2026高考数学解答题专练 第五章 解析几何（学生版）

第五章解析几何

目录

题型1轨迹问题.........................................................2

题型2弦长问题.......................................................4

题型3面积问题.......................................................6

题型4定点问题.......................................................9

题型5定值问题.......................................................11

题型6定直线问题.....................................................12

题型7切线与切点弦问题...............................................15

题型8角平分线问题...................................................17

题型9范围最值问题...................................................19

题型10多个专题综合.................................................21

必刷大题...............................................................24

题型轨迹问题

■・■・・•・・■・・・・・■・■・■■・■・■・■■・■・■・・・■・・・・■■・■,・・■・・・・・・・・・■・■・・・・・・・■・・・・・・・■1・・•■■・■・■・・・・・■・・・・■■・■・■・■・・■■・■・■・・・・・・・■・・•・・■・・・・・・・■・■・■•・♦■・■•・・■・■•■■・〈

1.（2025•浙江丽水厂模）己知人-5,0）,8（4用是椭圆0%看=13〃>0）上的两点.

⑴求椭圆C的标准方程；

（2）已知只。是椭圆C上的两动点，且只。的横坐标之和为寺，设直线/为线段也的中垂线,

过点A作直线AM_L/,垂足为M.求垂足M横坐标以的取值范围，并求M的轨迹方程.

;录祝进芳建二酸荟甬蓟议审疥塞

:1.直接法

;先设动点坐标为（乂力；再根据题目中动点运动的几何等量关系（如距离、角度、斜率

j等），直接将几何条件转化为含（乂），）的代数等式。

|2.几何法

|利用平面几何性质（如垂直平分线性质、角平分线性质、圆的性质），找到动点满足

j的几何等式，再转化为坐标方程，简化计算。

；3相关点法

\先明确动点P（x,y）与已知曲线（或可求轨迹的点）。（』,％）的“相关关系'’（即尸随

\。运动）；

\再根据几何条件，用（x,y）表示出Q的坐标（即％）=/（x,y）,%=g（x,y））。

:接着将（小,为）代入Q所在的已知曲线方程，得到含（XV）的等式；最后化简该等式，

;并结合实际条件（如定义域）约束，即得动点P的轨迹方程。

\4.定义法

；首先分析动点满足的几何条件，判断是否符合圆、椭圆、抛物线、双曲线等基本轨迹

：的定义（如椭圆定义：到两定点距离和为定值且大于定点间距）。

:若直接匹配定义，可直接写出对应轨迹的标准方程；若需确定参数，设出标准方程形

1式，结合题目条件（如定点坐标、定值大小）用待定系数法求解参数，最后验证方程是否

;符合轨迹定义及题目限制。

\易错点:

;易错点：需注意等量关系中的隐含限制条件（如构成三角形需三点不共线、斜率存在需分

「・・・・・・・・•■・■・・・■,・•・・■・・・■・■・・•・・・・・•■・・•・・■・■，■・・•・・・・・•・・・・・・・・・・・・・・・•■・■・・・・,・•・・■・・・・・・・・・・・・・■•・,・•■・■•・•■・・・・・・・・•・・■・・・・・・・・・・・・•・・・・・・■・・•・

；母不为0等），对所得方程进行化简和范围约束，最终得到符合条件的动点轨迹方程。

I

变式训练

1.（2025•河北秦皇岛•模拟预测）已知椭圆C：W+g=l（4>/，>0）的离心率为白右焦点为F,

a~b~

点在。上，过点尸且斜率为左的直线/与C交于4,3两点.

（1）求椭圆。的方程.

（2）若直线/的斜率为若，求△E4B的面积.

⑶设点Q满足加+）+丽=6,求点Q的轨迹方程.

2.（2025・山东聊城•一模）已知圆G：（x+2『+yJ与，圆C?:.2『+/=；,动圆C与G、G都

外切.

⑴求圆心C的轨迹方程；

⑵设4（7.0）,M、N是圆心C轨迹上的不同两点，过点〃作/V/_LMN,垂足为〃，若直线

4W与AN的斜率之积等于-2,求动点〃轨迹的长度.

3.(2025•广东珠海•模拟预测)已知点46,0),以线段P为直径的圆内切于圆

O:f=4.

(1)求点G的轨迹C的方程；

⑵当过点夕(2/)的动直线/与轨迹C相交于两点A4(可以相同)时，阳=4万,

AD=ADB，求动点。的轨迹长度.

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题型弦长问题

1・,•■«•■・・・・・・・・・■・・•・・■・・•■・・・・・・・・•・・■・・・・・・・・・・・・•・・・・・・・・・•■・・・・•■・・2・・,・・・・・・■・・•・・■•・•・・・・・・・・・•・・■・・・・•・・・・・・・•・・・・■・■

1.(江西省九江市多校联考2025年9月高三联考解析第15题)已知双曲线

得多=1(«>0,/7>0)的左焦点为产(-2,0),离心率为2.

⑴求。的方程;

(2)过点”的直线/与。交于AB两点，与丁轴交于点P,且夕是肝的中点，求|4区.

弦长公式的两种形式

⑴若4,8是直线产去+〃?与圆锥曲线的两个交点，且由两方程联立后消去y,得到一元二次

方程

ax2-\-hx+c=O,则|/阴=，1+〃2|2—4|=,1+%2•

同

⑵若48是直线人日町，+〃与圆锥曲线的两个交点，且由两方程联立后消去％得到一元二次

方程

ay2+少+。=0,则+“A从一词=+"产•.

变式训练

1.(2025・河南•二模)设抛物线C：V=轨的焦点为F,过尸的直线［与C交于4，8两点.

(1)求C的准线方程；

(2)设M(t,2)为C准线上一点，且MF1L,求|4B|.

2.(2025・安徽•一模)已知双曲线C盘一'=1(。>0,6>0)的离心率为2.且经过点(2,3).

(1)求。的方程；

(2)若直线/与。交于A,B两点，且瓦彳•丽=0(点。为坐标原点)，求历阴的取值范围.

题型3面积问题

1.(2025・广东深圳•二模)已知点网-2&,0),F(2V2.0),4(2,-1),直线EM,产M相交于点

M,且它们的斜率之积是

4

(1)求动点M的轨迹方程C;

⑵直线/与曲线C交于P,。两点，直线AP,A。的斜率之和为0,且/尸4Q=T，求△PAQ的

面积.

「・・・・・・・・•・・・・・・■,・•・・■・・•■・■・・•■・・・■,■・・•・・■•・，■・・•・・・・・・・・・•・•・・■•・•・,・•・・・・・・・・・•■・■・・•・・・・・•■・・・・•・•・•■・■•・•■・・・・・・・・・・・・•・•・・■•■・・•・•・・・・・・■・・•■・■

:直线与圆锥曲线相交，弦和某个定点所构成的三角形的面积，处理方法：

1.一般方法：S=-|A^（其中|A可为弦长，d为顶点到直线AB的距离），设直线为斜截

式y=kx+tn.

进一步，=；&+〃/5+//_4入内=;+,）2_4/X|_%+时

2.特殊方法：拆分法，可以将三角形沿着x轴或者），轴拆分成两个三角形，不过在拆分的时

候给定的顶点一般在x轴或者y轴上，此时，便于找到两个三角形的底边长.

=,=+

^SPABSAQQA+S"QB=-PC||?4—）'8\^SPABS~PQB=-

=^\PQ\\/（）'|+%）2-4），曲=*Q|小（.+々）2―4中2

3.坐标法.设4（刀,X），B（z，必），则SMOB=gI-小,1.

4.面积比的转化.

三角形的面积比及其转化有一定的技巧性，一般的思路就是将面积比转化为可以利用设线法

完成的线段之比或者设点法解决的坐标形式，通常有以下类型：

①两个三角形同底，则面积之比转化为高之比，进一步转化为点到直线距离之比

②两个三角形等高，则面积之比转化为底之比，进一步转化为长度（弦长之比）

③利用三角形面积计算的正弦形式，若等角转化为腰长之比

④面积的割补和转化

5.四边形的面积计算

在高考中，四边形一般都比较特殊，常见的情况是四边形的两对角线相互垂直，此时我们

借助棱形面积公式，四边形面积等于两对角线长度乘积的一半；当然也有一些其他的情

况，此时可以拆分成两个三角形，借助三角形面积公式求解.

6.注意某条边过定点的三角形和四边形

「•・•・•・•・•・,・•・•・,・•・•・•・•・,・•・•・,・•・•・,・•・•■•・♦・,・•・,・•・•・,・•・•・•・•・•・•・•・•・•・•・,・•・•・•・,・•・•・•・•・•・•・,・•・•・•・•・,・•・,・•・•・•・•・•・•・,・•・•・•・•・•・•・•・,・•・•I

:当三角形或者四边形某条边过定点时，我们就可以把三角形，四边形某个定顶点和该定点为

:边，这样就转化成定底边的情形，最终可以简化运算.当然，你需要把握住一些常见的定点结

1论，才能察觉出问题的关键.

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变式训练

I.（河北省石家庄市第一中学2025-2026学年高三上学期11月期中考试第16题）

已知椭圆C:5■十£=1（4八0）的一个顶点为A（O,1）,右焦点为“，且|OF|=2|例，其中。

为坐标原点.

（1）求椭圆C的方程；

（2）若过点/作直线/交。于民。两点，且△08。的面积为好，求直线/的方程.

2

2.（2025♦河南信阳•一模）已知A,B两点的坐标分别是（2,0）,（-2,0）,直线AP,即相交于

点、P，且它们的斜率之积是-白记点夕的轨迹为曲线C,直线/与曲线。交于不同的两点M,

4

N.

⑴求曲线C的方程；

⑵若以线段MN为直径的圆经过点4（2,0）.

①求证：直线/过定点。，并求出D的坐标；

②求三角形AMV面积的最大值.

3.（19・20高三上•山东淄博•期末）已知椭圆[+[=1（〃>〃>0）的左右焦点分别为巴和外，由

a2b~

4人点、N（a⑼、F2和”组成了一个高为白，面积为36的等腰梯形.

（1）求椭圆的方程；

（2）过点K的直线和椭圆交于两点4、B,求△644面积的最大值.

题型4定点问题

1.（2。25•山西吕梁•一模）已知椭圆C：W+g=lS>〃>0）的焦距为4戊，点46,内在椭圆C

a-lr

上.

⑴求椭圆。的方程；

⑵若直线/交椭圆C于KN两点，且线段MN的中点尸的横坐标为—2夜，过P作直线证

明：直线/'恒过定点，并求出该定点的坐标.

圆锥曲线中定点问题的两种解法

(1)引进参数法:引进动点的坐标或动线中系数为参数表示变化量，再研究变化的量与参数

何时没有关系，找到定点.

(2)特殊到一般法:根据动点或动线的特殊情况探索出定点，再证明该定点与变量无关.

变式训练

1.(河北省衡水市桃城区2026届高三上学期暑假开学解析第18题)已知椭圆

。。+£=1(八〃＞0)的长轴长是短轴长的G倍，且C经过点A(而1).

⑴求。的标准方程.

(2)设〃是。的左顶点，M,N是。上异于点H的不同两点，直线"N的斜率分别为

%左，且4次2=-

(i)若点M的坐标为卜|《)，求鹏|；

(ii)证明：直线MN过定点.

2.(河北省邢台市卓越联盟2025-2026学年高三调研解析第18题)己知椭圆

七。+£=1(〃＞。＞0)的一个焦点为尸(叫，其短轴长为2.

⑴求椭圆E的方程；

(2)过坐标原点。的直线/与椭圆E交于不同的两点48.

(i)当直线/的斜率为1时，求例厂的周长；

(ii)若直线AE8户分别与椭圆E交于点M,N,证明：直线MN过定点.

…题包一免宿而嬴

1.(2025•广东湛江•模拟预测)在平面直角坐标系中，O为坐标原点，焦点在光轴上的椭圆C

的上顶点为4(0,2),线段。4的中垂线交C于B,0两点，且|BD|=6.

(1)求椭圆C的标准方程；

(2)点E为椭圆C上位于直线BD上方(不与点重合)的动点，过点B作直线DE的平行线

交椭圆。于点F,点M为直线EF与BO的交点，点N为直线BE与OM的交点.证明：直线。M

与直线DE的斜率之积为定值；

；免宿而函的方法「滔蓼法届蒋寐到二版

:消参法：选择变量，一般为点的坐标、直线的斜率等；把要求解的定值表示成含上述变量的

j式子

;并利用其他辅助条件来减少变量的个数，使其只含有一个变量；化简式子得到定值.由题自

\的结论可知要证

:明为定值的量必与变量的值无关。

|由特殊到一般：

|由特例(斜率为0或者斜率不存在的情况)得出一个值，此值一般就是定值；

变式训练

1.（2025・陕西汉中•一模）已知片,尸2是椭圆C《+\=l（Q>b>0）的左，右焦点，焦距

为2,离心率e=%过左焦点心的直线交椭圆C于4B两点.

（1）求椭圆。的方程；

⑵求证宸+六为定值・

2.（2025•山西•三模）己知双曲线。:摄一，=1（。>0/>0）的离心率为遥，点4（凡2）在双

曲线。上.

（1）求C的方程；

（2）过双曲线C右支上一动点M分别作。两条渐近线的平行线，与两条渐近线分别交于P,Q,0

为坐标原点，证明：平行四边形MPOQ的面积为定值，并求出该定值.

题型6定直线问题

1.（2025・浙江•二模）已知产是椭圆E:胃+、=1（。>8〉0）的右焦点，椭圆离心率8=（且

椭圆上任意一点与点尸距离的最大值为3.

⑴求椭圆E的方程；

（2）点M（%i，%）（xi>0,%>0）在椭圆E上，椭圆在点M处的切线上筌+”=1交x轴于点P.

①求FP|-4|FM|的最小值；

②设力i，42分别为椭圆E的左、右顶点，不垂直不轴的直线Mr交椭圆于另一点N,直线N4与直

线”必交于点Q，问直线MN与直线PQ的交点R是否在一条定直线上？若是,求出该直线方

程；若不是，请说明理由.

「比萱窈前豌福的囱花菱福涓南花薪用芦至蔽病位歪置覆王的而瓦逡更荷羸菊孩E茬

\于确定定点的轨迹，主要方法有：

•1）设点法：设点的轨迹，通过已知点轨迹，消去参数，从而得到轨迹方程；

i（2）待定系数法：设出含参数的直线方程、待定系数法求解出系数；

“aj监症族「通稣海苫夜亶聚而直正历好二酸庇亶赧行翦亚i

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变式训练

1.(全国名校联盟2026届高三开学模拟考数学解析第18题)已知双曲线

C:1+=ie>0,b>0)的右焦点为F,离心率为2,圆0：/+"与。恰有两个交点

⑴求。的方程；

⑵设A为C的左顶点，过户且斜率存在的直线交C的右文于M，N两点，直线AM./W分别交圆

。的另一点于尸,。.

(i)证明：EO，Q三点共线；

(ii)设直线MN与直线P。交于。，证明：点。在定直线上.

2.(2025.安徽蚌埠.三模)已知椭圆C3+:=l(a>b>0)的离心率为:，点P(3,§在椭圆

C上.

(1)求椭圆C的标准方程；

(2)过点Q(0,6)的直线(非)，轴)交椭圆于A,B两点,过点A作)，轴的垂线与直线相交于

点。，求证：线段40的中点在定直线上.

题型7切线与切点弦问题

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1.(2024・广东汕头•一模)已知点加(6%)为双曲线］-"=1上的动点.

(1)判断直线与-为y=l与双曲线的公共点个数，并说明理由；

(2)(i)如果把(1)的结论推广到一般双曲线，你能得到什么相应的结论？请写出你的结

论，不必证明；

(ii)将双曲线。：/-5=13>0,〃>0)的两条渐近线称为“退化的双曲线”，其方程为

,4=。，请利用该方程证明如下命题：若小.〃)为双曲线C上一点,直线，：十与C

的两条渐近线分别交于点RQ,则丁为线段P0的中点.

;圆锥瓯猿而额而切去我的\

:切线方程：:

\(1)过圆U-«)2+(y-/9)2=r2(r>0)上仟意一点P(%,y。)的切线方程为j

2

j(x0-«)(x-«)+(y0-b)(y-b)=r.

：(2)过椭圆£+[=1上的点P"。,%)的切线方程为：当+兴=1；J

a"b"a'b

13)过双曲线[=1上的点P(%,y。)的切线方程为：之一装=1；;

a~b~ab

：(4)过抛物线y2=2px上的点P(%,)，0)的切线方程为：)%=〃*+/).\

\切点弦方程1

i(1)过圆(”一〃)2%(y-力产=，(,.>0)外一点夕(工0，乂))的切方弦方程为\

\(-^0-a)(x-a)+(y0-Z?)(y-b)=r.

i(2)过椭圆W+£=l外一点P(Xo，y0)的切点弦方程为W+督=1；i

CloaD

：(3)过双曲线之一4=1外的点P(x。，％)的切点弦方程为：&一弹=1;1

aba~b-

J(4)过抛物线y2=2px外的点尸(%,)，0)的切点弦方程为：>%=p(x+x0).J

;说明：上述公式的记忆方法均可用，，抄一代一”，即把平方项其中一个照抄，另一个将变量用1

\已知点的相应坐标代入(从曲线上一点(％为)作曲线的切线，切线方程可将原方程作如下方:

:法替换求出，->V,)，-%),，…号，)一”1).[

L.......................................................................................................................................................i

变式训练

1.(24-25高三上•贵州遵义•阶段练习)已知抛物线C：V=2〃)，(p>0)的焦点为尸，且尸与圆

+()，+2)z=l上点的距离的最小值为2.

⑴求P;

⑵已知点P(-l「2),PA,总是抛物线。的两条切线，48是切点，求|AB|.

题型8角平分线问题

1.（2025•陕西西安•二模）已知平面上动点CUy）到尸（0,1）的距离比如3到直线/：y=-2的距离

小1,记动点Q（x，y）的轨迹为曲线。.

⑴求曲线c的方程；

⑵设点尸的坐标为（0,-1）,过点尸作曲线。的切线，切点为A（A在第一象限），若过点。的

直线〃?与曲线C交于M,N两点，证明：ZAFM=ZAFN.

「鬲年芬砥的冠丽而景秦二版甬以示7不为法;

:方法1：向量夹角公式计算衾弦值

:方法2:直线夹角公式计算正切值

;方法3:正切的二倍角公式

1方法4:点线距离和角平分线性质

变式训练

1.（2（）25•北京延庆•一模）已知椭圆E：W+与=1（〃>〃>0）的左，右顶点分别为A,'且

a~b~

|AB|=4,离心率为暗.

（1）求椭圆E的标准方程；

⑵设直线％=4与x轴交于点Q,点P是直线x=4上不同于点。的一点，直线B尸与椭圆石交

于点M,直线AM与直线x=4交于点N,判断是否存在点P,使得NPAN=NQMN?若存在，

求出点户的坐标；若不存在，说明理由.

2.(2025•山东泰安•一模)己知椭圆呜+卓=1("0>0)的离心率为冬片=心分别为椭圆石的

左、右焦点，分别为椭圆E的上、下顶点，且|A四=2.

⑴求椭圆E的方程；

(2)已知过"的直线/与椭圆E交于M,N两点，且直线/不过椭圆四个顶点.

⑴设的面积分别为S5,若'VS?,求卜州的最大值；

（ii）若M在x轴上方，为/M47V的角平分线，求直线/的方程.

题型9范围最值问题

1.（2025・浙江•模拟预测）已知P为双曲线C：/_1=］上一点，。为坐标原点，线段OP的

a2

垂直平分线与双曲线C相切.

⑴若点P是直线户底与圆/+），=2的交点，求〃；

⑵求|。片的取值范围.

「直籥而丽丽京酒而施美揖渗，疏注蒜遂妻:直武海百会看而商芳法「二莫前甬兀荷

1法，即通过利用曲线的定义、几何性质以及平面几何中的定理、性质等进行求解：二是利用

;代数法，即把要求最值的几何量或代数表达式表示为某个（些）参数的函数（解析式），然后利

：用函数方法、不等式方法等进行求解.

变式训练

1.（2024•安徽•模拟预测）已知双曲线E:「-接=1（。>0,b>0）的左、右焦点分别为6,

a~b~

F2,离心率为2,P是E的右支上一点，且PEIP/"一片用的面积为3.

（1）求七的方程；

（2）若E的左、右顶点分别为A,B,过点用的直线/与E的右支交于M,N两点，直线AM

和BN的斜率分别即为的“和心.,求心,+少的最小值.

2.(2024.陕西西安•模拟预测)己知P(；』)为抛物线C：丁=2内(〃>0)上的一点，直线

、=冲+〃交C于A,3两点，且直线2,P8的斜率之积为2.

(1)求C的准线方程；

(2)求机的最小值.

感至10爹个毛蕨及合

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1.(2025・辽宁・模拟预测)抛物线氏)，2=2*(〃>0)的焦点为r，例为E上一点，M的纵坐标

为与，点N在V轴上，MN”轴，线段仞V的中点为尸，且PF/加轴.

⑴求E的方程；

(2)已知A£C为E上三个不同的点，点A在第一象限.

(i)若点3在原点，ZBAC=90°,恒臼=|4。，点A的横坐标与满足〃<Xu<〃+l(〃cN)求

n

(ii)在V/WC中，内角A反C所对的边分别为a也。，_£满足(2枝tan81)(2万an。1)=9,

石6+石(.22w,V/14C的重心G在x轴上，求点G的坐标.

，篦桥冗瓦荟雪廨三而形「豆茶冗荷丁薮羽等寤吞著者：

变式训练

1.（2025・云南大理•模拟预测）已知点M在抛物线Cd=4y（〃>0）上，过点《作斜率为

-1的直线交C于另一个点。，设〃与G关于V轴对称，再过4作斜率为-1的直线交C与另一

个点0,设6与0关于x轴对称，以此类推一直做下去，设匕

⑴求f的值；

⑵求数列｛乙｝的通项公式，并求数列［」一］的前〃项和。的取值范围；

.x»+.

⑶求的面积.

2.（2025・四川资阳•模拟预测）如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：］+?=l的左、右

焦点分别为工，经过点月且倾斜角为。（0<〃<孩）的直线/与椭圆。交于A,B两点（其中

点A在工轴上方）.连接吊心，杆？将平面xOy沿x轴向上折叠，使二面角为直二面

（1）当。=?时，

①求三棱锥4-8/乙的外接球的表面积;

②求三棱锥4-4方鸟的体积；

(2)是否存在使得折叠后小b八的周长为£?若存在，求tan。的值；若不存在,

请说明理由.

必刷大题

模拟练

1.（河北省石家庄市第一中学2025-2026学年高三上学期11月期中考试第16题）已知椭圆

x2y2,

C/‘下一1的一个顶点为A（°J）,右焦点为尸,且囱=2叫其中。为坐标原

点.

（1）求椭圆C的方程；

（2）若过点/作直线/交。于氏。两点，且△03。的面积为好，求直线/的方程.

2

2.（25-26高三上•湖北武汉•开学考试）已知点Q是圆1『+），2=8上的任意一点，点

£（-1，0），线段牝的垂直平分线交QK于点儿

（1）求动点尸的轨迹G的方程；

（2）分别过匕，8作平行直线〃，，〃，若直线，"与C交于八，B两点,直线〃与C交于c,D两

点，其中点A,。在X轴上方.

（i）若/9汨=5,求|4国十|。周的值；

（ii）求四边形ARF］。的面积的取值范围.

3.（潍坊市开学调考2026届高三数学解析第18题）已知椭圆C：/+营=（7">0）的离心

率为坐，右顶点为8（2,0）.

（1）求C的方程；

⑵过点?（1，。）的直线/交。于M,N两点（8不在/上），过N作直线处的垂线，垂足为Q.

①求的最小值；

②求忸M|•忸。的最大值.

4.（湖南省长沙市长郡中学2026届高三上学期月考（三）数学试卷第17题）

已知P为椭圆「:「|，=1（。＞人＞0）短轴上的一个顶点，K，尸2为「的左、右焦点，且

△尸”与的面积为石，椭圆「的焦距为2.

（1）求椭圆「的方程；

（2）设直线/为圆f+y2=］的切线，且/与「相交于A,B两点,求欢.丽的取，直范围（O

为坐标原点）.

5.（2025年8月浙江省名校协作体高三数学解析第18题）已知椭圆£5+，=1（〃＞“0）过点

A（2,0）,B（0,-1）.

⑴求椭圆E的方程；

（2）斜率为1的直线与椭圆后交于CN）两点，点。坐标为（-4,0）,直线PC与椭圆的另一个交点

为点M,直线与椭圆£的另一个