2025高二数学期末模拟卷【测试范围：北师大版选择性必修第一册】含答案

2025-2026学年高二数学上学期期末模拟卷

(考试时间：120分钟试卷满分：150分)

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用

橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

4.测试范围：北师大版选择性必修第一册。

第一部分(选择题共58分)

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共4()分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目

要求的。

1.抛物线x=的准线方程为()

A.x=-1B.x=1C.y=-1D.y=1

2.经过两点(5,3)和(-1,9)的直线的倾斜角为()

A<B-IC."D.|n

3.直线，的一个方向向量为沆=(-4,2,2),平面a的一个法向量为元=(2,-1,幻，若〃/平面%则％=()

A.-5B.5C.-1D.1

4.甲、乙、丙等6人排成一排，且甲、乙均在丙的同侧，则不同的排法种数共有()

A.480B.360C.240D.144

5.已知随机变量X的分布列如下，若E(X)=0,则Z)(3X+1)=()

X-2012

11

Pmn

63

A.-B.7C.21D.22

3

6.在楂长均相等的平行六面体ABC。中，/-AXAB=Z.AXAD=Z.DAB=60°,则向量福在向量

彳济上的投影向量为()

A.B.弓西C.y/3BB；D.2瓯

7.已知双曲线C；，一、=l(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F2,过原点。的直线与C的左、右两

支分别交于48两点，点。在。上且用=2瓯，若以48为直径的圆过点片,贝哈的值为()

A.旦B.渔C.迫D.这

3334

8.在三棱锥。一力8c中，0A=08=0C=L48=8C=G4=近，点P满足方=mR?+九赤+/沅，

若实数m,n,，满足77i+2〃+31=3,则。P的最小值为()

A.V3B.竿C.苧D.罂

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全

部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得。分。

9.设随机变量X〜N(小,而)，随机变量丫〜N(〃2,布)，其正态密度曲线如图所示，则()

什X的正态曲线

A2L的正态曲线

A.Ml<M2B-P(X工〃1)>P(X工〃2)

C.q>©D.P(Y>“)>P(Y>a2)

10.在对具有相关关系的两个变最进行回归分析时，若两个变量不呈线性相关关系，可以建立含两个待定

参数的非线性模型，并引入中间变量将其转化为线性关系，再利用最小二乘法进行线性回归分析.下列选项

为四个同学根据自己所得数据的散点图建立的非线性模型，且散点图的样本点均位于第•象限，则其中可

以根据上述方法进行回归分析的模型有()

2

A.y=qx+c2xB.y=^

x+C2

C.y=+ln(x+c2)D.y=c1e

il.已知随机事件4,B满足PQ4)=5P(B)=JP(4|B)=P(4忸)，则()

A.P(AF)=2P(/4F)B.尸(48)=P(4)P(8)

C.PM|B)=3D.PG4|8)=g

第二部分(非选择题共92分)

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。

12.已知在(/+%+。)5展开式中含的项的系数为51,则正实数。的值为.

13.在平面直角坐标系xOy中，△4"的顶点4的坐标为(-4,2),边上的中线CM所在的直线方程为

x-y+1=0,4B的角平分线所在的直线方程为2%十y—2=0,则直线8c的方程为.

14.已知以M为圆心的圆河:“2+丫2—12%-14丫+60=0及其上一点/4（2,4）,设T（t,O）满足：存在圆”上

的两点P和Q，使得*+亍户=&,则实数t的取值范围为.

四,解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

15.（13分）

已知在（姮-矗）”的展开式中，第5项的二项式系数与第3项的二项式系数的比是14:3.

U）求九；

（2）求展开式中所有的有理项.

16.（15分）

如图，在直四棱柱48CD-418传1。1中，四边形力3co是菱形，AB=AA1=2,48力0=g点E是棱儿当

的中点.

U）求异面直线8E与45所成角的余弦值；

<2）求直线8当与平面力。为所成角的正弦值.

17.（15分）

地球上生命体内都存在生物钟，研究表明，生物钟紊乱会导致肥胖、糖尿病、高血压、高血脂等严重体

征状况.控制睡眠或苏醒倾向的生物钟基因，简称PER,PER分为PER1（导致早起倾向）和PERo（导致晚

睡倾向）.某研究小组为研究光照对动物的影响，对实验鼠进行了光照诱导与GRPE蛋白干预实验.以下是

16只实验鼠在光照诱导与GRPE蛋白干预实验中，出现PER1突变的Sd指标：

实验鼠编号12345678

Sd指标9.959.999.969.9610.019.929.9810.04

实验鼠编号910111213141516

Sd指标10.269.9110.1310.029.2210.0410.059.95

长期试验发现，若实验鼠Sd指标超过10.00,则认定其体征状况严重，

⑴从实验鼠中随机选取3只，记X为体征状况严重的只数，求X的分布列和数学期望；

⑵若编号1〜8的实崎鼠为GRPE蛋白干预实骗组，编号9〜16¥］为非GRPE送白干预对照组，试依据小概

率值a=0.1的独立性检验，分析GRPE蛋白T预是否与实验鼠体征状况有关？

a0.10.050.01

2.7063.8416.635

xa

附.2____"SC____

y=(其中n=a+b+c+d).

A(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

18.(17分)

甲、乙两位学生进行答题比赛，每局只有1道题目，比赛时甲、乙同时回答这一个问题，若一人答对且

另一人答错，则答对者获得10分，答错者得-10分；若两人都答对或都答错，则两人均得。分.根据以

往答题经验，每道题甲答对的概率为点乙答对的概率为|,且甲、乙答对与否互不影响，每次答题的结

果也互不影响.

(1)求在一-局比赛中，甲得10分的概率；

(2)设这次比赛共有4局，设V为甲得0分的次数，求y的分布列和数学期望；

(3)设这次比赛共有3局，若比赛结束时，累计得分为正者最终获胜，求甲最终获胜的概率.

19.(17分)

阿波罗尼斯是古希腊著名数学家，他的主要研究成果集中在他的代表作《圆锥曲线论》一书中，阿波罗

尼斯圆是他的研窕成果之一，指的是平面内动点M与两定点Q,P的距离的比值匿=1)是个

常数，那么动点M的轨迹就是阿波罗尼斯圆，圆心在直线PQ上已知动点M的轨迹是阿波罗尼斯圆，其方

程为"+y2=2,定点分别为椭圆各卷=l(a>b>0)的右焦点尸与右顶点力，且椭圆C的离心率为e=

⑴求椭圆C的标准方程；

⑵如图，过点F斜率为k(k<0)的直线E与椭圆C相交于8,0(点8在3轴上方)两点，点S,7是椭圆C上异

于3,。的两点，S户平分平分ZJ57D.

①求船的取值范围；

②将点S,F,「看作一个阿波罗尼斯阿卜•的三点，若△$「丁外接圆的周长为3遥m求百线I的方

程.2025-2026学年高二数学上学期期末模拟卷

参考答案

第一部分（选择题共58分）

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目

91011

ABDABCAB

第二部分（非选择题共92分）

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。

12,113.18f-38=014.[2-2而2+2旬

四,解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

15.（13分）

/?(//-1)(/2-2)(/2-3)2!_14

【解析】（1）依题意有C：:C：=14:3,即

4!〃(〃一1)3

整理可得/_5〃-50=0,解得〃=10或〃=-5（不合题意，舍去），所以〃的值为10.（6分）

,.X*10-2*

（2）展开式通项为7；*=£（派）0一•一十=\~C〉xk（2=0,l,2,…,10）,（8分）

由题意得若空■£%（2=0,1,2,…,10）,则女t{2,5,8},（10分）

所以第3项、第6项与第9项为有理项，它们分别为C：o卜;C^-0=-y,

—x-2.(13分)

256

16.(15分)

【解析】（1）连接皿），交AC于点O，因为A88是菱形，所以4CJ.SO,

分别以。及OC为轴，过。与A4平行的直线为z轴建立空间直角坐标系。一冷2,（2分）

如图，AB=AA.=2,Z^D=|,则03=00=1,OA=OC=G，

所以40,-60）,仇1,0,0）,〃1一1,0,2）,片（1,0,2），4（0,-75,2）,

点石是棱A4的中点测E（L-立,2）,

22

BE=,2）,AD,=（-1,>/3,2）,（6分）

22

13——

-----------BE•40]2-2+4_3V10

8s胡，私）=画面=

[i3I_______20

上+4+471+3+4

所以异面直线的与4R所成角的余弦值为亚；（8分）

（2）由（I）知AG=（0,26,0）,设平面AC。的一个法向量是方二。,），,z）,

n-AD'=-x+Gy+2z=0

取z=1得，;=（2,0,1）（12分）

it-AC=2\/3y=0

BR=（0,0,2），

西•亢_2_V5

cos（881,n）|西同一市一至

所以直线BBI与平面ACR所成角的正弦值为手.（15分）

17.（15分）

【解析】（1）由题意得，16只实验鼠中，有7只体征状况严重.

X的可能取值有0，1,2,3,（1分）

唳=。）6嗡P（M）=等UFQ

唳=2）=詈襦改=3）奇磊（5分）

所以X的分布列为

X0123

39271

P

202()而正

39?7121

所以X的数学期望£（用=0乂弓+»!+2'祭+3乂9=小（8分）

20206。1616

（2）由题意得，根据所给数据，得到2x2列联表:

GRPE蛋白干预非GRPE蛋白干预合计

体征状况严重257

体征状况不严重639

合计8816

零假设〃。：实验鼠体征状况与GRPE蛋白干预没有关系.

利用列联表中的数据得，2=16（2x3-5x6）-=3*2.286<2.706=，（14分）

8x8x7x97

根据小概率值kO.l的独立性检验，没有充分证据推断”。不成立，因此可认为儿成立，即认为实验

鼠体征状况与GRPE蛋白干预无关.（15分）

18.（17分）

【解析】（1）设X表示在一局比赛中甲得分，则“X=10”表示甲答对旦乙答错的情况，

根据独立事件概率乘法公式，可得P（X=10）=：x!=）；（3分）

236

（2）X=0包含两种情况：甲、乙都答对或甲、乙都答错，

101

甲、乙都答对的概率为

（\\（2、111

甲、乙都答错的概率为J不卜=-x-=-,

I236

根据互斥事件的概率加法公式，可得P（X=0）=；+；=：,

JJ

因为每局比赛甲得0分的概率为;，且每次答题的结果互不影响，所以y〜（6分）

I乙）

则代…）“电w*》

叱3例式唱W，

3

8

叩=3）=c咱m出\_

4

p(y=4)=c：《jq.

则y的分布列为:

Y01234

123\_1

P

1648416

则y的数学期望E（Y）=4X；=2；（10分）

（3）甲最终获胜有以下四种情况：

①三局都得io分，其概率为=—

\6）216

②两局得10分，一局得0分，其概率为C；・f,[x'=3x,xL=-!-,

3y6）236224

lx±xl=±,

③两局得10分，一局得-10分，其概率为x=3

336336

④一局得10分，两局得0分，其概率为C；,x仕丫=3xkL=L

综上可得，甲最终获胜的概率为工2+上+。+：="9：，+27=.（17分）

21624368216216

19.（17分）

/\卜一&IC+y/2

【解析】（1）方法1：令M土&,0）,^~4=—%,且c/=2c,解得°2=1,

'7\a->/2\a+/2

.•.a2=4,〃=q2-c2=3,椭圆C的方程为《+《=1.（4分）

43

方法2：设例（X,），），由题意联|:一°）：+'：二人（常数），

IM4J%a-4+y2

整理得：r+）广+—芸----x+--------=0,

万-1乃—1

2c-2〃笛

公_1=°1

故《,工2，乂£=：，解得：〃=2,c=l.

A2a2-c2）a2

-7^F=-2

.•・〃=/—=3,椭圆C的方程为二十二=1.

43

方法3：设M(x,y),则/+尸=2.

,拈百户;一曲£[=也一0)2+尸=+2_F=也2+2—2以

'(x-a)2+丁J(x-〃)2+2--\Ja2+2-2ax

•••黑为常数，.•.答=£,又J'解得：/=412=1,故〃=/-/=3,

2

|M4|a+2aa2

22

椭圆。的方程为土+工=1.

43

\BF\\BF\

(2)①由角平分线定理知：祸=祸，以下求腕的值，

令直线5。的方程为：x=〃p+l（〃?〈0）,

x=my+1

'x2y2=>（3/"2+4）y2+6吁-9=0（该方程的△>0恒成立）,

.T+T-

设以冷x），。（占，必卜&vw）.则凹+刈=-，y%=Si

5m+45）n+4A

再令麻=2而，即弘二・4M，代入韦达定理得

6m[,八6m

必一"32=-^^（―年

=>=>—=——；—,

-9,,一923〃?2+4

[）'通=记71灭=="

由〃『>0知，Td（）q],

3m-+4I3）

八（1-2）24I,.

0<---------<—=>-<2<3,

233

又.V。忸尸|>|所,故另>1,

即周«1，3).(10分)

/.1<A<3,

②由①知，黑=暮=其，由阿波罗尼斯圆定义知，S1,尸在以反。为定点的阿波罗尼斯圆上,

MlIS

设该圆圆心为a,半径为r,与直线/的另一个交点为N,则有

忸即二2r+忸尸|二’=忸尸卜|所

\DT\|£W|2r-\DF\叫-画「）

而忸?|=而了17=2—；若，同理|OP|=2—gw，

由①知‘为+々=，心+幻+2=-磊+2=高

24-12小

芭.X?=("D'[+1)•("?2+1)=myy+m(y+y)+\=

l2i23〃『+4

2——x,

214-(x+x)+-xx

••・由(*)式=>〃='i2l2

；(工2-3)

2~2X1~

84-12〃?2____

[6—4(3+々)十3巧:-3〃?2+4+3m2+4=3,〃/十]

2m2+再f-4―卜8丫4一加2府

由圆周长公式：2nr=3娓itar=N^~

2

.3，/+13限21

2病25

m<0,/.小=一半，

;•直线/的方程为4=-乎y+lny=->/5x+\/5.（17分）

2025-2026学年高二数学上学期期末模拟卷

全解全析

（考试时间：120分钟，分值：150分）

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2.呵I答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡，对应题日的答案标号涂黑。如需改动，用

橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

4.测试范围：北师大版选择性必修第一册。

第一部分（选择题共58分）

一,选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目

要求的。

1.抛物线X=-;y2的准线方程为（）

A.x=-1B.x=1C.y=-1D.y=1

I.【答案】B

【解析】依题意得丁=一曲，所以2P=4,所以5=1,又抛物线开口向左，

所以抛物线）2=-41的准线方程为x=六1.

故选：B.

2.经过两点（5,3）和（一1,9）的直线的倾斜角为（）

A.-B.-C.-HD.-IT

4346

2.【答案】C

［解析】经过两点（5,3）和（-1.9）的直线斜率为k=—=-I,

—1一5

所以该直线的倾斜角为一3兀，

4

故答案为：C.

3.直线，的一个方向向量为访=（-4,2,2）,平面a的一个法向量为元=（2,-1,工），若1〃平面a,则％=（）

A.-5B.5C.-1D.1

3.【答案】B

【解析】直线/的一个方向向量为正=（T,2,2）,

平面a的一个法向量为7=（2,-l,x）,

因为〃/平面则拓_L7，

所以，w/i=-8-2+2x=2x-10=0，解得x=5.

故选：B.

4.甲、乙、丙等6人排成一排，且甲、乙均在丙的同侧，则不同的排法种数共有（）

A.480B.360C.240D.144

4.【答案】A

【解析】优先甲、乙、丙进行排列，先从6个位置中选出3个位置，共有C：=20种，

根据甲、乙均在丙同侧，有甲乙丙，乙甲丙，丙甲乙、丙乙甲共4种排法，

剩下3人共有A；=6种排法，

根据分步计数乘法原理，所求不同的排法共有20x4x6=480种.

故选:A.

5.已知随机变量X的分布列如下,若E（X）=0,则。（3X+1）=（）

X-2012

11

Pmn

63

A*B.7C.21D.22

5.【答案】C

11

m+〃=—m=—

2

【解析】由题意可得:解得，；

-2m+（）H--F2/?=0

3

川91117

则O（X）=2（七_EX）-《=4x±+0+lx_+4x_=_,

彳3363

7

所以O（3X+l）=9O（X）=9x-=21.

3

故选：C.

6.在棱长均相等的平行六面体力BCD-AiB£Di中,/-ArAB=/.A^D=/-DAB=60°,则向量幅在向量

上的投影向量为（）

A..B.|西C.43BB；D.2而1

6.【答案】D

【解析】设平行六面体ABCD-ABCQ棱长为〃，,•相=记+瑟*=丽+而+丽,

且砌、2,/AAB=/AAO=/OA8=60,

.•.丽•代=羽•（而+而+丽）=丽•丽+瓯.而+丽2=axaxcos60+axaxcos604-t/2=2a2»

__,AA.AC.

.A4,=2朋=2班

ACX在A可上的投影向量为1阂2

故选：D.

7.已知双曲线C：捻一《=1（。>0,b>0）的左、右焦点分别为F],F2,过原点。的直线与C的左、右两

支分别交于48两点，点。在。上且”=2的，若以48为直径的圆过点Fi，贝吟的值为（）

A.匹B.渔C.2D.这

3334

7.【答案】C

【解析】连接4£，BFitOF,AF2t

由以AB为直径的圆恰好过左焦点片可得_L8£,由双曲线的对称性得四边形A用〃C为矩形,

可设|%|=r,则怩£>|=2HBF]\=2a+f,|DF\=2a+2r,

在直角三角形。3匕中，可得IB。F+|8用'|。用2,

即（3/）2十（2〃十/）2=（2“十2/）2,解得r号,

又在直角三角形8耳月中,又乃『+|明|2=|月玛

qi->,2A，4。~64。~68。~.?

即t厂+（2。+。-=4c\——+----=----=4c-,

999

因为c?=a2+b2

所以蛔=4（/+62）,即2=侦.

917a3

故选：C.

8.在三棱锥。一力BC中，。4=。/?=。。=1,AB=BC=CA=&,点P满足而=沆6？+九而+，而,

若实数m,n,1满足m+2n+3Z=3,则OP的最小值为（）

A.V3B.辿C.也D*

5714

8.【答案】D

【解析】因为。4=08=1,AB--75»

所以4夕=。4+。8，即。A_LO8,

同理可证OA,OB,OC两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系.

I?

因为〃?+2〃+3/=3,所以5〃?+§〃+/=1,

所以而=一机々。乂+£〃,。月+/O。，设3次=而，-OB=OE,

332

_1_2一一

则。户=3〃2。方+]〃。忑+/。二，所以尸，C,D,石四点共面，

因为0(0,o,o),c(o,o,i),o(3,o,o),

所以5=（3,0,T）,灰=13尚，0）.

设平面COE的一个法向量为万=（x,yz）,

3x-z=0

nCD=Q

则_，即.3八，取x=l,则万=(1,2,3),

n-DE=0-3x+-y=0

2

—/、|oC.司qJiZ

因为oc=（o,o,i）,所以。尸的最小值为—_1=九巴

同14

故选：D.

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全

部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得。分。

9.设随机变量X~N（外,而），随机变量V〜N（〃2,赍），其正态密度曲线如图所示，贝IJ（）

A.%V〃2B.0(XN%)>P(XN的)

D.P[Y>dj)>P(Y>a)

C.>(y22

9.【答案】ABD

【解析】TX〜N（M，af）,y〜N（〃2㈤）,

•••两曲线分别关于直线X=〃I，X=〃2对称，由图可知从＜〃2，故A正确;

又从＜外，所以P（X2〃,）〉P（X"4）,故B正确；

乂x的正态密度曲线比y的正态密度曲线更“高瘦”，所以故C错误；

又5Vb2，所以p（yNd）＞p（yN%），故D正确：

故选：ABD.

10.在对具有相关关系的两个变量进行回归分析时，若两个变量不呈线性相关关系，可以建立含两个待定

参数的非线性模型，并引入中间变量将其转化为线性关系，再利用最小二乘法进行线性回归分析.下列选项

为四个同学根据自己所得数据的散点图建立的非线性模型，且散点图的样本点均位于第一象限，则其中可

以根据上述方法进行回归分析的模型有（）

2

A.y=CjX+c2xB.、=舞

x+C2

C.y=q+ln(x+c2)D.y=c1e

10.【答案】ABC

［解析］对于选项A：+cx=>-=cx+c,令〃=上则〃=qx+C2；

2Xx2X

对于选项B：

x+c.,c.-c,,c.-1x+c,1c,

y=---L=1+----=>y-\=---G-=>---=-----=-----x+——=—

x+c2x+c2x+c2y-1q-c2q-c2q-c2

?v-c,

对于选项C：y=q+111(.¥+^)=>>-q=ln(x+c2)=>e=x+c2

即e、'=e'1Yx+c?)令则〃=e''•(x+Q)=e',.x+c2V;

对于选项D：y=nIny=Inq+x+c2令〃=Iny则u=x+lncI4-c2

此时斜率为1，与最小二乘法不符.

故选：ABC.

W.已知随机事件力，B满足P（Z1）=提P（B）=pP⑷B）=P（万忸），则（）

A.P(Afi)=2P(而)B.P(AB)=P(A)P(B)

C.P（川B）=（D.P{A\B）=\

11.【答案】AB

【解析】对于A,因为P（A）=5，P（B）=-P（A\B）=P（A\B）

JJtt

所以"P（AB）=FP（AB\=3P（/M_、，尢P（AB上\P看（丽=）六3（,叫一、，

33

所以3P（祕）=|。（而），即2P（油）=P（而），故A正确；

对于B,因为,（％8）+P（48）=P（8），①，P（AB）+P（A5）=P（A）=l--=-,

32^2r

又因为P（砺）=2。（油），所以2P（而）+尸（祖）=；,所以P（M）=[

代人①可得：=L所以P（AB）=J,

636

P（A）P（B）=lxl=l,所以尸（A5）=P（A）P（砂，故B正确；

236

L\111

对于C,P（A|B）=焉=T^_2=H_p=5,故c不正确；

3

P（AB\P（A）P⑶/、1

对于D,2⑷8）一尢广宛上尸（可=2,故D不正确；

故选：AB.

第二部分（非选择题共92分）

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。

12.己知在（7+x+a）5展开式中含％5的项的系数为51,则正实数。的值为.

12.【答案】1

【解析】由（/+%+”展开式中C*'+C；（X2）'CyC；«+C;|x2）2=5lx5,

所以1+30/+20〃=51=3/-2.-5=0=（34+5）（.-1）=0,

解得〃=1或。=―（舍）.

故答案为：1.

13.在平面直角坐标系X。,，中，△4BC的顶点力的坐标为（-4,2）,边上的中线CM所在的直线方程为

x-y+1=0,匕8的角平分线所在的直线方程为2%+y-2=0,则直线的方程为.

13.【答案】18x-y-38=0

【解析】设B（a㈤,

〃-4b+2y

因为点A的坐标为（＜2）,所以A8中点/

又CM所在的直线方程为x-）•+1=0,

a-4b+2

所以+1=0,即4一。一4=0,

22

又点B在直线2x+y-2=0上,

所以2。+〃一2=（）,

a-b-4=0a=2/、

由…2=0解得b=2,所以8(2,-2),

设点人（-4,2）关于直线2》+k2=0的对称点为4（肛〃）,

c/n-4〃+212

2x----+-----2=0m=—

222,所以A/1226

则，解得，

n-22o

4-2)=-1n=一

m+43

型+2

所以直线4c的方程为)，+2=扃一(x-2),即18x-)，-38=0.

--2

5

故答案为：18x-)，-38=().

14.已知以M为圆心的圆M:/+y2-12%-14丫+60=0及其上一点力(2,4),设T(t,O)满足：存在圆M上

的两点P和Q，使得刀+乔=而，则实数£的取值范围为.

14.【答案】［2-2而2十2句

【解析】根据题意，HAf：x2+/-12x-14y+60=0,BP(x-6)2+(y-7)2=25,

其圆心为(6,7),半径,=5,

设P(N，y),。小，乃)，

又由T&0),则犷=(2-人4),7户=(%―/),又=5-1,)，2),

2—f+X—/=工一/r,=.\+2-/

若%+7户=7。，则有，,1-,变形可得

4+y=当)'2=X+4

若Q在圆M上，则区-6)2+(%-7)2=25,

则有。+2T-6)2+(y+4-7)2=25,变形可得：。--4尸+［)，-3>=25,

即点尸也在圆—2+(>'-3)2=25上，

从而圆M(x-6-+(”7)2=25与圆(x-f-4)2+()，—3尸=25有公共点，

则有5-5W4+4-6)2+(3-7)2<5+5,

变形可得：0-2)2<84,

解得：2-2后Q2+25,即/的取值范围为［2—201,2+2应T］；

故答案为：［2-2®,2+26］.

四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

15.（13分）

已知在（证-赤）”的展开式中,第5项的二项式系数与第3项的二项式系数的比是14:3.

⑴求n；

（2）求展开式中所有的有理项.

15.（13分）

4,〃（八一1）（〃一2）（〃一3）2!14

【解析】（1）依题意有C：:C：=14:3,即」~丛丁2~J-穴=行，

整理可得〃2_5〃—50=0,解得〃=10或〃=-5（不合题意，舍去），所以〃的值为10.

10A，1V（\10-2*

（2）展开式通项为九1C°（"）［一砺J。；。“二住二01,21.」0）,

由题意得上至©Z(&=0,1,2,…,10),则1<2,5,8},

,45、

所以第3项、第6项与第9项为有理项，它们分别为C：。厂=一厂

1入4

256

16.(15分)

如图，在直四棱柱-&81G。1中，四边形A8C。是菱形，AB=AA=2,乙BAD=4点E■是棱为/

Lt«5

的中点.

U）求异面直线BE与力。1所成角的余弦值；

（2）求直线8%与平面AC。1所成角的正弦值.

16.（15分）

【解析】（1）连接4。，交4C于点0,因为ABC。是菱形，所以AC/8。，

分别以。8。。为爸），轴，过。与AA平行的直线为z轴建立空间直角坐标系。-个2,如图,

AB=AA,=2,/"4/)=三，则O8=O£)=1.O4=OC=6

所以A(0,—G,0),4(1,0,0),Q(—1,0,2),々(1,0,2),人(0,—6,2),

点“是棱的中点'则吗'一¥'2）'

“二弓—/⑵乐"2),

____]3

丽.河—2一2+4_3网

cos(BE,ADj)=

西网=各4+二・后e=h

所以异面直线的与4。所成角的余弦值为噜