高考数学考点复习：立体几何线面位置关系及空间角的计算（练）【解析版】

第一篇热点、难点突破篇

专题16立体几何线面位置关系及空间角的计算（练）

【对点演练】

一、单选题

1.（2023•四川攀枝花•统考二模）如图,正方体48CO-44G2中，P是耳。的中点，给出下列结论:

①尸B//RC；②PB〃平面BRC

③P5_L4C；④P8J.平面4G。

其中正确的结论个数为（）

C.3D.4

【答案】B

【分圻】建立空间直角坐标系，利用向量法对四个结论进行分析，从而确定正确答案.

【详解】建立如图所示空间直角坐标系，设正方体的边长为2,

tUU（XMU

则P（l,0,l）,5（2,2,0）,P3=（l,2,T）a=（0,0,2）,C（0,2,0）,QC=（0,2「2）,

LUUL-J

不存在实数义使得P8=/IZ）C，所以①错误.

用（2,2,2）,。£=（2,2,0），。与=（2,0,2）,

设平面8QC的法向量为;?=（再，必,4），

rLULU

则陶zr:令3得必=4=7,故可设，（1,7,-1）,

UL&JILXJUI

™-/t=l-2+l=0>所以尸

由于。8仁平面3QC，所以心〃平面及"C,②正确.

V4JUI，"

PBCB.=2-2=0,所以%_L4C,③正确.

ULXJJI

4（2,0,2），G（0,2,2），4G=（-2,2,0）,

P8-4G=-2+4=200,所以必与4G不垂直,

4G仁平面4G。，所以P8与平面4G。不垂直，所以④错误.

故正确的个数为2个.

故选：B

2.（2023秋•河南•高三安阳一中校联考阶段练习）如图，在正方体力8c中，点厂是线段BG上的动

点，则下列说法正确的是（）

A.当点/移动至8G中点时，直线力尸与平面8OG所成角最大且为60。

B.无论点尸在8G上怎么移动，都有吊尸,片。

C.当点尸移动至中点时，才有4尸与8Q相交于一点，记为点E,且芸=3

EF

D.无论点尸在6a上怎么移动，异面直线4尸与C。所成角可能是30。

【答案】B

【分圻】对于A,利用四面体的等体积法求解直线4户与平面所成角的正弦值，从而判断正误；对于B,

证明正方体4BCD-N4GA的体对角线玛QJ.平面根据4尸u平面48C-即可判断正误；对于C,根

AF

据四点共面，利用梯形几何性质求解学，即可判断正误；对于D,根据动点尸的位置.，求解异面直线力尸与

EF

co所成角的正切值取值范围来判断正误.

【详解】解：对于A,设正方体力的棱长为1,如图，连接4。，4&4。1,夕。,。6

在正方体ABCD-AMQ,中，面对角线AB=AG=AJ)=BC】=BD=CiD=近,

故四面体48CQ为正四面体，所以=/方体一4〃_械,=p_4xlxlxp=1,

Sg=-x>/2x>/2xsin6()o=—,

22

3J/2G

则点4到平面BDC\的距离为〃=章生出

—

\BDC\

乂v48G为正三角形，则当点尸为5cl的中点时，线段4尸的长度最短,且为LX&X百=—,

22

空

此时直线4尸与平面8OG所成角的正弦值sin0=4最大，且为（sin。）.=+=选项A错误;

A[r、'max如32

对于B,如图,连接4/4G，4A

在正方体力8。。-44GA中，四边形44GA为正方形，所以4G1A2,

乂。A_L平面44G〃，4Gu平面44GA，所以4cl工DR,又BQCDR=%BR,DD】u平面DD岛,

所以4£"L平面。且qQu平面所以4G_L8Q,同理可得44_L4Q,

又4Gc44=4,4G，44u平面48G，所以平面同灰；又力尸u平面力由弓，所以总有力厂上与。，

选项B正确：

对于C,如图，连接4。,8尸,。/"

当F为8G的中点时,即"比时点。中,产四点共面,为梯形/Q股的对角线，故其交于一点

E,且J5=H=2,选项C错误；

EFFB、

BF

对于D,因为44〃8,所以/尸即异面直线力尸与C。所成的角，该角的正切值为表，

易知q44领h44，所以《4苦G,tan3（）o=且不在该范围内，

22A超3

故无论点尸在上怎么移动，异面直线4尸与C。所成的角都不可能是30。，选项D错误.

故选：B.

二、多选题

3.（2023秋湖北武汉•高三统考期末）在正方体48CO-48cA中，点£在线段上，且〃石=；8。，动点尸

在线段与。上（含端点），则下列说法正确的有（）

A.三棱锥〃-“。尸的体积为定值

B.若直线M〃平面“片"，则C尸=；。用

C.不存在点尸使平面。E尸J.平面8片GC

D.存在点尸使直线七尸与平面48CQ所成角为；

【答案】AB

【分析】选项A连接同。，设正方体的棱长为2a,说明与C〃平面力。。「可说明点尸到平面/。。的高度为

定值，S△/必为定值，利用等体积法即可说明，选项B建立.空间直角坐标系，利用向量法求解即可，选项C,

当尸处于。处时即可判断，选项D借助选项B中的相关结论，假设存在点尸便直线E尸与平面。。所成角为

p根据假设条件，表示出线面角，列出等式，推出结论即可.

【详解】选项A,连接4。，如图所示：设正方体的棱长为2%

因为用=oc,

所以四边形为平行四边形，

所以80〃4。，

又4。a平面力4。0平面力。。/,

所以8c〃平面力。44，

即B.C//平面ADD,

所以直线6c上的所有点到平面力。2的距离都相等都等于正方体的棱长2“为定值,

所以点尸到平面ADD,的高度为2a,

由Sv.3=gx2ax2a=242为定值，

14

所以%=/用仙=?x2/x2a/为定值,

故A正确，

以。为坐标原点，D4,DC,DR分别为x»，z轴,建立空间直角坐标系，如图所示:

ULUUX1

设。尸二比与(0«人1),设正方体的楂长为1,

因为点£在线段4。上，且=所以后在线段的中点,

则力(1,0,0),"(0,0,1),与(1,1,1),呜,；,0),

I-JJ

所以42=(-1,0,1),力4=(0,1,1),

设平面48n的法向量为片=(dAc),则

rIUJUrIXUU

m1AD.m-AD.=0-a+c=0

Uir=>'LUX=

rrb+c=0

m1ABym-ABX=0

令c=l,则a="=-l,

所以平面ABR的法向量为六=(1,-1,1),

由。(0,1,0),设77aoJo,Zo),

ULUIUJJ

所以CF=(%,%-l,Zo),又s=(1,0,1),

UL&ULAXI

所以C尸=疣鸟n(/,%7,Zo)=冏1,0,1),

x0=4x0=4

所以，yo-l=O=><No=l，

No=%Zn=%

cun(I1

所以"(/MM),所以£/=[4—a，5H

ULXUU

直线跖//平面力4。，所以”

IUJIT

lipEF•〃?=()=2--xl+yX(-I)-/lxl=0,

<2

।inniLur

解得"于b故B选项正确'

当尸处于C点时，平面DEF即为平面ABCD,

而在上方体中平面ABCD1平面BBCR,

故存在点，厂使得平面OE/J•平面38CC，

故C错误，

IUD（\\\CUOM

由13选项知£?=（丸一5,5，九，由。。_L平面48CQ,

所以DR=（0.0.1）为平面4BC/）的个法向量，

设直线EF与平面ABCD所成角为0,

由线面角的性质有:

UJDULUD

EF•DD、

sin0=

EF-DD{

假设存在点F使直线EF与平面ABCD所成角为y,

BP4人2-64+3=0，

因为A=（-6『-4x4x3=36-48=T2v0,无实数解，

所以不存在点F使直线EF与平面ABCD所成角为三，

故D选项不正确，

故选：AB.

4.（2023秋•江苏南通•高三统考期末）已知在正四面体48CQ中，E、F、G、，分别是棱BC,CD,AD

的中点，则（）

A.EF"平面4CDB.AC1BD

C.乂8人平面FGHD.E、尸、G、，四点共面

【答案】ABD

【分析】把正四面体48co放到正方体里，对于A项根据线面平行的判定定理证明

对于B项，从正方体的角度上看易得

对「D项，证明四边形EFG"是平行四边形可验证

对于C项，反证法证明，矛盾点是与HE的夹角.

【详解】把正四面体ABC。放到正方体里，画图为:

对于A项，QE、产分别为4九8c的中点，

:.EFHAC

乂Q4Cu平面ACD旦EFU平面ACD

.♦."7/平面4CQ,故A正确

对于B项，从正方体的角度上看易得4。18Z),故B正确.

对于D项，QE、尸、G、，分别是棱48,BC,CD,力。的中点

EF/!力C且

2

GH//4C且G"=L<C

2

所以EF//GH,EF=GH

所以四边形口笫〃是平行四边形，放E、F、G、〃四点共面，所以D正确.

对于C项，若44上平面EG”成立，即/平面ER7，

又因为〃七u平面EFG”

所以44_L，E

乂因为E、H分别为/IB,力。的中点，

所以EH//BD

所以48_L8Z)

而△,48。为等边三角形，与18_L8O矛盾，所以C不正确.

故选：ABD

5.(2022秋・江苏南京•高三南京航空航天大学附属高级中学校考阶段练习)已知正四棱柱48cO-44GA的底

面边为1,侧棱长为。，M是CG的中点，

A.任意。＞0,AXM1BD

B.存在。＞0,直线4G与直线8M相交

C.平面48M与底面48cA交线长为定值当

D.当〃=2时，三棱锥及-力田河外接球表面积为加

【答案】AC

【分析】对于A，由题意可得8。/平面4CC/,从而可得△储_L4”,即可判断；

对于B，根据异面直线的定义可得；

对于C,根据题意找出交线，然后求出交线长即可；

对于D,根据外接球与正四棱柱的位置关系，找出球心，进而求出半径，即可得出表面积.

【详解】解：对于A,BDA.AC,BDA.AA]fAA,\AC=At力4,4Cu平面力CC/1，

.•・4。_1平面4。64，4"u平面4CG4，BD上AM,故正确:

对于B,因为8f平面平面48G，

所以BMa平面48G，

•••8M与4G异面，故不相交，故错误；

对于C,延长8财，4G交于N点，连接4N交2G于2，M为CG中点,

YNC\M^JBCM(ASA),

所以NG=C公

所以阴=2,44=1,

所以N4=6,

平面ABMI平面A=A\N,

平面4AW与底面44GA交线为4〃，

其中。为GA中点，所以力/=也，故正确对；

2

对于D,。=2,△4卅〃是直角三角形，外接圆是以4〃为直径的圆,

圆心，殳为P,半径型=好，

22

取中点0,则A/0_L平面力844，〃。=：，

TO2+-=/?2

所以4,

（1-PO）2+；=R2

所以

4

4成2=57cH3兀，故错误.

故选；AC.

三、填空题

6.（2023秋•河北唐山•高三开滦第二中学校考期末）如图，在四棱柱4BCO-48CQ中，底面48。。，

且底面力BCD为菱形,"4=3,48=2,48C=120。，P为BC的中点,用在上，0在平面48C。内运

动（不与P重合），且P。工平面异面直线P。与片"所成角的余弦值为当，贝han410M的最大值为

LUUK4L*4UXXJ

【分析】连接8。交力。于点O,推导出801平面力4GC，然后以点o为坐标原点，OA、0B、44的方向分

别为X、V、z轴的正方向建立空间直角坐标系，设M(G,O,。，其中0W3,利用空间向量法可求得，的值,

求出点。的坐标为-，,乂0，求出卜。|的最小值，即可求得tan乙40”的最大值.

(详解】连接8。交力C于点0,Q441平面ABCD,BDu平面ABCD，则BD1AA.,

因为四边形,"CO为菱形，则8014C,

QAA\AC=A,44、4。匚平面力4。1。，.180_1,平面44£。,

LLUUUUV4A1

以点。为坐标原点，0/1、08、月4的方向分别为X、V、z轴的正方向建立如下图所示的空间直角坐标系,

则46,0,0)、4(6,0,3)、0卜6,0,0)、8(0,1,0)、0(0,70)、P一乎，;，0、4(0,1,3),

易知平面44G。的一个法向量为£=(0,1,0)，

因为p。人平面力4GC,所以，P2//X,

设点区(6,0,1),其中0WK3,则端=(百,一1,一3),

LUJLIIT>1-^1-1-V5

由已知可得卜。5<片",〃？>1一辆犷方+（一3）「5，

因为。解得f=2,即点M（石,0,2）,

设点。（x,y,o）,则那=

x+~>y--^，

1/

ULUUo,可得x=-告，且y-gwo,可得yog，

因为贝lJx+掾=

所以,点

因为4M人平面力8CQ,力。、尸0U平面力8C。，尸0,AMA.AQ,

且圈］昌一可工挈

AM2,2473

「『tanZ.AQM=---=4—产=----

所以r，AQAQ3jj9.

故答案为：殍.

四、解答题

7.（2021秋•吉林辽源•高三校联考期末）如图，在四棱锥P-48CD中,底面48C。是正方形，P0_L平面

ABCD,PD=AB=2,E,尸分别为42、尸C的中点.

（1）证明：直线E尸〃平面P4Q；

（2）求点13到平面EFC的距离.

【答案】（1）证明见解析

*

【分析】（1）根据线面平行的判定定理即可得解；（2）利用等体积转化法即可求解.

【详解】（1）证明：取尸。的中点G,连bG,AG,

•・•/为PC的中点，，/G//CO,且FG=gcD,

又AE”CD,RAE=-CD,则尸G//4E,尸G=1上，

2

・•・四力形4EFG为平行四边形，，E尸"4G,

又£广2平面P4),力Gu平面P4D,平面R4D.

(2);PDJL底面44。。，尸为尸。的中点，

:,点F到平面BCE的距离为:PD=1.

又SVKE=gsK.8C=gxlx2=l,

•:EC=5EF=AG=5FC=五,SvEFc=gx必L=；.

设6到平面EFC的距离为d,则%-BCE=腺.EFC=；SVEFC.d=；,解得d=g,

2

所以点B到平面EFC的距离是y.

X.(2023秋・江西陵州•高三统考期末)如图，在四棱锥。一/8。)中，ABHCD,AB=\,CO=3,AP=2,

DP=?6ZPAD=60°,月42平面4。，点M是棱尸C上的动点.

(1)证明：APIDM；

(2)设在7=%,求当4V/平面必时;I的值.

【答案】(1)证明见解析

心

【分析】（1）根据48工平面以。和推出CO_L4尸，根据余弦定理计算推出4PJ,PO,根据线面垂直

的判定定理得到4P/平面PCO,从而可得/尸_LDW；

（2）连AC,BD交;尽N,连MN,根据线面平行的性质定理推出/P//MN,再根据三角形相似可求出结果.

【详解】（1）证明：由「月6/平面产月£>且XA//C。，

所以CQ_L平面尸力£>,乂力尸u平面尸力。，所以CO_L4尸.

由PD，=AP2+AD2-2Ap•ADcosNPAD，

得12=4+4O、2X24OXL即AD2-2AD-S=0,

2

解得力。=4或力。=一2（舍），

所以力£）2=力尸+尸02,即/尸J_PD,

又CDu平面尸CO,PDuPCD,且C7）lPD=D,

所以力尸/平面PC。，而QMu平面尸CO,

因廿匕4P_LD”.

（2）连力C,BD交『点N,连MN,

因为4尸〃平面6D”，月Pu平面.4PC,平面8DWI平面4PC=MN,

所以4P//MN,故C黑M=胃CN.

PMAN

ARAN1

在梯形48co中，根据V48N与△CDN相似，可得而=k=§,

所以2=空=!=4，即当AP/：平面时2的值为!•

PCAC44

9.（2023秋・山西•高三校联考阶段练习）如图，在直四棱柱力44GA中，四边形是菱形,

AB=2,/%=3,NR4D-60。，点E是棱利上的一点（与2?,与不重合）.

(1)求证：ACA.D.E；

(2)若二面角A-EC-B的余弦值为先,求直线8G与平面AEC所成角的正弦值.

4

【答案】(1)证明见解析；

⑵返.

13

【分圻】(1)由己知可得4C/8O,根据线面垂直的性质可得。A，力。，即可证得/C_L平面B4QQ,进而

证得线线垂直；

(2)设4cl8。=。.以点。为坐标原点，建立空间直角坐标系.设写出各点的坐标，得到平面4CE以

及平面8CE的法向最，根据已知可得。=1.然后用向品求出结果即可.

【详解】⑴证明:如图1,连结3m.

由已知可得，0Al平面48C0,平面力88,所以。4C.

又因为四边形力BCO是菱形，所以,4。工8。.

又BDu平面BBRD,OQ|U平面叫DQ,BD1DD1=D,

所以4C,平面88Q。.

因为QEu平面所以4C1.AE.

图1

(2)解：设4clBD=o,连接4G交4C于点q.

由已知可得，△48。为等边三角形，则8。=2,OB=OD=\,OA=OC=y/3.

图2

以0为坐标原点，分别以所在的直线为x轴，歹轴，z轴，如图2建立空间直角坐标系，则

4VL(),0),C(-百,0,0),C,(-73,0,3),3(0,1,0),

设〃£=4(0<4<3),故E(0,1,Q),

所以游二（力,一1,3）,注=（6,1问，S=（273,0,0）,52=（0,0,«）.

zUcuu

un."CE=05/3X[+必+叼=0

设平面HC£的一个法向量为=（x”如zj,所以，irILU°，即

2区=0

令必=%解得西=0,Z,=-1,所以平面力CE的一个法向量〃1二（0,。,一1）.

LUU

・CE=0>/3X2+y2+az2=0

设平面BCE的一个法向星%=（必，%，z?），所以3ID1111,即

n2-BE=0az2=0

令々=1,解得为=-6,22=0.所以平面8底的一个法向量黑（1,-石,01

UUU

/irin々力2

所以cos(%,%IVU-]------=---，整理可得/=1,

2

In2yja+1-Vl+34

乂0<〃<3,解得。=1,所以平面4CE的一个法向量为勺=（0』,-1）.

设直线"G与平面AEC所成的角为，,

UUHU.

々・4Glx(-l)-lx325/26

所以sin0=

同阈「|vr+ixAi+913

所以直线6G与平面/EC所成角的正弦值为笔

10.（2023秋•江西赣州•高三统考期末）如图，在四棱锥P-48CQ中，A4_L底面/8C。，四边形48CQ是凸四

边形，且尸/=/8=4。=3,Z5JD=60°,CB=CD=也.

B

(1)证明：平面P/181平面PBC；

(2)求平面PAB与平面尸C。夹角的余弦值.

【答案】(1)证明见解析

⑵当

4

【分析】(1)由题意可证得418C,BC1AB,由线面垂直的判定定理可证得8cl面44,再由面面垂直

的判定定理即可证明；

(2)以。为坐标原点，DA,笳分别为工，y轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系，分别求出平面P45

与平面PCO的法向量，由二面角的向量公式代入即可得出答案.

【详解】(1)连接力C,由题设48=/。=3,CB=CD=6得△4

乂/B.4D-60°，故NA4C-3O。，

由余弦定理可得：cosZBAC=3—4C~~3=,

2x3-JC2

解得：力C=2，J或4C=J5,

若4C=B在中，AB=3,AC=BC=6所以4c8=120。，

在V4CO中，4D=3,AC=DC=6所以VQO=120。，

所以4ACB+ZDCA=240°>180°,因为四边形ABCD是凸四边形，

所以力。=26.

从而有4B'+BC2=AC2nBC1AB,

又P/_L面力8co且BCu面48CZ),得418C,

PA\AB=A,PA,ABI面产48,故8c工面尸力B,

乂BCu面PBC,所以面P力夕_1_面尸8。：

（2）因为尸4_L面48C。且CQu面力8CO,得P41CO,

乂因为AC=26,AD=3,CD=K,所以。。2+力。2=力。2,

所以CO1/O,4c4。=4P4力Ou平面尸力。，所以。OJ"面4。，

以。为坐标原力:，方，虎分别为x,y轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系,

则0(0,0,0),4(3,0,0),C(0,®0),B0(3,0,3),町淖。〕

ILD

由（：）知8cB面尸故面产力8的一个法向量为C8=

[2142°

设面PCD的法向量为。=(x,乂z),

由炭=(0,百,0),茄=(3,0,3),

rr3r

//­DC=V3y=0

结合rIUI=y=0,令x=l,得z=-l

〃•。P=3x+3z=O

故尸C。的个法向量为5=（1,0,7）,

记平面PAB与'I'•面PCD夹角为0,

【冲刺提升】

一、单选题

1.（2023秋•广东深圳•高三统考期末）正四面体S-48C中，M是侧棱S4上（端点除外）的一点，若异面直

线M3与直线力。所成的角为。，直线A/8与平面力8C所成的角为夕，二面角M-8C-4的平面角为夕，则

()

A.a<P<yB.P<a<y

C.D.

【答案】C

【分析】先在正四面体S-46c中，作出。、。、7对应的角，再比较三者间的的大小关系即可解决.

【详解】正四面体S-48C中，取8c中点。，连接力。，A/Z),SD

过M作「〃，连接HB,MB,

过M作力。的平行线交SC于N,则/8MN=a,

由SZ)_L4C,AD1BC,SD\AD=D,SOu平面S3。，/Ou平面

可得8cl平面S/fO,则例O14C,则NMO〃=7

由8c_Z平面弘。，可得平面/8C二平面S/IQ,

又平面力8Cc平面“。=力。，〃〃匚平面以。，MHLAD,

则MH±平面ABC,则NMBH=。,

-cMHMH.l(n]〃

|i|//sin/?=--<--=sin/,H.A/e0,-,所以夕<九

MBMD\2)

设正四面体边长为1,JM=2(O</1<1),有SM=MN=1-九

MN1-A

HDHD

22cosy=-->--~--BM

cosa=—£―=—―MD

BMBM

.即春冬亭争冬如味.

所以cosy>cosa,乂a,/e|0,^|,

综上：p<y<a

故选:C

【点睛】(1)求直线与平面所成的角的一般步骤：

①找直线与平面所成的角，即通过我直线在平面上的射影来完成；

②计算，要把直线与平面所成的角转化到一个三角形中求解.

(2)作二面角的平面角可以通过垂线法进行，在一个半平面内找一点作另一个半平面的垂线，再过垂足作二面角

的棱的垂线，两条垂线确定的平面和二面角的棱垂直，由此可得二面角的平面角.

二、多选题

2.（2023•安徽淮南•统考一模）在四棱锥P-Z8C'。中，底面48co为矩形，侧面2出为等边三角形，

AB=3,AD=4,PC=5,贝lj（）

A.平面产力81.平面月8CO

3

R.直线力“与QC所成的角的余弦值为热

C.直线PC与平面力BCO所成的角的正弦值为由

5

D.该四棱锥外接球的表面积为28兀

【答案】ABD

【分析】根据勾股定理的逆定理，结合线面垂直的判定定理、面面垂直的判定定理、线面角定义、异面直线所

成角的定义、球的几何性质逐一判断即可.

【详解】因为43。为矩形，所以BC=4）=4,

因为侧面尸45为等边三角形，

所以P8=48=3,因为042+4。2=尸。2,

所以P818C,由48co为矩形可得川？工8C,

因为4BIBP=B,AB,BPu平面PAB,

所以灰?工平面218,而BCu平面//CO,

所以平面平面力BCO,因此选项A正确；

由皿CO为矩形可得力8//CO,所以/尸CO是直线44与尸。所成的角（或其补角），

设48的中点为。，连接ORODOC,

因为侧面48为等边三角形，

所以48_L0P,而平面PAB1平面ABCD,平面尸/Ac平面ABCD=AB,

所以。0平面力8cD,因为0。u平面ABCD,

所以。P10Q,

OD=JDM+]/1B]=J16+[=半,

PD^ylPO2+OD2=l—+—=5,

V44

25+9-253

在V尸CO中，由余弦定理可得cosNPC。：^^一：；7,所以选项B正确：

2x5x310

因为。P_L平面力8cO,

所以/PC。是直线PC与平面48CQ所成的角，

3色厂

因此•P（）~36•所以选项C不正确：

sinZFCO=——=——=---

PC510

设该四棱锥外接球的球心为G,矩形H8CQ的中心为〃，显然GH_L平面48C。,

即G/7//OP,过G作GR1OP,连接O4,GO,设该四棱锥外接球的半径为，，

所以在直角三角形。〃G中，有/=GD?=GT7?+（；x"+4」）,

在直角梯形尸O〃G中，有OH=RG=gx4=2,OH=GR=^r2-,

在直角三角形尸HG中，有PG?=PR?+RG：

即产=（。6一0火）2+4=r2=1-33.，户-字+产一彳+4,

解得户=¥，

4

28

所以玄四棱锥外接球的表面积为4兀/=4兀・1=28兀，因此选项D正确,

【点睛】关键点睛：利用线面垂直的判定定理和球的几何性质是解题的关键.

3.（2023秋・福建度门•高三JI门外国语学校校考期末）如图，正方体48CO-44G。中，顶点/在平面a内,

其余顶点在a的同侧，顶点4,B,C到。的距离分别为〃，1,2,则（)

A.6C〃平面0

B.平面力//。_1_平面。

C.直线川^与a所成角比直线与a所成角小

D.E方体的棱长为2近

【答案】BCD

【分析】根据点到面的距离的性质，结合线面垂直的判定定理、线面角的定义、面面相交的性质进行求解判断

即可.

【详解】对A,因为&。到。的距离分别为1,2,显然不相等，

所以4c不可能与平面。平行，因化选项A不正确；

对B,设力C5力的交点为。，显然。是力C的中点，

因为平面力BCQIa=At。到a的距离为2,

所以。到。的距离分别为1,而8到。的距离为1,

因此80//a,BPDB//a,设平面48COIa=l,

所以8。/〃,

因为4是正方形，所以4C/6。，

又因为441平面4SCO,8Du平面力8c。，

所以IB。，因为/4c力C=/M4，，Cu平面44C,

所以8。工平面//C,因此有/工平面4/C,而/ua,

所以平面4力。_£平面a,因此选项B正确；

对C,设用到平面。的距离为“，

因为平面44481a=力，力乃是正方形，点4,8到。的距离分别为迷，1,

所以有4=®l=d=^+l,

22

设正方体ABCD-A^QD.的棱长为。,

设直线力用与a所成角为夕，所以如。〃=且4=华\

力4J2a

设直线44与a所成角为，,所以siny=匕=巫.

AA}a

因为华1<指，所以sin/?<sinyn/?<y,因此选项C正确；

V2

对D,因为平面44cl■平面a,平面力/CC平面a,/,Ael,

所以C,4在平面。的射影E,厂与A共线，

显然CE=2,A1F=6MC=a。,A4=a,AA}lAC,如图所示：

由ZECA+NCAE=ZCAE+N4力户=ZECA=ZA.AF,

CPAp

cosZ.ECA=—^；,sinZ4^/?=——,

ACAA}

22

由cosZECA+sin£AXAF=1=>上+?=1=>〃=2及（负值舍去）,

2cra

因此选项D正确，

故选：BCD.

4.（2023秋,江苏南通・高三统考期末）在棱长为1的正方体ABC。-44GA中，设BP-g,其中/le（0,l）,

贝I」（）

A.PCJADB.与平面所成角的最大值为?

C.若4=；,则平面P4C//平面4G。(2\

D.若△HC为锐角三角形，则/U-,1

IJ/

【答案】ABD

【分析】建立空间直角坐标系，运用空间向量逐项求解.

【详解】

以/为原点，为x轴，为y轴，AA.为z轴，建立空间直角坐标系,

则有8(1,0,o),c(l,1,0),£>(0,1,0),4(0,0,1)中(1,0,1),。(1,1,1),4(。,1,1),

11HJUAJ111MJ

=(-1,1,1),设尸(x,y,z)，贝!JB尸=(A1J,Z),8尸=油.=(一九。矶.“一1=一儿,=4/=、,

即/(1-/U㈤；

对FA,PC,=(A,l-A,l-/l),J1Z)=(0,l,-l),PC1g41Z)=0,正确;

对于B,P4=(A-l,-2,l-2),设平面4町的一个法向量为\=(x,y,z),

rtuu

nrAB=0X=0u,、

则有「皿1，即“,令y-l,贝ljz=-l,:.”/=((),1,-1),

nrAD.=0y+z=0''

1

1

设与平面彳8。的夹角为。，则sin。=cos

V2xV3/t2-4Z+2V2x2

J3J3

当人=］时取最大值=且，二。的最大值为£,正确;

323

对于C,当4=g时，0|仲另),加品涉==(U,0),

rluu111c

设平面P4C的一个法向量为;7=(x,乂z),则有nrAP=0-x+-y+—z=0

rcur，即，22-2

nrAC=0x+y=0

令”1解得尸-l,z=0,0)；

3

设平面4G。的•个法向量为P=(X/,Z),J1C1=(I,I,O),C1Z)=(-I,O,-I),

rULUJI

〃4G=()x+y=O3,、

则有；£ul,即《=z=。，令x=l解得y=Tz-，••.P=(IT)，

pC]O=0

不存在feR使得;7=)，；7与;不平行，错误:

对于D,当4c为锐角三角形就是0<N力尸Cc],设N4PC=a,

11即I」JU

3,w/、4Kp3储一24八7(2\

"=(1—九九⑷.CP=(—九八1㈤,cosa=py^=3选一2尤+1>°'几>彳«*正确：

故选：ABD.

5.(2023秋江苏•高三统考期末)已知在三棱锥尸一4?。中，PAA.PB,AB1BC,PA=PB=\,AB=BC,

设二面角尸-AB-。的大小为0,M是PC的中点，当。变化时，下列说法正确的是()

A.存在。，使得P/J.BC

B.存在凡使得PC1平面48

C.点M在某个球面上运动

D.当。二彳时，三棱锥P-48。外接球的体积为:兀

【答案】ACD

【分析】取力4、力。中点。、E,连接尸O,DE,PE,ME,BE,即可得到NPZ定即为二面角P-44・C.

求出线段8C、AB、DE、AC.尸。的长度，假设力118C,求出。的值，即可判断A,假设PC_L平面P45,

即可得到推出矛盾，即可判断B,由处=；为定值，即可判断C,结合A可得

EP=EA=EC=EB=T,即可求出三棱锥外接球的半径，从而求出体积，即可判断D.

【详解】解：对「A：取力3、4C中点£>、E,连接尸。，DE,PE,ME,BE,

因为4=P8=1,所以尸0148,

又彳DE//BC,所以DE上AB,所以NPZ必即为二面角尸-AB-。的平面角巴

又PA上PB,AB=BC,所以BC=/iB=y/PB2+PA?=&，

所以。E=，8C=①，则力。=1-32+8。2=2,PD=-AB=—,

2222

若P/_L8C,又PA上PB,PBcBC=B,P8,3Cu平面P8C,则""L平面尸8C,

因为PCu平面尸8C,所以尸4_LPC,所以PE=；/C=1,则PD'DE'PE"即=即。=^，故

乙乙乙

A正确;

对于B：若PCL平面P4B,48u平面48,则又ABJ.BC,

PCcBC=C,PC,8Cu平面尸8C,所以481平面尸8C,PBu平面PBC,上P8,

在VABP中AB1PB与PA±PB矛盾，故B错误：

对于C：==在半径为衣的球面上，故C正确：

对于。，当。=2时，PE=1,所以EP=EA=EC=EB=1,

2

・•.E为三棱锥尸-ABC外接球的球心，外接球的半径为1,

44

所以三棱锥P-ABC外接球的体积/二：兀・P=：兀，故D正确.

故选：ACD.

三、解答题

6.（2022秋•四川成都•高三四川省成都市玉林中学校考阶段练习）如图，在四棱锥P-48CZ）中，底面48co是

矩形，PA±ABCD,PA=AD=4,AB=2,时是尸D中点.

⑴求证：直线P8//平面/CW；

（2）求直线AD与平面ACM的夹角正弦值.

【答案】（1）证明见解析

【分析】（1）利用线面平行的判定定理即可证明；（2）利用空间向量的坐标运算求解线面夹角.

连接4c与