2024人教版七年级数学下册期末复习：解答题压轴题 专项练习题汇编（含答案解析）

人教版(2024)七年级下册数学期末复习：解答题压轴题专项练习题汇编

1.如图，直线A8EF交于点、P,直线CD,即交于点0,0408分别平分NCOE和/。。£,且NI=N3.

(1)求证：AB//CD；

(2)若N5:N6=2:5,求NAO尸的度数.

2.如图，AB//CD,Z2+Z3=180°,OA平分/8OC,ZFEC=93°.

(1)A。〃反?吗？请说明理由：

(2)若Nl=60。，求NEW的度数.

3.如图，在平面直角坐标系x0v中，人B、。三点的坐标分刻为(-5,4),(—3,0),(0,2).

⑴在平面直角坐标系中画出VABC,并求出VA8C面积；

(2)如图，是由VABC经过平移得到的，若点P(a,〃)为V/1BC内的一点，则点尸在内的对应点

P'的坐标(，).

4.已知直线A4〃C。，点从G分别为直线A从C。上的点，点厂是AB与CO之间任意一点，连接上尸、G”.直

线/〃/G,直线/分别交ARCD于M、N两点.

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图1图2

⑴如图1,求证：NBMN=NFGC；

⑵如图2,已知N8KV=68。，ZJWEF=70°,求NE/P的度数；

⑶如图3,ER平分/FEB,GR平分NbGO,过点尸作"G的垂线交CO于点H,连接

NHMN=&/ERG,NFHD-/AEF=20。,求/"M/V的度数.

5.睡眠状况对青少年的成长影响很大.为此，某校在随机选取的部分学生中开展了一次问卷调查活动，并制

成以下尚不完整的统计图:

部分学生每天睡眠时长统计图

⑵补全条形统计图；

(3)若该校有1000名学生，估计该校每天睡眠时长少于8h的学生约为多少人？

6.列方程(组)解应用题.

用2辆A型车和1辆B型车装满货物一次可运货10吨;用1辆A型车和2辆B型车装满货物一次可运货II吨.某

物流公司现有27吨货物，计划同时租用A型车。辆，8型车b辆，一次运完，且恰好每辆车都装满货物.根据

以，信息，解答下列问题：

(1)1辆A型车和1辆车B型车都装满货物一次可分别运货多少吨？

⑵求该公司的租车方案.

7.请把下列证明过程及理由补充完整(填在横线上)：

己知：如图，BC,AF是直线，AD//BC,Z1=Z2,N3=/4.求证：AB//CD.

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证明：-AD//BC（已知），

；.Z3=_（_）.

/3=/4（已知），

/.Z4=_.

vZl=Z2,

二N1+Z.CAF=Z2+ZC4F.

SPZBAF=_.

../4=/RAF.（_）.

：.AB//CD（_）.

8.电子支付越来越普及，但有时也需要把微信账户里的钱转到银行卡里，这叫作提现.个人用户微信提现手

续费的收取规则如下：每位用户享有累计1000元的免费提现额度，超过1000元免费额度时，超过部分将按0.1%

的费率收取手续费.例如，首次提现500元（未超过免费额度）不收取手续费，再提现800元（累计超过免费

额度300元），将收取0.3元手续费.

小凫妈妈：

我第一次提现（3。+3元，支付手续费2.4元.

第二次提现（。+乃）元，支付手续费2.8元.

（1）小明妈妈以前从未提现过，现需要把微信中的5000元提现，需支付手续费元.

（2）小亮妈妈从使用至今共提现过2次，求a,b的值.

9.小亮同学通过学习知道：用一块面积大的纸片不一定能裁出一块面积小的纸片.他有一块面积为4000cm2,

且长与宽之比为8:5的长方形，想裁出一个面积为1884cm2的圆形，他的想法可行吗？

思考：小亮想，可以这样做：方法①通过将长方形的宽和圆的直径大小对比……；

也可以这样做：方法②直接用长方形的宽作直径裁圆，和所要的圆面积相比……（乃取3.14）

⑴上面两种方法中正确的方法为（填序号）；

（2）选择你认为正确的一种或从你认为正确的两种方法中选择一种进行计算，说明小亮的想法是否可行.

10.五四运动是一次伟大的反帝反封建的爱国运动，爱国是五四精神的主旋律，五四运动中积极倡导民主和科

学的精神，进而推动了全社会的思想大解放.某校举办纪念•五四运动的演讲活动.同学们用青春的声音和故事，

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弘扬五四精神，彰显青春风采，展现拼搏风貌，深情地演绎了对党和祖国的热爱之情.为表彰在此次演讲活动

中表现优秀的同学，该校需要购买一些书包和文具盒.若购买3个书包和2个文具盒，共需275元；若购买2

个书包和4个文具盒，共需250元.

(1)求每个书包和每个文具盒的价格分别是多少元?

(2)该校决定购买书包和文具盒共10个，总费用不超过500元，那么最多可以购买多少个书包？

11.在学习完《相交线与平行线》后，同学们对平行线产生了浓厚的兴趣，蔡老师围绕平行线的知识在班级开

展课题学习活动，探究平行线的“等角转化''功能.

图1图2图3

(1)【问题初探】如图1,ZCDF+ZDFE=180°,NC=NDAE,求证：AD//BC.

(2)【拓展探究】在(1)的条件下，试问与巫之间满足怎样的数量关系？并说明理由.

(3)【迁移应用】

①路灯维护工程车的工作示意图如图2,工作篮底部与支撑平台平行，已知4=31。，则N2+/3=_；

②一和路灯的示意图如图3所示，其底部支架A8与吊线用平行，灯杆C。与底部支架A8所成锐角。=15。,

顶部支架EF与灯杆C。所成锐角夕=45。，求EF与FG所成锐角的度数.

12.在现代化的智能工厂中，机械臂的精准操作依赖于•精确的方向控制.如图所示，有两条平行的机械轨道A8

与CD,即AB〃C。，将机械臂与轨道A8的接触点记为机械臂与轨道CO的接触点记为N,为了实现复

杂的操作任务，通过关节P和关节。来调节三个机械臂PM、尸。和QN的位置，在实际运行过程中，为确保稳

定，三个机械臂PM、和QN不共线.

(1)如图1所示，当机械臂月W〃QN时，证明NAMP=NQNO.

(2)如图2所示，当NAMP=30。，NQND=45°,=a时，4PQN=(用含。的式子表示)

(3)当加〃=处0°</<90。)，/。皿=8(0。<。<180。)时，直接写出NMPQ与NPQN的数量关系.(用含

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的式子表示)

13.下面是小华同学解一元一次不等式的过程，请认真阅读并完成相应的任务:

解不等式：手T<竽

46

解:去分母，得:3(x+2)-l<2(2x-l)第一步

去括号，得3x+6T<4x-2第二步

移项，得3尸公〈-2-6+1第三步

合并同类项，~x<-7第四步

两边同时除以-1,得x>7第五步

任务：

(1)上述过程中，从第步出现错误，具体错误是_____;

(2)请写出该不等式正确的求解过程；

(3)请你根据平时的学习经验,就解一元一次不等式的过程写出一条注意事项.

14.已知：ZAOB=a(0°<a<90°),一块三角板CDE中，ZCED=90°,ZCDE=30°,将三角板CQE如图所

示放置，使顶点C落在OB边上，经过点。作直线MN〃O8交04边于点M,且点“在点。的左侧.

(1)如图，若CE〃OA,ZA^)E=40°,则。=_。：

(2)若41DC的平分线DF交08边于点F.

①如图，当。b〃O4,且。=60。时，试说明：CE〃OA；

②如图，当保持不变时，试求出NOH)与a之间的数量关系.

15.某水果商收购了120吨水果打算运往外省售卖，现有甲、乙、丙三种车型供选择，且要求每辆车均满载,

每辆车的运载量和运费如下表所示:

车型甲乙丙

运载量/(吨/辆)5810

运费/(元/辆)300400500

(1)若全部水果都用甲、乙两种车型车辆来运送，所需运费为6400元，则需甲、乙两种车型车辆各多少辆?

(2)该水果商决定从甲、乙、丙三种车型中至少选择两种车型车辆来运送，已知它们的总辆数为18辆，请通过

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列方程的方法求出符合题意的运送方案.

16.已知，直线A8〃C。,点P为平面上一点，连接AP与CP.

图2图3

⑴如图1，点P在直线AB,CO之间，当/明尸=60。,ZDC?=20。时，求/APC的度数.

(2)如图2,点P落在直线A8外侧，写出/APC与NBA尸，NOC尸之间的数量关系，并说明理由.

(3)如图3,在(2)的条件下，4Ap与NDCP的平分线相交于点K,写出ZAKC与-4PC之间的数最关系,

并利用(3)的结论说明理由.

17.【问题情境】

如图l.AR//CD,ZE4B=128°,ZPCD=120°.求/人PC的度数.小明的思路是：过点P作PE//AR.通过

平行线性质来求/APC的度数.

(1)按小明的思路，求出/4PC的度数;

【问题迁移】

(2)如图2,A3〃CO,点。在射线。M上运动，记NP48=a,GCD=0,当点。在3、。两点之间运动时,

问NAPC与服/?之间有何数量关系？请说明理由；

(3)在(2)的条件下，如果点夕在从。两点外侧运动时(点尸与点O、4、。三点不重合)，请直接写出/4PC

与a、6之间的数量关系.

18.综合与实践

筷子，占称“箸”，是华夏饮食文化的标志之一，也是我们口常生活中的常用餐具，现代人用筷子的方式方法都

不相同，但正确的抓握方法能让筷子更加灵活地操作，也符合餐桌礼仪的要求.某校数学兴趣小组开展了以“筷

子的抓法''为主题的数学实践活动.

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图2图3

(1)图1为“五指凌乱式”的抓法及示意图，AB交CD于点、O,EFLAB,垂足为点O,ZB0C=160°.则

的度数为一.

(2)图2为“传统的筷子”抓法及其示意图，AB//CD//GH,F为AB上一点,射线印与交于点/,射线在交

CO干点E.

①NDEF+NEFG+/G=_；

②若NH=NDEF,/石与川所在的直线存在什么位置关系？请说明理由.

⑶图3为“丁字型”抓法及示意图，AB//CD,射线此交AB于点M,交C。于点£,AG与AB交于点G,射

线G”交CO于点〃.(温馨提示：小学就知道三角形内角和是180。)

①若NCM=1I5。，NAG/7=30。，则NE?G=_；

②若=MZEFG=y,ZGHD=z,当FG上GH,垂足为点GE^,请直接写出-y,z的数量关系.

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参考答案

1.⑴见解析

(2)130°

【分析】本题主要考查角平分线的定义，平行线的判定和性质，角的和差计算，掌握平行线

的判定和性质是关键.

(1)根据角平分线的定义，等量代换得到N2=N1,根据内错角相等，两直线平行即可求

解；

45

(2)根据题意得到/。0后:/£)0少=4:5,则NQOE=180°x§=80。，ZZ9OF=180°x^=100°,

由角平分线的定义得到NAOE=g/CO£=50。,则ZAOF=180°-ZAOE=130°,即可求解.

【详解】(I)证明：•••("平分NCOE,

・・・N3=N2,

VZ1=Z3,

••・N2=NI,

•••AB//CD；

(2)解：VAB//CD,

：・Z6=/DOF,

08平分N。*

，Z5=-ZDOE,

2

VN5:N6=2:5,

：.NDOE:/DOF=4.5,

*/NDOE+NDOF=180。,

45

:.ZDOE=180ox-=80°,ZDOF=180°x-=100°,

99

・•・乙COE=乙DOF=100",

TOA平分NCOE,

・•・ZAOE=-ZCOE=50°

2t

•••ZAOF=180°-ZAOE=130°,

・•.40/的度数为130。.

2.(1)AO〃£C,理由见解析

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(2)63°

【分析】本题考查了平行线的判定与性质，角平分线的定义，角度的和差，熟练掌握平行线

的判定与性质是解题的关诞.

(1)利用AB〃CD,得H[N2=NADC,结合N2+N3=180。，得出NAT)C+Z3=180°,即

可得证；

(2)利用AO〃EC,NFEC=93°,得出NBA。=N尸EC=93。，利用A8〃C£>,Zl=60°,

得出N1=NAOC=60。，利用04平分NBDC,即可求出N/UX?=4。5=/2=30。，最后利

用NE44=NE4O—N2求解.

【详解】(1)解：AD//EC,理由如下：

,/AB//CD,

/.Z2=ZAZX?,

VZ2+Z3=180°,

/.ZADC+Z3=180°,

・•・AD//EC；

(2)解：VAD//EC,/FEC=93。,

，NEW="EC=93。，

VAB//CD,Zl=60°,

二Nl=N8DC=60。，

•・・OA平分/8DC,

••・ZADC=ZADB=30°,

，N2=Z/4DC=30。，

，^FAB=ZE4£>-N2=63°.

3.(1)图见解析，8

(2)•十4力-3

【分析】本题考查了由平移方式确定点的坐标、坐标与图形综合,推出平移规律是解题关键.

(1)根据坐标即可作图，利用“割」补法'唧可求解；

(2)由图可知：点4的坐标为(-1,1),推出VABC向右平移四个单位长度，向下平移三个

单位长度即可得到..A8'C；据此即可求解;

【详解】(1)解：VA4c如图所示：

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(2)解：由图可知：点A的坐标为(T』)，

・・・VAAC向右平移四个单位长度，向下平移三个单位长度即可得到

・••点P在二ABV内的对应点P的坐标为(。+4/-3)；

故答案为：a+4,。-3

4.(I)详见解析

(2)138°

(3)29°

【分析】(1)利用平行线的性质，等量代换证明即可；

(2)过户作利用平行线的性质，等量代换证明即可；

(3)设NBER=NFER=x,NFGR=/DGR=y，过F作FTABiCD,过R作RSAB\\CD,

利用平行线的性质解答即可.

【详解】(1)证明：•••A8〃CO,

J4BMN=4CNM,

'：1〃FG,

:.乙FGO4CNM,

NBMN=NFGC；

(2)如图，过"作"/〃A8,

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力\A7EB

二\F/H

cD

VAB//CD,

，AB//CD//FH,

：・4EFH=/MEFFG,2FGC=4GFH,

Ftl(1)知NR7C=N8WV=68。，

・•・/GFH=4BMN=68。,

/.NEFG=NGFH+NEF〃=138。；

(3)解：如图，平分NF£5,GR平分

:•设/BER=/FER=x,ZFGR=/DGR=y,

过产作口ABICD,过R作RSAB\\CDt

・•・/ERS:/BER=x,NGRS=/DGR=y,

/.ZERG=x+y,Nl=I800-2)，，ZAEF=180°-2x,

*/ZHFG=90°,

AZ2=90°-Zl=90°-(1800-2y)=2y-90°,

・•・ZFHD=Z2=2y~90°,

VNFHDZAEF=20°,

J2y-9()o-(l80°-2x)=20°,

：,2A+2y=290o,

x+y=}45°,

：.ZE/?G=x+y=145°,

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・•・NHMN=—/ERG=290.

5

【点睛】本题考查了平行线的判定和性质，角的平分线，一元一次方程的应用，角的和差倍

分计算，熟练掌握性质是解题的关键.

5.（1）人数为40人,m=35

（2）见详解

（3）100人

【分析】本题考查条形统计图、扇形统计图以及样本估计总体，读懂条形统计图、扇形统计

图是解题的关键.

（1）先根据C组的人数和占比求出总人数，再根据B组的人数除以总人数进而可求出/〃的

值；

（2）补全条形统计图即可；

（3）用样本估计总体即可.

【详解】（1）解：参加问卷调查的人数为16・40%=40（人），

B组的人数为：40-4-16-6=14（人），

/〃％=14+40x100%=35%,

则=35；

40

该校每天睡眠时长少于8h的学生约为100人.

6.（1）1辆A型车和1辆5型车都装满货物一次可分别运货3吨，4吨

⑵共有2种租车方案：①租用A型车5辆，8型车3辆：②租用A型车1辆，8型车6辆

【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及二元一次方程的应用，解题的关键是：

（1）设1辆A型车和1辆8型车都装满货物一次可分别运货工吨，丁吨，根据“用2辆A型

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车和I辆“型车装满货物一次可运货10吨；用I辆A型车和2辆“型车装满货物一次可运

货11吨”，即可得出关于X、y的二元一次方程组，解之即可得出结论；

4

（2）由（1）的结论结合某物流公司现有27吨货物，即可得出％+4〃=27,即a=9-',

由〃、人均为正数即可得出各租车方案.

【详解】（1）解：设1辆A型车和1辆3型车都装满货物一次可分别运货x吨，吨，

2x+j=10

根据题意得:

x+2y=11

x=3

解得：

y=4

答：1辆A型车和I辆B型车都装满货物一次可分别运货3吨，4吨.

（2）解：由题意可得：M+助=27,整理得：〃=9-会），

•・•〃、b均为正整数,

.\a=5\a=\

,,）=3或％=6,

工共有2种租车方案：①租用A型车5辆，3型车3辆：②租用A型车1辆，8型车6辆.

7.ZCAD；两直线平行，内错角相等；ZC4D；ZC4Z）；等量代换；同位角相等，两直线

平行

【分析】本题考查了平行线的性质及判定，要注意：平行线的判定是由角的数量关系判定两

直线的位置关系，平行线的性质是由平行关系来寻找角的数量关系，熟练掌握以上知识点是

解题的关键.由平行线的性质得N3=NC4Q,从而得N4=NC4。，由N1=N2得

ZBAF=ZCAD,从而求得N4=NBAF,即可判定AB〃CO.

【详解】证明：AD//BC（已知），

.♦.N3=NC4。（两直线平行，内错角相等）.

・・・/3=/4（已知），

/.Z4=ZC4D.

Z1=Z2,

Z1+ZC4F=Z2+ZC4F.

即/班厂=/04。.

:.Z4=ZBAF（等量代换）.

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（同位角相等，两直线平行）.

8.（1）4

67=800

,屏］000

【分析】本题考查了跨平台提现手续费问题.熟练掌握手续费与手续费起缴点和费率的关系，

列式、列方程组，是解题的关键.

（1）累计超过100（）元免费额度时，超过部分将按0.1%的费率收取手续费，微信中的5000

元提现，列式计算：

（2）第一次提现（3a+b）元，支付手续费2.4元.第二次提现包+»）元，支付手续费2.8

元.列方程组计算.

【详解】（1）解：（5000—1000）x0.1%=4（元），

故答案为：4

(317+^-1000)x0.1%=2.4

（2）解：由题意得：

(«+2/?)x0.1%=2.8

。=800

解得

/?=1(X)0

9.⑴①②

（2）见解析

【分析】本题考查了平方根、算术平方根的应用，实数的大小比较等知识点，正确理解题意

是解题的关键.

（1）根据题意分析即可求解；

（2）设长方形的长为8mn,则它的宽为5wm,根据题意得8工-51=4000,解得X=10（舍

负），那么长方形的宽为5xl0=50（cm）,分别计算方法①和方法②即可.

【详解】（1）解：由题意得，两种方法均正确，

故答案为：①②；

（2）解：选择①，他的想法可行，理由如下：

设长方形的长为8《m,则它的宽为5wm,根据题意得.

8A-5X=4000,

解得x=10（舍负）.

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所以长方形的宽为5xlO=5O（cm）.

设圆的半径为mm,根据题意得，用户=1884,

解得,=5^65,

所以该圆的直径d=2阿cm.

因为50=J25OO,25/600=>/2400<72500,

所以他的想法可行.

或选择②：他的想法可行，理由为：

设长方形的长为8«m,则它的宽为5.rcm,根据题意得.

8.v-5x=4000.

解得x=10（舍负），

所以长方形的宽为5xI（）=50（cm）.

以50cm为直径的圆的面积为；/弓）«3.14x625=1962.5（cnr）.

因为1962.5>1884,所以他的想法可行.

10.（1）每个书包的价格为75元，每个文具盒的价格为25元

（2）最多可以购买5个书包

【分析】（1）通过设书包和文具盒的单价为未知数，根据两种不同购买组合的花费列出方程

组，求解得到单价.

（2）设购买书包的数量,根据总费用的限制条件列出不等式，求解得出书包数量的最大值.

本题主要考查二元一次方程组和一元一次不等式的应用，熟练掌握根据实际问题中的数量

关系列出方程组和不等式是解题的关键.

【详解】（1）解：设每个书包的价格为1元，每个文具盒的价格为元，

3x+2），=275

由题意得

2x+4y=250

x=75

解得

），=25

答：每个书包的价格为乃元，每个文具盒的价格为25元.

（2）解：设购买书包加个，则购买的文具盒的个数为个,

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由题意得75〃7+(1O-"7)X25W5OO,

解得m<5.

答：最多可以购买5个书包.

II.⑴见解析

(2)ZDFE=ZADF+ZAEB,理由见解析

(3)@211°；②E尸与小G所成锐角的度数为60°

【分析】本题考查平行线的判定和性质，平行线的应用，掌握平行线的判定定理和性质定理

是解题的关键.

(1)根据平行线的判定定理可得4E〃CO,再根据平行线的性质定理可得NC=/4度，

结合NC=ND4E可得=即可证明AO〃BC；

(2)过点尸作尸G〃人。交C。于点G,则户C〃AO〃BC,根据平行线的性质即可证明

ZDFE=ZADF+ZAEB^

(3)①参照(2)中方法，构造平行线，利用平行线的性质求解；②过点E作E尸〃AB，

根据平行线的判定定理和性质定理求解.

【详解】(1)证明：VZCDF+ZDF£：=180°,

工AE//CD,

，4C=ZAEB,

又•••4C=4DAE,

,ZAEB=NDAE,

・••AD//BC；

(2)解：ZDFE=ZADF+ZAEB,

证明：过点尸作PG〃AZ)交CO于点G,

图1

•・•AD//BC,

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・•・FG//AD//BC,

:・ZADF=/DFG,ZAEB=/GFE,

•IZ.DFE=4DFG+Z.GFE,

JZDFE=ZADF+ZAEB；

(3)解：①如图，作CO〃A8,则C。ABIEF,

「.作篮

A

3

支持平台

AZ3+ZBZX7=18O°,/1=NCDE,

Z2+Z3=Z3+Z«DC+ZCDE=180o+Zl=180o+31o=211°,

故答案为：211。；

ZABC=a=\50,/DEF=0=45°,

,/EP//AB,

JZPEC=ZABC=15°,

•・•ZPEC+ZDEF+ZPEF=180。，

/.ZPEF=180°-NPEC-NDEF=180°-15°-45°=l20°,

VEP//AI3,AB//FG,

：.EP〃FG,

/.ZFFG+ZPEF=180°,

，NEFG=180。一NPEF=60。,

即：所与所所成锐角的度数为60。.

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12.(1)见解析

(2)。+15。

(3)4MPQ-/7=4PQN-6或4MPQ-/?+/PQN+0=363°或4MPQ+£=/PQN+0或

/MPQ+/7+乙PQN-0=360°

【分析】(1)延长NQ交A8于£,利用平行线的性质即可求证；

(2)分别过点P、Q作防〃ABGH//AB,即可得出小〃A8〃G〃〃CD,再利用平行

线的性质即可求解；

(3)分不同的图形进行讨论，并分别过点P、Q作EF〃AB,GH//AH,即可得出

EF//AB//GH//CD,再利用平行线的性质即可求解.

【详解】(1)证明：如图，延长NQ交AB于E,

,/PM//QN,

・•・ZAMP=ZAEN.

,/AB//CD,

4QND=4AEN,

：./AMP=4QND

(2)解：NPQN=a+15＞；

理由：如图，分别过点P、Q作GH//AI3,

VAB//CD,

：.EF//AB//GH//CD,

/.ZAMP=ZMPF,NFPQ=NPQG,ZGQN=ZQND,

当^4^0=30°,NQND=45。,NMPQ=a时，

APQN=/PQG+£GQN

=ZFPQ+ZQND

=NMPQ-NMP产+45"

=a-ZAMP+4^

第18页共28页

=a-30°+45°

=a+15：

图2

(3)解：4MPQ-。=4PQN—0或4MPQ-0+乙PQN+0=3巡或4MPQ+。=4PQN+0

或NMPQ+/?+/PQN一。=360。；

理由如下：如图2-1,分别过点P、。作E尸〃ABGH//AB,

*/AB//CD,

EF//AB//GH//CD,

AZAMP=ZMPF,ZFPQ=ZPQG,ZGQN=ZQND,

当NA"尸=伙0。＜#＜90。)，/0?/。=。(0。＜。＜180。)时，

/PQN=4PQG+NGQN

=4FPQ+4QND

=4MPQ—4MPF+0

=/MPQ-B+。，

・•・NMPQ-p=4PQN-6；

如图2-2,分别过点P、。作律〃A区GH//AB,

VAB//CD,

：.EF//AB//GH//CD,

:.NAMP=NMPF,NFPQ+NPQ〃=180°,N〃QN+/QNO=180°,

当NA用尸="(0。＜/＜90。)，/0%。=夕(0。＜6＜180。)时，

NPQN=NPQH+ZHQN

=180°-NFPQ+180°-NQND

=180-(/MPQ-NMPF)+180)-0

=180-(/MPQ—ZAMP)+180-0

第19页共28页

=180-(ZM尸Q-/)+180’-3

=360-ZMPQ+p-0

••.ZMPQ-p+ZPQN+(9=360°；

如图2-3,分别过点P、。作斯〃ABGH//A13,

VAB//CD,

EF//AB//GH//CD,

••・/AMP+/MPE=l80\/EPQ=NPQH,NHQN+NQND=\86,

当乙4例尸=尸(0。＜分＜90。)，/0?/。=。(0。＜。＜180。)时，

/PQN=APQH+4HQN

=NEPQ+I80'-NQNO

=(/MPQ-ZA/PE)+180-＜9

=Z.MPQ-(180-ZAMP)+18()-0

=ZMPQ-(180-/7)+180'-

=^MPQ+p-0

・,./MPQ+0=4PQN+e；

如图2-4,分别过点。、。作所〃A8GH//AB,

VAB//CD,

：.EF//AB//GH//CD,

，/AMP+NMPE=180,NEPQ+NPQG=180”,4GQN=/QND,

当NAM尸=伙0。〈/〈9O。)，/0?/。=。(0。＜。＜180。)时，

NPQN=ZPQG+ZGQN

=180°-NEPQ+NQNO

=180-(ZMPQ-ZMPE)+6＞

=180-NMPQ+(18()'-Z4MP)+0

=360-/MPQ-夕+0

第20页共28页

・,.ZMPQ+P+^PQN-0=360°；

综上可得：/MPQ一/=NPQN一。或/MPQ-/+ZPQN+0=360°或

/MPQ+0=4PQN+。或4MPQ+0+4PQN-0=360°.

【点睛】本题考查了平行线的判定与性质，涉及到了两直线平行，同位角相等，两直线平行，

同旁内角互补，平行线的传递性等知识，解题关键是分类讨论，作出辅助线求解，本题的难

点是画出图形，考查了学生的想象能力与逻辑思维能力.

13.（1）第一步，去分母时，漏乘常数项

（2）见解析

（3）去分母时，一定要注意不要漏乘了常数项

【分析】（1）去分母，注意不要漏乘常数项；

（2）按照解不等式的基本步骤解答即可.

（3）注意不要漏乘常数项.

本题考查了解不等式，熟练掌握解题的基本步骤是解题（I勺关键.

【详解】（1）解：根据解不等式的基本步骤，发现第步开始出现了错误，错因是去分母时

漏乘了常数项，

故答案为：第一步，去分母时，漏乘常数项.

八、痴x+2,2x-]

（2）解：—--1<——,

46

去分母，得：3（x+2）-12<2（2x-l）

去括号>得3x+6-l2<4x~2

第21页共28页

移项，得3尸4x<-2-6+12

合并同类项，rv4

两边同时除以-I,得

(3)解：建议去分母时，•定要注意不要漏乘了常数项.

14.⑴50

(2)①见解析；②,00=150。-ga

【分析】本题考查了平行线的判定和性质，角平分线的定义，熟练掌握平行线的判定与性质

是解题的关键.

(1)过点E作EF〃MN,利用平行线的性质求出/尸EC=50。，结合MN〃OB,可推出

/BCE=/FEC,最后由得出即可；

(2)①根据〃04,〃08可得/MDF=60°,再根据角平分线性质得出4CDF=60°,

利用内错角相等证明平行却“J：②根据平行线的性质得出NMOC=NDC8=60o+。，冉根

据角平分线的性质和平行线的性质得出NDFC=NMDF=30。+ga,即可求出N0FD与«

之间的数量关系.

【详解】(1)解：过点、E作EF〃MN,如图所示，

­.-ZCED=90°,

ZFEC=90°-40°=50°,

MN//OB,

:.EF〃OB,

:"BCE=NFEC=50。,

CE//AO,

:.ZAOB=ZBCE=50°,

则a=50°,

故答案为：50.

第22页共28页

(2)解：①.。尸〃OA,

/DFC=ZAOB=a=析,

.MN//OB,

.-.ZMDF=ZDFC=60o,

DF平分NMDC,

ZCDF=ZMDF=60°,

,「在直角三角形。CE中，ZCED=90°,ZCDE=30°,

ZDC£=60°,

/CDF=/DCE,

:.CE//DF,

-DF//OA,

：,CE//OAx

②CE//OA,

Z.ECB=a>

由①可知，ZDC£=60°,

/DCB=NDCE+NECB=60。+a,

MN//OB,

ZMDC=ZDCB=6()°+«,ZDFC=ZMDF,

♦：DF平分功DC,

NMDF=gNMDC=g(60。+a)=30。+ga,

NDFC=/MDF=30°+-a,

2

ZOFD=180°-NDFC=180°-130°+-a|=150°--a.

I2)2

15.(1)需甲车型车辆8辆，乙车型车辆10辆

⑵共有3种运送方案：

方案1：使用甲车型车辆12辆，丙车型车辆6辆；

方案2：使用甲车型车辆1()辆，乙车型车辆5辆，丙车型车辆3辆；

方案3：使用甲车型车辆8辆，乙车型车辆10辆

【分析】本题考查了二元一次方程组的应用.熟练掌握单价与单价和数量的关系，总吨数与

每辆车载重和车辆数的关系，是解题的关键.二元一次方程的解有无数组，但在限定条件下，

第23页共28页

往往可以求出其整数解；求二元一次方程的整数解，在问题不是特别复杂的条件下，可以采

用枚举法，即将其中一个未知数在可以取值的范围内的数一一列出来，求出对应的另一个未

知数的值，并找出符合题意的整数解.

(1)设需甲车型X辆，乙车型y辆，根据120吨水果和6400元运费列方程组求解：

(2)设需甲车型6辆,乙车型〃辆，丙车型(18-切一〃)辆,根据水果120吨，18辆车列二

元一次方程，结合未知数的实际意义求解.

【详解】(1)解：(1)设需甲车型车辆x辆，乙车型车辆.V辆.

5x+8y=120

根据题意，得

300x+400v=6400

J

.1=8

解得

y=10

答：需甲车型车辆8辆，乙车型车辆10辆.

(2)解：设使用甲车型车辆机辆，乙车型车辆〃辆，如使用丙车型车辆(18-,〃-〃)辆.

根据题意，得5〃?+8〃+10x(18-〃?一〃)=120,

2

m=12——n.

5

犯〃,18-加一〃均为非负整数,

m=\2卜〃=10f/n=8

„或〈.或〈

n=0(〃=5[n=10

・•・共有3种运送方案：

方案1：使用甲车型车辆12辆，丙车型车辆6辆：

方案2：使用甲车型车辆10辆，乙车型车辆5辆，丙车型车辆3辆；

方案3：使用甲车型车辆B辆，乙车型车辆10辆

16.(1)80°

(2)ZAPC=ZDCP-ZBAP；理由见解析

(3)NAKC=g/APC；理由见解析

【分析】本题主要考查了平行线的性质，角平分线定义，解题的关键是热练掌握相关的判定

和性质.

(1)过点尸作PQ//AB,根据平行线的性质求出NAPQ=NZMP=60。,ZQPC=^DCP=20°,

即可得出答案：

第24页共28页

（2）过点P作PQ〃A8,根据平行线的性质得出乙4PQ=NZMP,NQPC=/DCP,然后

得出答案即可；

（3）由（2）可知NAPC=N£）CQ-NB4P,ZAKC=4DCK—乙BAK,根据角平分线定义得

出NQCK=』NOCP,NBAK=L/BAP,再得出答案即可.

22

【详解】（1）解：如图，过点P作PQ〃A8,则有乙4PQ=NBAP=60°.

VAB//CD,PQ//AB,

，PQ//CD.

・・・NQPC=NDCP=20。,

ZAPC=ZAPQ+NQPC=80°.

(2)解：关系：ZAPC=ZDCP-ZBAP.

理由：如图，过点。作PQ〃AB,则有Z4PQ=/R4P.

VAB//CD,PQ//AB,

・•.PQ//CD,

・•・42PC=NDCP,

：.ZAPC=ZQPC-ZAPQ=ZDCP-ZBAP.

(3)解：关系：ZAKC=-ZAPC

2

理由：由(2)nJMlZAPC=ZDCP-^B