2026高考数学专项复习之二次函数

二次函数

，考试要求

理解二次函数的图象和性质，能用二次函数、一元二次方程、一元二次不等式之间的关

系解决简单问题.

陞备知识回顾自主学习•基”:回扣

教材回扣

1.二次函数解析式的三种形式

(1)一■般式：Zlr)=ar2+bx+X0).

(2)顶点式：fix)=a(x-m)2+n(a0),顶点坐标为(〃3/?).

(3)交点式：fix)=a(x-x\)(x—X2)(«^0),x\f及为«x)的零点.

2.二次函数的图象和性质

函数y=av2+Zur+c(a>0)y=加+/犹+c'(a〈0)

图象(抛

物线)

0vP*

定义域R

4a(-b2、(4ac-b2

值域「k+叼ITO，4a」

b

对称轴x=一丁

顶点4ac-b2\

坐标\—2^~鱼)

奇偶性当〃=0时是偶函数，当bwo时是非奇非偶函数

在(-8,总

在(一8，一5］匕是遨函数：上是里函数：

单调性在卜枭+8)

在［一枭+8)上是增函数

上是遮函数

教材拓展

1.二次函数的单调性、最值与抛物线的开口方向和对称轴及给定区间的范围有关.

2.若公尸加十区+电工。)，则当J

J<0

时，恒有”)>o；当「八时，恒有yu)vo.

J<0

基础检测

Q---

1.判断(正确的画“J”，错误的画"X")

(1)二次函数+所+c•的图象恒在x轴下方，则且/<0.(V)

(2)若二次函数)，=a*+/»+(?的两个零点确定，则二次函数的解析式确定.(X)

一序

(3)二次函数yuaF+bx+cawm?,〃］)的最值一定是———.(X)

2.函数-2x+4的最小值为3.

22

解析：>'=x—2x+4=(x—1)+3,故当x=l时，ynin=3.

3.己知儿r)为二次函数，若人幻在x=2处取得最小值-4,且40的图象经过原点，则函

数解析式为心)=f一八.

解析：由题意，可设，心)=Mv—2)2-4(。>0),又图象过原点，所以火0)=4。-4=。，解

得4=1,所以fix')=(x—2r—4=1一4x.

4.若函数/U)=4f一"一8在［5,20］上单调，则实数%的取值范围为(-8,4013160,

+°°).

解析：依题意知，。220或解得42160或；<4().

OO

母键能力提升互动悚究■考点相讲

考点1二次函数的解析式

【例1】已知二次函数段)满足12)=-1,海-1)=-1,且/)的最大值是8,则於)

=-4f+4x+7.

【解析】方法一(利用“一般式")设_/U)=a*+饭+c(aW0).

4a+2Z?+c=—1,

a=-4,

a—b-\-c=-1,解得J〃=4,

由题意得，

4ac—b2

4a=&、c=7.

所以所求二次函数的解析式为"r)=­4*+41+7.

方法二(利用“顶点式”)设大幻=〃。一"?)2+〃(“40).因为42)=/(—1),所以抛物线

的对称轴为直线x=2+；所以"?=；.

又函数有最大值8,所以/

+8.因为八2)=—1,所以〃(2-0+8=—1,解得〃=—4,所以y(x)=—4(x—§+S=一

4A2+4x+7.

方法三(利用“交点式”)由已知氏丫)+1=0的两根为国=2,%2=—1,故可设“t)

4。(—2a-1)—\—ci^r

+1=a(x-2)(x+l)(aWO),即“¥)=加一av—2a—1.又函数有最大值8,即一~=~瓦--------

=8.解得“=-4或4=0(舍).故所求函数的解析式为4『+4X+7.

,规律总结

求二次函数解析式的方法

【对点训练1】已知儿丫)是二次函数且满足人。)=1,凡r+i)-/u)=2x,则函数yw的解

析式为/(1)=，-x+I.

解析：由题意，设/口尸“必+加:+以〃^。)，因为人0)=1,即c=l,所以火此=冰2+/比+

I,所以/(x+1)—J{x)=[a(.r+1/+b[x+1)+1]—(ax2+辰+1)=2ar+〃+/?=2x,从而有

2a=2,a=l,

解得彳所以J(x)=f-x+l.

a+〃=0,出=-1,

考点2二次函数的图象

【例2】(多选)二次函数〉=公2+以+c•的图象如图所示，则(BCD)

A.a+Z?+c〈0

C.abc<0D.从v4a(c+4a)

【解析】由题意得。VO,A-号=\,则b=-2a>0,当x=1时，>'=«+/?+c>0,故

A错•误；当x=—I时，y=a—8+c、<0,则a+c<b,故B正确；当x=0时，y=c、>0,则abc<Ot

故C正确；设一元二次方程加+云+。=0的两根分别为内，X2,由图象可知所一对=鲁=

整理可得〃<4a(c+4a),故D正确.故选BCD.

,规律总结

研究二次函数图象应从“三点一线一开口”进行分析，“三点”中有一个点是顶点，另

两个点是图象上关于对称轴对称的两个点，常取与人轴的交点；“-线”是指对称轴这条直

线：“一开口”是指抛物线的开口方向.

【对点训练2】(多选)设"cvO,则函数)，=加+公+0的图象可能是(ABD)

ABCD

解析：函数y=aF+加的图象的对称轴为直线1=一刍，设与x轴的两个交点的坐标

behhe

分别为(XI,0),(X2,0),则乃+x2=一‘，W2=-,对于A,4<0,一五<°，一£<°，］刈，则

a<0b<0,c<0,/.ahc<0.符合题意；对于B,a<(),>0,—”0,~<0,则a<0,b>0,

t一.誓aaci

c>0,abc<0,符合题意：对于C,a>0,—^<0,—~<0,r>0,则a>0,b>0,c>0,：・abc>0,

不符合题意；对于D,a>0.―方>0，—\>°，^>0,则a>0,/?<(),c、>0,.,.R?cvO,符合题意.故

选ABD.

考点3二次函数的最值

【例3］已知函数负©=/+4”.

(1)若7U)在区间［1,3］上具有单调性，求实数。的取值范围；

(2)求7U)在区间［小。+1］上的最小值g(a).

【解】(I)易知人.丫)=炉+4亦的图象开口向上，对称轴为直线x=-2a,

所以若儿r)在区间［I,3］上单调递增，则需一2〃W1=心一看

若加)在区间［1,3］上单调递减，则需一2a23=aW-/

综上，4的取值范围为(-8,—|］U［-'2，+8)

(2)当a<—2a<a+1,即。£(一0)时，=fi—2a)=~4a2,

当一即。20时，g(a)=fla)=5a2,

当一2〃2。+1,即〃W—g时，j?(t7)=/(a+1)=5«2+6«+1,

一］

—4(r,­2<«<0,

综上，g(a)=<5/,〃20,

5/+3+1,aW—今

」规律总结

闭区间上二次函数最值问题的解法：抓住“三点一轴”数形结合，三点是指区间两个端

点和抛物线的顶点，一轴指的是对称轴，结合图象，根据函数的单调性及分类讨论的思想求

解.

【对点训练3】已知函数避幻=/+(1—2〃)x+；(a£R).

(1)若函数/U)在［2,+8)上单调递增，求。的取值范围.

(2)是否存在实数小使得函数｛x—§在区间［-1,1］上的最小值为一2?若存在，求出。

的值；若不存在，请说明理由.

解：(1)因为二次函数的解析式为火x)=F+(l—2〃)x+(3ER),所以凡丫)图象的对称轴为

直线1且开口向上，即凡¥)的增区间为［二［+8),

又函数凡t)在［2,+8)上单调递增，

2x1—1、

所以［2,+°°)c—,十8),

可得F—W2,解得。号.

所以。的取值范围是(一8,|.

2

(2)令8(％)=(—；)=G—号+(1-2a)，t-£)+；=f—2at+a=(x—4尸一病+。2-42+

a,

假设存在实数。，使得函数g(x)在区间［-1,1］上的最小值为-2,则一/+aW-2,得

/一〃一220,解得aW-l或“22.

当“W-1时,g(x)在［-1,1］上递增，

则g(X)min=g(-l)=34+l,所以3。+1=—2,得。=一1；

当时，g(x)在［-1,1］上递减，

则ga)min=g(D=l-%所以1-4=-2,得4=3.

综上所述，存在实数a=—I或。=3,使得函数J(x—在区间［―1,I］上的最小值为一

课时作业10

理基础巩固4

1.(5分)已知函数yu)=f—〃a+1是偶函数，则尺力的单调增区间是(B

A.(-1,4-oo)B.(0,+8)

C.(1,+8)D.(2,+8)

解析：因为函数4r)=f-"田+1是偶函数，所以凡r)的图象关于y轴对称，又因为'/U)

图象的对称轴为直线x=£,所以〃?=0.所以«x)=『+1,所以.穴工)的单调增区间是(0,+8).

故选B.

2.(5分)函数式x)=2F一工一1(一IWxWl)的值域是(D)

A.[0,1]B.[~1,1

「91

C.[1,2]D.[一于2

解析：府）=ZF—X—1=2（1—/一也因为一IWXWI,所以/U）在[―1,:上单调递减,

在Q,1上单调递增，又人1）=2—1一1=0,五-1）=2+1—1=2,故凡¥）=2/一1一1在一

IWIWI上的值域为[一5，2.故选D.

3.（5分）二次函数了=/*）的图象如图所示，那么此函数为（C）

y

（0,3）

3

-

4

3

D.y=z（2T）

解析：由题中图象经过点Q,0）,（—2,0）可设其解析式为v=«（x+2）（x-2）,将（0,3）

33

--

代入，得3=—4”，解得〃=一/故其解析式为），=44

选C.

4.（5分）二次函数），=9+（加一1M一3在3]上最大值为I,则实数。的值为

（D）

A--2B-~3

C.—|D.一|或一；

I-2〃I-2a

解析：由函数），=f+（2“一l）x-3,得其图象开口向上，对称轴为直线X=下一.当下一

W1时，即。寸一2,x=3时有最大值1,即9+（2。-1）X3-3=1,解得。=一§;当，＞]

时，即“V—3，x=-1时有最大值1,即I+（2〃-1）X（—I）—3=1,得a=-1.故“=-1或

a=一:.故选D.

5.（5分）已知函数儿1）=62+版+。,若av〃vc,月.〃十4+c=0,则/U）的图象可能是（A）

ABI)

解析：若且a+Z?+c=O,则KOVC,故凡r^aF+Zu+c开口向下，故B,D错

误；又X0)=c>0,故C错误，A正确.故选A.

6.(5分)已知函数咒¥)=*—x+5在［川网上的值域为［4〃?，4〃］,则6+〃=(D)

A.4B.5

C.8D.10

I1o

解析：凡1)=/『一x+5图象的对称轴为直线x=l,则yU)=］XF—1+5=5^4/〃，解得

9.,伏加=痴，伽2-〃?+5=4如

〃?)五，则於)在［/〃，网上单调递增，所以彳即，所以〃?，n

8加)=4〃，出-〃+5=4%

为方程%2—x+5=4x的两个根，即??为方程/一10x+10=0的两个根，所以,〃+盟=10.

故选D.

7.(6分)(多选)关于函数)，=74一(1+1)2,下列说法正确的是(BD)

A.在区间(-1,+8)上单调递减

B.单调递增区间为［-3,-1］

C.没有最小值

D.最大值为2

解析：由4一。+1)230,得一3WxWl,即函数)，=14-(x+1)2的定义域为［-3,1］,令

/=4-(x+l)2,则f=4一。+1)2的图象是开口向下，对称轴为直线工=一|的抛物线，所以函

数/=4一。+1)2在［-3,—1］上单调递增，在［一1,1］上单调递减，又)，=3单调递增，所以

3=、4-。+1)2在［-3,一1］上单调递增，在［-1,1］上单调递减，故B正确，A错误；由于

当x=-3时,f=4—(—3+11=0,当x=l时,z=4—(1+1-=0,当x=—1时,，=4,故0W/W4,

所以ymax=2,ymin=O,故D正确，C错误.故选BD.

8.(6分)(多选)设函数./U)的定义域为R,对于任意给定的正数p,定义函数.加x)=

flx)y(x)Wp,

f〃则称力⑴为yu)的“〃界函数”.若函数/u)=1+2x,则下列说法正确的是

P，其x)>p,

(ABD)

A.力(2)=3

B.力㈤的最小值为一1

C.小㈤在［-1,1］上单调递减

D.力(工一1)为偶函数

x2+2r,—3WxW1,

解析：根据题意，由』+2xW3,解得一3WxWl,■%)=，3,x<-3,所以

3,x>l,

力(2)=3,故A正确；当一3WXW1时，力(x)=f+2x=(尸H)2-l,且力(x)在LI,1］上单调

递增，在［-3,—1］上单调递减，力(1)=3,力(-1)=一1,力(-3)=3,所以一1W力(%)W3,即

X2—1,—2W%W2,

方(幻的值域为［-1,3］,故B正确，C错误；因为&x—1)-3,x<-2,则、用工一

、3,x>2,

1)的图象如图所示，由图可知力(x—1)的图象关于>轴对称，所以函数力(x—1)为偶的数，故

D正确.故选ABD.

9.(5分)已知函数.危)=/一(2。一l)x,若在区间(一8,1)内任意两个实数〃?，

都a恒成立,则实数〃的取值范围为11^2.

解析：不妨设,心〃，因为1，可得加〃)一.«〃)</"一"，即加I)一〃6A〃)一n,令

^(x)=f(x)-x=x2—lax,可得函数g(x)在(一8,1)上单调递减，因为函数g(x)=f—2ax的图

象开口向上，对称轴为直线％=%则。21,即实数。的取值范围为［1,+8).

10.(5分)已知函数兀丫)=『+"+匕的值域为［2,+8),且近x+2)=/(—工+2),则於)

=A2-4,r+6.

解析：依题意，函数/U)满足_/U+2)=A—x+2),所以函数凡丫)的图象关于直线x=2对

称，则x=—彳=2,所以“=—4,所以4%+力=(戈-2)2+0—42〃-4,又火幻的值域

为［2,+°°),所以匕-4=2,0=6,所以函数y(x)=f—4x+6.

11.(16分)已知二次函数y=ya)的图象过点(-1,3),且不等式_/U)-7xvO的解集为Q，1).

(1)求人¥)的解析式；

(2)设ga)=/")一帆匕若g(x)在(2,4)上是单调函数，求实数，〃的取值范围.

解：(1)因为不等式凡0—71<0的解集为6，1),所以1和1为关于x的方程Av)—7x=0

的两根，且二次函数)，=/次)的图象开口向上，则可设凡。-7%=〃［一：)。-1)3>0),即fix)

=«(x-1).(x-l)+7x,由/U)的图象过点(一1,3),可得〃一1一!(一1一1)+7X(-1)=3,解

得67=4,

所以/U)=4(x-；)

(x-l)+7x,

即人处=4f+2x+l.

(2)g(x)=/(x)—mx=4A2+2x+1—"it=4f+(2—+1,其图象的对称轴为直线x=—

2—ni2—ni2—fu

二^一,因为g(x)在(2,4)上是单调函数，所以一一W2或一——>4,解得〃W18或〃?234,

即实数机的取值范围为(-8,18JU134,+8).

12.(16分)函数_/U)=2^—2ar+3,其中a£R.

(1)当。=2时，求不笨式/)>6工一9的解集；

(2)当八｛［一1,3］时，7U)的最小值为0,求。的值.

解：⑴当。=2时，不等式.")>6x—9,即x2—5x+6>0,解得x<2或x>3,

所以不等式凡1)>6%—9的解集为｛A|,V<2或x>3｝.

(2)易知人大)=21—2ar+3的对称轴为x=^,

①当今《一1时，函数段)在［-1,3］上单调递增，则组)mm=/(—l)=5+2a=0,得〃=一

5,符合题意;

②当一1<^<3时，函数八幻在［-1,

上单调递减，在3上单调递增，

则>U)min=器)=3—y=0,解得〃=#或4=一加(舍)；

③当拄3时，函数危)在［-1,3］上单调递减，则肘min=H3)=21—6a=0,解得。=看

不符合题意.

综上所述，〃的值为一，或加.

题素养提升4

13.(5分)已知函数人x)=f+or+伙a,b£R)的最小值为0,若关于x的不等式/(x)<c

的解集为Q〃，机+4),则实数c的值为(D)

A.9B.8

C.6D.4

解析：:/(幻=f+<戊+"。，》£R)开口向上，最小值为0,二一彳—=0,；・6=不则©

z、2

=『+々丫+彳2=1+3)，的解集为(加，加+4),所以〃?，6+4是4。-c=0的两个不

〃一-〃一4

等实根，即〃2,〃I+4是f+<戈+了一。=()的两个不等实根，所以/〃+〃?+4=~a,则〃?=,

.•・0=火〃?)=(/力+9=(-y—