2x-avO）,若AqB,则实数。的取值范围是（）

A.[4,+co)B.(4,-KX))C.D.(-00,4)

3.已知且2（X4。-1）=外.+2）,则在（4+24’的展开式中，产的系数为)

A.5B.10C.15D.20

4.已知斜三楂柱ABC-A4G中，。为四边形ACG4对角线的交点，设三棱柱ABC-A4G的体积为K，

四棱锥O—8CGS的体积为匕，则匕：K=（）

A.1:3B.1:4C.1:6D.2:3

5.我们初中所学的反比例函数图像其实是一种典型的双曲线.若g（x）=L则该双曲线焦距为（）

X

A.272B.2C.4D.4叵

6.三知圆C:（x+4『+（y+3）2=1及A（0,a）,4（0,—。）两点，（«eR^）,若圆C上任一点M,都满足Z/W8盘,

则”的取值范围是（）

A.(0,4)B.[4,6]C.(4,y)D.(6,-KO)

3

7.已知sina+cos/?=—，cos。=sin/，则sin(a-77)=()

1

D.

16

8.如图，已知是双曲线C/F=i的左、右焦点,P,Q为双曲线。上两点，满足士?〃KQ,且

2

二、多选题

9.抛掷一枚质地均匀的骰子，记试验的样本空间为C={1,2,3,4,5,6},事件/={1,2},事件N={2,3,4},

则（）

A.M与N是互斥事件

B.M与N是相互独立事件

C.P（M|N）=P（N|M）

D.PWN）+P（MR）=g

10.如图，在棱长为1的正四面体A8CO中，点。是顶点A在底面8c。内的射影，M为AO的中点，则（）

A.BM工CM

B..LAD

C.点。到平面8cM的距离为正

2

D.三棱锥M-8co的外接球体枳为几兀

11.在平面直角坐标系中，如果将函数），=/（x）的图象绕坐标原点逆时针旋转。为弧度）后,

所得曲线仍然是某个函数的图象，则称为旋转函数”，则（）

A.函数丁二'都为旋转函数”

Z-

B.若函数/'（x）=sinA"£[0,可为“a旋转函数”，则ac0,-j

C.若函数g（x）=a"2为，，q旋转函数，，，则a=i

D.当机〈-Ze?或加之1时，函数人（"=〃1疣"+1不是"：旋转函数”

三、填空题

3

12.不等式二之-1的解集为.

13.在复平面上的单位圆上有三个点乙，Z2,Z3,其对应的复数为4,z2,4.若匕-马仁^,%+Z3|=X/5,

则△ZZA的面积s=.

14.己知a,民/成公比为2的等比数列，且ae（0,2兀）.若cosa,瓜os夕,siny成等比数列，则所有满足条件

的a的和为.

四、解答题

15.如图，已知四边形A8CO为等腰梯形，且A8〃C£>,ZC=pA8=2,CD=4.E为CO中点，将△C8E沿

BE翻折到APBE,使E4=G

⑴求证：平面P3E_L平面ABED；

(2)求平面4%和平面。小夹角的余弦值.

16.已知椭圆C£+¥=1(〃>/;>())的左、右焦点分别为5，K，离心率为立，且过焦点且垂直于椭

a~b~2

圆C的长轴的弦长为I.

(1)求椭圆C的方程；

(2)已知过点八的直线/交椭圆C于A,"两点，当的面积最大时，求直线/的方程.

17.现有〃张形状相同的卡片，上而分别写有数字〃-1,〃?+2,…,根+〃(〃蚱N,〃£N')，将这〃张卡片充分混

合后，每次随机抽取一张卡片，记录卡片上的数字后放回，现在甲同学随机抽取4次.

⑴若，?=8,求抽到的4个数字互不相同的概率；

(2)统计学中，我们常用样本的均值来估计总体的期望.定义E(X")为随机变量X的A阶矩，其中I阶矩就是

X的期望E(X),利用k阶矩进行估计的方法称为矩估计.

(i)记每次抽到的数字为随机变量X,计算随机变量X的1阶矩E(X)和2阶矩E(X2)；(参考公式：

-22+..…巫皿必

6

(ii)知甲同学抽到的卡片上的4个数字分别为3,8,9,12,试利用这组样本并结合(i)中的结果来计

算〃的估计值小(〃的计算结果通过四舍五入取整数)

18.已知等差数列｛/｝与递增等匕数列也｝满足：4=4=1,4="，

⑴求｛q｝和也｝通项公式；

(2)保持数列｛4｝的各项顺序不变，在为与a』之间插入4个3(AwN"),使它们与数列｛&｝的项组成一个新

数列匕｝,记数列匕｝的前〃项和为求小；

=2k-1,

r=l

（3）记4T(其中AeN),证明:E4<2.

^—,n=2k,2M

1%T

9已知函数W-》

(1)是否存在实数〃使得/(x)在(。，”)上有唯一最小值如果存在，求出〃的值；如果不存在，请说明理

由；

(2)已知函数/(x)有两个不同的零点，记/3)的两个零点是内，七(％<9)•

①求证：<-；

-C

②求证：X,-A-,<(c+l)«+1.

参考答案

1.B

【详解】集合A={/||RW2},解得A={x|-2<xW2},集合6={,r|2.r-a〈0},=xx<-|

AqB说明集合A中的元素都属于集合H,B吗>2,>4.

故选：B

2.A

「1一2。

【详解】依题意得/（幻=—7讨11',函数的定义域为R,

11+2

（\-2~xy八-2。

因为/（t）=[]+2-Jsin（T）=>inx=f（x）,

所以/（x）为偶函数，图象关于）,细对称，排除从D两项，

又f⑴=-}inl<0,排除C项，所以只有A选项符合.

故选:A.

3.B

【洋解】因为X~N（1,〃），且—l）=P（xN2）,

则a—1+2=2,得a—1,

则（«+2力=（五+2『，其含/的项为C!（&『X2=10Y,

即产的系数为10.

故选:B.

4.A

【详舶J如图,延长OA，连接。政。%A，,

C

则IAj—nAnR(.C+v.".ij—»rro,v.—nAoH(.C=々—vI,

7

所以匕血

又。为A。的中点,

所以点A到平面BCC画的距离是点。到平面ACG用的距离的2倍,

则以-改不石=ZV^WG笈=2匕，

所以京=2匕，即f

，V।J

故选：A

5.C

【洋解】作出），=工和）'=x的图象，它们的交点分别为A8,

由总和…联立方程组解得：；二；或匕二

即交点A（1,1）,B（-1,-1）,所以|=J（l+1）2+（1+1）2=2&

根据双曲线的意义，可知实轴长*=2々=2正，即〃=拒，

又由双曲线的渐近线是两坐标轴，它们互相垂直，所以这是等轴双曲线,

即“所以/=/+〃?=+（V^）=4.

即双曲线的焦距为2c=4,

故选:C.

6.D

【洋解】设点M（x,），），则M4=（-X,。-），），MB=（-<;-«-y）-

若满足4MB餐，则凉.砺<0，g|Jx2+y2-a2<0,即标>/+）,2,所以jM+y].

令3，则/表示点M到坐标原点。的距离|。加|.

如图，当线段QM过圆心C时，|0M|最大，最大值为|OC|+1=6.

所以〃的取值范围是(6,+8).

故选：D./>36

7.C

3Q

【详解】sina+cosp=］两边平方得sin'a+2sinacos夕+①,

乂cosa=sin/7,故cosa-sin/=0,两边平方得

cos2a-2cosasin尸+sin?/=0②,

9

式子①+®得，2+2(siimcos/7-cosorsin/?)=—,

oI।

to2sin(a-/y)=--2=-,fesin(a-y9)=-.

故选：C

8.D

【详解】延长QK与双曲线交于点尸,

因为大。〃死产，根据对称性可知但”=怛片,

设内川二山4=乙则出”=|/a=3r,

可得E8一忻H=2f=2a,即/="，

所以17yoi=4/=4匹则|Q周=|0£|+4=5%阳P|=|用

即PQ『+MP12=|Q用2,可知工=90,

在/岑乃中，由勾股定理得因。4P『二|耳同)

即入㈣2=4-解得”?当

【详解】已知例={1,2},N={2,3,4},则MCN={2}H0,所以M与N不是互斥事件，A错误;

i+M/W、=An（_MJ）=-2=-1,P（/2、）=品〃（N）=「31，”={,2、},所以「四，人、n品（MN2）白1

因为P（M）P（N）=：X4=!=P（MN）,所以M与N是相互独立事件，B正确；

1I

n黯--

I/M\6/r6

\✓N

J=-(_t)-(-

/2X6\/1\1

--2

23

所以P(M|N)WP(MM),c错误;

M={3,4,5,6},则MN={3,4},P

N={1,5,6},则胸={1},PMN

(\)}=〃\⑼/=-6

所以P（京N）+P（M弁）=；+3=等=；,D正确.

故选：BD.

10.AC

【详解】在棱长为1的正四面体A8C。中，40_1平面40连接OC,

则。C=2x^=立，AO=y[ACr^OCI=-,MO=-AO=—,

323326

CM=y]OC2+MO2=»同理BM=DM=,

对于A,BM-+CM2=\=BC\MW1GW,A正确;

对于B,由选项A知，BMJ.DM,若/加_LAO,而AOcOM;DAO,OMu平面可山,

则BM_L平面4V/D,又AMu平面AM。，于是N4MB=90，

而八"2+8疗=，+工工1=4外，即ZAM3W90,因此不垂直，B错误；

对于C,由选项A知，8W,CW,DM两两垂直，则有。Ml平面8cM,

因此点。到平面8cM的距离为OM=也，C正确；

2

对于D,三棱锥M-8C0的外接球与以为棱的正方体外接球相同，

则该球的直径为75CM=半，半径为手，体积为与.(手y=牛，D错误.

故选：AC

11.BCD

【详解】对A：当)旋转E时与N轴重合，此时1个工对应多个y值，故A错误；

4

对B：将％=。旋转-二后所得直线为y=Tana(x-c),则只需一丫=^^X+(eR)与原函数仅有一个交点;

令P(x)=sinx-丘T,^=-^—,当时，p(x)只有一个零点，所以tanae(0,l],即ae(0,：,

故B正确；

2

对C：令g(x)=x+/,当ar--；=%+/在定义域内仅有唯一解时,即(a-l)fTx-2=0,

Xf

当。=1时，-a-2=0仅有一个解，故满足题意；

当〃E1时，(4一1)炉一改一2二0的判别式A=I2+8(〃—1).

对任意的。，都存在“吏得判别式大于0,不满足题意：故。=1,故C正确；

对D：若〃(力是":旋转函数“，当〃"+l=x+f仅有唯一解时，即/=加利-x+1,令〃?(司=加近一%+1,

ni(X)=tnex+mxex-1=m(x+1)eK—1,令q(x)=〃?(x+l)e'-1,则O(x)=/n(jc+2)e*

当加=0时，方程为l=x+/,得工=/-1,仅有唯一解，符合题意；

当〃?>0时，当x<-2,夕'(x)<0,当了>-2,“'(x)>0,所以"(x)在(TO,-2)上单调递减，在(-2,+co)上

单调递增,

又因为Xf-oo时，W(x)fT<0,=+l|e--l=^e->0,所以可得〃z(x)先减后增，不符合

IImJ

题意：

当加<0时，当x<-2,d(x)>0,当x>-2,4'(x)vO,所以加(x)在(-8,-2)上单调递增,在(-2,+oo)上

单调递减，

所以当大=一2时，加(x)有极大值也是最大值加(司=一〃汜"一1«0,即〃止-小，则机e[-e2,0j；

综上得存在机式-e0]时，是”:旋转函数”，故D正确.

故选:BCD.

12.(f,T]U(2,+cc)

【详解】-A->-I<=>^-+l>0,即二之。，

x-2x-2x-2

所以上;"I""。，解得x〉2或&1,

工一2工0

所以不等式的解集为(e,-l]U(2,位).

故答案为：(Y0,T]U(2,+00).

13.昱或县

24

【详解】由题意知，㈤=同=闯=1,

在△ZQZ?中，由余弦定理可得：

cosZZ.OZ,=㈤+如乎尸|=_2,即/ZQZ,=120°,

2㈤也|2

在△Z0Z、中，由余弦定理可得：

z+zz+

cosZZ.OZ,=-I'l"I^-I'^I-=J•，即ZZ.OZ.=60。,

2㈤也|2

\\/\p\x

当西与鬲反向时，S=1x2x立=@；

222

当线段0Z3在/Z04的内部时，即如图所示的位置时，s='x75x1=3,

\\//Ox

所以△zz?4的面积为丑或走.

24

故答案为：0或立.

24

14.4兀

【详解】由已知得cos/工O=

由cosaGcos/Asin7成等比数列，且成公比为2的等比数列，

得cosasin2/?=3cos”,所以2cosasin/?=3cos夕=2cosasin2a=3cos2a,

所以4sin'a—6sin2a—4sina+3=0,

令Z=sinae[—1』，得到⑵―1乂2产一2"3)=0,恰好有两个根“J/=匕也，

22

而满足“sina=g的a的值有四吟%=系，满足弓=sina=上空的。的值之和为

3加cC

+«4=—x2=3n,

故所有满足条件的。的和为4兀.

故答案为：4Tl.

15.(1)证明见解析

【详解】(1)在等腰梯形ABCD中，AB//CD,则AD=C8,ABHED,由E为。。中点,

AB=ZCD=4t得A8=EO,则四边形A8EO为平行四边形，ADHBE、AD=BE,

CB=BE,又NC=§，则V8EC为等边三角形，即ABEP为等边三角形,

取如中点0,连接PO,AO,于是POA.BE,PO=6.

，得VADE为正三角形，AE=DE=AB,

则。AJ_B£OA=K，又PA=后，于是。02+04?="2,即PO_LOA,

而。408石=0,且OABEu平面A5ED,因此POJL平面4?££>,乂POu平面PAE,

所以平面平面ABED.

（2）由（1）知，直线OROA。尸两两垂直，以。为原点，直线08,。4,。。分别为工》,2轴建立空间直角坐

则尔0,石,0),8(1,0,0),。(-2,石,0),尸(0,0,百),

PA=(0,石，一百),AI3=(l,-x/3,()),AD=(-2,0,0),

ri-PA=石y-V3z.=0厂

设平面BAB的法向量是同=。,加马）,则，‘而"-同=J取…得公@』)'

in-PA=JJy,-J§z,=0

设平面PAD的法向量是由=。2,%Z2），则'_2一，取月=1,得所=(01,l),

m-AD=-2x,=0

、mil2x/10

则cos。?,if)=-----=-；=~『=----，

I玩11万1V2.V55

所以平面W%和面OQ4夹角的余弦值为巫.

5

2

16.⑴三+),2=1；

4'

(2)%+心，-6=0或工-&)，-6=0.

【详解】(1)设椭圆。的半焦距为C,由过焦点且垂直于椭圆C的长轴的弦长为I,得点(c,g)在椭圆。上,

于是二HL=l,由离心率为得£=而/=/?2+/，因此匕=1,a=2,c=>/3»

a24/r2a2

所以椭圆C的方程为9+)'』.

(2)由题意，平一,0)尸式6,6,直线/不垂直于轴，设其方程为政+百,

片+/=|

由，4,得(加+4)—+24号-1=0,设4&,到),8(々，必)，

x=my+G

Fill—1

则…=K7"一行'

Sj"=；WgIIy一为1=G•J(y+月产-4y%=&,J)：『+

4V\f•I*•9ill11

4—•>/〃/+]4x/3/4x/3

-

一川+4^+3-/^3

册-+i\V^TT

当且仅当J，〃、1=/,,即小=±0时取等号，

y/?r+1

所以直线/的方程为x+&.v-6=o或X-0丁一百=0.

105

17.(1)——

256

(2)(i)顼X)=〃1+g(〃+l),E(X2)=nr+m(n+1)+1(//+1)(2«+1)；(ii)]]

【详解】（1）依题意可得抽到的4个数字互不相同的概率「=》，：＞4=肾

oX8X236

(2)(i)依题意X的可能取值为〃7+1,m+2,L,〃?+〃(/"€N,〃wN'),

且P(X=，〃+i)=3(1工注〃且iEND,

所以E(X)=­[(m+I)+(m+2)+•••+(w+M)1

n

=­〃〃?+(〃(〃+1)=〃?+耳1〃+1),

2

依题意X?的可能取值为+，（机+2）2,L,（〃?+〃）2（/〃wN,〃eN*）

且P,2=(〃?+#=—(V0且iwN"),

所以或如)=_[(/〃+[)2+(〃?+2>+…++„)2]

n

=—[n-tn2+2(tn+2〃?+•・・+Hill)+(F+2~+♦・・+/1)]

/iL

=—1n-m'+〃(〃+l)m+L?(〃+l)(2〃+l)

n6

="F++!)+—(«+1)(2〃+1)；

6

（ii）依题意样本数据3,8,9,12为期望（平均数）为（（3+8+9+12）=8,

则9,64,81,144为期望(平均数)为:(9+64+81+144)=74.5,

E(X)=m+g(〃+l)=8

所以

E(X2)=m2+m(n+1)+，(〃+1)(2〃+1)=74.5

消去，〃得8-;(〃+1)8-：(〃+1)

+(〃+l)+-(/i+1)(2〃+1)=74.5,

6

整理得r=127,解得〃=脂（负值已舍去）,

又1F=121，122=144，所以〃、口.

18.(1)4=〃，匕-

⑵300

⑶证明见解析

【详解】（1）设等差数列”“的公差为d，等比数列｛〃｝的公比为明

1+2d=“1|

由题意得1+34+1+4"=/'解得1，。=3或公-1q/,

因为等比数列也｝递增，d=1,所以所以4=1,。/=3

所以4=〃，々=3"，

(2)设在数列g的前100项中，来自明的有，”项，若。00=4”，

a&_1

则应有〃?+1+3+3?+…+3"T=100,整理可得/〃+------=100,

2

注意到函数/(x)=x+个[i二—1在(0,+8)上单调递增，"4)=17,45)=45,

/(6)=127,因〃5)<100<八6),则〃?+=ll=ioo无整数解，不满足题意.

q/n-l_I

m+-——<100

m+l+3+32+---+3m-2<1002

若"o=3,则应有，n

m+l+3+32+...+3w,-'>1003W-1

m+-——>100

2

3吁]_I

由以上分析，可得〃?+------<100=>0</n<5.

2

又g(x)=x+(l在(0,y)上单调递增,^(5)=126>100,g(4)=44<100.

则当〃?=5时，满足题意.

即数列%前100项包含4，出，%,%,%及95个3,

所以Zoo=1+2+3+4+5+95x3=30°.

(3)当"=2攵—1(421,攵eN)时，4=母=券,

设4=4+4+4+…+4,i，

1352〃-11132〃-32n-i

则44=广系+/…+尹，/A行+班+-于h+f•

21京2〃—1

,,_8,2222/2-1.

从阳§44=1+系+3+…+产•-亨r=1+

32,132n

1------

9

由8A5I545

得V二-\-+2n—V-即“记

149"4

^n-2k(k>1,AWN1时，d”=」一=----&----7=------.

一।"n2-l(/2-l)(n+l)2(〃一1n+\)

设B.=4+W+…+W”,

1111

则-■••MAB

3352n-\-*卜;I,*)弓.

所以A,+8”<^|+；=萼<2，即24<2.

3乙L5L|=|

19.⑴存在，«=--

（2）①证明见解析；②证明见解析

【详解】（1）由题意知/"）=lnx-二,x＞0,则/（％）=_1+与=213

XXXX

当时，r（A-）＞0,八幻在（0,位）上单调递增，没有最小值;

当。＜0时，令r（x）=W^=0,则x=（负值舍），

当工€（（）,"）时，/"）在（o,Q）上单调递减；

当时，/（x）＞0,/（X）在（、/^,+8）上单调递增;

故当x=＞AH时，/*）取最小值,

即《百”卜（依卜（忘y=gln（-24）+；=g,解得〃=+

故存在实数。=-2使得/（用在（0,+8）上有唯一最小值;；

2-

（2）①因为/'（x）=lnx纥,令f（x）=lnx^-=0,即得a="21nx,x＞

x~*尸

由题意知/（X）的两个零点是升,9（工］＜七），